到达间隔的分布与服务时间的分布
排队模型——精选推荐
排队模型一 1. 一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。
排队过程的一般过程可用下图表示。
我们所说的排队系统就是指图中方框所包括的部分:在现实生活中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。
它们可以是人，也可以是某种物质或设备。
排队可以是有形的，也可以是无形的。
尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构.1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。
包括：顾客源中顾客的数量是有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2)排队规则：描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。
包括：即时制还是等待制；等待制下队列的情况（是单列还是多列，顾客能不能中途退出，多列时各列间的顾客能不能相互转移）；等待制下顾客接受服务的次序（先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务）。
3)服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。
包括：服务台（员）的数目和排列情况；服务台（员）的服务方式；服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2.到达和服务过程的模型2.1 到达过程的模型用表示第i 个顾客到达的时间,.i t 称为第i 个到达时间间隔.1i i T t t +=−i 我们用的特征来刻画顾客到达过程. 最常见的情况是独立同分布. 用X 表示这样的随机变量.12,,T T 12,,T T 如果X 服从参数为λ的指数分布.这时1()()i E T E X λ==即平均每隔1λ来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个顾客到来.称λ为到达速率. 用表示到时刻t 为止到达的顾客总数,则在上面的假设下()N t ()()N t P t λ∼.除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为1()(), 0.(1)!k RxR Rx e f x x k −−=≥− 这时2(), ()i i k k E T D T R R==. k 叫形状参数, R 叫速率参数.当取λ使得R k λ=, 则爱尔朗分布可以看成是k 个独立的服从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.2.2服务过程的模型一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独立的. 用Y表示一个客户接受服务的时间长短, 它是一个随机变量.若Y的分布是参数为μ的指数分布, 意味着一个顾客的服务时间平均为1μ. 单位时间里可以完成的平均顾客数为μ.若Y服从形状参数为k, 速率参数为R kμ=的爱尔朗分布, 则平均服务时间为1μ, 根据爱尔朗分布的性质, 可以将Y看作是k个相继子服务的总时间, 每个子服务都服从参数为1kμ的指数分布且相互独立.在排队论中,我们常用如下字母表示特定的到达时间间隔或服务时间分布:M: i.i.d. 指数分布D: i.i.d. 的确定分布E k: i.i.d. 的形参为k的爱尔朗分布GI: 到达时间间隔是i.i.d. 的某种一般分布G: 服务时间是i.i.d. 的某种一般分布在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。
泊松分布排队论
泊松分布排队论
泊松分布是概率论中一种重要的离散概率分布，常用于描述独立事件在给定时间或空间上的发生次数。
排队论则是研究随机到达和服务过程的数学理论，常用于描述排队系统中顾客到达和服务的规律。
在排队论中，泊松分布被广泛应用于以下两个方面：
1.顾客到达模型：当顾客的到达服从泊松过程时，即顾客到
