直接开方法解一元二次方程提技能·题组训练(含答案和解析) 21.2.1.1
直接开平方法解一元二次方程基础练习50题含详细答案
此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键
6．C
【详解】
解：要利用直接开平方法解一元二次方程，先将一元二次方程进行变形，变形为等号左边是数的平方或完全平方形式，等号右边为常数，且当常数要大于或等于0时，方程有实数解，因为选项C，移项后变形为 ，根据平方根的性质，此时方程无解，
10． 2或-1．
【解析】
①∵－ － ,
∴min{－ ，－ }=－ ;
②∵min{(x−1)2,x2}=1，
∴当x>0.5时,(x−1)2=1，
∴x−1=±1，
∴x−1=1，x−1=−1，
解得：x1=2,x2=0(不合题意,舍去)，
当x⩽0.5时,x2=1，
解得：x1=1(不合题意,舍去),x2=−1，
11．方程x2－3＝0的根是__________．
12．一元二次方程 的解是______．
13．方程x2﹣4＝0的解是_____．
14．如图，已知sinO＝ ，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，则AP＝________．
15．方程（x−2）2=9的解是_________.
16．方程 的根是______________．
17．若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则 =.
18．方程4x2-4x+1=0的解为_______．
三、解答题
19．解方程：
20．解方程： .
21．按指定的方法解方程：
（1）9（x﹣1）2﹣5=0（直接开平方法）
（2）2x2﹣4x﹣8=0（配方法）
（3）6x2﹣5x﹣2=0（公式法）
故选:A.
【点睛】
人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题(附答案)
人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）（1）；（2）；（3）；（4）。
4、一元二次方程根的判别式与其根的关系：综合练习： 1．观察下列方程: ①x2=1 ②3x2=1-x ③x(x-1)= x -1 ④ +2x-5=0 ⑤x2-y-1=0 ⑥x2-(x-3)2=9 其中是一元二次方程的是 . 2.把方程(x-2)(x+3)=5化为一元二次方程一般形式为 .其中二次项系数为 . 一次项系数为 . 常数项为 . 3.关于x的方程（m+2）xn-1-(2m-1)x-3=0,当时,它是一元二次方程,当时,它是一元一次方程. 1、用直接开平方法解方程：⑴x2=9 ⑵3x2=12 ⑶ 1/3 x2-3=0 ⑷ (3x+1)2=1 ⑸(2x-1)2 -9=0 ⑹x2+4x+4=1(7)．x2=16 (8) . 2x2 -6 =0 (9) (x+1)2=4(10) (3x+2)2=4 （11）3(x-1)2=15 （12）x2+6x+9=25能力提升： 1.关于x的方程（n-1）xn2+1-(2n+1)x-3=0,当n= 时,它是一元二次方程 2.解一元二次方程：(1) x2+2x+1=4 （2）x2+2x-3=0一元二次方程及解法（2）配方法步骤：举例说明题组训练： 1、把下列方程化为（x+ m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式（1）x2+2x=48；（2）x2－4x=12；（3）x2－6x+6=0；（4） 2、完成下列填空：x2+4x+4=(__+__)2 x2-8x+___=(__―__)2 4x2+__x+25=(___+__)2 16 x2+__x+1=(__+__)2 x2+10x+___=(__+__)2 x2-5x+___=(__―__)29x2-__x+25=(___+__)2 9 x2-¬__x+1=(__-__)2 3、用配方法解方程（1）x2-10x-11=0 （2）x2－6x+4= 0 （3）x2+4x－16= 0（4）x2－4x=12；（5）x2－6x=7 （6）x2+8x+2=0（7）x2－4x-5=0 （8） x2+5x+2=0 （9）3x2+2x－5=0（10）2y2+y－6=0 （11）3x2+8x-3=0 (12)-2x2=5x-3一元一次方程及解法（3）求根公式推导过程：（和应用求根公式的步骤）根的判别式与根的关系：跟踪训练：先用根的判别式判断根的情况再求解：（1）x -x-1=0；（2）5x +2=3x2；（3）y -6=5y(4)3t -2t-1=0 (5)4x(x-1)=x -1 （6）x2－6x+4= 0(7)3x +1=2 x （8）2y2+y－5= 0 （9）x2－4x=12；（10）3x2+6x=1 （11）2t2-7t－4=0； (12)x2-x-1=0(13)y2-6=5y (14)3t2-2t-1=0 (15)4x(x-1)=x2-1一元一次方程及解法（4）因式分解法解一元二次方程的原理： 1、填空（1）方程x2=x的解是。
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案一、选择题1．用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是（ ） A ．(x −34)2=1716 B ．(x −34)2=12 C ．(x −34)2=134D ．(x −34)2=1142．一元二次方程(x −22)2=0的根为（ ）． A ．x 1=x 2=22B ．x 1=x 2=−22C ．x 1=0，x 2=22D ．x 1=−223．关于一元二次方程x 2+kx −9=0（k 为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定根的情况4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A ． 且B ．C ．且D ．5．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则的的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或-1D ．1或-26．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．07．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2−16x +60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24B ．48C ．24或8√5D ．8√5 8．已知一元二次方程x 2+2x +6=10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2x 1x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．−12二、填空题9．若用配方法解方程x 2+4x +1=0时，将其配方为(x +b)2=c 的形式，则c = ． 10．若实数a ，b 满足a −2ab +2ab 2+4=0，则a 的取值范围是 ． 11．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .12．关于x 的一元二次方程x 2+2x-a ＝0的一个根是2，则另一个根是 .13．设x1，x2是方程2x2+6x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）x2−4x+3=0；（2）3x2−5x+1=0．15．已知x=√5−1，求代数式x2+2x−3的值．16．关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．17．已知关于的一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值及另一个根；（2）若该方程根的判别式的值等于，求的值.18．若关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是、且满足，求的值.参考答案1．A2．A3．A4．A5．A6．B7．C8．B9．310．−8≤a<011．312．-413．−7214．（1）解：∵x2−4x+3=0∴(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1．（2）解：∵3x2−5x+1=0∴a=3，b=−5，c=1∴Δ=25−12=13>0∴x=5±√136∴x1=5+√136，x2=5−√136．15．解：当x=√5−1时x2+2x−3＝x2+2x+1−1−3＝(x+1)2−4＝(√5−1+1)2−4＝5－4＝1．16．解：∵∴且，即．解得：且．17．（1）解：设方程的另一根是x2.∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3∴x=3是原方程的解∴9m﹣（m+2）×3+2=0解得m= ；又由韦达定理，得3×x2=∴x2=1，即原方程的另一根是1（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3.18．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根∴即解得：；（2）解：设方程的两根分别是∴又∵∴∴∴解得：. 经检验，都符合原分式方程的根∵，∴。
一元二次方程解法及其配套练习答案
一元二次方程解法及其配套练习一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 解法一 ——直接开方法适用范围：可解部分一元二次方程例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 解：(2)由已知，得：（x+3）2=2 直接开平方，得：x+3=± 即x+3=，x+3=-所以，方程的两根x 1=-3+，x 2=-3-例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到，求每年人均住房面积增长率．解：设每年人均住房面积增长率为x ， 则：10（1+x ）2= （1+x ）2=直接开平方，得1+x=± 即1+x=，1+x=所以，方程的两根是x 1==20%，x 2=因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．例3． 如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ 解： 设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x依题意，得：x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=±2 即x 1=2，x 2=-2可以验证，2和-2都是方程x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以2秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．例4．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2． 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ． 那么1+（1+x ）+（1+x ）2=把（1+x ）当成一个数，配方得： （1+x+）2=，即（x+）2=2．56 x+=±，即x+=，x+= 方程的根为x 1=10%，x 2= 因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解配套练习题一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（）．A．（x-）2=，x=± B．（x-）2=-，原方程无解C．（x-）2=，x1=+，x2= D．（x-）2=1，x1=，x2=-二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？解法二——配方法适用范围：可解全部一元二次方程引例：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？列出方程化简后得：x2+6x-16=0x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略例2．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB 面积的一半．分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题意，得：（8-x）（6-x）=××8×6整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．例3．解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：略例4．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=y+，x+1=y-依题意，得：y2（y+）（y-）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72y2（y2-1）=72， y4-y2=72（y2-）2=y2-=±y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-所以，原方程的根为x1=-，x2=-例5. 求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.解：略配套练习题一、选择题1．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-）2= B．（x-）2=0C．（x-）2= D．（x-）2=2．下列方程中，一定有实数解的是（）．A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1 B．2 C．-1 D．-24．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-35．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）． A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9二、填空题1．方程x2+4x-5=0的解是________．2．代数式的值为0，则x的值为________．3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．4．如果x2+4x-5=0，则x=_______．5．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．6．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x2．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长． 3．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．4．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？5．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．解法三——公式法适用范围：可解全部一元二次方程首先，要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根求根公式的推导用配方法解方程（1）ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+x=-配方，得：x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=∵4a2>0，4a2＞0, 当b2-4ac≥0时≥0∴（x+）2=()2直接开平方，得：x+=±即x=∴x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
一元二次方程直接开平方法练习题
一元二次方程直接开平方法练习题领导签字：_________ 组号____ 班级_________ 学生姓名：____________ 时间：013年月日 No. 1122.2.1 直接开平方法解一元二次方程教学目标1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a2+c=0型的一元二次方程．重点：运用开平方法解形如2=n的方程；领会降次──转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如2=n的方程．导学过程阅读教材第30页至第31页的部分，完成以下问题一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？计算：用直接开平方法解下列方程：x2= 2= x2+6x+9=24m2-9=0 x2+4x+4=1 2-9=108解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”．归纳：如果方程能化成那么可得例1用直接开平方法解下列方程：2=y2+2y+1=9n2-24n+16=11 练习：2x2-8=0x2-5=32-9=0：活动1、知识运用1、用直接开平方法解下列方程：32-6=0 x2-4x+4=9x2+6x+1= 二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程22=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．．如果a、b为实数，2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．6x2-1=04x2=812=25．用直接开平方法解下列方程：归纳小结应用直接开平方法解形如那么可得目的．一、选择题1．若x2-4x+p=2，那么p、q的值分别是．A．p=4，q=2B．p=4，q=- C．p=-4，q=D．p=-4，q=-2．方程3x2+9=0的根为．A．3B．-3C．± D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是．A．2=9，x=B．2=-839，原方程无解 C．2=5，x1=2393x D．2=1，x1=3，x2=-32-81＝02-18＝0＝45．解关于x的方程2=n．6、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，?另三边用木栏围成，木栏长40m．鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？鸡场的面积能达到210m2吗？7．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，?并说明你制作的理由吗？学后记：22.2.1用直接开平方法解一元二次方程导学案学习目标1、了解形如?x?h??k的一元二次方程的解法——直接开平方法2、会用直接开平方法解一元二次方程学习重点难点重点：会用直接开平方法解一元二次方程难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系教学过程一、复习导入：如果x?a那么x叫做a的______,记作________;如果x?4,那么记作________;的平方根是；0的平方根是；-4的平方根二、自学提纲：21、如何解方程：x＝4分析：根据平方根的定义，由x＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值为2和－即根据平方根的定义，得x ＝4x＝±2即此一元二次方程的解为： x1=2，x=－2这种解一元二次方程的方法叫做____________。
九年级上册数学 《21.2.1解一元二次方程-直接开平方法》同步练习(有答案)
2018年秋人教版数学九年级上册同步练习21.2.1解一元二次方程-直接开平方法一．选择题（共12小题）1．方程ax2=c有实数根的条件是（）A．a≠0 B．ac≠O C．ac≥O D．≥O2．对于形如（x+m）2=n的方程，它的解的正确表达式为（）A．都可以用直接开平方法求解，且x=±B．当n≥0时，x=m±C．当n≥O时，x=±﹣mD．当n≥0时，x=±3．方程（x﹣3）2=m2的解是（）A．x1=m，x2=﹣m B．x1=3+m，x2=3﹣mC．x1=3+m，x2=﹣3﹣m D．x1=3+m，x2=﹣3+m4．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（）①x2=1；②（x﹣2）2=5；③（x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2﹣3=x2+1；⑥y2﹣2y ﹣3=0A．1 B．2 C．3 D．45．方程（x+2）2=9的适当的解法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法6．方程（x﹣1）2=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．x1=1，x2=﹣27．若3（x+1）2﹣48=0，则x的值等于（）A．±4 B．3或﹣5 C．﹣3或5 D．3或58．用直接开方法解方程（x﹣1）2=4，得到方程的根为（）A．x=3 B．x1=3，x2=﹣1 C．x1=1，x2=﹣3 D．x1=x2=39．方程（x﹣3）2=0的根是（）A．x=3 B．x=0 C．x1=x2=3 D．x1=3，x2=﹣310．下列方程中，不能用直接开平方法的是（）A．x2﹣3=0 B．（x﹣1）2﹣4=0 C．x2+2x=0 D．（x﹣1）2=（2x+1）211．一元二次方程（x﹣2018）2+2017=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根12．若方程（x﹣1）2=m有解，则m的取值范围是（）A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0二．填空题（共6小题）13．将方程﹣2（y﹣1）2+5=0化成（mx+n）2=p（p≥0）的形式为．14．代数式（x+2）2的值为4，则x的值为．15．关于x的一元二次方程（x﹣2）2=k+2有解，则k的取值范围是．16．方程x2=16的根是x1=，x2=；若（x﹣2）2=0，则x1=，x2=．17．方程3（4x﹣1）2=48的解是．18．（探究过程题）用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2=0．解：移项得4（2x﹣1）2=25（x+1）2，①直接开平方得2（2x﹣1）=5（x+1），②∴x=﹣7．③上述解题过程，有无错误如有，错在第步，原因是，请写出正确的解答过程．三．解答题（共3小题）19．用直接开平方法解下列方程：（1）（x﹣2）2=3；（2）2（x﹣3）2=72；（3）9（y+4）2﹣49=0；（4）4（2y﹣5）2=9（3y﹣1）2．20．已知一元二次方程（x﹣3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．21．我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．如x2=9，（3x﹣2）2=25，（）2=4…都是完全平方方程．那么如何求解完全平方方程呢？探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3．解决问题：（1）解方程：（3x﹣2）2=25．解题思路：我们只要把3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．解：根据乘方运算，得3x﹣2=5 或3x﹣2=．分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1．（2）解方程．参考答案一．选择题（共12小题）1．D．2．C．3．B．4．D．5．A．6．B．7．B．8．B．9．C．10．C．11．D．12．B．二．填空题（共6小题）13．（y﹣1）2=．14．0，﹣4．15．k≥﹣2．16．（1）x1=4，x2=﹣4；（2）x1=x2=2．17．x=或﹣．18．x1=﹣7，x2=﹣．三．解答题（共3小题）19．（1）x﹣2=±，∴x1=2+，x2=2﹣；（2）（x﹣3）2=36，x﹣3=±6，∴x1=9，x2=﹣3；（3）9（y+4）2=49，∴（y+4）2=，∴y+4=±，∴y1=﹣，y2=﹣；（4）∵2（2y﹣5）=±3（3y﹣1），∴y1=﹣，y2=1．20．解：∵（x﹣3）2=1，∴x﹣3=±1，解得，x1=4，x2=2，∵一元二次方程（x﹣3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4=2+2，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，∴△ABC的周长为：2+4+4=10．21．解：（1）3x﹣2=﹣5，（2）根据乘方运算，得或解这两个一元一次方程，得x1=，x2=．故答案为：﹣5。
中考数学专题练习直接开平方法解一元二次方程（含解析）
中考数学专题练习直接开平⽅法解⼀元⼆次⽅程（含解析）2019中考数学专题练习-直接开平⽅法解⼀元⼆次⽅程（含解析）⼀、单选题1.若分式的值为0，则x的值是（）A.1或-1 B.1 C. -1 D.0【答案】B【考点】分式的值为零的条件，解⼀元⼆次⽅程-直接开平⽅法【解析】【分析】根据分⼦为0，同时分母不等于0时，分式值是零，即可得到结果．由题意得，解得，则x=1，故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式值是零的条件：分⼦为0，同时分母不等于0．2.若25x2=16，则x的值为（）A. B. C.D.【答案】A【考点】直接开平⽅法解⼀元⼆次⽅程【解析】【解答】解：25x2=16，x2= ，x=± ，故答案为：A【分析】观察次⽅程缺⼀次项，可以⽤直接开平⽅法求解或利⽤因式分解法求解。
3.⽅程的根是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】解⼀元⼆次⽅程-直接开平⽅法【解析】【解答】⽤开平⽅法可得【分析】将原⽅程变形为=4，⽤直接开平⽅法解得x=2，即= 2 ，= ? 2.4.⼀元⼆次⽅程x2=2的解是（）A.x=2或x=﹣2B.x=2C.x=4或x=﹣4D.x=或x=﹣【答案】D【考点】解⼀元⼆次⽅程-直接开平⽅法【解析】【解答】解：∵x2=2，∵x=±．故选：D．【分析】直接开平⽅解⽅程得出答案．5.⽅程x2=9的解是（）A.x1=x2=3B.x1=x2=9C.x1=3，x2=﹣3D.x1=9，x2=﹣9【答案】C【考点】解⼀元⼆次⽅程-直接开平⽅法【解析】【解答】解：x2=9，两边开平⽅，得x1=3，x2=﹣3．故选C．【分析】利⽤直接开平⽅法求解即可．6.⼀元⼆次⽅程（x+6）2=16可转化为两个⼀元⼀次⽅程，其中⼀个⼀元⼀次⽅程是x+6=4，则另⼀个⼀元⼀次⽅程是（）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4【答案】D【考点】解⼀元⼆次⽅程-直接开平⽅法【解析】【分析】⽅程两边直接开平⽅可达到降次的⽬的，进⽽可直接得到答案．【解答】（x+6）2=16，两边直接开平⽅得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=-4，故选：D．7.⽅程x2=9的解是（）A.x=9B.x=±9C.x=3D.x=±3【答案】D【考点】直接开平⽅法解⼀元⼆次⽅程【解析】【解答】解：∵x2=9，∵x=±3，【分析】直接开平⽅法即可得．8.若是反⽐例函数，则b的值为（）A.1B.－1C.D.任意实数【答案】A【考点】直接开平⽅法解⼀元⼆次⽅程，反⽐例函数的定义【解析】【解答】，解得.故答案为：A.【分析】根据反⽐例函数的定义知，⾃变量次数为-1，b2-2=-1，得b=1，,⼜因为⽐例系数k≠0，得b+1≠0，得b≠-1，综合分析可得b=1。
一元二次方程的解法练习题(带答案))
3. 阅读材料，解答问题．
阅读材料：为解方程
，我们可以将 视为一个整体，然后设
，则
，原方
程化为
．解得
，
．当 时，
，
∴
；当 时，
，∴
．
∴原方程的解为
，
，
，
．
解答问题：请你仔细阅读上述材料，深刻领会解题过程中所包含的数学思想和方法，然后解方程
．
【答案】
，
．
【解析】 设
，则原方程化为
．
解这个方程，得
，．
当
4. 观察下列方程和等式，寻找规律，完成问题：
①方程
，
，
，而
②方程
，
，
，而
③方程
，，，而④来自程，，，而
……
（ 1 ） 解决问题：根据上述材料将下列多项式进行因式分解．
①
．
②
．
（ 2 ） 探究规律：把关于 的二次三项式
（，
解．
（ 3 ） 在实数范围内进行因式分解：
．
． ． ． ．
）在实数范围内进行因式分
二、 直接开平方法与配方法
1. 关于 的方程
的根是
．
【答案】
【解析】 ∴ ∴， ∴，
， ，
， ．
【标注】【知识点】直接开平方法求一元二次方程的根
2. 用直接开平方法解方程 A. 有两个根，为 B. 当 时，有两个根，为 C. 当 时，有两个根，为 D. 当 时，无实数根
，下列结论正确的是（ ）．
【答案】 B
2. 已知 是一元二次方程
A.
