11.零的零次幂应该等于多少

意正数．其实，类 似 的 函 数 还 有 很 多，比 如 在 ｘ → ０
时 ，定 义 函 数
ｃ
ｙ６ ＝ （ｘ－ｓｉｎ ｘ）ｌｎ（ｔａｎ ｘ ， －ｘ）
其 中ｃ 是 任 意 常 数 ．
取函数
２
ｙ７ ＝ ｘｌｎ ｘ ，
借助 ＭＡＴＬＡＢ 绘制 其 在 区 间 ［０，１］上 的 曲 线，可
以发现，其 图 形 是 一 条 水 平 直 线．因 此 ｙ７ 是 常 值 函
数．事实上，对函数ｙ７ 两边同时取对数得
ｌｎ ｙ７ ＝ｌｎ２ ｘｌｎ ｘ ＝２，
所以事实上有
ｙ７ ＝ｅ２．
另外，若 改 变 ｙ７ 中 指 数 上 的 系 数 大 小，便 可 使 得 函
数ｙ７ 等于任意的正常数．
通过 以 上 讨 论 可 知，对 于 幂 指 函 数 ｙ ＝ ［ｆ（ｘ）］ｇ（ｘ），随着函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）选 取 的 不 同，其
制 函 数 的 曲 线 ，可 以 求 极 限 、导 数 、积 分 等 ，但 结 果 有
时未必可靠．因此，对 实 际 问 题，首 先 需 要 进 行 必 要
的理论分析，再 运 用 ＭＡＴＬＡＢ 软 件 辅 助 求 解 和 绘
图 等 ，这 就 是 数 学 实 验 的 深 层 次 思 考 ．
参考文献
［１］Ｆｉｎｎｅｙ Ｒ Ｌ， Ｗｅｉｒ Ｍ Ｄ，Ｇｉｏｒｄａｎｏ Ｆ Ｒ．Ｔｈｏｍａｓ’ Ｃａｌｃｕｌｕｓ ［Ｍ］．１０ｔｈ Ｅｄ．Ｂｅｉｊｉｎｇ： Ｈｉｇｈｅｒ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｐｒｅｓｓ，２００３：１６１－１６２．
首先取幂函数
收 稿 日 期 ：２０１２－１０－１８；修 改 日 期 ：２０１３－０７－２８ 基 金 项 目 ：西 安 交 通 大 学 本 科 教 学 改 革 专 题 研 究 项 目 （２０１３） 作者简介：赵小艳 （１９７６－），女，陕 西 合 阳 人，博 士，讲 师，从 事 金 融
数 学 研 究 ．Ｅｍａｉ：ｚｈａｏｓｗａｌｌｏｗ＠ｍａｉｌ．ｘｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 刘 康 民 （１９６６－），男 ，陕 西 户 县 人 ，硕 士 ，副 教 授 ，从 事 数 理 统 计 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｌｉｕｋｍ＠ｍａｉｌ．ｘｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 李 换 琴 （１９６４－），女 ，陕 西 韩 城 人 ，博 士 ，教 授 ，从 事 优 化 理 论 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｈｑｌｅｅ＠ｍａｉｌ．ｘｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
虽然函数ｙ３ 对ｘ ≤０在实数范围内没有定义， 但是运用 ＭＡＴＬＡＢ软件仍能画出函数ｙ３ 在ｘ ＜０ 时的曲线．这是因为，函数ｙ３ 当ｘ＜０时在复数范围 内仍有意义，而 ＭＡＴＬＡＢ在绘图时忽略ｙ３ 的虚部， 只保留实部．从严格意义上讲，函数ｙ３ 在ｘ＜０时的 曲线并不是很严谨的．
２２
高等数学研究
