三角函数的概念

2
第一或第三象限 y y
o x o x
第二或第四象限 y y
o x
区 域
o
x
如果用 1, 2, 3, 4 分别表示第一、二、三、四象限角, y 1 2 3 4 则 2, , , 分布如图: 即第一象限角 2 2 2 3 2 4 2 2 1 的半角是第一或第三象限角(其余略), 2 2 4 x 1 o 熟记右图, 解有关问题就方便多了.
1.已知角 的终边上一个点 P 的坐标为(4t, -3t)(t0), 求 的 正弦、余弦和正切值. 解: 由已知有 x=4t, y=-3t, ∴ |OP|=r=5|t|. y - 3t - 3t 当 t>0 时, sin= r = 5|t| = 5t =- 3 5, x 4t 4t 4 cos= r = 5|t| = 5t = 5 , y - 3t tan= x = 4t =- 3 4; y - 3t - 3t 3 当 t<0 时, sin= r = 5|t| = = , - 5t 5 x 4t 4 4t cos= r = 5|t| = -5t =- 5 , y - 3t tan= x = 4t =- 3 4.
=0.
|cos| sin 5.若 cos + |sin| =0, 试判断 sin(cos)cos(sin) 的符号. |sincos|+sincos 解: 由已知得 =0, cos|sin| ∴sincos≤0, 且 cos|sin|0, ∴sincos<0.
6.设 是第二象限的角, 试问: -, -, + 分别是第几象限 的角? <<2k+, kZ. 解: ∵ 是第二象限的角, ∴2k+ 2 , kZ, ∴ -2k-<-<-2k- , k Z, 2 k < < 2 k + 2 2 3 2k+ 2 <+<2k+2, kZ. ∴- 是第三象限角, - 是第一象限角, + 是第四象限角.
②轴线角 x 轴的非负半轴: =k360º (2k)(kZ); x 轴的非正半轴: =k360º +180º (2k+)(kZ); y 轴的非负半轴: =k360º +90º (2k+ 2 )(kZ); ) 或 y 轴的非正半轴: =k360º +270º (2k+ 3 2 =k360º -90º (2k- 2 )(kZ); x 轴: =k180º (k)(kZ); 坐标轴: =k90º ( k )(kZ). 2 y 轴: =k1百度文库0º +90º (k+ 2 )(kZ);
2 2 3 2 2 2
典型例题
1.写出与 -1035º 终边相同的角, 并指出其中属于 [-4, 4] 的 角. 解: ∵-1035º =- 3360º +45º , ∴与 -1035º 终边相同的角为 k360º +45º (kZ). 用弧度制表示上面的角为 2k+ (kZ), 4 令 -4≤2k+ 4 ≤4(kZ) 得 k=-2, -1, 0, 1, 15 7 ∴其中属于 [-4, 4] 的角是 - 4 , - 4 , 4 , 9 4 . 1993 2.判断 =-5, =- 3 是第几象限的角.
5.求下列函数的定义域: (1)y=tanx+cotx; (2)y= sinx +tanx. , kZ}, 解: (1)使 tanx 有意义的 x 的取值集合是 {x | xk+ 2 使 cotx 有意义的 x 的取值集合是 {x | xk, kZ}, 故所求函数的定义域是: k , kZ}; ={ x | x {x | xk+ , k Z} ∩ { x | x k , k Z} 2 2 sinx≥0, (2)要使原函数有意义, 则 xk+ , kZ. 2 2k≤x≤2k+, kZ, 即 xk+ , kZ. 2 故原函数定义域为{x |2k≤x≤2k+, 且 x2k+ , k Z}. 2
一、角的基本概念
1.角的概念 角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到 另一个位置所成的图形. 旋转开始的射线叫角的始边, 旋转终止位置的射线叫角的 终边, 射线的端点叫角的顶点. 按逆时针方向旋转形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转形 成的角叫负角, 如果一条射线没作任何旋转, 称它形成了一个 零角. 角的三要素: 顶点、始边、终边. 2.角的分类 (1)正角、负角、零角； (2)象限角、象限界角(象间角、轴线角)
4.已知 为锐角, 证明: 1<sin+cos≤ 2 . 证: 由已知可在角 的终边上任取一点 P(x, y)(x>0, y>0), y x 则 sin= 2 2 , cos= 2 2 . x +y x +y ∵x>0, y>0, (x+y)2 x +y ∴ sin+cos= 2 2 = . 2 2 x +y x +y (x+y)2 x2+y2+2xy 2xy ∵ 2 2= =1+ 2 2 >1, 2 2 x +y x +y x +y (x+y)2 x2+y2+2xy x2+y2+x2+y2 又 2 2= ≤ =2, x +y x2+y2 x2+y2 (x+y)2 (x+y)2 ≤ 2. ∴1< 2 2 ≤2. ∴1< x2+y2 x +y ∴1<sin+cos≤ 2 .
二、任意角的三角函数
1.定义 y . P(x, y) x
r
o

