求偏导数的三种方法分析

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利用全微分求函数的偏导数的技巧

利用全微分求函数的偏导数的技巧
一、什么是全微分求导
全微分求导，也称为多元微积分方法，是一种多元微积分中计算函数
的偏导数的方法。

它以函数为“全变量函数”的形式，而不是单变量函数，以多变量的方式描述变化。

它通过使用每个变量对函数的偏导数之间的关系，同时对函数的每个变量求偏导数，最终获得函数的偏导数。

二、全微分求偏导数的具体步骤
1.根据函数的模式，将变量分解成独立的变量计算。

2.求出每个变量的偏导数。

3.把每个变量的偏导数结果加起来，得到函数的偏导数。

三、全微分求偏导数的具体应用
1.全微分求偏导数可用于求解多元函数的最大值或最小值。

例如：
f(x,y)=3x^2+4y，其中x与y可以分别求出偏导数，最终得到f(x,y)的
偏导数。

2.全微分求偏导数可用于求解多维变量的偏导数。

例如：
f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^3+x3^4，可以将x1、x2、x3分别求出偏导数，最
后加起来就是f(x1,x2,x3)的偏导数。

3. 全微分求偏导数可用于求特殊形式函数的偏导数。

例如：
f(x,y,z)=xtan(yz)，可以先将函数的每个变量求偏导数，最后将结果加
起来就是函数f(x,y,z)的偏导数。

四、全微分求偏导数的好处
1.全微分求偏导数法可以计算出函数的偏导数。

高数多元函数微分学-偏导数

但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
13
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
如图
14
几何意义:
偏导数 f x ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0
x 所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0Tx 对轴的
当( x , y ) (0,0)时,
( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0)
求 f ( x , y )的二阶混合偏导数 .
解
3 x 2 y( x 2 y 2 ) 2 x x 3 y 3 x2 y 2 x4 y f x ( x, y) 2 2 2 2 2 2 2 2, (x y ) x y (x y ) x3 2 x3 y2 f y ( x, y) 2 2 2 2 2, x y (x y )
( y | y |)
2
| y| 2 . 2 x y
7
z y
1 x 1 2 x y2
2
x x2 y2 yห้องสมุดไป่ตู้

x2 y2 ( xy ) 2 2 3 | y| (x y )
( y 0)
x 1 2 sgn 2 x y y
z 2 z z 2 z f xy ( x , y ), f yx ( x , y ) y x xy x y yx
纯偏导
混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
16
例6
设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1 ，

偏导数的定义及其计算法

f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0 偏导函数的符号
f z z f ( x , y ) >>> , , , 或 . x x x x
偏导函数
f ( x x , y ) f ( x , y ) 0 0 0 0 . f ( x , y ) lim x 0 0 x x 0 f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0
其中(x, y, z)是函数uf(x, y, z)的定义域的内点.
偏导函数
f ( x x , y ) f ( x , y ) 0 0 0 0 . f ( x , y ) lim x 0 0 x x 0 f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0
二、高阶偏导数
二阶偏导数如果函数zf(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数zf(x, y)的二阶偏导数. 函数zf(x, y)的二阶偏导数有四个
其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数.
f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0 f ( x x , y ) f ( x , y ) . f ( x , y ) lim x x x 0
存在, 则称此极限为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作
2 2 z z z z ( ) f ( x , y ) , , ( ) f ( x , y ) xy xx 2 y x x y x x x 类似地, 可定义函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.>>>