［ｆ（ｘ）］ｇ（ｘ） ＝ ｅ ， ｇ（ｘ）ｌｎ ｆ（ｘ） 先 求 ｇ（ｘ）ｌｎ ｆ（ｘ）的 极 限 ，利 用 指 数 函 数 的 连 续 性 得 到 原 式 的 极 限 ．此 未 定 式 的 极 限 可 能 存 在 ，也 可 能 不存 在，即 使 该 极 限 值 存 在，对 于 不 同 的 ｆ（ｘ）和 ｇ（ｘ），极限值也 未 必 相 同．从 这 个 意 义 上 我 们 可 以 说００ 没 有 意 义，因 此 不 能 定 义 它 的 值．本 文 借 助 ＭＡＴＬＡＢ 软件［２］，利 用 高 等 数 学 的 相 关 知 识，探 讨 ００ 的取值情况．
进 一 步 讨 论 ，如 果 设
ｃ
（ ） ｙ５ ＝
π ２
－ａｒｃｔａｎｘ
， ｌｎ（１＋ｘ）
其 中 ｃ 是 任 意 确 定 的 非 零 常 数． 同 样 可 由
Ｌ’Ｈｏｓｐｔｉａｌ法 则 计 算 得
ｌｉｍｙ５ ＝ｅ－ｃ，
ｘ→＋∞
而 且由于ｃ的任意性，可知在ｘ →＋ ∞ 时，ｙ５ 的极限
值可以是任 意 的 正 数．因 此，也 可 以 定 义 ００ 等 于 任
极限值也是不一样的，所以可以认为 ００ 的 取 值 是 不
定的．从 这 个 意 义 上 讲，００ 没 有 意 义．而 如 果 从 连 续
的角度 考 虑，可 以 认 为 ００ 等 于 任 何 你 想 要 的 正 常
数 ，只 要 你 能 说 服 别 人 同 意 你 的 观 点 ．这 也 从 另 一 方
面说明，虽然 ＭＡＴＬＡＢ 软件的功能很强大，可以绘
从而 ２ｆ′（０）＝ ０， ｆ′（０）＝ ０．
收 稿 日 期 ：２０１３－０３－０９；修 改 日 期 ：２０１３－０８－１８ 基 金 项 目 ：黑 龙 江 省 高 等 教 育 教 学 改 革 工 程 立 项 项 目 （２０１１） 作者简介：李淑凤（１９７８－），女，黑龙 江 牡 丹 江 人，讲 师，从 事 应 用 数
习题１［１］ 如果ｆ（ｘ）为偶函数，且ｆ′（０）存在， 证 明 ｆ′（０）＝ ０．
证 法１ 利用导数的定义及ｆ（ｘ）为偶函数，有 ｆ′（０）＝ ｌΔｉｘｍ→０ｆ（０＋ΔΔｘｘ）－ｆ（０）＝ ｌΔｉｘｍ→０ｆ（０－ΔΔｘｘ）－ｆ（０）＝ －ｌΔｉｘｍ→０ｆ（０－Δ－ｘΔ）ｘ－ｆ（０）＝－ｆ′（０），
ｙ１ ＝ｘ０， 计算其在ｘ ＝１，０．１，０．０１，０．００１，… 无限趋近于 零 处 的 函 数 值 ．运 用 幂 函 数 的 运 算 法 则 ，很 明 显 这 些 ｘ 对应的ｙ１ 都 是 １，因 此，如 果 将 幂 函 数 的 法 则 推 广，就可以将００ 取值为１．
也可以考虑指数函数 ｙ２ ＝０ｘ，
关键词 极限；连续；幂指函数；未定式
中图分类号 Ｏ１７１；Ｇ６４２．４２３
文献标识码 Ａ
文章编号 １００８－１３９９（２０１３）０５－００２１－０３
在平常 的 教 学 过 程 中，教 师 经 常 会 碰 到 有 学 生 问［１］：００ 有没有意 义？它 应 该 等 于 多 少？或 者 在 讲 解 函数ａｘ 或者ｘｐ 时，我们教师都会强调参数的取值范 围ａ＞０，ａ≠１或ｐ ≠０，即使有时候我们没有指出 来，学生私下也会专门跑来强调“这个ａ（或者 ｐ）不 能等于０”，然后会紧接着问ａ ＝ ０ 时取 值 应 该 怎 么 定义？虽然中学 老 师 已 经 给 他 们 强 调 ００ 没 有 意 义， 但是勤于思考的学生仍然不明白为什么没有意义．
计算其在ｘ ＝１，０．１，０．０１，０．００１，… 无限趋近于 零 处 的 函 数 值 ．应 用 指 数 函 数 的 运 算 法 则 ，所 有 的 函 数值都等 于 ０，因 此，如 果 将 指 数 函 数 的 法 则 推 广， 可认为００ 取值为０．
取函数 ｙ３ ＝ｘｘ，
