第4章 Poisson过程(使用版)
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P{N (t) 0} et Home
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可见 X 2 也服从均值为1/ 的指数分布 且 X 2 与 X1 独立同分布。
一般地 对 n 1和t，s1，s2， ，sn1 0 P{X n t | X1 s1, X 2 s2 ,L , X n1 sn1}
说明2
条件3即表明N(t)服从参数为λt的Poisson分布
说明3 Poisson过程的数字特征为
mN (t) t CN (s,t) min(s,t) DN (t) t RN (s,t) 2st min(s,t)
Home
说明4
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要确定计数过程是Poisson过程，必须证明 它满足三个条件。（条件3很难验证）
k!
k 0,1,2,
则称 N(t) 为具有参数 的 Poisson(泊松)过程
注意 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[N(t)] t 并称 为此过程的 速率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
Home
说明1
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Poisson过程具有很大的理论价值和应用价值
考虑一个来到某“服务点”要求服务的“顾 客流”，顾客到服务点的到达过程可认为是 Poisson过程。
为此给出一个与Poisson过程等价的定义
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程， 参数为 （ 0 ），
满足
Home
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（1） N (0) 0
（2）过程有平稳与独立增量
（3） P{N(h) 1} h (h)
（4） P{N(h) 2} (h)
其中(h) 表示当h 0 时对 h 的高阶无穷小，
故当t 0 时，有
P{X1
t}
P{N (t)
0}
(t ) 0
0!
e t
e t
或 P{X1 t} 1 et
故 X1 的分布函Hale Waihona Puke Baidu为
Home
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FT1
(t )
1 0,
e t
,t t
0 0
即 X1 是服从均值为1/ 的指数分布。
又因 X 2 为事件第一次发生到第二次发生之间的时间间隔，
那么类似地有
P{X 2 t | X1 s1}
P{在(s1, s1 t]内没有事件发生 | X1 s1} P{在(s1, s1 t]内没有事件发生} （增量的独立性） P{N (s1 t) N (s1) 0} P{N (t) N (0) 0} （齐次独立增量过程）
符号说明 设{ N(t) ，t 0 }为泊松过程， N(t) 表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数
Tn , (n 1, 2, 3,L ) （ i 1,2, ）表示第 n 次事件发生的时刻
Xn , (n 1, 2,3,L ) （ i 1,2, ）
表示第 n 次与第 n-1 次事件发生的时间间隔
（4）对任意两个时刻0 t1 t2 ，
X (t2 ) X (t1) 等于在区间(t1,t2 ] 中发生的事件的个数
Home
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注
如果在不相交的时间区间中发生的事件个
数是独立的，则称计数过程有独立增量。
若在任一时间区间中发生的事件个数的分 布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有 平稳增量。
P{N(t) N(0) 0} P{N (t) 0} et
Home
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这就证明了到达时间间隔序列 X n （ n 1）是相互独
立同分布的随机变量序列，且都具有相同均值为
1/ 的指数分布。
例3 甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽 车的到达分别服从10分钟1辆（甲），15分钟1 辆（乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试 问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站 所需等待时间的概率分布及其期望。
则称 N(t) 为具有参数 的泊松过程
两种定义的等价证明
Home
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例 顾客到达某商店服从参数 4 人/小时的泊松过程，
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时 仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位 顾客的概率。 解 设 X (t) 表示在时间t时到达的顾客数
P(X (0.5) 1, X (2.5) 5)
二、Poisson过程
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程，
满足
（1） N (0) 0
（2） N(t) 是独立增量过程
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（3）对任一长度为 t 的区间中事件的个数
服从均值为t （ 0 ）的泊松分布，
即对一切s,t 0 ，有
P{N(t s) N(s) k} (t)k et
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第一节 Poisson过程的定义
一、计数过程
如果用 X (t) 表示[0，t]内随机事件发生的总数，
则 随机过程{ X (t) ，t 0 }称为一个计数过程
且满足：
（1） X (t) 0 （2） X (t) 是整数值 （3）对任意两个时刻 0 t1 t2 ，有 X (t1) X (t2 )
显然
n
Tn X1 X 2 L X n X i i1
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定理1 设{ N(t) ， t 0 }是参数为 （ 0 ）的泊松过程，
则到达时间间隔序列 X1，X2，L 是相互独立的随机变量序列，
且都有相同的均值为1/ 的指数分布。
证 事件{T1 t }的发生当且仅当没有泊松事件在[0，t] 内发生
P{在(s1 sn1, s1 sn1 t]内没有事件发生
| X1 s1, X 2 s2 ,L , X n1 sn1}
P{在(s1 sn1, s1 sn1 t]内没有事件发生
P{N (s1 L sn1 t) N (s1 L sn1) 0}
P(X (0.5) 1, X (2.5) X (0.5) 4)
P(X (0.5) 1)P(X (2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!
4!