达的时间间隔服从泊松分布，可以使用泊松分布来描述顾客到达的模型。
这个模型假设顾客的到达是随机、独立和恒定的，并允许在单位时间内到达的顾客数量有一定的概率。
2.服务时间模型：当服务时间服从指数分布时，可以使用泊
松过程来描述服务时间的模型。
指数分布是泊松过程的一个重要特例，这意味着服务时间满足随机、独立和恒定的分布，且具有无记忆性质。
在使用泊松分布进行排队论分析时，可以使用M/M/1模型来描述单服务台排队系统。
其中，M表示到达过程服从泊松分布，M表示服务时间服从指数分布，1表示系统中只有一个服务台。
通过泊松分布和指数分布的特点，可以推导出系统的各种性能指标，如平均队长、排队时间等。
需要注意的是，排队论的分析模型还可以根据实际情况使用其他分布，如负指数分布、超几何分布等。
除了M/M/1模型
外，还存在其他排队系统模型，如M/M/m模型（多个服务台）和M/G/1模型（服务时间服从一般分布）。
选择适当的排队系统模型对于准确描述和分析实际排队系统至关重要。
总而言之，泊松分布在排队论中是常用的概率分布，用于描述到达和服务的规律。
它为排队系统的性能评估和优化提供了理论基础。
管理科学名词解释
1、管理就是管理者运用各种资源达成某既定目标的过程。
2、管理科学：是一门应用多学科与多领域理论、方法、技术和知识的综合性交叉学科，其目的是研究人类利用有限资源实现组织目标的管理活动方面的动态、复杂和创新的社会行为及其规律。
3、管理科学的基本特征：（1）以管理决策为基点；（2）以科学方法论为依据；（3）以系统观点为指导；（4）以数学模型为主要工具。
4、图解法只能用于两个变量的情况，并得到两个重要结论：（1）线性规划的约束集合是凸多面体；（2）线性规划若有最优解，则最优解一定能在凸多面体的角点（定点）上达到。
5、基本解：假设B为线性规划问题的基，对约束系数矩阵A目标函数系数响亮C，决策向量X进行分块处理，则有：A=（B，N），C=（CB，CN），X=[XB，XN]T，其中，N表示非基矩阵，XB表示基变量所构成的子向量，XN表示非基变量所构成的子向量，CN 为非基变量所对应的目标函数所构成的子向量，由AX =b得到：AX=（B，N）[XB，XN]T=B XB +N XN=b，由此式解出XB，并令非基变量的取值等于零，得到X =[B-1b，0]T，则称X为基B下的基本解。
6、线性整数规划：限制部分决策变量或全部决策变量只能取整数的线性规划。
7、非线性规划：目标或约束中含有非线性函数的优化问题成为非线性规划。
8、梯度：若f（X）在X0的领域内有连续一阶偏导数，则称f（X）在点X0对n个变元的偏导数组成的向量为f（X）在X0的梯度，记为▽f（X0）9、海赛阵：若f（X）在X0的领域内有连续二阶偏导数，则称f（X）在点X0对n个变元两两组合的二阶偏导数组成的矩阵为f（X）在X0的海赛阵，记为H（X0）10、多目标规划解法的基本思想：利用一个复合函数将多目标问题转化为单目标问题求解。
11、图与网络具有的两个基本要素：一是被研究的对象，通常用点来表示；二是所研究对象之间的某种特定关系，通常用点与点之间的连线表示12、边：两点之间不带箭头的联线由点及边构成的图称之为无向图13、弧：两点之间带箭头的联线由点及弧构成的图称之为有向图14、网络：在有向图D=（V，A）中，Vs为起点，Vt为终点，而对每一弧（Vi，Vj）∈A赋以量cij>0称为弧的容量，则称这样的有向图为一个网络，记为D=（V，A，C）15、树：一个无圈的连通图16、Dijkstra方法是求解最短路问题的一种有效方法17、网络图的组成要素：箭线、结点和线路18、确定型决策：这类决策问题只可能出现一种确定的自然状态，每个行动方案在这唯一的自然状态下的结局是可以计算出来的19、风险型决策：这类决策问题在决策过程中可以出现多种自然状态，每一个行动方案在不同自然状态下有不同的结局，且能预先估计出各个自然状态出现的概率20、完全不确定型决策；这类决策问题在决策过程中可以出现多种自然状态，但在这类决策问题中，不能预先估计出各个自然状态出现的概率，所以称之为完全不确定型决策21、决策树：是一种由结点和分支构成的由左向右横向展开的树状图形22、贝叶斯决策分三步走：先验分析、预验分析、后验分析23、效用值是风险下损益值在决策者心目中的满意程度的衡量尺度24、一般来讲，库存量