到达时间间隔与到达时刻的分布

定理2.2.1 到达时间间隔序列1,1,2,k k k T k ττ-=-= 相互独立同分布的，且服从参数为λ的指数分布.

这个命题应是在意料之中的. 事实上，泊松分布定义中的平稳独立增量的假定等于说在概率意义上过程是在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（独立增量），且与原过程有完全同样的分布（平稳性），也就是通常讲的无后效性.

证明 1）求1T 的分布. 由于1T 表示第一次事件发生之前所需的时间，故

1{}T t >表示在[0,)t 时间段内事件还未出现，所以

111()()1()1(()0)1,0t T F t P T t P T t P N t e t λ-=≤=->=-==-∀≥

即1~()T E λ.

2）求2T 的分布. 由平稳增量性，在时间区间[,)s s t +内事件发生的次数与s 无关，而只与时间间隔的长度t 有关，即

21()(()()0)(()0),0t P T t T s P N s t N s P N t e t λ->==+-====∀≥

由全概率公式，()()()()1221210||t T P T t P T t T s f s ds e P T t T s λ∞

->=>===>=⎰

即2~()T E λ且与1T 独立.

3）求,2n T n >的分布.对于11,,,0n t s s -∀≥ ，有

11111111(,,)

(()()0)(()0)n n n n n t

P T t T s T s P N t s s N s s P N t e λ----->===+++-++====

即~(),2n T E n λ∀>，且相互独立.于是结论成立. □ 注意，定理2.2.1的逆命题也成立. 先研究到达时刻的分布，之后再来讨论这个问题.

定理2.2.2 到达时刻n τ服从参数为,n λ的Gamma 分布.

证明 由定理2.2.1，1,1,2,k k k T k ττ-=-= 相互独立且k T 的特征函数是 ()()()00012222cos sin 1itx x x x k t e e

dx tx e dx i tx e dx t t i i t t λλλϕλλλλ

λλλλλ∞∞∞

----==+⎛⎫=+=- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰

于是，1,1,2,n

n k k T n τ===∑ 的特征函数是

()111n n n k t t i it τλϕλλ-=⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∏

而(),αβΓ分布的特征函数为()t it αβϕβ⎛⎫= ⎪-⎝⎭

，()~,n n τλ∴Γ 定理 2.2.3 若计数过程}0),({≥t t N 的到达时间间隔序列,1,2,k T k = 是相互独立同参数为λ的指数分布，则}0),({≥t t N 是参数为λ的泊松过程.

证明 由指数分布的无记忆性知, 过程}0),({≥t t N 具有平稳独立增量.于是只要证明()~()N t P t λ.

注意到n τ服从参数为,n λ的Gamma 分布，且

11{()}{}{}{}{}n n n n N t n t t t t ττττ++==>⋂≤=>->

所以

11100(())({})({})

({})({})

()()(1)!!n n n n n n t t x x P N t n P t P t P t P t x x e dx e dx n n λλττττλλλλ++---==>->=≤-≤=--⎰⎰

令y x λ=并由分部积分法得

()(()),0,0,1,2,!

n

t t P N t n e t n n λλ-==∀≥= 。 □ 由以上的结论可以看出，泊松分布和指数分布存在着紧密的联系，有人将定理2.2.1与定理2.2.3合起来作为泊松过程的定义，这种定义方法适宜于往更新过程乃至随机游动作进一步的推广；此外，这种定义实际上有助于读者理解泊松过程的无后效性并提供了模拟它的好方法，后面对此进行讨论.

例2.2.1 放射性物质在衰减过程平均每分钟放射出4个γ光子， 用)(t N 表示在观测时间区间(0,]t 内放射出γ光子的数目，且}0),({≥t t N 是泊松过程. 设计数器对检测到的γ光子只是每隔一个记录一次，令T 是两个相继被记录的光子之间的时间间隔（以分钟为单位），求T 的概率密度函数.

解 由题意，[](1)4E N λ==，故}0),({≥t t N 是参数4λ=的泊松过程。

设,1,2,k X k = 表示第1k -个与第k 个被记录的光子之间的时间间隔，且从放射出的第2个光子开始记录，显然212k k k X T T -=+，由定理2.2.1知，,1,2,k T k = 独立同指数分布，于是,1,2,k X k = 也是独立同分布的. 所以只要求出1X 的分布，即为T 的分布.注意到1{}X t >={在[0,)t 至多到达一个光子}，故

112444()()(()1)(()0)(()1)4(14),0,t t t P X t P T T t P N t P N t P N t e te t e t --->=+>=≤==+==+=+∀≥ 所以T 的分布函数为

411(14),0()()0

,0t T t e t F t P X t t -⎧-+≥=≤=⎨<⎩ 概率密度函数为

416,0()()0

,0t T T te t f t F t t -⎧≥'==⎨<⎩.