B.
的根，则
的值为（ ）．
C.
D.
一元二次方程直接开平方法练习题及答案
一元二次方程直接开平方法练习题及答案测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法学习要求1．掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题．2．掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x2－1=6x化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．3．若x2－3x－2=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是______．4．把－x=15化成一般形式为______，a=______，b=______，c=______．5．若xm2?2?x－3=0是关于x的一元二次方程，则m 的值是______．6．方程y2－12=0的根是______．二、选择题7．下列方程中，一元二次方程的个数为．2x2－3=0A．1个2x2＋y2=B．2个x2?4?C．3个x2?1?2xD．4个x2?1?x?5,7x2－6xy＋y2=0，8．在方程：3x－5x=0 ax2?2x?x2??0,2x2??3=0，3x3x2－3x=3x2－1中必是一元二次方程的有．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．x2－16=0的根是．A．只有B．只有－C．±D．±810．3x2＋27=0的根是．A．x1=3，x2=－3C．无实数根B．x=D．以上均不正确三、解答题11．2y2=8．12．22－4=0．113．2?25.14．2=2．综合、运用、诊断一、填空题15．把方程?2x2?2x?x化为一元二次方程的一般形式是__________，一次项系数是______．16．把关于x的一元二次方程x2－n＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．17．若方程2kx2＋x－k=0有一个根是－1，则k的值为______．二、选择题18．下列方程：=3，x2＋y＋4=0，2－x=x，x?1?0, x 1x2?1?2x?4,?5,其中是一元二次方程的有．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个19．形如ax2＋bx＋c=0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是．A．a是任意实数 B．与b，c的值有关C．与a的值有关20．如果x? D．与a的符号有关 1是关于x的方程2x2＋3ax－2a=0的根，那么关于y的方程y2－3=a的解是2 ．A．? B．±1 C．±D．?21．关于x的一元二次方程2＋k=0，当k＞0时的解为． A．k?k B．k?k三、解答题22．=8．24．22?6?0.C．k??k D．无实数解3．2=92．5．2=n．拓广、探究、思考26．若关于x的方程x2－x－5＋k=0只有唯一的一个解，则k=______，此方程的解为______．27．如果x|m＋mx－1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为．｜A．2或－B．C．－D．以上都不正确28．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m2－1=0有一个根是0，求m的值．29．三角形的三边长分别是整数值2cm，5cm，kcm，且k满足一元二次方程2k2－9k－5=0，求此三角形的周长．测试1答案1．1，最高，ax2＋bx＋c＝0 ．2．2x2－6x－1＝0，2，－6，－1．．k≠－4．4．x2－12x＝0，1，－12，0．或－x2＋12x＝0，－1，12，0 ．－2．．y??23. ．A．．A．．C． 10．C．11．y1＝2，y2＝－2． 12．x1??3?2,x2??3?2. 13．x1＝－11，x2＝9．14．x1＝0，x2＝－2． 15．2x2?x??0,2?1.16．x2＋nx＋1－3n＝0，2－n，n，1－3n.x2－nx＋3n－1＝0，n－2,－n，3n－1.)17．1． 18．A． 19．C． 0．C． 1．D．22．x1.2??423? 3．x1??,x2??14. 4．x1＝1，x2＝7． 25．x1?n?m,x2??n?m.．k＝－1，x＝2. 7．C．28．m＝1不合题意，舍去，m＝－1．29．∵3 ∴三角形边长为2cm，5cm，5cm，则周长为12cm．23.2一元二次方程的解法练习题授课班级____ 上课时间：______ 第____ 节典例分析用直接开平方法解下列一元二次方程：492?162解：开平方得，7??4由7?4得x1?15. 由7??4得x2??311.点评：直接开平方法解一元二次方程的要点是：通过等式变形变出x2?n或2?n的形式，再直接开平方；另外注意方程解得书写格式x1、x2. 课下作业一、选择题：1.下列方程中，不能用直接开平方法的是 A. x2?3?0 B. 2?4?0 C. x2?2x?0D. 2?2. 下列说法中正确的是A. 方程x2?4两边开平方，得原方程的解为x?2B. x?3是方程x2?9的根，所以得根是x?3C. 方程x2?25?0的根是x??D. 方程x2?32x?64?0有两个相等的根.已知a?0，方程9a2x2?16b2 ?0的解是_____ A. x?16b9a B.x?4b3a4b2C.x??3aD.x??4b3a24. 方程2x2?m?0的根为_____A.?m2B.?2C.?2D.?25. 若2?1?0，则x得值等于_____ A. ?1 B. ? C. 0或 D. 0或-二、填空题：21.当x?________时，分式x?9无意义；当x?32x?________时，分式x?9的值为零。
解一元二次方程练习题(超经典含答案)
第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程1．一元二次方程2360x -=的解是A ．6x =B ．6x =-C ．16x =，26x =-D ．1x =，2x =2．一元二次方程2x 2－5x －2＝0的根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．方程2x +x =0的解是A ．x =±1B ．x =0C ．1x =0，2x =–1D ．x =14．方程2x –8x +17=0的根的情况是A ．两实数根的和为–8B ．两实数根的积为17C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根5．用配方法解下列方程时，配方正确的是A ．方程x 2–6x –5=0，可化为（x –3）2=4B ．方程y 2–2y –2017=0，可化为（y –1）2=2017C ．方程a 2+8a +9=0，可化为（a +4）2=25D ．方程2x 2–6x –7=0，可化为2323()24x -=6．一元二次方程x （x –3）=0根是A ．x =3B ．x =–3C ．x 1=–3，x 2=0D ．x 1=3，x 2=07．一元二次方程x 2+3x +2=0的两个根为A ．1，–2B ．–1，–2C ．–1，2D ．1，28．一元二次方程x 2–9=0的根是A ．x =3B ．x =–3C ．x 1=3，x 2=–3D ．x 1=9，x 2=–99．方程x 2–2=0的根是__________． 10．方程2(1)4x -=的根是__________．11．一元二次方程2360x x -=的解是__________．12．关于x 的一元二次方程（a –1）x 2+x +a 2–1=0的一个根为0，则a 的值为__________． 13．解方程：x 2+3x –2=0．14．解方程：2520x x -+=．15．解方程：x 2–10x +18=0．16．解方程：2510x x --=．17．关于x 的一元二次方程（a –1）x 2+x +a 2–1=0的一个根是0，则a 的值为A ．1B ．–1C ．1或–1D ．1218．三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x 2–6x +8=0的一个根，则这个三角形的周长为A ．11B ．12C ．11或13D ．1319．一元二次方程x 2+2x –3=0的两个根中，较小一个根为A ．3B ．–3C ．–2D ．–120．关于x 的方程kx 2+3x –1=0有实数根，则k 的取值范围是A ．k ≤94B ．k ≥–94且k ≠0 C ．k ≥–94D ．k >–94且k ≠0 21．关于x 的方程kx 2–2x –1=0有两个不相等的实数根，则k 的最小整数值为__________． 22．已知x 1，x 2是方程x 2+6x +3=0的两实数根，则2112x x x x +的值为__________． 23．关于x 的一元二次方程x 2+（m –2）x +m +1=0有两个相等的实数根，则m 的值是__________． 24．若关于x 的一元二次方程（a –1）x 2–x +1=0有实数根，则a 的取值范围为__________． 25．关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数c 的值：c =__________．26．已知一元二次方程x 2+7x –1=0的两个实数根为α，β，则(α–1)(β–1)的值为__________． 27．若方程x 2–kx +6=0的两根分别比方程x 2+kx +6=0的两根大5，则k 的值是__________． 28．若关于x 的方程x 2–5x +k =0的一个根是0，则另一个根是__________，k =__________． 29．已知数轴上A 、B 两点对应的数分别是一元二次方程（x +1）(x –2)=0的两个根，则A 、B 两点间的距离是__________． 30．解关于x 的方程：bx 2–1=1–x 2（b ≠–1）． 31．用适当方法解下列方程：2430x x --=．32．解方程：3x 2＋2x ＋1=0．33．已知a、b分别是一元二次方程220170+-=的不相等的两根，求a2+2a+b的值．x x34．（2018·泰安市）一元二次方程根的情况是A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3 35．（2018·桂林市）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为A．B．C．2或3 D．或36．（2018·湘潭市）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是A．m≥1 B．m≤1C．m＞1 D．m＜137．（2018·泰州市）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜038．（2018·眉山市）若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是A．B．－C．－D．39．（2018·宜宾市）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为A ．﹣2B ．1C ．2D ．040．（2018·淮安市）一元二次方程x 2﹣x =0的根是__________．41．（2018·邵阳市）已知关于x 的方程x 2+3x ﹣m =0的一个解为﹣3，则它的另一个解是__________．42．（2018·聊城市）已知关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣2kx +k ﹣3=0有两个相等的实根，则k 的值是__________．43．（2018·内江市）已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________．44．（威海市2018）关于x 的一元二次方程（m ﹣5）x 2+2x +2=0有实根，则m 的最大整数解是__________．45．（2018·江西省）一元二次方程的两根为,则的值为__________． 46．（2018·德州市）若是一元二次方程的两个实数根，则=__________．47．（2018·南京市）设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________．48．（2018·随州市）己知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围； （2）若1211=1x x +-，求k 的值．49．（2018·黄石市）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．50．（2018·成都市）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.3．【答案】C【解析】通过提取公因式法对等式的左边进行因式分解．由原方程得到：x （x +1）=0，解得1x =0，2x =–1．故选C ． 4．【答案】D【解析】Δ=()28-–4×1×17=–4<0，由此可得出方程没有实数根．故选D ． 5．【答案】D【解析】A ，由原方程得到：方程x 2–6x +32=5+32，可化为（x –3）2=14，故本选项错误；B ，由原方程得到：方程y 2–2y +12=2017+12，可化为（y –1）2=2018，故本选项错误；C ，由原方程得到：方程a 2+8a +42=–9+42，可化为（a +4）2=7，故本选项错误；D ，由原方程得到：方程x 2–3x +（32）2=72+（32）2，可化为2323()24x -=，故本选项正确．故选D ． 6．【答案】D【解析】x （x –3）=0，可得x =0或x –3=0，解得：x 1=0，x 2=3．故选D ． 7．【答案】B【解析】利用因式分解法解方程，即（x +1）（x +2）=0，可得x +1=0或x +2=0，所以x 1=–1，x 2=–2．故选B ． 8．【答案】C【解析】∵x 2–9=0，∴x 2=9，∴x =±3，故选C ．9．【答案】【解析】移项得x 2=2，∴x =．故答案为： 10．【答案】x 1=–1，x 2=3【解析】∵2(1)4x -=，∴x –1=–2或x –1=2，x 1=–1，x 2=3．故答案是：x 1=–1，x 2=3． 11．【答案】0x =或2x =【解析】由236=0x x -，得3(2)0x x -=，∴0x =或2x =．14．【答案】1x 2x =【解析】∵a =1，b =–5，c =2，∴224(5)412170b ac -=--⨯⨯=>，∴代入求根公式得，x ===，∴x 1，2x =．15．【答案】x 1，x 2=5【解析】∵x 2–10x +18=0，∴x 2–10x =–18，∴x 2–10x +25=7，∴（x –5）2=7，∴x –，∴x 1，x 2=5．16．【答案】1x =，2x = 【解析】∵2510x x --=，∴222555()()1022x x -+--=，∴2525()124x -=+，∴25254()244x -=+，∴52x -=，∴52x =±，即x =1x =2x = 17．【答案】B【解析】根据方程的解的定义，把x =0代入方程，即可得到关于a 的方程a 2–1=0且a –1≠0，解得：a =–1．故选B ． 18．【答案】D【解析】∵x 2–6x +8=0，即（x –2）（x –4）=0，∴x –2=0或x –4=0，解得：x =2或x =4，若x =2，则三角形的三边2+3<6，构不成三角形，舍去；当x =4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，故选D ．21．【答案】1【解析】∵关于x 的一元二次方程kx 2–2x –1=0有两个不相等的实数根，∴k ≠0且Δ>0，即（–2）2–4×k ×（–1）>0，解得k >–1且k ≠0．∴k 的取值范围为k >–1且k ≠0．故k 的最小整数值为1． 22．【答案】10【解析】首先由判别式大于0可知方程存在两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=–6，x 1x 2=3，再运用通分和完全平方公式变形得到2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-然后利用整体代入的方法计算得，2112x x x x +366301033-===．故答案为：10． 23．【答案】0或8【解析】根据关于x 的一元二次方程x 2+（m –2）x +m +1=0有两个相等的实数根，可得，Δ=（m –2）2–4（m +1）=0，即m 2–8m =0，解得m =0或m =8． 24．【答案】a ≤54且a ≠1． 【解析】由题意得：Δ=（–1）2–4（a –1）×1≥0，解得a ≤54，又a –1≠0，∴a ≤54且a ≠1． 25．【答案】0（答案不唯一）；【解析】∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b 2–4ac =22–4c >0，解得：c <1，故答案为任意一个小于1的数均可以，比如：0．（答案不唯一）28．【答案】5，0【解析】根据一元二次方程的解，设方程的另一个根为t，根据题意得0+t=5，0⋅t=k，所以t=5，k=0．故答案为5，0．29．【答案】3【解析】∵一元二次方程（x+1）(x–2)=0的两个根是–1和2，∴对应数轴上的两点A、B的距离为3．故答案是：3．30．【答案】b>–1时，x b<–1时，方程无解．【解析】方程整理得：（b+1）x2=2，即x2=21b+（b≠–1，即b+1≠0），若b+1>0，即b>–1时，两边开平方得：x，即x若b+1<0，即b<–1时，方程无解．31．【答案】x12+，x2=2【解析】∵1a=，4b=-，3c=-，∴Δ=b2–4ac=16+12=28，∴2x==±x12+，x2=2．32．【答案】原方程没有实数根．【解析】∵a=3，b=2，c=1，∴b2–4ac=4–4×3×1=–8<0．∴原方程没有实数根．33．【答案】2016【解析】∵a、b是原方程的两个实数根，∴220170a a+-=，a+b=–1，∴22017a a+=，∴222a ab a a a b++=+++=2017+（–1）=2016．34．【答案】D【解析】（x +1）（x ﹣3）=2x ﹣5，整理得：x 2﹣2x ﹣3=2x ﹣5，则x 2﹣4x +2=0，（x ﹣2）2=2，解得：x 1=2+＞3，x 2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3． 故选D ．【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．35．【答案】A 【解析】∵方程有两个相等的实根， ∴∆=k 2-4×2×3=k 2-24=0，解得：k =． 故选A ．【名师点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当∆=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．36．【答案】D 【解析】∵方程有两个不相同的实数根，∴()2240m ∆=-->，解得m ＜1．故选D ．【名师点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．37．【答案】A【解析】∵∆=（﹣a ）2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8＞0，∴x 1≠x 2，选项A 中的结论正确；∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，∴x 1+x 2=a ，∵a 的值不确定，∴选项B 中的结论不一定正确；∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，∴x 1•x 2=﹣2，选项C 中的结论错误；∵x 1•x 2=﹣2，∴x1＜0，x2＞0，选项D中的结论错误．故选A．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．38．【答案】C【解析】∵α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，∴α+β=-，αβ=-3，∴===．故选C．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．39．【答案】D【解析】∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，∴根据根与系数的关系，得x1x2=0．故选D．40．【答案】x1=0，x2=1【解析】方程变形得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案为：x1=0，x2=1．41．【答案】0【解析】设方程的另一个解是n，根据题意得：﹣3+n=﹣3，解得：n=0，故答案为0．42．【答案】【解析】∵关于x的方程（k-1）x2-2kx+k-3=0有两个相等的实根，∴()()()21024130k k k k ∆-≠⎧⎪⎨=----=⎪⎩， 解得k =． 故答案为．44．【答案】m =4【解析】∵关于x 的一元二次方程（m ﹣5）x 2+2x +2=0有实根， ∴∆=4﹣8（m ﹣5）≥0，且m ﹣5≠0，解得m ≤5.5，且m ≠5，则m 的最大整数解是m =4．故答案为m =4．45．【答案】2 【解析】由题意得：+2=0，=2， ∴=-2，=4， ∴=-2+4=2， 故答案为2.46．【答案】−3【解析】由根与系数的关系可知：x 1+x 2=﹣1，x 1x 2=﹣2， ∴x 1+x 2+x 1x 2=﹣3故答案为﹣3．47．【答案】 ，【解析】∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∵, ∴m =1, ∴ 解得=−2,=3.故答案为:−2,3.48．【答案】（1）k ＞﹣；（2）k =3．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2=0有两个不相等的实数根， ∴∆=（2k +3）2﹣4k 2＞0，解得：k ＞﹣；（2）∵x 1、x 2是方程x 2+（2k +3）x +k 2=0的实数根， ∴x 1+x 2=﹣2k ﹣3，x 1x 2=k 2， ∴12212121123=1x x k x x x x k +--+==-， 解得：k 1=3，k 2=﹣1，经检验，k 1=3，k 2=﹣1都是原分式方程的根，又∵k ＞﹣，∴k =3．49．【答案】（1）m ＜1；（2）0.【解析】（1）由题意得：∆=（﹣2）2﹣4×1×m =4﹣4m ＞0， 解得：m ＜1，即实数m 的取值范围是m ＜1；50．【答案】【解析】∵关于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，∴∆=[−（2a+1）]2-4a2=4a+1＞0，解得a＞14 -．。
解一元二次方程练习及答案
