近世代数复习题

近世代数复习思考题

一、基本概念与基本常识的记忆

(一)填空题

1、剩余类加群Z 12有_________个生成元、

2、设群G 的元a 的阶就是n,则a k 的阶就是________、

3、 6阶循环群有_________个子群、

4、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a

n

=,那么m 与n 存在整除关系为———。

5、 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个、

6、整数环Z 的理想有_________个、

7、n 次对称群Sn 的阶就是——————。

8、9-置换⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛728169345987654321分解为互不相交的循环之积就是————。 9、剩余类环Z 6的子环S={［0］,［2］,［4］},则S 的单位元就是____________、 10、

24

中的所有可逆元就是:__________________________、

11、凯莱定理的内容就是:任一个子群都同一个________同构。

12、 设()G a =为循环群,那么(1)若a 的阶为无限,则G 同构于___________,(2)若a 的阶为n,则G 同构于____________。

13、 在整数环中,23+=__________________; 14、n 次对称群S n 的阶就是_____、

15、 设12,A A 为群G 的子群,则21A A 就是群G 的子群的充分必要条件为___________。 16、除环的理想共有____________个。

17、 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________、

18、在整数环Z 中,由｛2,3｝生成的理想就是_________、 19、 剩余类环Z 7的可逆元有__________个、

20、设Z 11就是整数模11的剩余类环,则Z 11的特征就是_________、 21、 整环I={所有复数a+bi(a,b 就是整数)},则I 的单位就是__________、 22、 剩余类环Z n 就是域⇔n 就是_________、

23、设Z 7 ={0,1,2,3,4,5,6}就是整数模7的剩余类环,在Z 7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________、

24、 设G 为群,a G ∈,若12a =,则8a =_______________。

25、设群G=｛e,a 1,a 2,…,a n -1｝,运算为乘法,e 为G 的单位元,则a 1n =___、 26、 设A={a,b,c},则A 到A 的一一映射共有__________个、 27、整数环Z 的商域就是________、 28、 整数加群Z 有__________个生成元、

29、若R 就是一个有单位元的交换环,I 就是R 的一个理想,那么R I 就是一个域当且仅当I 就是————————。 30、 已知1234531254σ⎛⎫=

⎪⎝⎭

为5S 上的元素,则1

σ-＝__________。31、 每一个有限群

都与一个__________群同构。

32、设I 就是唯一分解环,则I ［x ］与唯一分解环的关系就是——————。

二、基本概念的理解与掌握。

(二)选择题

1、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。

A 、2

B 、5

C 、7

D 、10

2、设A ＝B ＝R(实数集),如果A 到B 的映射

ϕ:x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ就是从

A 到

B 的( )

A 、满射而非单射

B 、单射而非满射

C 、一一映射

D 、既非单射也非满射

3、设Z 15就是以15为模的剩余类加群,那么,Z 15的子群共有( )个。 A 、2

B 、4

C 、6

D 、8

4、G 就是12阶的有限群,H 就是G 的子群,则H 的阶可能就是( ) A 5; B 6; C 7; D 9、

5、下面的集合与运算构成群的就是 ( )

A {0,1},运算为普通的乘法;

B {0,1},运算为普通的加法;

C {-1,1},运算为普通的乘法;

D {-1,1},运算为普通的加法; 6、关于整环的叙述,下列正确的就是 ( )

A 左、右消去律都成立;

B 左、右消去律都不成立;

C 每个非零元都有逆元;

D 每个非零元都没有逆元; 7、关于理想的叙述,下列不正确的就是 ( )

A 在环的同态满射下,理想的象就是理想;

B 在环的同态满射下,理想的逆象就是理想;

C 除环只有两个理想,即零理想与单位理想

D 环的最大理想就就是该环本身、

8、整数环Z 中,可逆元的个数就是( )。 A 、1个

B 、2个

C 、4个

D 、无限个

9、 设M 2(R)=⎪⎩⎪⎨⎧

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛d c

b a

a,b,c,d ∈R,R 为实数域⎭

⎬⎫按矩阵的加法与

乘法构成R 上的二阶方阵环,那么这个方阵环就是( )。

A 、 有单位元的交换环

B 、 无单位元的交换环

C 、 无单位元的非交换环

D 、 有单位元的非交换环 10、 设Z

就是整数集,σ(a)=⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时当为偶数时

当a ,2

1a a ,2a

,Z a ∈,则σ就是R 的( )、

A 、 满射变换

B 、 单射变换

C 、 一一变换

D 、 不就是R 的变换

11、设A={所有实数x},A 的代数运算就是普通乘法,则以下映射作成A 到A 的一个

子集 的同态满射的就是( )、

A 、x→10x

B 、x→2x

C 、x→|x|

D 、x→-x 、

12、设 就是正整数集Z 上的二元运算,其中{}max ,a b a b =(即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( )

A 、不适合交换律

B 、不适合结合律

C 、存在单位元

D 、每个元都有逆元、

13、设3S ={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},则3S 中与元(1 2 3)不能交换的元的个数就是( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4、

14、设(),G 为群,其中G 就是实数集,而乘法:a b a b k =++,这里k 为G 中固定的常数。那么群(),G 中的单位元e 与元x 的逆元分别就是( ) A 、0与x -; B 、1与0; C 、k 与2x k -; D 、k -与(2)x k -+

15、设H 就是有限群G 的子群,且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH 。如果H =6,那么G 的阶G =( )

A 、6

B 、24

C 、10

D 、12 16、整数环Z 中,可逆元的个数就是( )、