第八章 欧氏空间

第八章 欧式空间基础训练题1. 证明，在一个欧氏空间里，对任意的向量α，β，以下等式成立： (1) 222222βαβαβα＋＝－＋＋；(2) 〈α，β 〉＝224141βαβα－－＋.[提示：根据向量内积的定义及向量模的定义易证.] 2. 在欧氏空间R 4中，求一个单位向量与α1＝(1, 1, 0, 0)，α2＝(1, 1, －1, －1)，α3＝(1, －1, 1, －1)都正交.解:ε=⎪⎭⎫⎝⎛21,21,21,21－－.3. 设a 1, a 2, …, a n 是n 个实数，证明:)(222211n ni i a a a n a ＋＋＋ ≤∑=.证明: 令α=(1,1, …,1), β=(|a 1|,|a 2|,…, |a n |)〈α , β〉=∑=ni i a 1≤|α|·|β |=)(22221n a a a n +++ .4. 试证，欧氏空间中两个向量α, β正交的充分必要条件是：对任意的实数t ，都有|α＋t β| ≥ |α|.证明: 〈α +t β,α +t β〉=〈α , α〉+2t 〈α , β〉+t 2〈β , β〉 必要性: 设α与β正交, 对任意的实数t ,则〈α +t β,α +t β〉=〈α , α〉+t 2〈β , β〉≥〈α , α〉所以 |α＋t β| ≥ |α|.充分性: 当β=0时,结论成立.当β≠0时,取t 0=2,ββα〉〈-,则〈α +t 0β,α +t 0β〉=〈α , α〉22,ββα〉〈-. 由已知〈α +t 0β,α +t 0β〉≥〈α , α〉 故22,ββα〉〈=0, 所以〈α , β〉= 0. 即α , β正交.5. 在欧氏空间R 4中，求基{α1, α2, α3, α4}的度量矩阵，其中α1＝(1, 1, 1, 1), α2＝(1, 1, 1, 0), α3＝(1, 1, 0, 0), α4＝(1, 0, 0, 0) .解: 度量矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111122212331234. 6. 在欧氏空间R 3中，已知基α1＝(1, 1, 1), α2＝(1, 1, 0), α3＝(1, 0, 0)的度量矩阵为B ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321210102 求基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1)的度量矩阵.解: 度量矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----343485353. 7. 证明α1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,21,21， α2＝⎪⎭⎫⎝⎛21,21,21,21－－ α3＝⎪⎭⎫⎝⎛21,21,21,21－－，α4＝⎪⎭⎫⎝⎛-21,21,21,21－是欧氏空间R 4的一个规范正交基.[提示:令u =(α1, α2, α3, α4),计算uu T 即可.]8. 设{ε1, ε2, ε3}是欧氏空间V 的一个基, α1＝ε1＋ε2, 且基{ε1, ε2, ε3}的度量矩阵是A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----612121211.（1）证明α1是一个单位向量； （2）求k ,使α1与β1＝ε1＋ε2＋k ε3正交.证明: (1) 〈ε1 , ε1〉=1, 〈ε1 , ε2〉=1-, 〈ε2 , ε2〉=2〈α1 , α1〉=〈ε1 , ε1〉+2〈ε1 , ε2〉+〈ε2 , ε2〉=1所以α1一个单位向量. （2）k =1-.9. 证明，如果{ε1, ε2,…,εn }是欧氏空间V 的一个规范正交基，n 阶实方阵A ＝(a ij )是正交矩阵，令(η1, η2,…,ηn )＝(ε1, ε2,…,εn )A ,那么{η1, η2,…,ηn }是V 的规范正交基. 证明: 〈 ηi ,ηj 〉=kj nk ki a a ∑=1=⎨⎧≠=时当时当j i j i ,0,1 .10. 设A 是n 阶正交矩阵，证明： （1）若det A ＝1，则－1是的一个特征根；（2）若n 是奇数，且det A ＝1，则1是A 的一个特征根. 证明:（1）det(－I －A ) = det(－A A T －A )= det A ·det(－A T －A ) = det A ·det(－I －A ) =－det(－I －A )所以det(－I －A )=0,即－1是的一个特征根. （2）= det(A A T －A )= det A ·det(A T －A )= det A ·(-1)n ·det(I －A ) =－det(I －A )所以det(I －A )=0, 即1是A 的一个特征根.10. 证明，n 维欧氏空间V 的两个正交变换的乘积是一个正交变换；一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.[提示: 根据正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵 的逆矩阵是正交矩阵,结论易证.]11. 证明，两个对称变换的和还是对称变换. 两个对称变换的乘积是不是对称变换？找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.证明: 两个对称变换的和还是对称变换易证. 两个对称变换的乘积不一定是.例如:令ε1 , ε2是R 2的一个规范正交基,分别取R 2 的两个对称线性变换τσ,,使得),(21εεσ＝（ε1 , ε2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001 ，,(21εετ＝（ε1 , ε2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110 ，可以验证στ不是对称变换.