高一数学必修四,任意角的三角函数知识点及题型

第三课时：任意角的三角函数

1.锐角的三角函数的定义：

在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为

,,a b a sinA cosA tanA c c b

=== ． 2.任意角的三角函数定义：

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距

离为(0)r r ==

>，那么 （1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r

α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r

α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x

α=； 正弦、余弦、正切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

例1．求下列各角的四个三角函数值：

（1）0； （2）π； （3）

32

π．

例2．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的四个函数值。

例3．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。

3.三角函数的符号：

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值

y r

对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x r

对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； ③正切值y x 对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．

4.轴线角的三角函数值：

例4.确定下列三角函数值的符号：

（1）cos 250o ； （2）sin()4π-

； （3）tan(672)-o ； （4）11tan 3π．

5.诱导公式：

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：

sin(2)sin k απα+=，其中k Z ∈．

cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈．

tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈．

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 例4．求下列三角函数的值：（1）9cos 4π， （2）11tan()6π-，

例5.求函数x

x x x

y tan tan cos cos +=的值域 6.有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：带有方向的线段。

7.三角函数线的定义：

设任意角

的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点， 过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点

.

我们分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

例6．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

（1）； （2）； （3）； （4）．

例7.利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．

题型一、任意角三角函数的定义：

例1.已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切的值.

例2.已知角的终边经过点，且，求的值.

例3．已知角的终边在直线上，求的正弦、余弦、正切的值

题型二、确定角的三角函数值的符号：

例4．确定下列角的三角函数的符号：

（1）（2）（3）（4）例5．若两内角、满足，判断三角形的形状。

题型三、画三角函数线：

例6．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

题型四、利用三角函数线比较大小：

例7.利用三角函数线比较大小

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题型五、利用三角函数线求解下列三角方程（或三角不等式）：

例8．利用三角函数线求解下列三角方程（或三角不等式）