6-2相似矩阵与矩阵的相似对角化资料

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线性代数与空间解析几何
例1 判别下列矩阵能否对角化？若能，求可逆阵P.
1 1 1 (1) A1 1 1 1
1 1 1
解 A1是上节例2 中的矩阵,求得其特征值为0, 0, 3,
对应特征向量为 1 (1,1,0) , 2 (1,0,1) , 3 (1,1,1) ,
线性无关，所以A1可对角化，
设对应于特征值1,2,,m ,的线性无关特征向量分别为
11 ,12 ,,1k1 , 21 , 22 ,, 2k2
，…，
m1
,m2
,,mkm
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线性代数与空间解析几何
由性质6.1.4知它们是线性无关的,且是A的特征向量组 的极大无关组. 即A的线性无关的特征向量有且只有 k1 k2 km个。 根据定理6.2.2知
由(# )式 , 有 AP PD
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线性代数与空间解析几何
即
1
A p1
p2
pn p1
p2
pn
2
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n
或 Ap1 Ap2 Apn 1 p1 2 p2 n pn
即 Api i pi (i 1,2,,n)
因为 pi 0. 1 ,, n为A的特征值 .且p1 , p2 ,, pn
注：逆命题不成立。
例如,A
1 0
1 1 与E
1 0
0 1
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线性代数与空间解析几何
1
D
2
的全部特征值
:
1
,
2
,
,
n
.
n
推论 若n阶方阵A与对角阵D相似，则A的全部特征
值为 1 , 2 , , n .
问题：(1)方阵可对角化的条件 ;
(2)如果方阵 A会对角化 ,即存在可逆矩阵 P 及对角矩阵 D,使得 P 1 AP D, 那么 , 如何求矩阵 P和 D呢 ?
[1
2
3
]
1 1 1
0
令
P 1,
2 ,
3
1
0
1 ,
有
P1
A1
P
0
.
0 1 1
3
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线性代数与空间解析几何
4 2 5 (2) A2 6 4 9
5 3 7
4 2 5 I A2 6 4 9
5 3 7
1 2 0, 3 1
( 1) 2 0
1 2 0,
4 2 5 0I A2 A2 6 4 9 ,
4 2 3 特征值为-1, -1, 1,
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线性代数与空间解析几何
A可对角化 特征值-1的几何重数为2 对应于特征值-1，有2个线性无关的
特征向量； ( I A)x 0有2个线性无关的解，
即基础解系含2个向量；
3 r( I A) 2;
r( I A) 1;
4 2 2
特征值λi 对应ti 个线性无关的特征向量． (2)Ｐ中的列向量 p1, p2 ,, pn的排列顺序要与
1,2 ,,n 的顺序一致．
(3) 因 pi是 (i I A) x 0的基础解系中的解向量， 故 pi的取法不是唯一的，因此P 也是不唯一的．
(4) 又 i I A 0 的根只有n个(重根按重数计算) 所以若不计λi 的排列顺序,对角阵是唯一的.
A可对角化 k1 k2 km n
k1 k2 km n1 n2 nm ,
由性质6.1.5知 ki ni (i 1, 2,, m), 所以，A可对角化 ki ni (i 1, 2,, m).
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注 (1) 推论6.2.2也可描述为 n阶矩阵A可相似对角化当且仅当A的每个ti 重
依次为对应的特征向量 . 必要性得证
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线性代数与空间解析几何
推论6.2.1 如果n阶矩阵A有n个不同的特征值， 则矩阵A可相似对角化.
推论6.2.2 n阶矩阵A可相似对角化 A的每个特
征值的几何重数等于它的代数重数.
证明 设矩阵Ａ的不相同的全部特征值为 1, 2 ,, m ,
代数重数分别为 n1 , n2 ,, nm , (n1 n2 nm n); 几何重数分别为 k1 , k2 ,, km .
r(I
A)
r
k
0 k 1
k 0. 4 2 2
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当k=0时，
3 2 2
A 0 1
0
4 2 3
对于特征值-1，可求得线性无关的特征向量 1 (1, 2,0) , 2 (1,0, 2) ,
对于特征值1，可求得特征向量
3 (1,0,1) , 1 1 1
令P
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二、矩阵可对角化的条件
线性代数与空间解析几何
定理6.2.2 (矩阵可对角化的充要条件)
n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量.
证 "",设A可对角化 ,即存在可逆矩阵 P使得
1
P 1 AP
2
记为 D
(#)
n
设P按列分块为 P p1 p2 pn
由 P可逆知向量组 p1 , p2 , , pn线性无关 ,
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定理 6.2.1 设n阶方阵A、B相似，则 P 1 AP B
(1) |A | = | B |; (2) r(A)=r(B);
(3)A与B有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值。 (4)若A与B都可逆，则 A1 B1.
证(3)： | I B | | I P 1AP | | P 1( I A)P | | P 1 | | I A | | P | | I A |
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第二节 相似矩阵与矩阵的相似对角化
作业 习题6.2（A）P228
5(1),(2),7,14(2),(3),15
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一、相似矩阵
定义6.2.1(相似矩阵) 设A、B都是n阶方阵， 若有可逆矩阵P,使得
P 1 AP B 则称A相似于B ，或A与B相似，记作A～ B， 对A进行运算 P 1 AP 称为对A进行相似变换， 如果A与一个对角阵相似，则称A可相似对角化， 简称为A可对角化。 注：矩阵的相似关系具有自反、对称及传递性。
5 3 7
r( A2 ) 2.
故对应与特征值0的线性无关的特征向量只有一个， 所以A2不可对角化。
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例2 k取何值时，矩阵
3 2 2
A k
1
k
4 2 3
相似于对角阵？并在A可对角化时，求可逆阵P，使其
化为对角阵。
解 先求特征值。
3 2 2
I A k 1 k ( 1)2 ( -1） 0