求隐函数偏导数的三种方法

求隐函数的偏导数有三种常用的方法
1. 全微分法：利用全微分的定义，即对于一个自变量和因变量之间的函数关系，将其看作是多个自变量的函数关系，然后对其进行求导。

该方法适用于方程形式简单，且易于进行全微分的情况。

2. 参数法：采用参数将隐函数表示出来，然后对参数进行求导。

具体的做法是引入新的参数，使得原方程式可以表示为参数方程式，然后对参数方程式进行求导。

这种方法适用于将隐函数表示为参数方程式较为容易的情况。

3. 直接求导法：将隐函数视为一个整体，直接对方程式两边进行求导。

首先求出隐函数对于一个自变量的导数，然后通过链式法则等方法将其转化为对其他自变量的导数。

这种方法适用于函数关系比较复杂，无法简单表达为参数方程式的情况。

这些方法可以根据具体的隐函数形式和求导的难度选择合适的方法进行求解。

多元函数的偏导数与全微分的计算及应用

多元函数的偏导数与全微分的计算及应用多元函数是指具有多个自变量的函数，其偏导数与全微分的计算和应用是数学分析中重要的概念和工具。

本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。

一、多元函数的偏导数计算多元函数的偏导数是指函数对于某个自变量的变化率。

对于一个自变量的偏导数，我们将其他自变量视为常数。

偏导数的计算方法如下：1. 对于一个自变量的偏导数：对于函数f(x1,x2,...,xn)，我们对第i个自变量求偏导数，表示为∂f/∂xi。

2. 对于多个自变量的偏导数：对于函数f(x1,x2,...,xn)，我们对多个自变量同时求偏导数，表示为∂f/∂xi,...,∂f/∂xn。

需要注意的是，多元函数的偏导数存在交换律，即求任意两个自变量的偏导数的次序可以交换。

二、多元函数的全微分计算多元函数的全微分是指函数在某一点附近的线性近似，表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。

全微分可以看作是偏导数的线性组合，其中∂f/∂xi表示函数对第i个自变量的灵敏度，dxi表示自变量的变化量。

三、多元函数的偏导数与全微分的应用1. 最值问题：通过计算偏导数，可以找到函数的局部极大值和极小值。

当偏导数为零或不存在时，可能存在驻点或临界点，进一步分析可以确定最值点。

2. 泰勒展开：通过计算全微分，可以得到函数在某一点附近的二阶导数信息，进而展开为泰勒级数，用于函数的近似计算。

3. 线性化分析：通过计算全微分，可以将非线性问题线性化处理，简化问题的求解过程。

在工程和科学领域中，常常使用这种方法来解决复杂的非线性问题。

4. 向量场与梯度：多元函数的梯度可以看作是一个向量场，表示了函数在各个方向上的变化率。

通过计算梯度，可以揭示函数在不同方向上的变化规律。

5. 链式法则：当函数的自变量是另一个函数的输出时，可以使用链式法则计算偏导数和全微分。

多元函数的偏导数与方向导数的计算与应用

多元函数的偏导数与方向导数的计算与应用1. 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指在多元函数中，当只针对其中一个自变量进行微分时，其他自变量视为常数，从而得到的导数。

偏导数的计算是通过链式法则实现的。

偏导数的计算方法如下：- 对于函数 $f(x, y)$，求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 时，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 进行求导。

- 对于函数 $f(x, y)$，求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 时，将 $x$ 视为常数，对 $y$ 进行求导。

例如，对于函数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$，我们通过偏导数计算可以得到$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x + 2y$。

2. 多元函数的方向导数多元函数的方向导数表示函数在某一方向上的变化率。

方向导数的计算与偏导数类似，只是需要引入方向向量。

假设有一个函数 $f(x, y)$，在点 $(x_0, y_0)$ 处沿着方向 $\mathbf{v} = (v_1,v_2)$ 的方向导数可以通过以下公式计算：$$D_\mathbf{v} f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot v_1 +\frac{\partial f}{\partial y} \cdot v_2$$例如，对于函数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ 在点 $(1, 2)$ 处沿着方向$\mathbf{v} = (2, -1)$ 的方向导数可以通过如下计算得到：$D_\mathbf{v} f(1, 2) = \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) \cdot 2 + \frac{\partialf}{\partial y}(1, 2) \cdot (-1)$3. 多元函数的偏导数与方向导数的应用多元函数的偏导数和方向导数在实际应用中具有广泛的意义，以下列举几个应用方面：- 线性近似：通过偏导数和方向导数可以进行线性近似，即将一个复杂的多元函数近似为一个线性函数，从而简化问题的求解过程。

偏导数的定义及其计算法

偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上的变化率的一种度量，它描述了函数在其中一方向上的变化速率。