解一元二次方程练习及答案解一元二次方程练习及答案【篇一：一元二次方程的解法综合练习题及答案】txt>一元二次方程之概念．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-a．1个b．2个 c．3个 d．4个5=0 x一元二次方程之根的判别一、选择题1.一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）． a．a=0 b．a=2或a=-2 c．a=2 d．a=2或a=02．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）． a．k≠2 b．k2 c．k2且k≠1 d．k为一切实数二、填空题1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（?填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）?=0的根的情况是________．三、综合提高题不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．一元二次方程的解法专题训练1、因式分解法①移项：使方程右边为0②因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组③由a?b=0，则a=0或b=0，解两个一元一次方程2、开平方法 x2?a(a?0)1?ax2??ax?b?2?a(a?0x?b??a解两个一元一次方程3、配方法①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项（移项要变号）．．．．．②同除：方程两边同除二次项系（每项都要除）．．．．．③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方．．．．．．．④开平方：注意别忘根号和正负⑤解方程：解两个一元一次方程4、公式法①将方程化为一般式②写出a、b、c ③求出b2?4ac，④若b2-4ac＜0，则原方程无实数解⑤若b2-4ac＞0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式b?x=求解2a⑥若b2-4ac＝0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式x??求解。
人教版九年级数学上册：21.1 一元二次方程(含答案) (优质)
第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程知识点1.只含有 个未知数，并且未知数的 方程叫一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项为 ，一次项 ，常数项 ，二次项系数 ，一次项系数 .3.使一元二次方程左右两边 叫一元二次方程的解。
一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x-2=0B ．x 2-4x-1=0C ．x 2-2x-3D ．xy+1=02．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．5x+3=0B ．x 2-x （x+1）=0C ．4x 2=9D ．x 2-x 3+4=03．关于x 的方程013)2(22=--+-x x a a 是一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．a=±2B ．a=-2C ．a=2D ．a 为任意实数4．把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（）A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，-3xD ．-2，-3x5．若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或-1D ．06．把方程2（x 2+1）=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ）A ．8B ．9C ．-2D ．-17．（2013•安顺）已知关于x 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-28．（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ）A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012二．填空题9.当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程； 10．若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 .11．方程5)1)(13(=+-x x 的一次项系数是 .12．（2012•柳州）一元二次方程3x 2+2x-5=0的一次项系数是 .13．关于x 的一元二次方程3x （x-2）=4的一般形式是 .14．（2005•武汉）方程3x 2=5x+2的二次项系数为 ，一次项系数为 .15．（2007•白银）已知x=-1是方程x 2+mx+1=0的一个根，则m= .16．（2010•河北）已知x=1是一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根，则m 2+2mn+n 2的值为 ．17．（2013•宝山区一模）若关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+x+m 2-4=0的一个根为0，则m 值是 .18．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有一个根为1，一个根为-1，则a+b+c= ，a-b+c= ．三．解答题19．若（m+1）x|m|+1+6-2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．20．（2013•沁阳市一模）关于x 的方程（m 2-8m+19）x 2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．2１．一元二次方程0)1()1(2=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求0222=-+c b a 的值的算术平方根．21.1 一元二次方程知识点1.一，最高次数是2的整式。
计算 一元二次方程的七大解法(60题)(老师版)
计算1一元二次方程的七大解法专项训练（60题）【北师大版】【解法1直接开平方法解一元二次方程】1．（23-24九年级·广东东莞·阶段练习）解方程：4x2−25=0．【答案】x=±52【分析】本题考查了解一元二次方程，直接用开平方法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【详解】解：4x2−25=0，∴4x2=25，∴x2=254，∴x=±52．2．（23-24九年级·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：(1)x2−9=0(2)3x2−54=0．【答案】(1)x1=3,x2=−3(2)x1=32,x2=−32【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键；（1）根据直接开平方法可进行求解方程；（2）根据直接开平方法可进行求解方程【详解】（1）解：移项，得x2=9，根据平方根的意义，得x=±3，即x1=3,x2=−3．（2）解：移项，得3x2=54，两边同除以3，得x2=18，根据平方根的意义，得x=±32，即x1=32,x2=−32．3．（23-24九年级·上海·假期作业）解方程：(1)3x2(2)(x−5)2−36=0(3)12(x−2)2=6(4)y+4y−4−9=0【答案】(1)x1=3,x2=−3(2)x1=11,x2=−1(3)x1=23+2,x2=−23+2(4)y1=5,y2=−5【分析】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程．（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．【详解】（1）解：3x2−27=0，3x2=27，x2=9，∴x1=3,x2=−3；（2）(x−5)2−36=0，(x−5)2=36，x−5=6或x−5=−6，∴x1=11,x2=−1；（3）12(x−2)2=6，(x−2)2=12，x−2=23或x−2=−23，x=23+2或x=−23+2，即：x1=23+2,x2=−23+2；（4）(y+4)(y−4)−9=0，y2−16−9=0，y2=25，y=±5，即y4．（23-24九年级·全国·课后作业）求x的值：4x−12=16．【答案】x=3或x=−1【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解；【详解】解：∵4(x−1)2=16∴(x−1)2=4∴x−1=2或x−1=−2，解得x=3或x=−1．5．（23-24九年级·浙江·专题练习）求下列方程中x的值：(1)x2−1009=0；(2)x−12=49．【答案】(1)x1=103,x2=−103(2)x1=8，x2=−6【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）先移项，再开平方即可得到答案；（2）直接开平方即可得到答案．【详解】（1）解：∵x2−1009=0，∴x2=1009，则x1=103,x2=−103；（2）解：∵x−12=49，x−1=7或x−1=−7，解得x1=8，x2=−6．6．（23-24九年级·上海松江·期中）解关于的x方程：ax2=2a≠0【答案】x=±>0【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方的方法解方程即可．【详解】解：∵ax2=2a≠0，∴x22，∴x>0．7．（23-24九年级·上海青浦·期末）解关于x的方程：m−22x2−4=0m≥2．【答案】当m=2时，原方程无解，当m>2时，x=2m−2或x=−2m−2m=2时，当m>2时，分别求解即【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出x2=可得出答案．【详解】解：∵m−22x2−4=0，∴m−222=4，∴x2=∵m≥2，∴当m=2时，原方程无解，当m>2时，x=2m−2或x=−2m−2．【解法2配方法解一元二次方程】8．（23-24九年级·上海青浦·期中）用配方法解方程：x2−22x−4=0【答案】x1=2+6，x2=2−6【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成x+m2=n的形式，再利用直接开平方法求解，移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可．【详解】解：移项得，x2−22x=4，配方得，x2−22x+2=4+2，即x−22=6，x−2=±6，x1=2+6，x2=2−6．∴方程的解为x1=2+6，x2=2−6．9．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：(1)x2+4x=2；(2)x2−3x−74=0；(3)4x2−8x=−3；(4)4x2+4x+10=1−8x【答案】(1)x(2)x1=−12，x2=72(3)x1=12，x2=32(4)x1=x2=−32【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可；（3）利用配方法解一元二次方程即可；（4）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：x2+4x=2，x+22=6，x1=−2+6，x2=−2−6；（2）解：x2−3x−74=0，x−=74+94=4，x1=−12，x2=72；（3）解：4x2−8x=−3，2x−22=−3+4=1，x1=12，x2=32；（4）解：4x2+4x+10=1−8x，4x2+12x+9=0，2x+32=0，x1=x2=−32．10．（23-24九年级·全国·假期作业）用配方法解下列方程：(1)x2+4x+4=0；(2)2x2−3x+2=0．【答案】(1)x1=x2=−2(2)原方程无实数根【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键；（1）由题意易得x2+4x=−4，然后进行配方即可求解；（2）由题意易得2x2−3x=−2，则有x2−32x=−1，然后进行配方即可求解【详解】（1）解：移项，得x2+4x=−4，配方，得x2+4x+22=−4+22，即(x+2)2=0，∴x1=x2=−2．（2）解：移项，得2x2−3x=−2．二次项系数化为1，得x2−32x=−1配方，得x2−32x+−=−1+−，即x=−716．因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根．11．（23-24九年级·全国·专题练习）用配方法解方程x2−4x−5=0．【答案】x1=5，x2=−1【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解方程是关键．运用配方法求解即可．【详解】解：方程移项得：x2−5，配方得：x2−4x+4=9，即x−22=9，开方得：x−2=3或x−2=−3，解得：x1=5,x2=−1．12．（23-24九年级·上海宝山·阶段练习）用配方法解方程：2x2+4x+1=0．【答案】x1=x2=【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解．【详解】解：2x2+4x+1=0，原方程化为x2+2x=−12，配方得x2+2x+1=1−12，即(x+1)2=12，开方得x+1x=−∴x1=x2=13．（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程：x2−14x+21=0【答案】x1=7+27，x2=7−27．【分析】移常数项，加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解．【详解】解：x2−14x+21=0，移项得x2−14x=−21，配方得x2−14x+49=−21+49，即x−72=28，∴x−7=27，∴x1=7+27，x2=7−27．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键．14．（23-24九年级·全国·假期作业）用配方法解下列方程：(1)x2−x−6=0；(2)3y2+1=23y．【答案】(1)x3，x2=−2；(2)y1=y2=【详解】解：（1）移项，得x2x=6．配方，得x2−x+=6+，即x=254．直接开平方，得x−12=52或x−12=−52，解得x1=3，x2=−2．（2）移项，得3y2−23y=0．二次项系数化为1，得y2−+13=0，即y−=0．直接开平方，得y=0，解得y1=y2=15．（23-24九年级·全国·课后作业）用配方法解方程：(1)(2x−1)2(2)5y2+(2y−3)2=14．【答案】(1)x1=1+3,x2=1−3(2)y1=53,y2=−13【分析】（1）根据完全平方公式，化为(x+a)2=b(b≥0)形式，开方化为一次方程求解；（2）根据完全平方公式，化为(x+a)2=b(b≥0)形式，开方化为一次方程求解．【详解】（1）解：(2x−1)2=4x+9，x2−2x−2=0，x2−2x+1=3，(x−1)2=3，∴x−1=3或x−1=−3．∴x1=1+3,x2=1−3．（2）解：5y2+(2y−3)2=14，9y2−12y−5=0，y2−43y+49=59+49，∴(y−23)2=1．∴y−23=1或y−23=−1．∴y1=53,y2=−13．【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，理解完全平方公式是解题的关键．【解法3因式分解法解一元二次方程】16．（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）解方程：(1)x2−7x+10=0．(2)x−32=2x−6【答案】(1)x1=5，x2=2(2)x1=3，x2=5【分析】本题考查了一元二次方程的解法，学会用适当的方法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用十字相乘法进行因式分解即可求解；十字相乘法是把二次三项式ax2+bx+c(a≠0)形式的式子，分解因式为px+q mx+n的方法．其中p、q、m、n是常数，且pm=a，qn=c，pn+qm=b．通过寻找合适的数对来实现因式分解．（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：因式分解，得x−5x−2=0，则有x−5=0或x−2=0，解得x1=5，x2=2．（2）解：x−32=2x−6x−32=2x−3x−32−2x−3=0则x−3x−5=0，∴x−3=0或x−5=0，解得：x1=3，x2=5．17．（23-24九年级·全国·单元测试）解方程：(1)(x−3)2x+1=x−32．(2)(x+1)(x−2)+2(2−x)=0(3)3x(x−1)=2−2x【答案】(1)x=3或x=−4(2)x=2或x=1(3)x=1或x=−23【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：(x−3)2x+1=x−32，移项得，(x−3)2x+1−x−32=0，因式分解得，x−32x+1−x+3=0，即x−3x+4=0，∴x−3=0或x+4=0，∴x=3或x=−4．（2）解：(x+1)(x−2)+2(2−x)=0，因式分解得，x−2x+1−2=0，即x−2x−1=0，∴x−2=0或x−1=0，∴x=2或x=1．（3）解：3x(x−1)=2−2x，移项得，3x x−1+2x−1=0，因式分解得，x−13x+2=0，∴x−1=0或3x+2=0，∴x=1或x=−23．18．（23-24九年级·山东滨州·期末）解方程：(1)x2−6x+5=0；(2)y+12=2y−12．【答案】(1)x1=5，x2=1(2)y1=0，y2=2【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二方程的常用方法和步骤．（1）运用因式分解法解该一元二次方程即可；（2）运用因式分解法解该一元二次方程即可．【详解】（1）解：x2−6x+5=0，∴x−5x−1=0，∴x1=5，x2=1；（2）解：y+12=2y−12，∴y+12−2y−12=0，∴y+1+2y−1y+1−2y+1=0，∴3y2−y=0，∴y1=0，y2=2．19．（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）解方程：(1)x2−4x−5=0；(2)3x(x−1)=2(x−1)．【答案】(1)x1=−1,x2=5(2)x1=1,x2=23【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键．（1）根据因式分解法解方程即可；（2）整理后根据因式分解法解方程即可；【详解】（1）解：x2−4x−5=0，因式分解得(x+1)(x−5)=0，∴x+1=0或x−5=0，解得x1=−1,x2=5．（2）解：原方程可变形为：3x(x−1)−2(x−1)=0，因式分解得(x−1)(3x−2)=0，∴x−1=0或3x−2=0，解得x1=1,x2=23．20．（23-24九年级·山东泰安·期末）解方程：(1)5x2−2=3x(2)3x+32=x x+3【答案】(1)x1=1，x2=−25(2)x1=−3，x2=−92【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．（1x−1=0或5x+2=0，然后解一次方程即可；（2）先移项得到3x+32−x x+3=0，再利用因式分解法把方程转化为x+3=0或2x+9=0，然后解一次方程即可．【详解】（1）5x2−2=3x，5x2−3x−2=0，(x−1)(5x+2)=0，x−1=0或5x+2=0，所以x1=1，x2=−25；（2）3x+32=x x+3，3x+32−x x+3=0，(x+3)3(x+3)−x=0，(x+3)(2x+9)=0，x+3=0或2x+9=0，所以x1=−3，x2=−92；1121．（23-24九年级·浙江宁波·期末）解方程：(1)2x2−3x=0；(2)3x2−5x−2=0．【答案】(1)x1=0，x2=32(2)x1=−13，x2=2【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵2x2−3x=0，∴x2x−3=0，∴x=0或2x−3=0，解得：x1=0，x2=32；（2）解：∵3x2−5x−2=0，∴3x+1x−2=0，∴3x+1=0或x−2=0，解得：x1=−13，x2=2．22．（23-24九年级·浙江金华·期末）解方程：(1)2x2−x=0；(2)5x2+2x−3=0．【答案】(1)x1=0，x2=12；(2)x1=35，x2=−1．【分析】（1）利用因式分解法解答即可求解；（2）利用因式分解法解答即可求解；本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．【详解】（1）解：∵2x2−x=0，∴x2x−1=0，∴x=0或2x−1=0，12∴x1=0，x2=12；（2）解：∵5x2+2x−3=0，∴5x−3x+1=0，∴5x−3=0或x+1=0，∴x1=35，x2=−1．23．（23-24九年级·浙江杭州·期中）解方程：(1)x2−2x=15.(2)x−1x+5=−2x+5；【答案】(1)x=5或x=−3(2)x=−1或x=−5【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用因式分解法来解答.（1）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果.（2）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果.【详解】（1）解：x²−2x=15,(x−5)(x+3)=0,即:x−5=0或x+3=0,∴x=5或x=−3；（2）解：(x−1)(x+5)=−2(x+5),(x−1)(x+5)+2(x+5)=0,(x−1+2)(x+5)=0,即:x+1=0或x+5=0,∴x=−1或x=−5．【解法4公式法解一元二次方程】24．（23-24九年级·全国·单元测试）用公式法解下列方程：(1)x2−x−12=0；(2)2x2+5x−3=0；(3)2x2−7x+7=0；(4)x2−23x−1=0．【答案】(1)x1=4,x2=−31314(2)x 1=12，x 2=−3(3)方程无解(4)x 1=3+2，x 2=3−2【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键．（1）由题意易得a =1,b =−1,c =−12，然后根据公式法可进行求解；（2）由题意易得a =2,b =5,c =−3，然后根据公式法可进行求解；（3）由题意易得a =2,b =−7,c =7，然后根据公式法可进行求解；（4）由题意易得a =1,b =−23,c =−1，然后根据公式法可进行求解．【详解】（1）解：∵x 2−x −12=0∴a =1,b =−1,c =−12，∴△=b1×12=49>0，∴x ===1±72，∴x 1=4，x 2=−3．（2）解：∵2x 2+5x −3=0∴a =2,b =5,c =−3，∴Δ=b2×3=>0，∴x ===−5±74，∴x 1=12，x 2=−3．（3）解：∵2x 2−7x +7=0∴a =2,b =−7,c =7，∴Δ=b 2−4ac =49−4×2×7=−7<0，∴原方程无解．（4）解：∵x 2−23x −1=0，∴a =1，b =−23，c =−1，∴Δ=b 2−232−4×1×−1=16，∴x ==2=3±2，∴x 1=3+2，x 2=3−2．25．