数学模型与实验上级实验题目

数学模型与实验上级实验题目

1. 某工厂计划生产I 、II 、III 三种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，

（2）写出其对偶问题表达式，并计算对偶价格。

（3）若为了增加产量，可租用设备，租金800元/台时，租用设备是否划算？最多租用多少台时？

（4）若市场需求发生变化，生产产品I 减少利润0.5千元，此时生产计划是否需要改变？（用灵敏度分析的方法求解） 模型建立 问题一：

由数据可以看出，决策变量为生产三种产品（3,2,1=i ）所需要的材料和设备共有9个决策变量。由此分析，问题的目标函数为： Max z=321232x x x ++

约束条件：82321≤++x x x

162431≤+x x 122432≤+x x 模型求解

使用lingo 算出结果， 程序如下：

max =2*x1+3*x2+2*x3; x1+2*x2+x3<=8; 4*x1+2*x3<=16; 4*x2+2*x3<=12; x1>=0; x2>=0; x3>=0; end 结果：

得到结果4,1,2321===x x x 最大获利为15=z （千元）。

问题二：设设备和原材料价格A 、B 为)3,2,1(j y 目标函数：min w=32112168y y y ++

约束条件：2421≥+y y

34231≥+y y

222321≥++y y y Lingo 程序如下：

model :

min =8*y1+16*y2+12*y3; y1+4*y2>=2; 2*y1+4*y3>=3; y1+2*y2+2*y3>=2; end

结果如下：

对偶价格为：

设备1千元，原材料A250元，原材料B250元。问题三

由获利可得，租用设备是划算的。

程序如下：

model:

max=2*x1+3*x2+2*x3-0.8*x4;

x1+2*x2+x3-x4<=8;

4*x1+2*x3<=16;

4*x2+2*x3<=12;

x1>=0;

x2>=0;

x3>=0;

x4>=0;

end

结果如下：

运行结果可得最多租用两台，最大获利为15.4千元问题四

由以上结果可以看出x1系数允许的围是（1.0，2.5），而Ⅰ只减少0.5，变为1.5在允许的围，所以不用改变生产计划。

2．哈雷彗星。

哈雷彗星在1986年2月9日到达了近日点（最接近太阳的点，取太阳为原点），那时它的位置和速度分别为

00(0.325514,0.459460,0.166229)(9.096111, 6.916686, 1.305721)

P v =-=---

位置单位为AU(天文单位，取地球轨道的长半轴为单位距离)，时间单位为年。彗星的三维运动方程为

222232323

,,d x x d y y d z z

dt r dt r dt r μμμ=-=-=- 其中参数24μπ=，222r x y z =++。求微分方程的数值解，作出彗星三维轨道和彗星轨道在yz 平面的射影。由r 与t 的关系，计算彗星的远日点距太阳的距离，

预测下一次彗星到达近日点的时间。

3. 交通流均衡问题

某地有如图1所示的一个公路网，每天上班时间有6千辆小汽车要从居民区A 前往工作区D 。经过长期观察我们得到了图1中5条道路上每辆汽车的平均行驶时间和汽车流量之间的关系，如表1所示。那么，长期来看，这些汽车将如何在每条道路上分布？

道路 AB AC BC BD CD 行驶时流量20 52 12 52 20

间/min ≤2

2<流量≤3

30 53 13 53 30 3<流量≤4

40 54

14

54

40

图1 公路网示意图

4.某汽车公司是一家专营货物运输业务的公司。为了制定一个更完善的工作计划，该公司决定利用回归分析方法，帮助他们对自己的运货耗时作出预测。根据经验，运货耗费时间y 与运货距离x1和运货数量x2有关。为此，公司收集了11个样本，其数据如下表所示。

序号 运货距离x1/kg 运货数量x2/件 耗费时间y/小

时 1 10 4 9.3

2 50

3 4.8 3 100

4 8.9 4 100 2 6.

5 5 50 2 4.2 6

80

2

6.2

7 75 3 7.4 8 65 4 6 9 77 3 8.9 10 90 3 7.6 11 90 2 6.1

解答：

选择纯二次模型，即

Matlab 源程序：

A

D

C

B

>> x1=[10,50,100,100,50,80,75,65,77,90,90]; >> x2=[4,3,4,2,2,2,3,4,3,3,2];

>> y=[9.3,4.8,8.9,6.5,4.2,6.2,7.4,6,8.9,7.6,6.1]'; >> x=[x1' x2'];

>> rstool(x,y,'purequadratic')

Variables have been created in the current workspace.

在画面左下方的下拉式菜单中选”all ”, 则beta 、rmse 和residuals 都传送到Matlab 工作区中. 在Matlab 工作区中输入命令：beta, rmse >> beta beta = -2.5376 -0.1498 7.7906 0.0014 -1.1494 >> rmse rmse = 1.1602 >>

故回归模型为：2

22

1211494.10014.07906.71498.05376.2x x x x y -++--= 剩余标准差为1.1602, 说明此回归模型的显著性较好

上机要求：

1、撰写实验报告，包括每道题的完整分析、求解过程（实验报告封面需用给定模板）。

2、建立模型、求解方法不限，可用数学解析法，也可编程求解。

3、三人一组(找不到三人的同学，两人一组也可), 从4个题目中任意选择2个求解。