偏导数的定义非常简单，它是将函数的其他自变量视为常数，而对其中一自变量求导得到的导数。

对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以用∂f/∂xi 或者 fxi 来表示，其中∂表示偏导数的符号，xi 表示自变量 xi 的偏导数。

偏导数的计算方法基本与一元函数的导数计算类似，但在计算过程中需要将其他的自变量视为常数。

举个例子来说明偏导数的计算：假设有一个二元函数f(x1,x2)=x1^2+x2^2，我们要计算该函数关于自变量x1的偏导数∂f/∂x1在计算过程中，我们将x2视为常数，即f(x1,x2)=x1^2+C^2，其中C 表示x2的常数值。

然后我们对f(x1,x2)关于x1求导数，得到f'(x1,x2)=2x1、最后得到∂f/∂x1=f'x1=2x1，即关于x1的偏导数。

在实际应用中，偏导数常常用于优化算法、极值问题的求解等方面。

在多元函数中，偏导数的大小和符号可以用于判断函数的变化趋势和极值点的位置。

除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数。

高阶偏导数描述的是函数对自变量一次、二次、三次...的变化率。

例如，二元函数的二阶偏导数就是对一阶偏导数再次求导，即∂^2f/∂x1^2，表示f(x1,x2)对x1的变化率的变化率。

对于多元函数而言，偏导数的计算可以推广到n阶偏导数，并且可以使用偏导数的混合形式。

例如，对于三元函数f(x1,x2,x3)，我们可以计算∂^2f/∂x1∂x2，表示对x1求偏导后再对x2求偏导。

总结来说，偏导数是多元函数关于其中一自变量的变化率的度量。

计算偏导数的方法与一元函数的导数计算类似，但需要将其他自变量视为常数。

偏导数在实际应用中具有广泛的用途，如优化算法、极值问题的求解等。

除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数和混合偏导数。

求偏导知识点总结

求偏导知识点总结1. 偏导数的定义偏导数的定义相对于函数的变量而言，是指在其他变量保持不变的情况下，函数对某一变量的变化率。

假设有一个由两个自变量 x 和 y 组成的函数 z=f(x,y)，在某个点（a,b）处的偏导数，表示对于 x 的变化率和对于 y 的变化率。

偏导数通常用∂z/∂x 表示对 x 的偏导数，用∂z/∂y 表示对 y 的偏导数。

2. 偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质，它们可以帮助我们更好地理解和应用偏导数。

（1）如果函数 z=f(x,y) 在某一点处可微分，那么在这一点处偏导数存在。

（2）偏导数的交换律：如果函数 f(x,y) 的偏导数∂z/∂x 和∂z/∂y 都存在且连续，那么∂z/∂x 与∂z/∂y 的交换组合也存在，并且两者相等。

（3）混合偏导数：如果函数 f(x,y) 在某一点处具有偏导数∂z/∂x 和∂z/∂y，那么这两个偏导数的混合偏导数∂^2z/(∂x∂y) 和∂^2z/(∂y∂x) 都存在，并且相等。

3. 偏导数的计算方法计算偏导数的方法和计算常规一元函数的导数有些不同。

对于二元函数 z=f(x,y)，求偏导数∂z/∂x 时，我们将 y 视为常数，对 x 求导；求偏导数∂z/∂y 时，我们将 x 视为常数，对y 求导。

例如，对于函数 z=x^2*y+sin(x)，求∂z/∂x 和∂z/∂y，分别视 y 和 x 为常数，计算出对 x 和对 y 的偏导数。

4. 偏导数的几何意义在二元函数的图像中，偏导数有一些很有趣的几何意义。

对于函数 f(x,y) 在某一点（a,b）处的偏导数∂z/∂x，可以理解为函数在 x 轴方向上的斜率，即函数在沿 x 方向的增加（或减小）时 z 的变化速率。

类似地，对于函数 f(x,y) 在某一点（a,b）处的偏导数∂z/∂y，可以理解为函数在 y 轴方向上的斜率。

在实际应用中，偏导数可以提供很多有用的信息。

例如，在经济学中，偏导数可以用来描述不同市场因素对价格的影响；在物理学中，偏导数可以用来描述多变量物理量的变化规律；在工程学中，偏导数可以用来解决多变量约束条件下的最优化问题。