（23-24九年级·广西梧州·期末）用公式法解方程：x 2−x −3=0．15【答案】x 1=x 2=【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用公式法求解一元二次方程是解题的关键．用公式法求解即可．【详解】解：∵a =1，b =−1，c =−3，∴Δ=b 1−4×1×−3=13>0，x =∴x =∴x 1=x 2=26．（23-24九年级·广西南宁·阶段练习）（用公式法）解一元二次方程：2x 2−6x −3=0．【答案】x 1=2=【分析】此题考查了解一元二次方程，根据公式法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键【详解】解：∵a =2,b =−6,c =−3∴Δ=b62−4×2×−3=60，∴x =∴x 1=2=27．（23-24九年级·安徽滁州·期末）解方程：x(3x −5)=9−7x ．【答案】x 1=x 2=【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键．原方程化为3x 2+2x−9=0，得根的判别式Δ=112，得到x =x 1=x 2=【详解】解：方程化为3x 2+2x −9=0，a =3，b =2，c =−9．Δ=b 2−4ac=22−4×3×(−9)=112>0，∴∴x ==即x 1=x 2=28．（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：2x 2−x +2=3x +1．【答案】x 1=x 2=16【分析】本题考查解一元二次方程，先将所给一元二次方程化成一般形式，再利用公式法求解．【详解】解：2x 2−x +2=3x +1，2x 2−4x +1=0，a =2，b =−4，c =1，Δ=b 2−4ac =−42−4×2×1=8>0．方程有两个不等的实数根，x =−b ±b 2−4ac 2a =4±224=2±22，即x 1=x 2=29．（23-24九年级·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)x 2−x −12=0；(2)2x 2+5x −3=0；(3)2x 2−7x +7=0．【答案】(1)x 1=4,x 2=−3(2)x 1=12，x 2=−3(3)方程无解（1）由题意易得a =1,b =−1,c =−12，然后根据公式法可进行求解；（2）由题意易得a =2,b =5,c =−3，然后根据公式法可进行求解；（3）由题意易得a =2,b =−7,c =7，然后根据公式法可进行求解．【详解】（1）解：x 2−x −12=0∴a =1,b =−1,c =−12，∴Δ=b 1×12=49>0，∴x ===1±72，∴x 1=4，x 2=−3；（2）解：2x 2+5x −3=0∴a =2,b =5,c =−3，∴Δ=b 2×3=49>0，∴x ===−5±74，∴x 1=12，x 2=−3；17（3）解：2x 2−7x +7=0∴a =2,b =−7,c =7，∴Δ=b 2−4ac =49−4×2×7=−7<0，∴原方程无解．30．（23-24·广东深圳·模拟预测）解方程：2x 2+4x −11=0．【答案】x 1=−1−2=−1+【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：2x 2+4x −11=0∴a =2,b =4,c =−11，Δ=b 2−4ac =16+88=104∴x =解得：x1=−12=−1+31．（23-24九年级·吉林长春·期中）解方程：x 2−23x −1=0．【答案】x 1=3+2，x 2=3−2【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解题关键．本题直接利用公式法求解即可．【详解】解：一元二次方程x 2−23x −1=0中，a =1，b =−23，c =−1，∴Δ=b 2−232−4×1−1=16，∴x ==2=3±2，∴x 1=3+2，x 2=3−2．32．（23-24九年级·山东威海·期中）用公式法解方程：x −23x −5=1．【答案】x 1=x 2=【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：方程化为3x2−11x +9=0．∴a =3,b =−11,c =9，Δ=b3×9=13∴x =解得：x 1=x 2=33．（23-24九年级·山东淄博·期中）公式法解方程：3x 2−9x +2=0．【答案】x 1=2=18【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出Δ=b 2−4ac =57，则x =【详解】解：∵3x 2−9x +2=0，∴a =3，b =−9，c =2，∴Δ=81−24=57，∴x =解得x 1=x 2=【解法5换元法解一元二次方程】34．（23-24九年级·全国·单元测试）解方程：x 2+1x 2−2x +−1=0【答案】x 1=x 2=【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键．利用完全平方公式把方程变形为x +−2x +−3=0，设x +1x =m ，则m 2−2m −3=0，通过解一元二次方程可得m 的值，即可求出x +1可能的值，然后再分别得出分式方程求解即可．【详解】解：∵x 2+122x +−1=0∴x 2+1x 2+2−2x +−3=0，即：x +−2x +−3=0，设x +1x =m ，则m 2−2m −3=0，因式分解得：m −3m +1=0，∴m −3=0或m +1=0，解得：m =3或m =−1，当m=3时，则x +1x =3，整理得：x +∴x ==解得：x 1=x 2=经检验，x 1=x 2=x +1x =3的解3；当m =−1时，则x +1x =−1，整理得：x 2+x +1=0，Δ=b2−4ac=1−4=−3<0，∴x+1x=−1综上，该方程的解为：x1=x2=35．（23-24九年级·安徽·专题练习）y−32+3y−3+2=0．【答案】y=2或y=1【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将y−3看作一个整体，设y−3=t，利用因式分解法求得t的值，进而即可求得y．【详解】解：设y−3=t，则原方程即t2+3t+2=0，∴t+1t+2=0，∴t+1=0或t+2=0，解得t=−1或t=−2，∴y−3=−1或y−3=−2，解得，y=2或y=1．36．（23-24九年级·广东汕头·期末）若实数x，y满足(x2+y2)(x2+y2−2)=3，求x2+y2的值．【答案】x2+y2=3．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将x2+y2看成一个整体t，转换成一个关于t的一元二次方程求解即可．【详解】解：令x2+y2=t，则，原方程变为，t t−2=3，即，t2−2t−3=0，t−3t+1=0解得：t1=3，t2=−1；又∵x2+y2≥0，∴x2+y2=3．37．（23-24九年级·北京朝阳·期中）解方程：x2−2x−6x2−2x=1．【答案】x1=3,x2=−1【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设y=x2−2x，则原方程可化为y2−y−6=0，解一元二次方程求y，再求x．【详解】设y=x2−2x，则原方程化为y−6y=119∴y2−y−6=0，即y−3y+2=0，解得y1=−2，y2=3．当y1=−2时，x2−2x=−2，该方程无解，当y2=3时，x2−2x=3．解得x1=3，x2=−1，检验：当x1=3时，原方程左边=9−6−69−6=3−2=1=右边，当x2=−1时，原方程左边=1+2−61+2=3−2=1=右边，∴x1=3，x2=−1都是原方程的根，∴原方程的根是x1=3，x2=−1．38．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）解方程：2x−52−22x−5−3=0．【答案】x1=4，x2=2【分析】根据“整体换元法”设2x−5=y，则原方程可化为：y2−2y−3=0，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解．【详解】解：设2x−5=y，则原方程可化为：y2−2y−3=0，解得：y1=3，y2=−1，当y=3时，即2x−5=3，解得x=4，当y=−1时，即2x−5=−1，解得x=2，∴原方程的解为x1=4，x2=2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，利用整体换元法解方程是解此题的关键．39．（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）已知x2+22−8x2+1−1=0，求x2+2的值．【答案】x2+2的值为7或1【分析】设x2+2=y，则x2+1=y−1，对原方程进行变形，求出y的值，即为x2+2的值．【详解】解：设x2+2=y，则x2+1=y−1，∴y2−8y−1−1=0，∴y2−8y+7=0，∴y−7y−1=0，20∴y−7=0或y−1=0，∴y=7或1，∴x2+2的值为7或1．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法，把x2+2看作整体，直接求出x2+2的值是解题的关键．40．（23-24九年级·全国·课后作业）解方程x2−52−16=0．【答案】x1=3，x2=−3，x3=1，x4=−1【分析】设y=x2−5，求出y后，可得关于x的方程，再解方程即可．【详解】设y=x2−5，原方程化为y2−16=0，解得y1=4，y2=−4，当y1=4时，x2−5=4，x2=9，则x1=3，x2=−3；当y2=−4时，x2−5=−4，x2=1，则x3=1，x4=−1，所以原方程的解为x1=3，x2=−3，x3=1，x4=−1．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．41．（23-24九年级·全国·单元测试）已知a2+b2a2+b2+2−15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)−15=0，解得：x1=3,x2=−5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．42．（23-24九年级·全国·专题练习）解下列方程：(1)2(x2﹣7x)2﹣21(x2﹣7x)+10＝0；(2)2x2+3x2﹣42x+3x0．【答案】(1)x1x2x3x4(2)x1＝﹣2.5，x2＝1，x3＝﹣0.5，x4＝﹣1【分析】（1）利用换元法，先设x2﹣7x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；（2）利用换元法，先设2x2+3x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解【详解】（1）解：2x2−7x2−21x2﹣7x+10＝0设x2−7x=a，则2a2−21a+10=02a−1a−10=0∴2a−1=0或a−10=0，解得，a1=0.5，a2=10，∴x2−7x=0.5或x2−7x=10，∴2x2−=0−，解得，x1x22x3x4（2）解：2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0设2x2+3x＝a，则a2−4a−5＝0a−5a+1＝0，∴a−5=0或a+1=0，解得，a1=5，a2=﹣1，∴2x2+3x＝5或2x2+3x＝﹣1，∴2x2+3x−5=0或2x2+3x+1=0，解得，x1=−2.5，x2=1，x3=−0.5，x4=−1【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键．【解法6适当方法解一元二次方程】43．（23-24九年级·甘肃天水·阶段练习）运用适当的方法解方程(1)x−32=25；(2)x2−x−1=0；(3)x2−6x+8=0；(4)x2−x2−5x2−x+6=0【答案】(1)x1=8，x2=−2(2)x1=x2=(3)x1=4，x2=2(4)x1=−1，x2=2，x3=x4=【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用配方法解方程即可；（4）利用换元法解方程即可；【详解】（1）解：x−32=25x−3=5或x−3=−5，解得：x1=8，x2=−2；（2）解：x2−x−1=0a=1，b=−1，c=−1，b2−4ac=(−1)2−4×1×(−1)=5>0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x==解得：x1=x2=（3）x2−6x+8=0x2−6x=−8x2−6x+9=−8+9(x−3)2=1x−3=1或x−3=−1，解得：x1=4，x2=2；（4）x2−x2−5x2−x+6=0解：设y=x2−x，则原方程为：y2−5y+6=0，(y−2)(y−3)=0,解得y1=2，y2=3，当y=2时，x2−x=2，解得：x12=2当y=3时，x2−x=3，解得：x3=x4=∴x1=−1，x2=2，x3=x4=【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．44．（23-24九年级·北京东城·期末）选择适当方法解下列方程：(1)x2−5x+1=0；(2)x2x+1=2x+1．【答案】(1)x1=x2=(2)x1=1，x2=−12【分析】本题考查了公式法，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：x2−5x+1=0，Δ=−521，∴x=解得，x1=x2=（2）解：x2x+1=2x+1，x−12x+1=0，∴x−1=0，2x+1=0，解得，x1=1，x2=−12．45．（23-24九年级·黑龙江鸡西·期末）用适当方法解方程(1)3x(x−1)=2(x−1)(2)x2+10x+16=0(3)x2−2x−14=0(4)x2+25x+10=0【答案】(1)x1=1，x2=23(2)x12=−(3)x1=x2=(4)无解【分析】（1）先移项，再运用因式分解法求解即可；（2）运用因式分解法求解即可；（3）用公式法求解；（4）计算Δ=b2-4ac=252−4×1×10=−20<0，由根的判别式判断方程无解．【详解】（1）解：3x(x−1)=2(x−1)3x(x-1)-2(x-1)(x-1)(3x-2)=0x-1=0或3x-2=0，∴x1=1，x2=23；（2）解：x2+10x+16=0(x+8)(x+2)=0x+8=0或x+2=0，∴x1=−2，x2=−8；（3）解：x2−2x−14=0a=1，b=−2，c=-14，∴Δ=b2-4ac=−221×=3，∴=∴x1=x2=（4）解：x2+25x+10=0a=1，b=25，c=10，∴Δ=b2-4ac=252−4×1×10=−20<0，∴原方程无解．【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当解法是解题的关键．46．（23-24九年级·广东深圳·期中）用适当方法解下列方程（1）3（x+2）2＝x（2+x）；（2）2x2+3x﹣2＝0．【答案】（1）x1＝﹣2，x2＝﹣3；（2）x1＝-2，x2＝【分析】（1）利用提公因式法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可．【详解】解：（1）∵3（x+2）2＝x（2+x），∴3（x+2）2﹣x（2+x）＝0，∴（x+2）（3x+6﹣x）＝0，∴x+2＝0或2x+6＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣3；（2）∵2x2+3x﹣2＝0，∴（x+2）（2x-1）＝0，∴x+2＝0或2x-1＝0，∴x1＝-2，x2＝12．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握因式分解法解方程．47．（23-24九年级·山东德州·期末）用适当方法解下列方程（1）3（x﹣2）＝5x（x﹣2）（2）x2+x﹣1＝0【答案】（1）x1＝2，x2＝35；（2）x【分析】(1)用因式分解法解方程；(2)利用求根公式法解方程.【详解】解：（1）方程整理得：3（x﹣2）﹣5x（x﹣2）＝0，分解因式得：（x﹣2）（3﹣5x）＝0，解得：x1＝2，x2＝35；（2）这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵△＝1+4＝5，∴x【点睛】考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．48．（23-24九年级·山东聊城·期末）用适当的方法解下列方程：(1)2x2+5x−7=0；(2)2x2(3)3x(x−1)=2x−2【答案】(1)x=1，x27(2)x1=1+x2=1(3)x1=1，x2=23【分析】本题主要考查解一元二次方程：（1）方程运用公式法求解即可；（2）方程运用配方法求解即可；（3）方程运用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：2x2+5x−7=0这里a=2,b=5,c=−7，Δ=52×−7=81>0，∴x==−5±94，∴x1=1，x2=−72；（2）解：2x2−4x+1=0，x2−2x+12=0，x2−2x=−12，x2−2x+1=12，x−121，x−1∴x1=1+x2=1−（3）解：3x(x−1)=2x−2，3x x−1−2x−1=0，x−13x−2=0x−1=0,3x−2=0，∴x1=1，x2=2349．（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期末）用适当的方法解下列方程(1)x+52=6x+5；(2)x2−8x=5−4x．【答案】(1)x1=−5,x2=1(2)x1=5,x2=−1【分析】本题考查了解一元二次方程—因式分解法∶因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．（1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+5=0或x+5−6=0，然后解两个一次方程即可；（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x−5=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可．【详解】（1）解：(x+5)2=6(x+5)移项得：(x+5)2−6(x+5)=0因式分解得：(x+5)(x+5−6)=0，x+5=0或x+5−6=0，所以x1=−5,x2=1；（2）方程化为一般式为x2−4x−5=0，(x−5)(x+1)=0，x−5=0或x+1=0，所以x1=5,x2=−1．50．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）选用适当的方法解方程．(1)x2−4=0；(2)3x2−6x−4=0．【答案】(1)x=2(2)x1=2=【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．（1）利用解一元二次方程——直接开平方法进行计算，即可解答；（2）利用解一元二次方程——公式法进行计算，即可解答．【详解】（1）解：∵x2−4=0，∴x2∴x=±2，∴x1=2,x2=−2；（2）解：3x2−6x−4=0，∵a=3，b=−6，c=−4，Δ=b−624×3×−4=84>0，∴x=∴x1=2=51．（23-24九年级·天津宁河·阶段练习）用适当的方法解方程(1)x−12=36(2)x2+8x+7=0(3)x2+5=25x(4)x−42=5−2x2【答案】（1）x1=7,x2=−5；（2）x1=−7,x2=−1；（3）x1=x2=5；（4）x1=3,x2=1【详解】试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法直接求解即可.试题解析：（1）x−12=36x-1=±6x1=7,x2=−5；（2）x2+8x+7=0（x+7）（x+1）=0x1=−7,x2=−1；（3）x2+5=25x移项得x2−25x+5=0(x−5)2=0x1=x2=5；（4）x−42=5−2x2移项得x−42−5−2x2=0（x-4+5-2x）（x-4-5+2x）=0解得x1=3,x2=1【解法7指定方法解一元二次方程】52．（23-24九年级·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程．(1)x2−36=0(直接开平方法)(2)x2(3)2x2−5x+1=0(公式法)(4)x+12+8x+1+16=0(因式分解法)【答案】(1)x1=6，x2=−6(2)x1=6，x6(3)x1=2=(4)x1=x2=−5【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．【详解】（1）x2−36=0，x2=36，x=±6，∴x1=6，x2=−6；（2）x2−4x=2，x2−4x+4=2+4，x−22=6，x−2=±6，∴x1=2+6，x2=2−6；（3）2x2−5x+1=0，a=2，b=−5，c=1，b2−−520，∴x==即x1=2=（4）x+12+8x+1+16=0，x+1+42=0，x+52=0，∴x1253．（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程：(1)2x−12=9（用直接开平方法）(2)2x2−9x+8=0（用配方法）(3)x2−2x−4=0（用求根公式法）(4)7x5x+2=65x+2（用因式分解法）【答案】(1)x=1(2)x1=,x2=(3)x1=1+5,x2=1−5(4)x1=−25,x2=67【分析】（1）开平方得到2x−1=±3，即可求出方程的解；（2）把原方程配方成x=1716，再利用开平方法解方程即可；（3）写出a=1，b=−2，c=−4，求出Δ=−22+16=20，代入x=（4）移项后因式分解得到5x+27x−6=0，则5x+2=0或7x−6=0，即可得到方程的解．【详解】（1）解：2x−12=9开平方得，2x−1=±3，∴2x−1=3或2x−1=−3，解得x1=2,x2=−1；（2）2x2−9x+8=0解：原方程整理得2x2−9x=−8．二次项系数化1，得：x2−92x=−配方，得：x2−92x+4+，即x=1716，两边开平方，得x−9∴x1=2=（3）x2−2x−4=0∵a=1，b=−2，c=−4，∴Δ=−2∴x===1±5，∴x1=1+5,x2=1−5；（4）7x5x+2=65x+2移项得，7x5x+2−65x+2=0，因式分解得，5x+27x−6=0，∴5x+2=0或7x−6=0，解得x1=−25,x2=67【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．54．（23-24九年级·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程：(1)3x2−4x+1=0（配方法）；(2)2x2−22x+1=0（公式法）；(3)3x x−2=2x−4．【答案】(1)x1，x2=13；(2)x1=x2=(3)x1=2，x2=23【分析】（1（2）利用公式法解方程即可；（3）利用分解因式法解方程即可．【详解】（1）解：3x2−4x+1=0，方程变形得：x2−43x=−13，配方得：x2−43x+49=−13+49，即x=19，开方得：x−23=±13，解得：x1=1，x2=13；（2）解：2x2−22x+1=0，a=2，b=−22，c=1，∵Δ2−222×2×1=0，∴x==解得：x（3）解：3x x−2=2x−4整理得：3x x−2−2x−2=0，分解因式得：x−23x−2=0，∴x−2=0或3x−2=0，解得：x1=2，x2=23．