0.0155 ||
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第二节 Poisson过程的若干分布
1.到达时间间隔和到达时间的分布
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可见 X 2 也服从均值为1/ 的指数分布 且 X 2 与 X1 独立同分布。
一般地 对 n 1和t，s1，s2， ，sn1 0 P{X n t | X1 s1, X 2 s2 ,L , X n1 sn1}
说明2
条件3即表明N(t)服从参数为λt的Poisson分布
说明3 Poisson过程的数字特征为
mN (t) t CN (s,t) min(s,t) DN (t) t RN (s,t) 2st min(s,t)
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说明4
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要确定计数过程是Poisson过程，必须证明 它满足三个条件。（条件3很难验证）
k!
k 0,1,2,
则称 N(t) 为具有参数 的 Poisson(泊松)过程
注意 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[N(t)] t 并称 为此过程的 速率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
Home
说明1
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Poisson过程具有很大的理论价值和应用价值
考虑一个来到某“服务点”要求服务的“顾 客流”，顾客到服务点的到达过程可认为是 Poisson过程。
为此给出一个与Poisson过程等价的定义
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程， 参数为 （ 0 ），
满足
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（1） N (0) 0
（2）过程有平稳与独立增量
（3） P{N(h) 1} h (h)
（4） P{N(h) 2} (h)
其中(h) 表示当h 0 时对 h 的高阶无穷小，
故当t 0 时，有
P{X1
t}
P{N (t)
0}
(t ) 0
0!
e t
e t
或 P{X1 t} 1 et
故 X1 的分布函Hale Waihona Puke Baidu为
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FT1
(t )
1 0,
e t
,t t
0 0
即 X1 是服从均值为1/ 的指数分布。
又因 X 2 为事件第一次发生到第二次发生之间的时间间隔，
那么类似地有
P{X 2 t | X1 s1}
P{在(s1, s1 t]内没有事件发生 | X1 s1} P{在(s1, s1 t]内没有事件发生} （增量的独立性） P{N (s1 t) N (s1) 0} P{N (t) N (0) 0} （齐次独立增量过程）
符号说明 设{ N(t) ，t 0 }为泊松过程， N(t) 表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数
Tn , (n 1, 2, 3,L ) （ i 1,2, ）表示第 n 次事件发生的时刻
Xn , (n 1, 2,3,L ) （ i 1,2, ）
表示第 n 次与第 n-1 次事件发生的时间间隔
（4）对任意两个时刻0 t1 t2 ，
X (t2 ) X (t1) 等于在区间(t1,t2 ] 中发生的事件的个数
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注
如果在不相交的时间区间中发生的事件个
数是独立的，则称计数过程有独立增量。
若在任一时间区间中发生的事件个数的分 布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有 平稳增量。
P{N(t) N(0) 0} P{N (t) 0} et
Home
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这就证明了到达时间间隔序列 X n （ n 1）是相互独
立同分布的随机变量序列，且都具有相同均值为
1/ 的指数分布。
例3 甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽 车的到达分别服从10分钟1辆（甲），15分钟1 辆（乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试 问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站 所需等待时间的概率分布及其期望。
则称 N(t) 为具有参数 的泊松过程
两种定义的等价证明
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7/19
例 顾客到达某商店服从参数 4 人/小时的泊松过程，
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时 仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位 顾客的概率。 解 设 X (t) 表示在时间t时到达的顾客数
P(X (0.5) 1, X (2.5) 5)
二、Poisson过程
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程，
满足
（1） N (0) 0
（2） N(t) 是独立增量过程
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（3）对任一长度为 t 的区间中事件的个数
服从均值为t （ 0 ）的泊松分布，
即对一切s,t 0 ，有
P{N(t s) N(s) k} (t)k et
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第一节 Poisson过程的定义
一、计数过程
如果用 X (t) 表示[0，t]内随机事件发生的总数，
则 随机过程{ X (t) ，t 0 }称为一个计数过程
且满足：
（1） X (t) 0 （2） X (t) 是整数值 （3）对任意两个时刻 0 t1 t2 ，有 X (t1) X (t2 )
显然
n
Tn X1 X 2 L X n X i i1
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定理1 设{ N(t) ， t 0 }是参数为 （ 0 ）的泊松过程，
则到达时间间隔序列 X1，X2，L 是相互独立的随机变量序列，
且都有相同的均值为1/ 的指数分布。
证 事件{T1 t }的发生当且仅当没有泊松事件在[0，t] 内发生
P{在(s1 sn1, s1 sn1 t]内没有事件发生
| X1 s1, X 2 s2 ,L , X n1 sn1}
P{在(s1 sn1, s1 sn1 t]内没有事件发生
P{N (s1 L sn1 t) N (s1 L sn1) 0}
P(X (0.5) 1, X (2.5) X (0.5) 4)
P(X (0.5) 1)P(X (2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!
4!
0.0155 ||
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第二节 Poisson过程的若干分布
1.到达时间间隔和到达时间的分布