相似矩阵与二次型习题课1

（三）方阵的对角化 1. 定义
。
1 1 P AP n
2. n阶方阵 A可对角化 A有n个线性无关的特征向量。
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推论： 若n阶方阵 A有n个互不相同的特征值，则A 一定可以对角化。
将方阵A对角化的步骤： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n 2. 求 i ( i 1,2,, n) 对应的特征向量。 （四）实对称阵
(1)求a , b
1 P AP B (2)求可逆阵P，使
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解： (1)由A与B相似得A的特征值为2，2，6. 所以
1 4 a 4 b A 4b

a 5 b 6
(2) 1 2 2 时， ( 2 E A) x 0,
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一、重点与难点 1. 线性无关向量组的正交规范化方法
2. 方阵的特征值与特征向量的证明问题
3. 判断方阵可否对角化 4. 求一正交阵，使实对称阵正交相似于对角阵
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二、基础知识
（一）方阵的特征值与特征向量
1. 定义
3 6时，
(6 E A) x 0
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基础解系为：
1 P3 2 3
故
1 1 1 P p1 , p2 , p3 1 0 2 0 1 3 2 0 0 P 1 AP 0 2 0 0 0 6
2 1 P3 2 3 1
所以， P [ p1 , p2 , p3 ]
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填空题 例1： A33 的特征值为1，-1，2， B A3 2 A2 则 B (
)
0
解答：
例2： A33 矩阵， A E A 2 E 2 A 3 E 0
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7. 设三阶矩阵 A 的特征值为 1 2, 2 2, 3 1; 对应的特征向量分别为：
0 P1 1 , 1
解：
1 P2 1 , 1
1 P3 1 0
* 2 A 3E ( 则
)
解答： 126
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1 k 1 例3：已知 是 的特征向量， A 1 2 1 1 A 1 2 1 1 1 2
解答： 1或-2 则
k( )
解：
AP1 P1
c 1 a 1 1 即 0 b 0 2 2 2 4 c 1 a 2 2
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a 2 2c 2 2b 4 4 2c 2 2a 4
Ax x, x 0
2.
求法
（1）特征多项式 a11 a12

a1n a2 n f A ( )
E A
a21 an1
a22
an 2
பைடு நூலகம் ann
特征方程 f A ( ) E A 0, 其解为A的特征值。
3
3
0
是A的特征值。
3 1 2 1 0 1 ( E A) x 0,( E A) 5 2 3 0 1 1 1 0 1 0 0 0
与 1 对应的A的线性无关的特征向量只有一个， 故A不能对角化。
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10 2 0 0 1 10 1 1 1 10 1 10 A PP PP PP P P P 0 2 0 P 0 0 1
2 2 0 8. 求一个正交相似变换矩阵P，将 A 2 1 2 0 2 0
a 2 b2 c1
3 2 1 0 0 a A 2. 已知 可对角化，求a 0 0 0
解： 由于A可对角化，则A有3 个线性无关的特征向 量。A的特征值 1 3, 2 3 0
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（2）特征向量：i E A x 0 的非零解。 3. 性质
（1）设 是 A 的特征值，则 k 是 Ak 的特征值 ;
f ( ) 是 f ( A) 的特征值.
（2）1 , 2 ,, n 是 Ann 的特征值，则
1 2 n a11 a22 ann ; 12 n A
1 1 0 3 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6E - A 2 2 2 3 3 1 0 6 4 0 1 3 3 3 1 5 1 1 0 6 4 0 0 0
与 2 3 0 对应的特征向量中存在2个线性无关的 。 即 (0 E A) x 0 的基础解系中含有两个解 。
R( A) 1

a0
1 1 1 2 0 0 2 B 0 2 0 A 4 2 3. 设A与B相似， 3 3 a 0 0 b
对角化。
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解：
E A 0
1 2, 2 1, 3 4;
将其对应的特征向量单位化、正交化后，得
1 1 P1 2 , 3 2
2 1 P2 1 , 3 2
性质： 若A与B相似，则有
（1）A与B有相同的特征多项式，特征值。
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（2） trA trB; A B ; R( A) R( B) （3）若A可逆，则B可逆，且 A1与 B1也相似。 （4） Ak 与 B k 相似 ，相似变换阵仍为P。
（5） f ( A) 与 f ( B ) 相似

2 0 0 A P 0 2 0 P 1 0 0 1 0 1 1 P 1 1 1 1 1 1 0

2 0 0 2 3 3 所以 A P 0 2 0 P 1 4 5 3 0 0 1 4 4 2
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（3）若A是可逆阵，则A的特征值都不为零，其 A 1 1 * A 的特征值为 A 的特征值为 （4）A 与 AT 的特征多项式相同，特征值相同。
（5）不同特征值对应的特征向量必线性无关。
（二）相似矩阵、相似变换
1. 定义
2.
P AP B
1
AT A
（1）实对称阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量
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（2）实对称阵的不同特征值对应的特征向量必正交。
（3）实对称阵A可对角化，且都可正交相似于对角阵。 将实对称阵A正交相似对角阵的计算步骤： 1. 求A的特征值 2. 求 i ( i 1,2,, n) 对应的特征向量 1 ,2 ,,n 3. 将 1 ,2 ,,n 正交规范化得到 p1 , p2 ,, pn 4.
1 1 1 1 1 1 2E - A 2 2 2 0 0 0 3 3 3 0 0 0
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基础解系为：
1 1 P1 1 , P2 0 0 1
T P 构造矩阵P= p1 , p2 ,, pn ,P正交阵，使 AP
三、典型例题
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c a 1 0 有一个特征值 1 2, 1. 设 A 0 b 4 c 1 a 1 对应的特征向量为 P1 2 求 a, b, c. 2
1 解： (1) AP P 即 2 a b 1

a 3 b0 1
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2
( 2) E A 5 1
故 1 2 3 1
1
2 3 ( 1) 2
求 A, A10
由于A可对角化，故存在可逆矩阵 P [ p1 , p2 , p3 ] 使
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2 0 0 P 1 AP 0 2 0 0 0 1 0 1 1 又 P 1 1 1 1 1 0
使
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1 2 1 2 a 3 的一个 4. 已知 P 1 是矩阵 A 5 1 1 b 2
特征向量。 （1）求a, b及特征向量P所对应的特征值。 （2）问A能否对角化？说明理由。