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．55．（23-24九年级·广西钦州·期中）用指定方法解下列方程：(1)x2−x−34=0（配方法）；(2)(x−3)2=2(x−3)（因式分解法）；(3)x2−4x−1=0（公式法）．【答案】(1)x1=32，x2=−12(2)x1=3，x2=5(3)x1=2+5，x2=2−5【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用公式法求解即可．【详解】（1）原方程可化为x2−x=34，等式两边加14，得x2−x+14=1，由完全平方公式得，(x−12)2=1，∴x−12=1或x−12=−1，所以原方程的解为x1=32，x2=−12．（2）移项得，(x−3)2−2(x−3)=0，提取公因式，得(x−3)(x−3−2)=0，则x−3=0或x−3−2=0，解得x1=3，x2=5．（3）x2−4x−1=0，∵Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×(−1)=20＞0，由求根公式得x==2±5，所以原方程的解为x1=2+5，x2=2−5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法，因式分解法和公式法求根是解题的关键．56．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）按指定方法解方程：(1)x2−4x−2=0(配方法)；(2)2y2−3y−1=0(公式法)(3)3x(x−1)=2−2x(适当方法)；(4)2x2−x−1=0(配方法)【答案】(1)x=26，x2=2−6；(2)y1=y1=(3)x1=1，x2=−23；(4)x1=1,x2=−12【分析】（1）先把常数项移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上4，左边是完全平方式，右边等于6，可以解答；（2Δ的值，最后套用求根公式解得；（3）根据因式分解法解一元二次方程；（4）根据配方法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：x2−4x−2=0，移项得，x2−4x=2，配方，得x2−4x+4=2+4，即x−22=6，所以x−2=±6，解得x1=2+6，x2=2−6.（2）2y2−3y−1=0，a=2，b=−3，c=−1，Δ=−32−4×2×−1=17，y=所以y1=y2=（3）解：∵3x(x−1)=2−2x，∴3x(x−1)+2(x−1)=0，则(x−1)(3x+2)=0，∴x−1=0或3x+2=0，解得x1=1，x2=−23．（4）∵2x2−x−1=0，∴x2−12x=12，则x2−12x+116=12+116，即x=916∴x−14=±34，即x1=1,x2=−12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉配方法，公式法，因式分解法是解题的关键．57．（23-24九年级·山东泰安·期末）按照指定方法解下列方程：（1）x(x−23)+3=0．（自选方法）（2）3x2−6x−2=0．（配方法）（3）x2−9=2x+6（因式分解法）【答案】（1）x1=x2=3；（2）x1=1+x2=13）x1=−3,x2=5．【分析】（1）原方程整理成一元二次方程的一般形式，用因式分解法即可；（2）先把二次项系数化为1，即两边都除以3，然后配方即可；（3）方程两边分别分解因式，再把左边移项后，提取公因式即可．【详解】（1）原方程整理得：x2−23x+3=0即(x−3)2=0∴x1=x2=3（2）方程两边同除以3，得：x2−2x−23=0配方，得：(x−1)2=53根据平方根的定义，得：x−1=x−1解得：x1=1+x2=1（3）两边分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3)即：(x+3)(x-3)－2(x+3)＝0提取公因式得：(x+3)(x-5)=0∴x+3=0或x-5=0∴x1=−3,x2=5【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法较多，有直接开平方法，配方法，公式法及因式分解法等方法，要根据方程的特点灵活选取适当的方法，提高解方程的速度．58．（23-24九年级·广西钦州·期末）用指定方法解下列方程：（1）x2+4x−2=0（配方法）；（2）(x−2)2=3(x−2)（因式分解法）；（3）2x2−4x−1=0（公式法）．【答案】（1）x1=−2+6, x2=−2−6；（2）x1=2, x2=5；（3）x1=1+2=1−【分析】（1）等式两边同时加6，利用完全平方公式进行配方即可求解；（2）先移项，再提取公因式x−2，即可求解；（3）利用公式法x=【详解】（1）等式两边加6，得x2+4x+4=6由完全平方公式得，(x+2)2=6∴x+2=6或x+2=−6所以原方程的解为x1=−2+6, x=−2−6；（2）移项得，(x−2)2−3(x−2)=0提取公因式，得(x−2)(x−5)=0解得x1=2, x2=5所以原方程的解为x1=2, x2=5；（3）Δ=42+4=24>0由求根公式得x=即x=1±所以原方程的解为x1=1+2=1−【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键．59．（23-24九年级·河北邯郸·阶段练习）请用指定方法解下列一元二次方程：（1）4x2+x−3=0（公式法）（2）x2−6x−16=0（配方法）（3）(x+1)(x+2)=2x+4（因式分解法）【答案】（1）x1=34，x2=−1；（2）x1=8，x2=−2；（3）x1=−2，x2=1【分析】（1）由公式法进行解一元二次方程，即可得到答案；（2）由配方法进行解一元二次方程，即可得到答案；（3）由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：（1）4x2+x−3=0，∴Δ=1−4×4×(−3)=49>0，∴x=−1±78，∴x1=34，x2=−1．（2）方程变形得：x2−6x=16，配方得：x2−6x+9=25，即(x−3)2=25，开方得：x−3=±5，解得：x1=8，x2=−2；（3）(x+1)(x+2)=2x+4(x+1)(x+2)−2(x+2)=0(x+2)(x−1)=0解得：x1=−2，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题．60．（23-24九年级·安徽滁州·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程．（1）x2﹣36＝0（直接开平方法）（2）x2﹣4x＝2（配方法）（3）2x2﹣5x+1＝0（公式法）（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法）【答案】（1）x1=6，x2=-6；（2）x1=2+6，x2=2-6；（3）x1=2=4）x1=x2=-5．【分析】（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．【详解】（1）x2﹣36＝0，x2=36，x=±6，∴x1=6，x2=-6；（2）x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，（x-2）2=6，x-2=±6，∴x1=2+6，x2=2-6；（3）2x2﹣5x+1＝0，a=2，b=-5，c=1，b2-4ac=（-5）2-4×2×1=17>0，∴x==x1=2=（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0，[（x+1）+4]2=0，（x+5）2=0，∴x1=x2=-5．【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．。
部编数学九年级上册专题21.2一元二次方程的解法【八大题型】(人教版)(解析版)含答案
专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】【人教版】【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 (1)【题型2 用配方法解一元二次方程】 (2)【题型3 用公式法解一元二次方程】 (4)【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 (5)【题型5 用指定方法解一元二次方程】 (6)【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 (12)【题型7 用换元法解一元二次方程】 (14)【题型8 配方法的应用】 (17)【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】【例1】（2022•建华区二模）解方程：−13（x ﹣2）2+34=0（开平方法）．【分析】先把方程变形为（x ﹣2）2=94，再两边开方得到x ﹣2＝±32，然后解两个一次方程即可．【解答】解：−13（x ﹣2）2+34=0，−13（x ﹣2）2=−34，（x ﹣2）2=94，x ﹣2＝±32，所以x 1=72，x 2=12．【变式1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x +3）2＝（3x +2）2（开平方法）．【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【变式1-2】（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．【分析】直接开方，再解一元一次方程即可．【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，∴2（x+1）＝±3（x﹣2），∴x1＝8，x2=4 5．【变式1-3】（2022春•黄浦区校级期中）解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）．【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：（a﹣1）x2＝﹣4，即x2=41−a，当1﹣a＞0，即a＜1时，x＝当1﹣a＜0，即a＞1时，无解．来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2 用配方法解一元二次方程】【例2】（2022春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解；（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．【解答】解：（1）方程整理得：x 2﹣3x =−32，配方得：x 2﹣3x +94=94−32，即（x −32）2=34，开方得：x −32=解得：x 1=32+x 2=32−（2）方程整理得：x 2+b a x =−c a ，配方得：x 2+b a x +b 24a 2=b 24a 2−c a ，即（x +b 2a ）2=b 2−4ac 4a 2，开方得：x +b 2a =解得：x 1=x 2=【变式2-1】（2022秋•松江区期末）用配方法解方程：x 2=4．【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵x 2=4，∴x 2﹣+5＝4+5，即（x 2＝9，∴x 3或x =−3，∴x 1＝3x 2＝﹣3+【变式2-2】（2022秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x 2﹣8x ﹣7＝0．【分析】根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后开方即可．【解答】解：4x 2﹣8x ﹣7＝0，4x 2﹣8x ＝7，x 2﹣2x =74，配方得x 2﹣2x +12=74+1，（x ﹣1）2=114，x ﹣1＝x ＝∴x1＝1x2＝1【变式2-3】（2022秋•潢川县期末）解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法）【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．【解答】解：∵2x2﹣5x＝﹣1，∴x2−52x=−12，∴x2−52x+2516=−12+2516，即（x−54）2=1716，则x−5 4 =∴x【题型3 用公式法解一元二次方程】【例3】（2022春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a．【分析】先把原方程化成一元二次方程的一般形式，再利用公式法进行计算即可解答．【解答】解：2a2﹣3＝﹣4a，整理得：2a2+4a﹣3＝0，∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40，∴a=∴a1a2=【变式3-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．【分析】整理成一般式，先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：方程整理得：6x2﹣x﹣4＝0，∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4，∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×6×（﹣4）＝97＞0，∴x=∴x1x2=【变式3-2】（2022秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2﹣﹣3＝0．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2﹣4×1×（﹣3）＝20＞0，∴x=∴x1=x2=【变式3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．【分析】方程利用公式法求出解即可．【解答】解：方程2x2﹣7x+6＝0，这里a＝2，b＝﹣7，c＝6，∵Δ＝49﹣48＝1＞0，∴x=7±1 4，则x1＝2，x2＝1.5．转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4 用因式分解法解一元二次方程】【例4】（2022秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（2﹣3x）＝0，∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，解得x1＝3，x2=2 3．【变式4-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．【分析】利用提取公因式（4﹣3x），将左边因式分解，再进一步求解即可．【解答】解：∵（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0，∴（4﹣3x）（5﹣3x）＝0，则4﹣3x＝0或5﹣3x＝0，解得x1=43，x2=53．【变式4-2】（2022秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，可得4﹣x＝0或3x+2＝0，解得：x1＝4，x2=−2 3．【变式4-3】（2022秋•简阳市月考）用因式分解法解方程：x2+0【分析】利用因式分解法把方程化为x=0或x+=0，然后解一次方程即可．【解答】解：（x x+0，x=0或x+=0，所以x1=x2=【题型5 用指定方法解一元二次方程】【例5】（2022秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程：（1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；（2）x2＝8x+9（配方法）；（3）2y2+7y+3＝0（公式法）；（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）．【分析】（1）移项，然后开平方即可求解；（2）首先移项，然后配方，利用直接开平方法即可求解；（3）利用公式法即可求解；（4）移项，然后利用因式分解法即可求解．【解答】解：（1）（x+1）2＝144，则x+1＝12或x+1＝﹣12，解得：x1＝﹣13，x2＝11；（2）移项，得：x2﹣8x＝9，配方，得x2﹣8x+16＝25，则（x﹣4）2＝25，即x﹣4＝5或x﹣4＝﹣5，解得：x1＝9，x2＝﹣1；（3）a＝2，b＝7，c＝3，△＝49﹣4×2×3＝49﹣24＝25＞0．则x=−7±54，则x1＝﹣3，x2=−1 2；（4）原式即3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，因式分解得：（x﹣2）【3（x﹣2）﹣x】＝0，即（x﹣2）（2x﹣6）＝0，则x﹣2＝0或2x﹣6＝0，解得：x1＝2，x2＝3．【变式5-1】（2022秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程：（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解）（3）x2+5x+1＝0（用公式法解）（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法）【分析】（1）先提取公因式（x﹣2）因式分解，再求解即可；（2）先利用完全平方公式配方，然后开平方求解即可；（3）写出a、b、c的值，然后利用求根公式法求解；（4）直接开平方求解即可．【解答】解：（1）因式分解得，（x﹣2）（x+1）＝0，由此得，x﹣2＝0，x+1＝0，所以，x1＝2，x2＝﹣1；（2）配方得，x2﹣4x+4﹣4+3＝0，即（x﹣2）2＝1，所以，x﹣2＝±1，所以，x1＝3，x2＝1；（3）a＝1，b＝5，c＝1，Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×1＝25﹣1＝24，xx1x2=（4）开平方得，x﹣4＝±（5﹣2x），所以，x﹣4＝5﹣2x或x﹣4＝2x﹣5，解得x1＝3，x2＝1．【变式5-2】（2022秋•简阳市月考）解下列方程（1）（2x﹣1）2＝7（直接开平方法）（2）2x2﹣7x﹣4＝0（用配方法）（3）2x2﹣10x＝3（公式法）（4）（3x﹣4）2＝（3﹣4x）2（因式分解法）（5）x2+=26（用换元法解）（6）（2x2+1）2﹣2x2﹣3＝0（用换元法解）【分析】（1）用直接开平方法求解就可以了；（2）先将常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后配方为完全平方公式后直接用开平方法求解就可以；（3）先化为一般形式，然后确定a、b、c的值，最后代入求根公式求解就可以了；（4）先移项，然后用平方差公式分解因式就可以求出结论；（5a，将原方程变形为a2﹣a＝30，再解一个关于a的一元二次方程求解；（6）将原方程变形为：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，再设2x2+1＝a，就可以变为a2﹣a﹣2＝0，最后可以运用因式分解法求解．【解答】解：（1）开平方，得2x﹣1＝∴x1x2（2）移项，得2x2﹣7x＝4，化二次项的系数为1，得x2−72x＝2，配方，得x2−72x+4916=2+4916，（x−74）2=8116开平方，得x−74=±94，∴x1＝4，x2=−1 2；（3）移项，得2x2﹣10x﹣3＝0，∴a＝2，b＝﹣10，c＝﹣3，∴△＝100+24＝124＞0，∴x∴x1x2=（4）移项，得（3x﹣4）2﹣（3﹣4x）2＝0分解因式，得（3x﹣4+3﹣4x）（3x﹣4﹣3+4x）＝0，∴﹣x﹣1＝0或7x﹣7＝0，∴x1＝﹣1，x2＝1；（5）原方程变形为：x2+30，a，将原方程变形为：a2﹣a＝30，移项，得a2﹣a﹣30＝0，因式分解，得（a+5）（a﹣6）＝0，∴a+5＝0或a﹣6＝0，∴a1＝﹣5（舍去），a2＝6，6，解得：x＝经检验，x＝（6）原方程变形为：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，设2x2+1＝a，则原方程变为：a2﹣a﹣2＝0，解得：a1＝﹣1，a2＝2，当a＝﹣1时，2x2+1＝﹣1，Δ＜0，原方程无解，当a＝2时，2x2+1＝2，解得：x＝【变式5-3】（2022秋•恩阳区月考）解方程：①x2+x+=0（因式分解法）②5x2+2x﹣1＝0（公式法）③y 2+6y +2＝0（配方法）④9（x ﹣2）2＝121（x +1）2（直接开平方法）⑤x 1x 2−2x 2x 1=1（换元法）⑥（x 2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6＝0（适当方法）【分析】①根据方程特点，采用因式分解法解答．②根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得．③可以先移项，然后利用配方法解答．④利用直接开平方法解答；⑤移项整理，利用换元法求得未知数的解即可．⑥利用换元法解答．【解答】解：①x 2+x +0，（x x +0，∴x +=0或x +=0，∴x 1=x 2=②5x 2+2x ﹣1＝0，a ＝5，b ＝2，c ＝﹣1，Δ＝b 2﹣4ac ＝4+20＝24，x所以x 1=x 2③y 2+6y +2＝0，y 2+6y ＝﹣2，y 2+6y +9＝﹣2+9，即（y +3）2＝7，∴y +3∴y 1＝﹣3+y 2＝﹣3④9（x ﹣2）2＝121（x +1）2，3（x ﹣2）＝±11（x +1），∴3（x ﹣2）＝11（x +1）或3（x ﹣2）＝﹣11（x +1），∴x 1=−178，x 2=−514；⑤x 1x 2−2x 2x 1=1，x 1x 2−2x 2x 1−1＝0，设y =x 1x 2，则原方程为y −2y −1＝0，y 2﹣y ﹣2＝0，解得：y ＝﹣1，或y ＝2，当y ＝﹣1，x 1x 2=−1，此方程无解；当y ＝2，x 1x 2=2，解得：x 1＝1，x 2=−12，经检验，x 1＝1，x 2=−12是原分式方程的解，所以原方程的解为x 1＝1，x 2=−12．⑥（x 2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6＝0，设y ＝x 2﹣x ，则原方程为y 2﹣5y +6＝0，解得：y ＝3，或y ＝2，当y ＝3，x 2﹣x ＝3，x 1=x 2=当y ＝2，x 2﹣x ＝2，解得：x 3＝2，x 4＝﹣1；所以原方程的解为x 1x 2x 3＝2，x 4＝﹣1．【题型6 用适当的方法解一元二次方程】【例6】（2022春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（x +4）2﹣5（x +4）＝0；（2）x 2﹣2x ﹣15＝0．【分析】（1）等式左边可提取公因式（x +4），转化为（x +4）（x ﹣1）＝0求解；（2）根据十字相乘法可将方程变形为（x +3）（x ﹣5）＝0，由此可得同解方程x +3＝0或x ﹣5＝0，据此求解．【解答】解：（1）（x +4）2﹣5（x +4）＝0，将方程变形，得（x+4）（x﹣1）＝0，即x+4＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1．