求偏导数的公式法

求偏导数的公式法偏导数是多元函数在其中一点的偏倚率，是研究多元函数的导数性质的重要工具。

求解偏导数可以使用公式法，这是一种简洁而有效的方法。

在本篇文章中，我们将详细介绍偏导数的公式法，以便读者能够深入了解和掌握该方法。

一、偏导数的定义和意义偏导数是多元函数在其中一点关于一些自变量的导数。

对于具有n个自变量的函数f(x1,x2,...,xn)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂xi其中，∂表示偏导数的符号，f表示被求导的函数，xi表示自变量中的第i个。

偏导数描述了函数在该点沿着xi方向的变化率。

偏导数的意义是研究多元函数在其中一点的局部变化情况。

通过分别计算各个自变量的偏导数，我们可以了解到函数在不同自变量方向上的变化特征，进而研究函数的极值、拐点等重要性质。

偏导数的公式法是求解偏导数的一种便捷方法。

它通过使用一些常用函数的导数公式和运算规则，将多元函数的偏导数转化为一元函数的导数问题。

以下是常见的多元函数和它们的偏导数公式：1. 常数函数：对于f(x1,x2,...,xn) = C（C为常数），其所有偏导数都为0，即∂f/∂xi = 0。

2. 一次线性函数：对于f(x1,x2,...,xn) = a1x1+a2x2+...+anxn （a1, a2, ..., an为常数），其偏导数为∂f/∂xi = ai。

3. 幂函数：对于f(x1,x2,...,xn) = x^a（a为常数），其偏导数为∂f/∂xi = a * x^(a-1)，即对指数a进行减1操作，并将其作为系数乘到x的a-1次幂上。

