根轨迹法(自动控制基本知识)

可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
规则1：起点和终点
➢ 根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。
因为根轨迹是闭环特征方程的根，当K=0时方程的根就是 它的n个开环极点，当K→∞时方程的根就是它的m个开环 零点。
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第4章 根轨迹法
➢ 当n=m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，正好终止于 个开环零点。
➢ 当n>m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，有m支终止 于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。 因为，终点就是K→∞的点，要K→∞只有两种情况，一种 是s=zl，另一种是s→∞。这时，无穷远处也称为“无穷远 零点”。
➢ 当n<m时，终止于m个开环零点m支根轨迹，有n支来自n 个开环极点，有m-n支来自无穷远处。 必需指出，实际系统极少有n<m的情况。
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第4章 根轨迹法
规则2：分支数和对称性
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➢ 根轨迹一定对称于实轴，并且有max(n，m)支。
因为根轨迹是闭环特征方程的根，无论K如何变化特征方
程始终有max(n，m)个根，即使出现重根，当K从零到无
首先在s平面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成 的曲线就是根轨迹。然后反过来，再按幅值条件即可以求 出根轨迹上任意一点所对应的K值。
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第4章 根轨迹法
4.2 绘制典型根轨迹
❖ 现有的绘制根轨迹图的方法分为三类：
➢ 1)画概略图。这种方法适合调试现场的应急分析、项目开 始的粗略分析等不要求很精确的场合。熟悉了根轨迹的 基本规则后，很快就可以画出概略图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
规则6：根轨迹的分离点
❖ 当从K零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离， 这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或
零点）之间可能有分离点。对实际系统，依据规则1～4基
那么该段就一定是根轨迹的一部分。
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第4章 根轨迹法
❖ 该规则用相角条件可以证明，设实轴上有一试验点s0。 ➢ 任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2，p3），与其对应的
相角（如θ2，θ3）之和均为360°，也就是说任一对共轭开环 零、极点不影响实轴上试验点s0的相角条件。 ➢ 对于在试验点s0左边实轴上的任一开环零、极点，与其对应 的相角（如θ4，φ3）均为0。 ➢ 而试验点s0右边实轴上任一开环零、极点，与其对应的相角 （如θ1，φ1，φ2）均为180°。 所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必 须是奇数。
以下列4阶系统为例说明，该系统开环传递函数为：
G(s)H(s)
K(s z1 )
(s p1 )(s p2 )(s p3 )(s p4 )
➢ 先在复平面上标出开环极点p1，p2，p3，p4和开环零点z1。
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第4章 根轨迹法
➢ 再取一试验点s，如果它在根轨迹上就应满足相角条件 ： 1 1 2 3 4 (2k 1)180 k 0,1,2,
➢ 当n≠m时，根轨迹存在|n－m|支渐近线，且渐近线与实轴
的夹角为：
k
(2k 1)1800 nm
,
k 0,1,2,,| n m | 1
所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为
n
m
pi zl
i1
l 1
nm
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第4章 根轨迹法
规则4：实轴上的根轨迹
➢ 实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中 任一段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，
量出或计算出各个角度，就可判断点s是否在根轨迹上。判 别了一个试验点，接着再判别其它试验点 … 。
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第4章 根轨迹法
2.绘制根轨迹的基本规则
❖ 用试验点的办法作图工作量十分巨大，而且对全貌的把 握也很困难。要又快又准的绘制根轨迹图，可利用它的 一些基本规则。概括起来，以开环增益 K 为参变量的根 轨迹图主要有下列基本规则：
➢ 2)图解加计算画准确图。此方法不仅繁琐，精度也差，在 实际应用中已逐步淘汰。
➢ 3)计算机绘制精确图，目前主要指用Matlab工具绘制根轨 迹图。它准确快捷，短时间内可以对多个可调参数进行 研究，能够有效地指导设计与调试。
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第4章 根轨迹法
1.开环零极点与相角条件
❖ 以开环增益K为参变量的根轨迹，它是最基本、最常用的 根轨迹，为了便于区别将其称之为‘典型根轨迹’。
❖ 根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴的夹角称为出 射角；根轨迹进入某个开环零点的切线与实轴的夹角称为 入射角。用相角条件不难证明，
➢ 根轨迹从开环极点pi出发的出射角为：
pi
180
m
( pi
j 1
zj)
n
( pi
j 1
p
j
)
ji
➢ 根轨迹进入某个开环零点Zl的入射角为：
zl
180
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第4章 根轨迹法
❖ 当开环增益K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面 (复平面)上移动画出的轨迹图即根轨迹图。从上述根轨迹图 中可以看到：
➢ 当0<K<0.385时三个闭环极点都是负实数；当K>0.385时有 两个闭环极点成为共轭复数。
➢ 只要0<K<6闭环系统一定稳定，一但K值给定，如K=1.2，3 个闭环极点就是3支根轨迹上3个特定点。
G(s)H(s) 1
这就是根轨迹的基本条件。
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❖ 满足根轨迹上点的基本条件，又可分别表示为，
幅值条件:
G(s)H(s) 1
相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)180 k 0,1,2,
➢ 因为在s平面上，给定了幅值和相角，就可对应一个固定的 点。所以在s平面上，既满足幅值条件又满足相角条件的点 就是根轨迹上的一个点，它对应的s值就是特征方程的一个 根，也就是一个闭环极点。