（2）x2﹣2x﹣15＝0，将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0，则x+3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝﹣3，x2＝5．【变式6-1】（2022春•大观区校级期中）用适当的方法解方程（1）x2﹣x﹣1＝0；（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．【分析】（1）利用公式法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，x所以x1=x2=（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．（x+1）（x+1﹣3）＝0，x+1＝0或x+1﹣3＝0，所以x1＝﹣1，x2＝2．【变式6-2】（2022春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣x﹣6＝0；（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2．【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣6＝0，∴（x﹣3）（x+2）＝0，则x ﹣3＝0或x +2＝0，解得x 1＝3，x 2＝﹣2；（2）∵4（x ﹣1）2＝9（x ﹣5）2，∴4（x ﹣1）2﹣9（x ﹣5）2＝0，∴[2（x ﹣1）+3（x ﹣5）][2（x ﹣1）﹣3（x ﹣5）]＝0，则2（x ﹣1）+3（x ﹣5）＝0或2（x ﹣1）﹣3（x ﹣5）＝0，解得x 1＝13，x 2=175．【变式6-3】（2022春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程．（1）2x （x ﹣1）＝3（x ﹣1）；（2）12x 2﹣5＝0．【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程移项得：2x （x ﹣1）﹣3（x ﹣1）＝0，分解因式得：（x ﹣1）（2x ﹣3）＝0，所以x ﹣1＝0或2x ﹣3＝0，解得：x 1＝1，x 2=32；（2）方程整理得：x 2＝10，配方得：x 2+8＝18，即（x 2＝18，开方得：x =解得：x 1=x 2＝﹣【题型7 用换元法解一元二次方程】【例7】（2022秋•安居区期末）为解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4＝0，我们可以将x 2﹣1视为一个整体，然后设x 2﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解此方程得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2﹣1＝1，所以x =±当y ＝4时，x 2﹣1＝4，所以x =±所以原方程的根为x 1=x 2=x 3x 4=以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；（2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可．【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，解此方程得：a1＝a2＝2，当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；（2）x4+x2﹣12＝0，设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，解得：y1＝3，y2＝﹣4，当y＝3时，x2＝3，解得：x=±当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，所以原方程的解是x1=x2=【变式7-1】（2021春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x1=x2=x3＝2，x4＝﹣2．以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0；（2）已知实数a满足（a2+2﹣3a2＝2的值．【分析】（1）先设y＝x2+3x，则原方程变形为2y2﹣3y﹣2＝0，运用因式分解法解得y1＝2，y2=−1 2，再把y＝2和−12分别代入y＝x2+3x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解；（2）设y ＝a 2y 2﹣3y ﹣10＝0，运用因式分解法解得y 1＝﹣2，y 2＝5，再把y ＝5代y ＝a 2得到a 2+5，即可求得a 2＝52的值．【解答】解：（1）设y ＝x 2+3x ，则2y 2﹣3y ﹣2＝0，则（y ﹣2）（2y +1）＝0，解得y 1＝2，y 2=−12，当x 2+3x ＝2，即x 2+3x ﹣2＝0时，解得x =当x 2+3x =−12，即x 2+3x +12=0时，解得x =综上所述，原方程的解为x 1=x 2x 3x 4=（2）（a 2+2﹣3a 2＝a 22﹣3（a 2﹣10＝0，设y ＝a 2+y 2﹣3y ﹣10＝0，则（y +2）（y ﹣5）＝0，解得y 1＝﹣2，y 2＝5，当y ＝﹣2时，则a 2+=−2，无意义，舍去；当y ＝5时，则a 2+5，得到a 2＝5∴2=53﹣故2的值为3﹣【变式7-2】（2022秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知（x +y ﹣3）（x +y +4）＝﹣10，求x +y 的值．解：设t ＝x +y ，则原方程变形为（t ﹣3）（t +4）＝﹣10，即t 2+t ﹣2＝0∴（t +2）（t ﹣1）＝0得t 1＝﹣2，t 2＝1∴x +y ＝﹣2或x +y ＝1已知（x 2+y 2﹣4）（x 2+y 2+2）＝7，求x 2+y 2的值．【分析】根据举例进行解答即可．【解答】解：设t ＝x 2+y 2＞0∴（t ﹣4）（t +2）＝7t 2﹣2t ﹣15＝0，解得：t 1＝5，t 2＝﹣3（舍去）∴x 2+y 2＝5．【变式7-3】（2022秋•甘井子区月考）【例】解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0．解：设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0．解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得x ＝5．所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5．上述解法称为“整体换元法”．（1）请运用“整体换元法”解方程：（2x ﹣5）2﹣（2x ﹣5）﹣2＝0；（2）已知x 2﹣xy ﹣y 2＝0，求x y 的值．【分析】（1）先设y ＝2x ﹣5，则原方程变形为y 2﹣y ﹣2＝0，运用因式分解法解得y 1＝2，y 2＝﹣1，再把y ＝2和﹣1分别代y ＝2x ﹣5得到关于x 的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解；（2）x 2﹣xy ﹣y 2＝0，方程两边同时除以y 2，可得x 2−xy−y 2y 2=0，设x y =m ，方程可化为m 2﹣m ﹣1＝0，类似（1）的减法可得x y 的值．【解答】解：（1）设y ＝2x ﹣5，则原方程变形为y 2﹣y ﹣2＝0，解得y 1＝2，y 2＝﹣1，当y ＝2时，即2x ﹣5＝2，解得x ＝3.5；当y ＝﹣1时，2x ﹣5＝﹣1，解得x ＝2．所以原方程的解为x 1＝3.5，x 2＝2；（2）x 2﹣xy ﹣y 2＝0，方程两边同时除以y 2，得x 2−xy−y 2y 2=0，设x y =m ，方程可化为m 2﹣m ﹣1＝0，解得m 1m 2∴x y 的值为【题型8 配方法的应用】【例8】（2022秋•饶平县期末）已知a ，b ，c 满足a 2+2b ＝7，b 2﹣2c ＝﹣1，c 2﹣6a ＝﹣17，则a +b ﹣c 的值为（ ）A．1B．﹣5C．﹣6D．﹣7【分析】题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，∴a+b﹣c＝3﹣1﹣1＝1．故选：A．【变式8-1】（2022•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（ ）A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8【分析】将多项式a2+ab﹣b2进行变形，利用配方法可得（b+3）2﹣5，再根据偶次方的非负数性质解答即可．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，∴a2+ab﹣b2＝（b+2）2+b（a﹣b）＝b2+4b+4+2b＝b2+6b+4＝（b+3）2﹣5，∴a2+ab﹣b2的最小值是﹣5．故选：A．【变式8-2】（2022春•仪陇县校级月考）已知a+b+c+3＝+则a+b+c的值是 ．【分析】先将条件配方成)2)2)2=0，根据完全平方式的非负性求出a、b和c的值即可．【解答】解：∵a+b+c+3＝++∴+++1=0，即)2)2)2=0，1＝0=0=0，解得a＝1，b＝5，c＝3．∴a+b+c＝1+5+3＝9．故答案为：9．【变式8-3】（2022春•临湘市期中）阅读材料例：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据上面的方法解决下列问题：（1）m2﹣4m﹣5最小值是 ．（2）多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 ．【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法后可得结论；（2）将多项式重新分组，改写成（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5，配方后可得结论．【解答】解：（1）∵m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9，∴当m＝2时，m2﹣4m﹣5有最小值，最小值是﹣9．故答案为：﹣9；（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，最小值是5．故答案为：5．。
解一元二次方程练习题(四种解法)
一 直接开方法
类型
I： ax2
=
b
x2
=
b a
b a
0
x
=
b (结果要分母有理化)
a
类型 II： a2 = b2 a = b或a = −b
（1） x2 = 9
（2） 4x2 = 25
（3） ( x +1)2 = 16
（4） 4(2x −1)2 = 81
一元二次方程的解法专题训练
三 公式法
x = −b b2 − 4ac 2a
步骤： 第一步：写成一般式； 第二步：找出 a，b，c；
第三步：计算 = b2 − 4ac ；
第四步：若△≥0，则代入公式；若△≥0，则原方程无实数解；
（1） x2 + 2x −1 = 0
（2） 2x2 + 4x = 1
（7） 300x2 − 40x +1 = 0
（8） ( x − 3)( x + 2) = 6
一元二次方程的解法专题训练
综合练习
（1） x2 − 6x + 8 = 0
（2） x2 − 4x = 1
（3） x2 −12x + 20 = 0
（4） x2 − 40x + 300 = 0
（5） x2 −100x + 2400 = 0
（5） (2x +1)2 = ( x − 3)2
（6） 250( x +1)2 = 360
（7）100(1− x)2 = 81
（8） 440( x +1)2 = 633.6
（9） −2( x − 4)2 + 9 = 5
专题21.2一元二次方程的解法【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]
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专题21.2 一元二次方程的解法【十大题型】【人教版】【题型1 直接开平方法解一元二次方程】【题型2 配方法解一元二次方程】 【题型3 公式法解一元二次方程】 【题型4 因式分解法解一元二次方程】【题型5 十字相乘法解一元二次方程】【题型6 用适当方法解一元二次方程】 【题型7 用指定方法解一元二次方程】 【题型8 用换元法解一元二次方程】 【题型9 解含绝对值的一元二次方程】 【题型10 配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为()20x p p =³或()()200mx n p p m +=³¹，的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解．【题型1 直接开平方法解一元二次方程】【例1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）1．将方程2219()x =－的两边同时开平方，得21x =－ ，即21x －＝或21x －＝，所以1x ＝，2x ＝．【变式1-1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）2．用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2+9＝0B ．－2x 2=0C ．x 2－3=0D ．(x －2)2=0【变式1-2】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）3．如果关于x 的一元二次方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【变式1-3】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）4．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程()46x x +=．解：原方程可变形，得：()()22226x x éùéù+-++=ëûëû．()22226x +-=，()2210x +=．直接开平方并整理，得．12x =-+22x =-我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程()()595x x ++=时写的解题过程．解：原方程可变形，得：()()5x a b x a b +-++=éùéùëûëû．()225x a b +-=，∴()225x a b +=+．直接开平方并整理，得．1=x c ，2x d =．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：()()5712x x -+=．知识点2 配方法解一元二次方程将一元二次方程配成()2x m n +=的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为()200ax bx c a ++=¹的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2 配方法解一元二次方程】【例2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）5．用配方法解方程，补全解答过程．251322x x -=．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得21566x x -=．配方，得_________________________________，即21121()12144x -=．两边开平方，得__________________，即1111212x -=，或1111212x -=-．所以11x =，256x =-．【变式2-1】（23-24九年级下·广西百色·期中）6．用配方法解方程2610x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．()239x -=B ．()2310x -=C ．()238x +=D ．()238x -=【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）7．用配方法解方程：2220x mx m +-=．【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）8．下面是小明用配方法解一元二次方程22480x x +-=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．知识点3 公式法解一元二次方程当240b ac -³时，方程()200ax bx c a ++=¹通过配方，其实数根可写为x =的形式，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．【题型3 公式法解一元二次方程】【例3】（23-24九年级上·山西大同·9．用公式法解关于x 的一元二次方程，得x =是 ．【变式3-1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）10．用公式法解一元二次方程：()()2350x x --=．解：方程化为2311100x x -+=．3,a b == ，10c =．2Δ4b ac =-=431010-´´=>．方程实数根．x = =，即1x =，253x =．【变式3-2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）11．用公式法解方程20(0)ax bx c a -+-=¹，下列代入公式正确的是（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【变式3-3】（23-24九年级上·广东深圳·期中）12．用求根公式法解得某方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两个根互为相反数，则（ ）A ．0b =B ．0c =C ．240b ac -=D ．0b c +=知识点4 因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．【题型4 因式分解法解一元二次方程】【例4】（23-24九年级下·安徽亳州·期中）13．关于x 的一元二次方程()22x x x -=-的根是（ ）A ．1-B ．0C ．1和2D ．1-和2【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）14．以下是某同学解方程2326x x x -=-+的过程：解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，①方程两边同除以()3x -，得2x =-，②∴原方程的解为2x =-．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【变式4-2】（23-24九年级下·安徽安庆·期中）15．对于实数m ，n ，定义运算“※”：22m n m n =-※，例如：2232232=-´=-※．若50x x =※，则方程的根为（ ）A ．都为10B ．都为0C ．0或10D ．5或5-【变式4-3】（13-14九年级·浙江·课后作业）16．利用因式分解求解方程（1）243y y =；(2)(23)(23)(23)0x x x x +--+=．【题型5 十字相乘法解一元二次方程】【例5】（23-24九年级下·广西百色·期中）17．以下是解一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的一种方法：二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1212a a c c ，，，排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若此时满足1221a c a c b +=，那么20(a 0)++=¹ax bx c 就可以因式分解为1122()()0a x c a x c ++=，这种方法叫做“十字相乘法”．那么2611100x x --=按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）A ．(2)(65)0x x -+=B ．(22)(35)0x x +-=C ．(5)(62)0x x -+=D ．(25)(32)0x x -+=【变式5-1】（23-24九年级上·江西上饶·期末）18．试用十字相乘法解下列方程(1)2540x x ++=；(2)23100x x +-=．【变式5-2】（23-24九年级下·广西梧州·期中）19．解关于x 的方程227120x mx m -+=得（ ）A ．13x m =-，24x m =B ．13x m =，24x m =C ．13x m =-，24x m=-D ．13x m =，24x m=-【变式5-3】（23-24九年级下·重庆·期中）20．阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x ，y 的二次三项式22ax bxy cy ++，如图1，将2x 项系数12a a a =×，作为第一列，2y 项系数12c c c =×，作为第二列，若1221a c a c +恰好等于xy 项的系数b ，那么22ax bxy cy ++可直接分解因式为：()()221122ax bxy cy a x c y a x c y ++=++示例1：分解因式：2256x xy y ++解：如图2，其中111=´，623=´，而51312=´+´；∴2256(2)(3)x xy y x y x y ++=++；示例2：分解因式：22412x xy y --．解：如图3，其中111=´，1262-=-´，而4121(6)-=´+´-；∴22412(6)(2)x xy y x y x y --=-+；材料二：关于x ，y 的二次多项式22ax bxy cy dx ey f +++++也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将12a a a =作为一列，12c c c =作为第二列，12f f f =作为第三列，若1221a c a c b +=，1221a f a f d +=，1221c f c f e +=，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：()()22111222ax bxy cy dx ey f a x c y f a x c y f +++++=++++；示例3：分解因式：2243283x xy y x y -+-+-．解：如图5，其中111=´，3(1)(3)=-´-，3(3)1-=-´；满足41(3)1(1)-=´-+´-，21(3)11,8(3)(3)(1)1-=´-+´=-´-+-´；∴2243283(3)(31)x xy y x y x y x y -+-+-=---+请根据上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：232x x ++= ；2256220x xy y x y -+++-= ；（2）若x ，y ，m 均为整数，且关于x ，y 的二次多项式2262120x xy y x my +--+-可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m 的值，并求出关于x ，y 的方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解．