24章圆知识点

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的 弧叫做等弧。可以在同一个圆中，也可以在不同的圆中。
注意:长度相等的弧不一定是等弧
同心圆：在同一平面内,圆心相同半径不同的 圆叫同心圆
①圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任 意一条直径所在的直线。它有无数条对称轴。
②旋转不变性：将圆绕圆心
旋转任意角度都能与之重合
直径 经过圆心的弦。
B
注意:
直径
O.
C
凡直径都是弦,是圆中最长 的弦，但弦不一定是直径.
A
弦
圆中有关概念： 圆弧:连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧, 简称弧.
以A、C为端点的弧记作 AC ， 读作：“圆弧AC”或“弧 AC”。
半圆:圆的任意一条直径的两个端点把 圆分成两条弧,每一条弧叫做半圆.
劣弧与优弧：
A
边形叫做圆内接多边形．
D
这个圆叫做这个多边形的 B
C
外接圆.
同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆 心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 ； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角
是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
C2 C1
C3
A
O
B
பைடு நூலகம்
推论3：圆内接四边形对角互补。 一个外角等于它的内对角。 A
弓形
⌒
AMB
D
弓形的高:弧的中点到弦的距离, A
也叫弓形高,用小写字母h表示
hB C
三种弓形:
·O
·M
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距.
如图:OC⊥AB,垂足为C
则线段OC的长度为弦心距 A 弦心距用小写字母d表示
CB
d ·O
弦长a，弦心距d，半径r，以及弓形高h之间的关系
(1)已知a、d，求r.
∵AB∥CD
C
∴A⌒C=B⌒D
B ·O
D
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O·
B
①顶点是圆心 ②两条边都与圆周相交
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条 弧、两条弦中有一组量相等，它们所 对应的其余各组量也相等．
D
C
E
B
推论4：如果三角形一条边上的中线等 于这条边的一半，那么这个三角形是直 角三角形。
动手操作：
你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
方法四
O
D
A
O
E
圆内接四边形的一个 B
C
外角等于它的内对角。
设⊙O半径为r, 点P到圆心O的距离为d
点
与 点在圆内
的侧面积相关计算
动态:描述性定义
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆．
O. r
半径
A 圆心
以点O为圆心的
圆记作:⊙O
读作:圆O
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 圆是指“圆周”，是曲线，而不是“圆
静态:集合的观点的定义
到定点O的距离等于定长 r的点组成的图形叫做圆。
②CD⊥AB ④A⌒D=B⌒D
⌒⌒
⑤AC=BC
平分弦所对的一条弧
的直径，垂直平分弦，
并且平分弦所对的另
一条弧。
A
C
·O
M
B D
①直线CD过圆心O
④A⌒D=B⌒D
②CD⊥AB
③ AM=BM ⑤A⌒C=B⌒C
弦的垂直平分线经过
圆心，并且平分弦所 对的两条弧。
A
C
·O
M
B D
②CD⊥AB ③ AM=BM
圆
d<r
的 位
点在圆上
d= r
置 关
点在圆外
d> r
系
等价于
P
d dP
O· r
d
P
问题1：如图，作平面上已知点A的圆， 这样的圆能作出多少个？
A
无数个 这些圆的圆心在A点以外的平面上
问题2：如图，作经过已知点A,B的圆， 能作出多少个？它们的圆心分布有什么特 点？
A
B
无数个
这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上
补充：
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、 两条弦两条弦的弦心距中有一组量相等， 它们所对应的其余各组量也相等．
几何语言:
1 2 AB AB
A⌒B=A⌒B
AB AB 1 2
⌒⌒
AB=AB
⌒⌒
AB=AB
1 2 AB AB
顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角．
如果一个多边形的所有顶
点都在同一个圆上，这个多
圆具有的特征:
B
rr A
· r O
C
r
r E
(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都 D
等于定长(半径r); (纯粹性)
(2)到定点的距离都等于定长的点都
在同一个圆上.
(完备性)
战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载。 它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径
圆中有关概念：
弦 连接圆上任意两点的线段。
圆 复习课
知识体系
圆
基本性质
直线与圆的 圆与圆的 正多边形 位置关系 位置关系 和圆
概 对 圆周角与 念 称 圆心角的
性 关系
切切 切切 位 性 判 线线 线线 置 质 定 的的 长的 分
关 系 定
有 关 计
性判 定作 类
理算
质定 理图
垂 圆心角、
径 弧、弦之
定 间的关系
弧长、扇形面积和圆锥
理 定理
aD
在Rt△AOC中,
A 2h B
r ( a )2 d 2 直接求解
2
rC d ·O
(2)已知a、h，求r
在Rt△AOC中,
r 2 ( a )2 (r h)2 解方程求解 2
平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的
两条弧。
A
C
·O
M
B D
①直线CD过圆心O ③ AM=BM(AB不是直径)
（故必是中心对称图形，对
●O
称中心是圆心）
③同圆或等圆的半径相等.
垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对 的两条弧。
A
C
·O
M
B D
①直线CD过圆心O
②CD⊥AB
③ AM=BM ④A⌒D=B⌒D
⌒⌒
⑤AC=BC
弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形
弦AB把圆分成两部分,这两部分都是弓形.
弓形
⌒
AB
①直线CD过圆心O
④A⌒D=B⌒D
⌒⌒
⑤AC=BC
以上三个推论可概括为：
一条直线，如果具有： ①经过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
这五个性质中的任何两个性质，那么这条 直线就具有其余三个性质。（具备性质① ③时，所说的弦不能为直径。
圆的两条平行弦所夹
的弧相等。
A
小于半圆的弧（如图中的 ⌒AC ）叫做劣弧；
大于半圆的弧（用三个字母表示，
⌒ 如图中的 ABC ）叫做优弧.
B
劣弧 ⌒AC
O·
A
C
弧 半圆 半圆AB
优弧
⌒
ABC
等圆与等弧、同心圆：
同圆：是指在同一个圆中。
一个圆
等圆：能够重合的两个圆是等圆。2个或2个以上
容易看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。 同弧：是指同一个圆中的同一条弧。