两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件是它们可换.12. 设是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，证明，如果σ满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（1）σ是正交变换；（2）σ是变换；（3）σ2＝ι（ι是恒等变换）.[提示:根据σ是正交变换当且仅当σ在一个规范正交基下的矩阵是正交矩阵, σ是对称变换当且仅当σ在一个规范正交基下的矩阵是对称矩阵, 结论易证.]13. 设σ是n 维欧氏空间V 的线性变换，若对于任意α, β∈V , 有〈σ(α), β〉＝－〈α, σ(β)〉，则说σ是斜对称的. 证明(1) 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称实矩阵； (2) 若线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的，则σ是斜对称线性变换.[提示:证明过程与第八章第三节定理8.3.2(p.349)的证明过程完全类似.] 14. 设σ是欧氏空间V 到V '的一个同构映射，证明，如果{ε1, ε2, …, εn }是V 的一个规范正交基，则{σ(ε1), σ(ε2), …, σ(εn )}是V '的一个规范正交基.证明:由(p.253) 定理5.5.3可知, {σ(ε1), σ(ε2), …, σ(εn )}是V '的一个基. 由欧氏空间同构映射的定义可知,〈σ(εi ), σ(εj )〉= 〈εi , εj 〉=⎩⎨⎧≠=时当时当j i j i ,0,1 ,所以结论成立.15. 设σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换. 证明，如果V 的一个子空间W 在σ之下不变，那么W 的正交补⊥W 也在σ之下不变.证明:因为正交变换是可逆线性变换,由(p.331)习题七的第13题的结论得: V = )()(⊥⊕w w σσ.因为⊥⊥w w ,且σ是正交变换,所以)()(⊥⊥w w σσ. 由已知条件知,)(w σw ⊆,且σ可逆,因而)(w σw = 从而 )(⊥⊥w w σ,即)(⊥w σ⊆⊥w .16. 设{ε1,ε2,ε3,ε4}是欧氏空间V 的一个规范正交基，W ＝L (α1, α2),其中α1＝ε1＋ε3，α2＝2ε1－ε2＋ε4.（1）求W 的一个规范正交基； （2）求W ⊥的一个规范正交基.解:取α3=ε2, α4=ε3,将α1, α2,α3,α4先正交化,然后规范化后得V 的一个规范正交基:β1＝312121εε+β2＝432121212121εεεε+-- β3＝4321321321323321εεεε+-+β4＝431366161εεε++-则{β1,β2}和{β3,β4}分别是W 与W ⊥的一个规范正交基.17. 求齐次线性方程组⎩⎨⎧0023214321＝－＋＝＋－＋x x x x x x x .的解空间W 的一个规范正交基，并求W ⊥.解: 经计算,得空间W 的一个基础解系为α1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011,α2=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1101将α1, α2扩充为R 4的一个基α1, α2, α3=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100,α4=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000将α1, α2,. α3, α4规范正交化后得W 的一个规范正交基β1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3103131, β2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-151153152151, β3=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--101102102101, β4 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210021那么{β1,β2}和{β3,β4}分别是W 与W ⊥的一个规范正交基且W ⊥=￡(β3,β4).18. 已知R 4的子空间W 的一个基α1＝(1, －1, 1, －1)，α2＝(0, 1, 1, 0)求向量α＝(1, －3, 1, －3)在W 上的内射影.解:易求得W ⊥的一个基α3=(1,0,0,1), α4=(－2, －1,1,0)则α1, α2, α3, α4是R 4的一个基.α＝(2α1－α2) +(－3α3+0α4)所以α在W 上的内射映为2α1－α2 .19. 对于下列对称矩阵A ，各求出一个正交矩阵U ，使得U T AU 是对角形式：(1) A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--510810228211，(2) A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----114441784817.解:（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9189,323231323132313232AU U U T(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2799,31184032181213218121AU U U T。