4. 指数函数：对于f(x1,x2,...,xn) = exp(x)（自然指数函数），其偏导数为∂f/∂xi = exp(x)（自然指数函数本身的值）。

5. 对数函数：对于f(x1,x2,...,xn) = ln(x)（自然对数函数），其偏导数为∂f/∂xi = 1/x。

6.三角函数：对于正弦函数和余弦函数，其偏导数规则如下：∂sin(x)/∂xi = cos(x)，∂cos(x)/∂xi = -sin(x)。

差分方程的偏导__概述说明以及解释

差分方程的偏导概述说明以及解释1. 引言1.1 概述差分方程是描述离散时间变化的数学方程，具有广泛的应用价值。

在实际问题中，许多现象的发展都可以通过差分方程加以描述和解决。

然而，在一些复杂的情况下，仅使用差分方程可能无法完全准确地表示系统变化。

因此，我们需要引入偏导数这一概念，通过对差分方程进行偏导，从而更加精确地描述系统状态的演化过程。

1.2 文章结构本文将首先介绍差分方程的定义和性质，并提出偏导数的基本概念。

随后，我们将详细解释了差分方程中偏导数的计算方法，包括前向差分法、后向差分法和中心差分法。

接着，在第四部分，我们将通过案例讨论来说明偏导数在求解差分方程中的实际应用。

具体包括热传导方程中的偏导数应用、物种扩散模型中的偏导数应用以及经济增长模型中的偏导数应用。

最后，在结论与总结部分对文章内容和主要观点进行总结，并展望未来相关研究方向和发展趋势。

1.3 目的本文旨在深入介绍差分方程中偏导数的概念和计算方法，并展示偏导数在实际应用中的重要性。

通过对不同领域中相关问题的案例讨论，我们希望读者能够更好地理解和运用偏导数这一工具，从而提高问题求解的准确性和效率。

同时，本文也为进一步研究差分方程和偏导数的应用提供了基础和参考。

2. 差分方程的偏导概述部分的内容如下：2.1 差分方程的定义与性质差分方程是一种使用差分算子来描述函数变化率的离散数学模型。

它在许多科学和工程领域中有广泛的应用，特别是在数值计算和动态系统建模中。

差分方程是通过将连续函数离散化来获得的，其中时间或空间被离散成有限个点。

差分方程通常具有初始条件和边界条件，并可以用来预测离散时间或空间上函数的行为。

在差分方程中，偏导数像微积分中一样起着重要作用。

偏导数表示函数对于其中一个自变量（通常是时间或空间）的变化率。

它告诉我们函数在某个点上沿着某个自变量方向上的斜率。

与连续函数不同，差分方程中的偏导数需要进行适当处理才能进行计算。

2.2 偏导数的基本概念在连续函数情况下，我们可以使用极限定义来计算偏导数。

10第二节偏导数

数,对 y 仍用一元函数求导法求偏导.
例 1 求 z x 2 3 xy y 2 在点(1, 2) 处的偏导数．
先求偏导数再代入具体点. 解
zx 2 x 3 y ; z y 3 x 2 y ,
z x (1,2) 8, z y (1,2) 7.
事实上,有时有：
解 z( x ,2) x 2 6 x 4, z x (1,2)
z(1, y ) 1 3 y y , z y (1,2)
2
7.
x , 求 f x ( 2,1) . 例2 设 f ( x , y ) x ( y 1) arcsin y
解 f ( x ,1) x , f x ( x ,1) 1,
一、偏导数的定义及其计算法
1、偏增量的概念
设 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某个邻域内有定义，
当 x 从 x0 取得改变量 x ( x 0),
而 y y0 保持不变时，函数 z 得到一个改变量
x z f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 称为 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 关于 x 的偏增量.
多元函数中在某点连续
例如函数 f ( x , y )
x y
2 2
偏导数存在，
在(0,0) 处连续，
但 f x (0,0) , f y (0,0) 不存在.
连续
xy 2 2 , x y 0 2 2 又例如函数 f ( x , y ) x y , 0, 2 2 x y 0 在(0,0)处连续也可求偏导数.
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x

偏导数原理及相关计算

f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.
2 z e x2y 2 x 2 2 z z x2y 4 e x2y 2e 2 y x y 3 2 z z ( ) 2 e x2y y x 2 x y x
3 z 的二阶偏导数及 . 2 y x z 2 e x2y y 2z 2 e x2y x y
x0 x
x0
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
称其为甲商品关于自身价格 p2的边际需求；
Q2 p1
Q2 Q1 Q1 的边际解释可与的边际解释类似. p2 p1 p2
三、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )

所以，曲线在1,1, 3 处的切线与 y 轴正向所成的倾角为 3 tanபைடு நூலகம் . 3 6

第83节多元函数的偏导数

直接对 z ln[sin( xy ) x 2 y ]求关于两个初始变元偏导数, 所以
z 1 y cos( xy ) 2 x [cos( xy ) y 2 x ] 2 2 x sin( xy ) x y sin( xy ) x y z 1 x cos( xy ) 1 [cos( xy ) x 1 ] . 2 2 y sin( xy ) x y sin( xy ) x y
方法二将 u, v 先代入得到 z 关于 x 的一元函数 z ln(sin x x 2 )，
然后利用一元函数求导方法直接计算得
d z cos x 2 x 2 (ln(sin x x ) ) . 2 d x sin x x
例7 设 Q f ( x, xy, xyz )，且 f 的所有一阶偏导数都连续，求此
求二元函数的偏导数并不需要新的方法，这仍然是一元函数的求导问题:
f (1)求时把y 视为常数而对x求导; x f (2)求时把x视为常数而对y求导. y
例2 求 z x 2 3 xy y 2 在点 (1,2) 处的偏导数．
z z 解 x 2 y , 2 3 x3y, x y z z 所以 2 1 3 2 8 , 1 2 2 7 . x1 x 1 3 x y2 y y2
例5
z z z ln( u v ), u sin( xy ), v x y ，求， . x y
2
解方法一 u y cos( xy ) ， u x cos( xy)， v 2 x , v 1, 所以
x
y
x
y
z z u z v 1 1 y cos xy ) 2 x y cos( xy ) 2 x 2 x u x v x u v u v sin( xy ) x y