计算函 数 在 ｘ ＝ １，０．５，０．１ ０．０１，０．００１，０．０００１， … 无限趋近 于 ０ 处 的 函 数 值，如 表 １ 所 示．可 以 发 现，当ｘ 从１逐渐靠近０时，函数的取值是先单调下 降再单调上升到１，并且ｘ 越来越接近于 ０，越来越 接 近 于 １．
２０１３ 年 ９ 月
图１（ａ）给出了函 数ｙ３ 在 区 间［－１，１］上 的 曲 线．进一步将０附近的函数曲线放大，得图 １（ｂ）．因 此，当ｘ趋于０时，函数ｙ３ 逐渐趋于１．而且ｘ＝０是 函数ｙ３ 的拐点．因此，基于函 数ｙ３ 的 连 续 性，可 以 定义００ 取值为１．
（ａ）－１＜ｘ ＜１
（ｂ）ｘ 在０附近
于是有 ｜ｆ′（０）｜＜ε， ｆ′（０）＝ ０．
欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍
学 教 学 ．Ｅｍａｉｌ：ｌｉｓｈｕｆｅｎｇ５１２＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ 张国铭（１９６０－），男，黑 龙 江 海 伦 人，教 授，从 事 数 学 分 析 和 实 变 函 数 教 学 与 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｚｇｍ１９６０＠１２６．ｃｏｍ
证法２ 因为ｆ′（０）存在，即 ｌｘｉ→ｍ０ ｆ（ｘｘ）－－０ｆ（０）＝ ｆ′（０），
第 １６ 卷 第 ５ 期 ２０１３ 年 ９ 月
辅导篇
高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
００ 应该等于多少
Ｖｏｌ．１６，Ｎｏ．５ Ｓｅｐ．，２０１３
赵 小 艳 ，刘 康 民 ，李 换 琴
（西安交通大学 数学与统计学院，陕西 西安 ７１００４９）
摘 要 利用高等数学中的极限和连续思想，借助几个幂指函数及其图形，说明００ 没有意义．
图１ 函数ｙ ＝ｘｘ
取函数
１
（ ） ｙ４ ＝
π ２
－ａｒｃｔａｎｘ
， ｌｎ（１＋ｘ）
计算ｘ ＝１０，１００，１０００，… 无限增大时的函数值．
图２（ａ）是函数ｙ４ 在［１，１００］上的图形．可以发
现在ｘ ≥１０时曲线接近于水平直 线，因 此，限 定 自
变量ｘ 的取值为［１，１０］，如图２（ｂ）．
（ａ）１＜ ｘ ＜１００
［２］李继成．数 学 实 验 ［Ｍ］．北 京：高 等 教 育 出 版 社，２００６：
１３－１６．
第 １６ 卷 第 ５ 期 ２０１３ 年 ９ 月
高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖｏｌ．１６，Ｎｏ．５ Ｓｅｐ．，２０１３
偶函数在零点处导数为零的六种解法
李 淑 凤 ，张 国 铭
（ｂ）１＜ｘ ＜１０ 图 ２ 函数ｙ４
从图２可见，当ｘ 越 来 越 大 时 函 数 值 越 来 越 接
近 于 某 一 常 数 ．事 实 上 ，运 用 高 等 数 学 中 求 解 幂 指 函
数极限的方法和 Ｌ’Ｈｏｓｐｔｉａｌ法则等相关知识，可得
ｌｉｍｙ４ ＝ｅ－１ ≈０．３６７９．
ｘ→＋∞
如果考虑函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ４ 的连续性，可定义００ 的值为ｅ－１．
根据函数极限的定义，对任意的ε＞ ０，存在δ ＞ ０， 当０＜｜ｘ－０｜＜δ 时，有
ｆ（ｘｘ）－－０ｆ（０）－ｆ′（０） ＜ε， 又 当 ０ ＜｜ｘ－０｜＜δ 时 ，亦 有 ０ ＜｜－ｘ－０｜＜δ， 因此