y y x sin= r ; cos= r ; tan= x ; x r r cot= y ; sec= x ; csc= y ;
2.三角函数的符号 y
sin csc tan cot o + cos sec x
7.已知 在第二象限, 试确定 sin(cos)cos(sin) 的符号. 解: ∵ 在第二象限, ∴-1<cos<0, 0<sin<1.
, ∴- <cos<0, 0<sin< . ∵- < 1, 1< 2 2 2 2 ∴sin(cos)<0, cos(sin)>0.
2.写出适合下列条件的 x 的集合: (1)|cosx|>|sinx|; (2)|sinx|+ |cosx|>1. 解: 由三角函数线易得所求集合分别为: , kZ}; (2) {xR | x k , kZ}. (1) {x | k- <x<k + 4 4 2 3.设 O 是坐标原点, 角 的终边上有点 M, |OM|=2, 角 的 终边上有点 N, |ON|=4, P 为 MN 的中点, 求以 OP 为终边的角 的正切值.
∴sin(cos)cos(sin)<0. 故 sin(cos)cos(sin) 的符号为“ - ”号.
8.若 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合, 求 的各三角函数 值. 解: ∵ 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合, ∴ 是第三或第四象限的角. 若 是第三象限的角, 取终边上一点 P(-1, -2), 则 r= 5 . y x y 5 2 从而 sin= r =- 5 5 , cos= r =- 5 , tan= x =2, x 1 r r 5 cot= y = 2 , sec= x =- 5 , csc= y =- 2 .
4.角的度量
(1)角度制 1 一个圆周的 360 的弧所对的圆心角叫做 1 度(1)的角. (2)弧度制
等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度(1 rad)的角. (3)弧度与角度的相互换算 1 rad =(180 ) ≈57.30 = 5718´.
1= rad≈0.01745 rad. 180 (4)扇形的弧长公式 l =r|| 扇形的面积公式 1 r2 · S= 1 l · r = || 2 2
解: 设 P(x, y) 是角 终边上的任意一点, 令 r = x2+y2 . y x 则原式= y xy y y r x + r = y2 - yr+yx 2 y - y y yr yx y r x r
y r+x y2-(r2-x2) = r-x - y = y(r-x)
x2+y2-r2 = y(r-x)
三角函数正值歌 正弦一、二全是正, 余弦偏在一、四中; 正切、余切却不然, 斜插一、三两象限. 或 一全二正弦, 三切四余弦. y P o
3.三角函数线 定义 与单位圆有 关的有向线段 MP、 OM、AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线、 正切线.
T
P M o
y


M A x
A T
x
注: 已知角 所在象限, 应熟练地确定 2 所在的象限如下表: 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
解: ∵0<2-5< 2 , ∴-5 是第一象限的角. 1993 ∵212≈1.68( , ),
3 2 1993 ∴- 3 是第二象限的角.
3 3.角 终边经过点 P(x, - 2 )(x0), 且 cos = 6 x, 求 sin+ cot 的值. 解: 设 |OP|=r, 则 r = x2+2 , 又 cos = 3 x, 则 6 x 3 = x, 解得 x= 10. 2 6 x +2 6 , cot=- 5 , 当 x= 10 时, sin=- 6 6 5 + 6 ∴ sin+cot=; 6 当 x=- 10 时, sin=- 6 , cot= 5 , 6 ∴ sin+cot= 6 5 - 6 . 6
3.几类特殊角的表示方法 (1)与 角终边相同的角的集合: { | =k · 360+, k∈Z},或 { | =2k+, k∈Z}. (2)象限角、象限界角(轴线角) ①象限角 第一象限角: k360º <<k360º +90º , kZ; (2k<<2k+ 2 , kZ) 第二象限角: k360º +90º <<k360º +180º , kZ; (2k+ 2 <<2k+, kZ) 第三象限角: k360º +180º <<k360º +270º , kZ; 3 (2k+<<2k+ 2 , kZ) 第四象限角: k360º +270º <<k360º +360º , kZ. 或 k360º -90º <<k360º , kZ. <<2k+2, kZ 或 2k- <<2k, kZ ) (2k+ 3 2 2
若 是第四象限的角, 取终边上一点 P(1, -2), 则 r= 5 . y x y 5 2 从而 sin= r =- 5 5 , cos= r = 5 , tan= x =-2, x r r 1 cot= y =- 2 , sec= x = 5 , csc= y =- 5 . 2
课后练习
解法2 ∵角 - 的终边与角 的终边关于 x 轴对称, ∴由 是第二象限的角知 - 是第三象限的角; ∵角 - 的终边与角 的终边关于 y 轴对称, ∴由 是第二象限的角知 - 是第一象限的角; ∵角 + 的终边是角 终边的反向延长线, ∴由 是第二象限的角知 + 是第四象限的角.
解: 依题意可设 M(2cos, 2sin), N(4cos, 4sin), 则 P(cos+2cos, sin+2sin). sin+2sin 当 cos+2cos0 时, tan= cos+2cos . 当 cos+2cos=0 时, tan 不存在.
tansin +sin . 4.化简: tan-sin - tan tansin