偏导数的概念

f(x0,y0).
同样还可以举出函数在(x0,y0)点连续，而在该点的偏导数不存在的例子. 例如，二元函数 f ( x, y ) x 2 y 2 ，在点(0,0)处是连续的，但在(0,0)点偏导数不存在. 事实上，f ( x, y ) x 2 y 2 是初等函数，(0,0)点是定义区域内的一点，故f(x,y)在点(0,0)点是连续的. 固定y=0，让x→0，考察在(0,0)点处对x的偏导数.此时 f ( x,0) x 2 0 | x |，已知函数|x|在x=0处是不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在，同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.
类似地，可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数
为
z f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim . y ( x0 , y0 ) y0 y
又可记为
f , f y ( x0 , y0 )或z y ( x0 , y0 ). y ( x0 , y0 )
V R , T P T V . P R
P V T RT R V RT 2 1. V T P VP V P R
偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分
母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元 dy 函数导数记号是不同的，dy 可看成函数的微分dy dx dx 与自变量微分dx之商.
(x) 0 0 2 (x) 0 lim lim 0 0. x0 x0 x
原点(0,0)处对y的偏导数为
f (0,0 y ) f (0,0) f y (0,0) lim y 0 y
0 (y ) 0 2 0 (y ) lim lim 0 0. y 0 y 0 y

求偏导数的方法小结-求偏导数公式法

求偏导数的方法小结（应化2，闻庚辰，学号：130911225）一，一般函数：计算多元函数的偏导数时，由于变元多，往往计算量较大．在求某一点的偏导数时，一般的计算方法是，先求出偏导函数，再代人这一点的值而得到这一点的偏导数．我们发现，把部分变元的值先代人函数中，减少变元的数量，再计算偏导数，可以减少运算量。

求函数f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数f ’x(a,b)及f ’y(a,b)的方法是：1) 先求出偏导数的函数式，然后将（a,b ）代入计算即可.2) 先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g ’(b),h ’(a)便得到f ’x(a,b)和f ’y(a,b).3) 若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做.复合具体函数的导数求解:基本法则：x z∂∂=u z∂∂x u ∂∂+v z ∂∂x v ∂∂ y z ∂∂=u z∂∂y u ∂∂+v z∂∂y v ∂∂其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。

例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy ,求f ’x （1，1），f ’y （1，0）；法一：设u=x+y,v=xy,则z=u v 函数的复合关系为：z 是u,v 的函数，u,v 分别是x,y 的函数.则：x z∂∂=u z∂∂x u ∂∂+v z ∂∂x v ∂∂=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xy ln(x+y)=y(x+y)xy [)(y x x +ln(x+y)]f ’x (x,y)= y(x+y)xy [)(y x x ++ln(x+y)]所以：f ’x (1,1)=1+2ln2由于f(x,y)的表达式中的 x,y 依次轮换，即x 换y 成，同时将换y 成x ，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y 交换具有轮换对称性。

具有轮换对称性的函数，只要在f ’x 的表达式中将x,y 调换即得到f ’y 。

偏导数的定义及其计算法

= x cos(xy) − 2 cos(xy) ⋅[− sin(xy)]⋅ x
= x cos(xy) + 2x cos(xy) ⋅sin(xy)
∂z
∴
∂x
|x=0
y= π
= [ y cos(xy)
2
+ 2 y cos(xy) ⋅sin(xy)] |x=0
y=π 2
=π +0=π
2
2
∂z ∂y
|x=0
(1)
同样，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为
lim f (x0, y0 + Δy) − f (x0, y0 )
Δy →0
Δy
记作即
∂z ∂y
|x= x0
y=y0
,
∂f ∂y
|x= x0
y= y0
,
z y|x= x0
y= y0
或
f y (x0,y0 )
f y (x0, y0 )
∂V ∂T ∂p
证: ∵ ∵ ∵
p = RT V
V = RT p
T = pV R
∴ ∂p = − RT
∂V V 2
∴ ∂V = R
∂T p
∴ ∂T = V
∂p R
∴
∂p ⋅ ∂V ⋅ ∂T = − RT ⋅ R ⋅ V ∂V ∂T ∂p V 2 p R
= − RT pV
= −1
例6 求下列各函数在指定点的偏导数：
保证当P(x,y)以任意方式趋近P0(x0 ,y0)时，f(x,y)都趋近于f (x0 ,y0).
反例：例6 (1)
偏导数的几何意义复习一元函数导数
z = f (x, y)