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第4章 根轨迹法
➢ 绘制根轨迹曾经是枯燥繁琐的工作， MATLAB的 出现使这项工作变得轻松愉快，如今在计算机上 一分钟就能绘制一张精确的根轨迹图。
➢ 本章注意继承传统根轨迹法中的精华，也注意吸 纳根轨迹法的最新进展。具体选材上，侧重根轨 迹的相角条件和基本规则，主推MATLAB绘制根 轨迹，突出如何有效地运用根轨迹法。
穷大连续变化时重根不可能始终为重根，所以根轨迹一定 有max(n，m)支。
特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是共轭复根 （对称于实轴），所以根轨迹一定对称于实轴。
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规则3：渐近线
❖ 当n>m时，根轨迹一定有n－m支趋向无穷远；当n<m时， 根轨迹一定有m－n支来自无穷远。可以证明：
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规则5：根轨迹与虚轴的交点
❖ 根轨迹与虚轴的交点是临界稳定点。将s=jω代入闭环特征 方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出ω0 和K0 。用劳斯（Roth）判据也可以求得K0 。 规则6：根轨迹的分离点
❖ 当从K零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离， 这样的点称分离点。分离点对应重闭环极点。
特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进
行定性分析和定量计算。
➢ 根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则， 广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及 系统性能指标。
➢ 介绍了如何利用MATLAB绘制系统的根轨迹。
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第4章 根轨迹法
❖ 线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统 特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动 态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开 环增益是改变闭环极点的常用办法。
1 K (s z1 )(s z2 )....(s zm ) 0 (s p1 )(s p2 )....(s pn )
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➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
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第4章 根轨迹法
❖ 1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它 不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭 环特征根。
所谓根轨迹，就是系统的某个参数连续变化时， 闭环特征根在复平面上画出的轨迹。如果这个参 数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开 环增益找到相应的闭环特征根；也可以根据期望 的闭环特征根确定开环增益。
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第4章 根轨迹法
➢ 用根轨迹法分析控制系统时，主要是研究系统的一个可调 参数的变动对系统闭环极点的影响，而最常见的可调参数 就是开环增益K。
➢ 如果令G(s)=KG0(s)，显然K的变动只影响幅值条件，不影响 相角条件。也就是说，根轨迹上的所有点都满足相同的相 角条件且不受K值变动的影响，但其幅值与K 值有关。所以， 绘制根轨迹可以这样进行：
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第4章 根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制典型根轨迹 4.3 特殊根轨迹图 4.4 用MATLAB绘制根轨迹图 4.5 控制系统的根轨迹分析
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第4章 根轨迹法
内容提要
➢ 根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零
极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
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第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
本就能确定有无分离点。
➢ 基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，分离点的座标λ， 是下列代数方程的解：
n1
m1
i1 pi l1 zl
必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件。也就是
说，方程的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它
规则。
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第4章 根轨迹法
规则7：根轨迹的出射角和入射角
m
(
j 1
zl
zj)
n
(zl
j 1
p
j
)
jl
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❖ 上述规则对绘制根轨迹很有帮助，根据规则1～4就能很快 地画出大致形状，再按规则5求出临界增益K0，这样的根轨 迹图就很有用了，一般称其为概略图。
除非系统阶次很低，否则根据规则6，求解方程求分离点决 非易事；根据规则7，计算出射角和入射角也不简单，并且 出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、
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4.1 根轨迹的基本概念
1.什么是根轨迹
❖ 考虑图示负反馈控制系统，设其开环传递函数为：
G(s)H(s) K s(s 1)(s 2)
则该系统的闭环特征方程为：
s3 3s2 2s K 0
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第4章 根轨迹法
➢ 当K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面(复平面)上 画出的根轨迹如图所示。
零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。
所以，画根轨迹最有用的是规则1～5，如果想得到更精确的 根轨迹图，只有使用Matlab。
➢ 仍分析前面图示的负反馈系统，设其开环传递函数为：
G(s)H(s) K(s z1)(s z2 )....(s zm ) ，K 0 (s p1 )(s p2 )....(s pn )
p1，p2，…pn为开环极点；z1，z2，…zm为开环零点。 ➢ 这样，系统的闭环特征方程就可以表示为：