【题型6 用适当方法解一元二次方程】【例6】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）21．用适当的方法解下列方程：(1)24x x =；(2)()2340x --=；(3)22450x x --=；(4)()()()1222x x x -+=+．【变式6-1】（23-24九年级上·山西太原·期中）22．用适当的方法解下列一元二次方程：(1)2420x x +-=；(2)()3515x x x +=+.【变式6-2】（23-24九年级下·山东泰安·期末）23．用适当的方法解下列方程(1)2354x =；(2)()()1311x x +-=；(3)()()421321x x x +=+；(4)2610x x +=．【变式6-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）24．用适当的方法解下列方程．(1)2(2)250x +-=；(2)2450x x +-=；(3)22310x x -+=．【题型7 用指定方法解一元二次方程】【例7】（23-24九年级下·山东日照·期末）25．用指定的方法解下列方程：（1）4（x ﹣1）2﹣36=0（直接开方法）（2）x2+2 x ﹣3=0（配方法）（3）（x +1）（x -2）=4（公式法）（4）2（x +1）﹣x （x +1）=0（因式分解法）【变式7-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）26．用指定的方法解方程：(1)2410x x --=（用配方法）(2)23119x x -=-（用公式法）(3)()22539x x -=-（用因式分解法）(4)2242y y y +=+（用适当的方法）【变式7-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）27．用指定的方法解方程：(1)212502x x --=（用配方法）(2)2820x x =+（用公式法）(3)()()23430x x x -+-=（用因式分解法）(4)()()23110x x +-=（用适当的方法）【变式7-3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）28．按指定的方法解下列方程：(1)289x x =+（配方法）；(2)2273=0y y ++（公式法）；(3)()2236x x +=+（因式分解法）．【题型8 用换元法解一元二次方程】【例8】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）29．已知()()22222150a b a b +++-=，求22a b +的值．【变式8-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）30．关于x 的方程()2222230x x x x +++-=，则2x x +的值是（ ）A ．3-B ．1C ．3-或1D ．3或1-【变式8-2】（23-24九年级上·广东江门·期中）31．若()()5567a b a b +++=，则5a b += ．【变式8-3】（23-24九年级上·山东临沂·期中）32．利用换元法解下列方程：(1)422320x x --=；(2)()()222540x x x x ---+=．【题型9 解含绝对值的一元二次方程】【例9】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）33．阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：23||100x x --=．解：分两种情况：①当x ≥0时，原方程化为23100x x --=解得125,2x x ==-（舍去）；②当x <0时，原方程化为23100x x +-=，解得345,2x x =-=（舍去）．综上所述，原方程的解是125,5x x ==-．请参照上述方法解方程2|1|10x x -+-=．【变式9-1】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）34．解方程22240x x ++-=【变式9-2】（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）35．解方程222390x x -++=【变式9-3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）36．解方程2|5|20x x ---=【题型10 配方法的应用】【例10】（23-24九年级上·河北沧州·期中）37．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++，∵()220y +³，∴()2244y ++³∴当2y =-时，248y y ++的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式2612x x -+的最小值；(2)【举一反三】若22y x x =--当x =________时，y 有最________值（填“大”或“小”），这个值是________；(3)【灵活运用】已知224250x x y y -+++=，则x y +=________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【变式10-1】（2023·河北石家庄·一模）38．已知226A x x n =++，2224B x x n =++，下列结论正确的是（ ）A ．B A -的最大值是0B ．B A -的最小值是1-C ．当2B A =时，x 为正数D ．当2B A =时，x 为负数【变式10-2】（23-24九年级上·四川攀枝花·期中）39．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【变式10-3】（23-24九年级下·浙江宁波·期中）40．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x 可取任何实数，试求二次三项式223x x ++的最小值．解：22223212(1)2x x x x x ++=+++=++；Q 无论x 取何实数，都有2(1)0x +³，2(1)22x \++³，即223x x ++的最小值为2．【尝试应用】（1）请直接写出22410x x ++的最小值______ ；【拓展应用】（2）试说明：无论x【创新应用】（3）如图，在四边形ABCD 中，AC BD ^，若10AC BD +=，求四边形ABCD 的面积最大值．1． ±3 3 －3 2 －1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵2219()x =－∴21x =－±3∴21x －＝3，21x －＝-3∴1x ＝2，2x ＝-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2．A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：（A ）移项可得29x =-，故选项A 无解；（B ）220x -=，即20x =，故选项B 有解；（C ）移项可得23x =，故选项C 有解；（D ）()220x -=，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3．7m ³【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，∴70-³m ，解得：7m ³，故答案为：7m ³．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4．(1)7，2，4-，10-．(2)11x =-+，21x =--【分析】（1）仿照平均数法可把原方程化为()()72725x x +-++=éùéùëûëû，可得()279x +=，再解方程即可；（2）仿照平均数法可把原方程化为()()161612x x +-++=éùéùëûëû，可得()2148x +=，再解方程即可；【详解】（1）解：∵()()595x x ++=，∴()()72725x x +-++=éùéùëûëû，∴()2745x +-=，∴()279x +=，∴73x +=或73x +=-，解得：14x =-，210x =-．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，4-，10-．（2）∵()()5712x x -+=，∴()()161612x x +-++=éùéùëûëû，∴()213612x +-=，∴()2148x +=，∴1x +=，1x +=-解得：11x =-+21x =--【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．5．25166x x -= 2221151()()612612x x -+=+ 1111212x -=±【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】251322x x -=．解：两边同除以3，得25166x x -=．移项，得21566x x -=．配方，得2221151(()612612x x -+=+，即21121()12144x -=．两边开平方，得1111212x -=±，即1111212x -=，或1111212x -=-．所以11x =，256x =-．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：2610x x --=移项得：261x x -=配方得：26919x x -+=+即()2310x -=故选：B7．1x m =-，2x m =-【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得222x mx m +=，配方得22222x mx m m m ++=+，即()222x m m +=，所以原方程的解为：1x m =-，2x m =-．8．①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程22480x x +-=变为224x x +=，然后配方为()218x +=，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②22480x x +-=，移项，得2248x x +=，二次项系数化为1，得224x x +=，配方，得()215x +=，由此可得1x +=所以，1211x x =-=-．9．24610x x ++=【详解】解： x =Q 4a \=，6b =，1c =，从而得到一元二次方程为24610x x ++=，故答案为：24610x x ++=．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．10． 11- 2(11)- 有两个不相等的 1116± 2【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为2311100x x -+=．3a =，11b =-，10c =．2Δ4b ac =-=()211431010--´´=>．方程有两个不相等的实数根．x ==1116±，即1x =2，253x =．故答案为：11-；2(11)-1116±；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．11．B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程20(0)ax bx c a -+-=¹可化为20ax bx c -+=由求根公式可得：x ==故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．12．A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根12x x 、，由题意得120x x +=，可求出0b =．【详解】Q 方程20(a 0)++=¹ax bx c 有两根，240b ac \D =-…且所以120x x +=0=，解得0b =．故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．13．D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵()22x x x -=-，∴()()220x x x -+-=，∴()()120x x +-=，∴10x +=或20x -=，解得1x =-或2x =，故选：D ．14．(1)②(2)过程见解析【分析】（1）根据等式的性质作答即可；（2）先移项，然后用因式分解法求解．【详解】（1）解：∵()3x -可能为0，∴不能除以()3x -，∴第②步出现了错误故答案为②．（2）解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，移项，得()()3230-+-=x x x ，∴()()320x x -+=，∴13x =，22x =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．15．C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算22m n m n =-※可得，50x x =※即为25·20x x -=，即()100x x -=，10x \=，210x =，则方程的根为0或10．故选：C ．16．（1）1230,4y y ==；（2）123,32x x =-=【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1) 243y y =；2430y y -=(43)0y y -=y=0或4y-3=0∴1230,4y y ==，故答案为：1230,4y y ==；(2) (23)(23)(23)0x x x x +--+=(23)(3)0x x +-=230x +=或30x -=123,32x x =-=，故答案为：123,32x x =-=．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程243y y =时，给方程两边同除以y ，解得34y =，而丢掉y=0的情况．17．D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出()()2611102532x x x x --=-+即可．【详解】∵∴()()26111025320x x x x --=-+=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．18．(1)1241x x =-=-，；(2)1225x x ==-，．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解可得答案；（2 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】（1）解：2540x x ++=()()410x x ++=40x +=或10x +=∴1241x x =-=-，；（2）解：23100x x +-=()()520x x +-=50x +=或20x -=∴1225x x ==-，．19．B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解即可．直接运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：227120x mx m -+=，()()340x m x m --=，30x m -=或40x m -=，13x m =，24x m =．故选B ．20．（1）(1)(2)x x ++，(35)(24)x y x y -+--；（2）5456m m ==-，14x y =-ìí=î和24x y =ìí=-î【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m 值．【详解】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(1)(2)x x ++；②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4）满足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4）∴原式=(35)(24)x y x y -+--；（2）①111222135124a c f a c f --- 1221122211221512a c a c a f a f c f c f +=-ìï+=íï+=î②12101312-- 12211221122112a c a c a f a f c f c f m +=ìï+=-íï+=î 12121310--22(210)(312)62120x y x y x xy y x my -++-=+--+-∴54m =22(212)(310)62120x y x y x xy y x my --++=+--+-∴56m =-当54m =时，(210)(312)1x y x y -++-=-21013121x y x y -+=ìí+-=-î或21013121x y x y -+=-ìí+-=î，75245x y ì=-ïïíï=ïî（舍），14x y =-ìí=î当56m =-时，(212)(310)1x y x y --++=-21213101x y x y --=ìí++=-î或21213101x y x y -==ìí++=î，24x y =ìí=-î或69525x y ì=ïïíï=ïî（舍）综上所述，方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解有14x y =-ìí=î和24x y =ìí=-î；方法二：()2262120(3)(2)212x xy y x my x y x y x my y++--+-=+--+-(3)(2)(3)(2)()(32)x y a x y b x y x y a b x b a y ab=++-+=+-+++-+2123210120a b a b a m b ab +=-ì=-ìï-=Þíí=îï=-î或10541256a m b m ==ìÞí=-=-î．【点睛】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．21．(1)14x =，20x =(2)15x =，21x =(3)1x =2x =(4)12x =-，23x =【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；（2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；（3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；（4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】（1）解：240x x -=()40x x -=，解得14x =，20x =（2）解：()()32320x x ---+=()()510x x --=，解得15x =，21x =（3）解：2a =Q ，4b =-，5c =-()()()2244425164056b ac \-=--´´-=--=x \=解得（4）解：()()()12220x x x -+-+=()()2120x x +--=，()()230x x +-=，20,30x x \+=-=，解得12x =-，23x =22．(1)12x =，22x =(2)13x =-，25x =【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．（1）利用配方法解方程；（2）先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】（1）解：移项，得242x x +=，配方，得24424x x ++=+，()226x +=，两边开平方，得2x +=所以，12x =，22x =；（2）解：原方程可变形为：()()353x x x +=+，()()3530x x x +-+=，()()350x x +-=，30x +=或50x -=，所以，13x =-，25x =23．(1)1x =，2x =-(2)1x =2x =(3)112x =-，234x =(4)13x =-，23x =-【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求解即可；（2）方程整理后，利用求根公式法求解即可；（3）方程利用因式分解法求解即可；（4）方程利用配方法求解即可．【详解】（1）解：方程整理得：218x =，开方得：x =±解得：1x =2x =-（2）解：方程整理得：23220x x +-=，这里3a =，2b =，2c =-，Q △2243(2)424280=-´´-=+=>，x \2（3）解：方程移项得：4(21)3(21)0x x x +-+=，分解因式得：(21)(43)0x x +-=，所以210x +=或430x -=，解得：112x =-，234x =；（4）解：配方得：26919x x ++=，即2(3)19x +=，开方得：3x +=解得：13x =-23x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．24．(1)13x =，27x =-(2)11x =，25x =-(3)112x =，21x =【分析】（1）利用平方差公式，可以解答此方程；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：2(2)250x +-=，()()25250x x +-++=，30x \-=或70x +=，解得13x =，27x =-；（2）解：2450x x +-=，()()150x x -+=，10x \-=或50x +=，解得11x =，25x =-；（3）解：22310x x -+=，()()2110x x --=，210x \-=或10x -=，解得112x =，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．25．（1）x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）x 1＝1，x 2＝﹣3；（3）x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）x 1＝﹣1，x 2＝2．【分析】（1）直接利用开方法进行求解即可得到答案；（2）直接利用配方法进行求解即可得到答案；（3）直接利用公式法进行求解即可得到答案；（4）直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：（1）∵()241360x --=∴（x ﹣1）2＝9，∴x ﹣1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）∵x 2+2x ＝3，∴x 2+2x +1＝4，∴（x +1）2＝4，∴x +1＝±2，∴x 1＝1，x 2＝﹣3；（3）∵x 2﹣x ﹣6＝0，∴△（﹣6）＝25，∴x 152±=，∴x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）∵()()2110x x x +-+=∴（x +1）（2﹣x ）＝0，∴x +1＝0或2﹣x ＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.26．