偏导数的计算与应用

（四）隐函数偏导数的求解方法
(一) 一般多元（二元）函数偏导数求解方法
求函数是： 1．先求出偏导数的函数式，然后将 (a, b) 代入计算 2．先求出 g ( x) f ( x, b) 和 h( y) f (a, y), 再求出 g (b), h(a) 便得到
f x ( a , b ) 和 f y ( a , b )
AC 27 0,
A0
所以点 (1,1) 是函数的极小值点, f (1,1) 1 为函数的极小值.
2. 条件极值在条件 ( x1 , x2 , , xn ) 0, k 1, 2, , m(m n) 下，求函数
y f ( x1 , x2 , xn ) 的极值，下面以二元函数为例。
C f yy ( x0 , y0 )
f xx ( x0 , y0 ), B f xy ( x0 , y0 ) ，
，确定 B 2 AC 的符号,并判断 f ( x ) 是否有极值,若
有,计算其极值。 ① 当 B 2 AC 0 且 A 0 时 , 函数值 f ( x0 , y0 ) ；当 B 2 AC 0 且 A 0 时 , 函数值 f ( x0 , y0 ) ； ② 当 B 2 AC 0 时,函数 f ( x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处无极值； ③ 当 B 2 AC 0 时,函数 f ( x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处不确定，可能有极值,也可能无极值。
f ( x, y ) ，如 F ( x, y , z ) 存
f ( x , y ) ，再利用显函数
F 在连续偏导数，而且 z 0 ，则有偏导数公式
Fx z x Fz F x F ， z

偏导数的求法

偏导数的求法偏导数是多元函数的导数的一种形式，它是用来衡量函数在不同自变量方向上的变化率。

在数学和物理学中，偏导数广泛应用于求解方程组、优化问题以及描述物理过程等领域。

偏导数的求法可以通过求解单个变量的导数来实现。

当一个函数有多个自变量时，可以通过将其他自变量视为常数来计算偏导数。

偏导数的计算方法与一元函数的导数计算方法类似，只需将其他自变量视为常数即可。

下面我们将通过一个简单的例子来说明如何计算偏导数。

假设有一个二元函数 f(x, y) = 3x^2 + 2xy + 5y^2，我们要计算关于 x 的偏导数。

首先，我们将 y 视为常数，即将 y 当做一个已知的常量。

然后，我们对 x 进行求导。

根据导数的定义，我们可以将常数项视为 0，并将指数下降一个单位。

所以，偏导数的计算结果为 f/x = 6x + 2y。

同样的方法，我们也可以计算关于 y 的偏导数。

这次，我们将 x 视为常数，并对 y 进行求导。

根据导数的定义，我们将常数项视为 0，指数下降一个单位。

所以，偏导数的计算结果为 f/y = 2x + 10y。

这个例子展示了如何通过将其他自变量视为常数来计算偏导数。

对于具有多个自变量的函数，我们可以依次对每个自变量进行求导，从而得到它们的偏导数。

在实际应用中，偏导数经常用于优化问题和最小二乘法等数学建模中。

通过计算函数在不同方向上的变化率，可以找到函数的最小值或最大值。

此外，偏导数还在物理学中广泛应用于描述多变量系统的行为，例如热力学、流体力学和电磁学等领域。

总结起来，偏导数是多元函数的导数，用来衡量函数在不同自变量方向上的变化率。

通过将其他自变量视为常数，我们可以通过求解单个变量的导数来计算偏导数。

偏导数在数学和物理学中有着广泛的应用，对于求解方程组、优化问题和描述物理过程等领域起着重要作用。