(1)12x =+，22x =(2)12x x ==(3)12932x x ==，(4)12122y y ==-，【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．（2）先化为一般式，再根据24b ac D =-算出，以及代入x =答．（3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x 的值，即可作答．（4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x 的值，即可作答．【详解】（1）解：2410x x --=移项，得241x x -=配方，得24414x x -+=+，即()225x -=∴2x -=解得12x =，22x =+；（2）解：23119x x -=-231190x x -+=243912110813D =´´=-=∴x =解得2x =（3）解：()22539x x -=-()()225390x x ---=()()()253330x x x ---+=()()()()()353334180x x x x x ù-é--+=--=ëû则304180x x -=-=，解得12932x x ==，；（4）解：2242y y y +=+()22420y y y +-+=()()2220y y y +-+=()()2120y y -+=∴21020y y -=+=，解得12122y y ==-．27．(1)1222x x ==(2)1210,2x x ==-(3)123,0.6x x ==(4)1243,3x x =-=【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）移项，得：21252x x -=，系数化1，得：2410x x -=，配方，得：24414x x -+=，2(2)14x -=，2x -=∴12x =22x =；（2）原方程可变形为28200x x --=，1a =，8b =-，20c =-，()()28412064801440D =--´´-=+=>，原方程有两个不相等的实数根，8122x ±\===，∴110x =，22x =-；（3）原方程可变形为：()()3340x x x --+=，整理得：()()3530x x --=，解得13x =，20.6x =；（4）原方程可变形为：2352100x x +--=，整理得：235120x x +-=，()()3430x x -+=，∴13x =-，243x =【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．28．(1)19x =，21x =-．(2)13x =-，212x =-．(3)12x =-，21x =．【分析】（1）先把方程化为281625x x -+=，可得()2425x -=，再利用直接开平方法解方程即可；（2）先计算27423492425>0=-´´=-=V ，再利用求根公式解方程即可；（3）先移项，再把方程左边分解因式可得()()210x x +-=，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】（1）解：289x x =+，移项得：289x x -=，∴281625x x -+=，配方得：()2425x -=，∴45x -=或45x -=-，解得：19x =，21x =-．（2）解：2273=0y y ++，∴23492425>0==-=V ，∴754x -±==，∴13x =-，212x =-．（3）解：()2236x x +=+，移项得：()()22320x x +-+=，∴()()210x x +-=，∴20x +=或10x -=，解得：12x =-，21x =．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．29．3【分析】先用换元法令22(0)a b x x +=>，再解关于x 的一元二次方程即可．【详解】解：令22(0)a b x x +=>，则原等式可化为：(2)150x x +-=，解得：123,5x x ==-，0x Q >，3x \=，即223a b +=．22a b +的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意22a b +为非负数是本题的关键．30．B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设2x x t +=，则此方程可化为2230t t +-=，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设2x x t +=，则此方程可化为2230t t +-=，∴()()130t t -+=，∴10t -=或30t +=，解得11t =，23t =-，∴2x x +的值是1或3-．当23+=-x x 时，230x x ++=，∵112110D =-=-<，∴此方程无解，∴2x x +的值是1．故选：B ．31．1或7-【分析】本题主要考查解一元二次方程，设5a b x +=，则原方程可变形为()67x x +=，方程变形后运用因式分解法求出x 的值即可得到结论．【详解】解：设5a b x +=，则原方程可变形为()67x x +=，整理得，2670x x +-=，()()170x x -+=，10x -=，70x +=，∴1x =，7x =-，即51a b +=或7-，故答案为：1或7-．32．(1)12x x ==(2)1234x x x x ====【分析】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．（1）根据换元思想，设2y x =，则2y =或12y =-，由此即可求解；（2）设2y x x =-，则4y =或1y =，由此即可求解．【详解】（1）解：设2y x =，则原方程化为22320y y --=，∴2y =或12y =-，当2y =时，22x =，∴12x x ==，当12y =-时，212x =-，此时方程无解，∴原方程的解是12x x ==（2）解：设2y x x =-，则原方程化为2540y y -+=，∴4y =或1y =，当4y =时，2x -∴12x x ==，当1y =时，2x x -∴34x x =∴原方程的解是1234x x x x ===．33．122,1x x ==-【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当10x +³，即1x ³-时，原方程化为()2110x x -+-=，解得122,1x x ==-；②当10x +<，即1x <-时，原方程化为()2110x x ++-=，解得30x =（舍去），41x =-（舍去）．综上所述，原方程的解是122,1x x ==-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．34．1202x x ，==-【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，分类讨论，解一元二次方程，是解决问题的关键．对2x +为非负、负，两种情况讨论，先把绝对值号化简，方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x 的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当20x +³，即2x ³-时，方程变形得：()22240x x ++-=∴220x x +=∴()20x x +=∴1202x x ，==-；②当20x +<，即2x <-时，方程变形得：()22240x x -+-=∴228=0x x --∴()()240x x +-=∴12x =-（舍去），24x =（舍去）∴综上所述，原方程的解是10x =或22x =-35．1213x x ==，【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的非负性，分类讨论化简绝对值，解一元二次方程，是解题的关键．分32x ³-与32x <-，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2+30x ³，即32x ³-时，原方程可化为：()222390x x +-+=，整理得：2430x x -+=，解得：1213x x ==，，当230x +<，即32x <-时，原方程可化为：()222390x x +++=，整理得24150x x ++=，∵244115440D ´=--=´<，∴此方程无实数解．综上所述，原方程的解为：1213x x ==，．36．12x x 【分析】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，根据题意分50x -³和50x -<两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当50x -³时，即5x ≥时，原方程化为2520x x +--=，即230x x -+=，113a b c ==-=，，，∴()22Δ4141311<0b ac =-=--´´=-，∴原方程无解，②当50x -<时，即5x <时，原方程化为2520x x +--=，即270x x +-=，=1=1=7a b c -，，，∴()22Δ4141729>0b ac =-=-´´-=，x2x ．37．(1)3(2)1-；大；1(3)1(4)当4m BF =，矩形养殖场的总面积最大，最大值为248m ．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：（1）把原式利用配方法变形为()233x -+，再仿照题意求解即可；（2）把原式利用配方法变形为()211x -++，再仿照题意求解即可；（3）把原式利用配方法变形为()()22210x y -++=，再利用非负数的性质求解即可；（4）设m BF x =，则22m CF BF x ==，则3m BC x =，进而求出243m 3x AB -=，则()2243334483ABCD xS x x -=×=--+矩形，据此可得答案．【详解】（1）解：2612x x -+()2693x x =-++()233x =-+，∵()230x -³，∴()2333x -+³，∴当3x =时，2612x x -+的最小值为3；（2）解：22y x x=--2211x x =---+()211x =-++，∵()210x +³，∴()210x -+£，∴()2111x -++£，∴当1x =-时，22y x x =--有最大值，最大值为1，故答案为：1-；大；1；（3）解：∵224250x x y y -+++=，∴()()2244210x x y y -++++=，∴()()22210x y -++=，∵()()222010x y -³+³，，∴()()22210x y -=+=，∴2010x y -=+=，，∴21x y ==-，，∴211x y +=-=；（4）解：设m BF x =，则22m CF BF x ==，∴3m BC x =，∴243m 3x AB -=，∴24333ABCD x S x -=×矩形 2324x x=-+()23448x =--+，∵()240x -³，∴()2340x --£，∴()2344848x --+£，∵315AD BC x ==£，∴05x <£，∴当4x =时，ABCD S 矩形最大，最大值为48，∴当4m BF =，矩形养殖场的总面积最大，最大值为248m ．38．B【分析】利用配方法表示出B A -，以及2B A =时，用含n 的式子表示出x ，确定x 的符号，进行判断即可．【详解】解：∵226A x x n =++，2224B x x n =++，∴()2222246B A x x n x x n -=+++-+2222246x x n x x n =--++-22x x=-()211x =--；∴当1x =时，B A -有最小值1-；当2B A =时，即：()22222426x x n x x n =++++，∴2222242122x x n x x n =++++，∴280x n -=³，∴0x £，即x 是非正数；故选项A,C,D 错误，选项B 正确；故选B ．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．39．C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．40．（1）8；（2）见解析；（3）252【分析】（1）利用配方法把22410x x ++变形为22(1)8x ++，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；（2）利用配方法得到22172()24x x x ++=++，则可判断220x x ++>，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x （3）利用三角形面积公式得到四边形ABCD 的面积12AC BD =××，由于10BD AC =-，则四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-，利用配方法得到四边形ABCD 的面积2125(5)22AC =--+，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：（1）()2224102210x x x x ++=++()2221110x x =++-+ 22(1)8x =++，Q 无论x 取何实数，都有22(1)0x +³，2(1)88x \++³，即223x x ++的最小值为8；故答案为：8；（2）22172()24x x x ++=++，21(02x +³Q ，220x x \++>，\无论x 都有意义；（3）AC BD ^Q ，\四边形ABCD 的面积12AC BD =××，10AC BD +=Q ，10BD AC \=-，\四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-。
一元二次方程及解法经典习题及解析[优质文档]精品文档6页
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┃知识归纳┃1．一元二次方程的概念只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．2．一元二次方程的解法一元二次方程有四种解法：法、法、法和法．[注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0.3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac(1)Δ>0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；(2)Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；(3)Δ<0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根．4．一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝.[注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0.四大解法一、开平方法方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0) 二、配方法“配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解1.化1:把二次项系数化为1;2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;4.变形:化成5.开平方，求解三、公式法1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).2.b2-4ac≥0.四、因式分解法1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;解题技巧：先考虑开平方法,再用因式分解法;最后才用公式法和配方法;一元二次方程及解法经典习题及解析一、填空题：1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ．2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程．4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， ·5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ．6．(2019·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ．7．不解方程，判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是 ．8．(2019·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ．9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ．二、选择题：11．(2019·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(422-+=++x a x x 成立，则a 的值为( )A ．5 8．4 C ．3 D ．212．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( )13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D14．(2019·广安市)关于X 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )1.->k A 1.>k B 0.=/k C 1.->k D 且0=/k15．(2019·广州市)一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为( )16．解方程.251212;0)23(3)32(;0179;072222x x x x x x x =+=-+-=--=-④③②① 较简便的方法是( )A ．依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法B ．依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法①.C 用直接开平方法，②④用公式法，③用因式分解法①.D 用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法17．(2019·云南省)用配方法解一元二次方程.0782=++x x 则方程可变形为( )18．一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是() 2.>k A 2.<k B 且1=/k 2.<k C 2.>k D 且1=/k19．下列方程中有两个相等的实数根的方程是( )20．(2019·大连市)一元二次方程0422=++x x 的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根21．下列命题正确的是( )x x A =22.。
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提技能·题组训练
用求平方根的方法解一元二次方程
1.方程x2=16的解是( )
A.x=±4
B.x=4
C.x=-4
D.x=16
【解析】选A.根据平方根的意义,得x=±4.
2.方程y2=(-5)2的解是( )
A.y=5
B.y=-5
C.y=±5
D.y=±
【解析】选C.由y2=(-5)2,得y2=25,根据平方根的定义,得y=±5.
【易错提醒】由于方程左右两边的形式相同,容易出现y=-5,遗漏y=5的情况.
3.方程(x-2)2=9的解是( )
A.x1=5,x2=-1
B.x1=-5,x2=1
C.x1=11,x2=-7
D.x1=-11,x2=7
【解析】选A.两边开平方得,x-2=±3,解得x1=5,x2=-1.
【一题多解】解答此类题目,亦可用代入验证的办法.把x=5代入方程,(5-2)2=9;把x=-1代入方程,(-1-2)2=9.所以方程(x-2)2=9的解是5和-1.
4.若方程x2=m的解是有理数,则实数m不能取下列四个数中的( )
A.1
B.4
C.
D.
【解析】选D.解方程x2=m,得x=±;∵方程x2=m的解是有理数,∴m是完全平方数,所以1,4,都满足方程的解为有理数,符合要求.
5.方程(x-1)2-2=0的根是.
【解析】方程(x-1)2-2=0,变形得:(x-1)2=2,解得:x=1±.
答案:x=1±
6.一元二次方程2x2-6=0的解为.
【解析】移项得2x2=6,系数化为1得x2=3,根据平方根的意义,得x=±. 答案:±
7.解一元二次方程(2x-1)2-16=0.
【解析】移项,得(2x-1)2=16,
直接开平方,得2x-1=±4,解得x1=,x2=-.
变形后用直接开平方法解一元二次方程
1.一元二次方程x2-x+=0的根是( )
A.x1=,x2=-
B.x1=2,x2=-2
C.x1=x2=-
D.x1=x2=
【解析】选D.原方程可化为=0,根据平方根的意义,得x1=x2=.
2.一元二次方程9x2-6x+1=4的解是( )
A.x1=1,x2=-2
B.x1=-,x2=2
C.x1=1,x2=-
D.x1=-1,x2=
【解题指南】解答本题的三个步骤:
①把方程化为左平方,右常数的形式;
②两边开平方等号右边取正负;
③得到两个方程,并分别求出它们的解.
【解析】选C.原方程可化为:(3x-1)2=4,直接开平方得:
3x-1=±2,即3x-1=2或者3x-1=-2,
解得:x1=1,x2=-.
3.方程x2-8x+16=3的解是.
【解析】原方程可化为(x-4)2=3,根据平方根的意义,得x-4=±,所以x1=4+,x2=4-.
答案:x1=4+,x2=4-
4.当a为何值时,代数式9a2-24a+16的值是0.
【解析】由题意:9a2-24a+16=0,即(3a-4)2=0,
所以3a-4=0,所以a1=a2=.
5.解下列方程:
(1)x2-4x+4=7. (2)9x2+12x+4=9.
【解析】(1)原方程可化为(x-2)2=7,根据平方根的意义,
得x-2=±,所以x1=2+,x2=2-.
(2)原方程可化为(3x+2)2=9,根据平方根的意义,得3x+2=±3,所以x1=,x2=-. 【知识归纳】可以用直接开平方法求解的方程的特点
如果一个一元二次方程的左边可以化为含有未知数的完全平方式,而右边是一个非负数的形式,根据平方根的定义,可以用直接开平方法求解.
6.用恰当的方法解方程.(3x-2)2=(x+4)2
【解析】根据平方根的意义,得:3x-2=x+4或3x-2=-(x+4),
解得:x1=3,x2=-.
【错在哪？】作业错例课堂实拍
解方程16y2-40y+25=72.
(1)找错:从第步开始出现错误.
(2)纠错:___________________________________.
答案：(1)②
(2)4y-5=±7,即4y=5±7.所以y1=3，y2=-1.
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