不足会造成缺货损失，而库存量过大又会造成物质积压，库存费用增大，流动资金占用过大25、补充就是储存系统的输入26、状态：过程各阶段所处的“位置”称为状态27、某阶段初装台决定后，从这状态向下一阶段哪个状态演变的选择称为决策28、前一阶段的状态和决策决定了下一阶段的状态，它们之间的关系称为状态转移29、由阶段k=1至阶段k=n的全过程中，由每个阶段所选择的决策构成一决策序列，称之为一个策略30、层次分析法（简称AHP）是由美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty在20世纪70年代中期提出的，它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。
数学排队问题的题型
数学排队问题的题型在我们的日常生活中，排队是一件常见的事情。
你有没有想过，在排队的时候，我们能够利用数学知识帮助我们更加高效地排队呢？今天我们就来讲一讲数学排队问题的题型。
数学排队问题主要涉及到概率论和统计学知识，通常可以分为两种类型：单队列问题和多队列问题。
一、单队列问题单队列问题是指只有一个排队通道的情况。
在这种情况下，我们最想知道的就是队列的平均长度和队列的平均等待时间。
那么如何计算队列的平均长度呢？我们可以用排队论中的公式来计算，它的公式如下：Lq = λWq其中，Lq 表示队列的平均长度，λ 表示单位时间内到达队列的人数，Wq 表示单位时间内在队列中等待的平均时间。
同样地，如何计算队列的平均等待时间呢？我们可以利用排队论中的另一个公式来计算，它的公式如下：Wq = Lq / λ其中，Wq 表示单位时间内在队列中等待的平均时间，Lq 表示队列的平均长度，λ 表示单位时间内到达队列的人数。
二、多队列问题多队列问题是指有多个排队通道的情况。
在这种情况下，我们需要考虑如何将人员分配到不同的队列中，以及如何计算队列的平均长度和队列的平均等待时间。
在多队列问题中，人员的分配可以有多种方法。
最常见的方法是随机分配，即每个人有相同的几率被分配到任何一个队列中。
那么如何计算队列的平均长度呢？我们可以使用排队论中的Kendall’s notation，它由三个参数组成：A/B/C。
其中，A 表示到达队列的时间间隔分布，常见的有常数间隔（M）、泊松分布（P）等；B 表示服务时间的分布，常见的有常数服务时间（M）和指数分布（E）等；C 表示队列的数量，常见的有 FIFO（先进先出）和 LIFO（后进先出）等。
例如，M/M/2 表示到达队列的时间间隔和服务时间都是常数，队列的数量为两个。
那么我们可以利用排队论的公式来计算队列的平均长度和等待时间。
对于多队列问题，计算队列的平均长度和等待时间相对更加复杂，需要更多的排队论知识和模型分析。
排队论模型及其应用
排队论模型及其应用摘要：排队论是研究系统随机服务系统和随机聚散现象匸作过程中的的数学理论和方法，乂叫随机服务的系统理论，而且为运筹学的一个分支。
乂主要称为服务系统，是排队系统模型的基本组成部分。
而且在日常生活中，排队论主要解决存在大量无形和有形的排队或是一些的拥挤现象。
比如：学校超市的排队现象或岀行车辆等现象，。
排队论的这个基本的思想是在1910年丹麦电话工程师埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始逐渐形成的。
后来，他在热力学统计的平衡理论的启发下，成功地建立了电话的统讣平衡模型，并山此得到了一组呈现递推状态方程，从而也导出著名的埃尔朗电话损失率公式。
关键词：出行车辆；停放；排队论；随机运筹学引言：排队论既被广泛的应用于服务排队中，乂被广泛的应用于交通物流领域。
在服务的排队中到达的时间和服务的时间都存在模糊性，例如青岛农业大学歌斐木的人平均付款的每小时100人，收款员一小时服务30人，因此，对于模糊排队论的研究更具有一些现实的意义。
然而有基于扩展原理乂对模糊排队进行了一定的分析。
然而在交通领域，可以非常好的模拟一些交通、货运、物流等现象。
对于一个货运站建立排队模型，要想研究货物的一个到达形成的是一个复合泊松过程，每辆货车的数量为陷而且不允许货物的超载，也不允许不满载就发车，必须刚刚好，这个还是一个具有一般分布装车时间的一个基本的物流模型。
一.排队模型排队论是运筹学的一个分支，乂称随机服务系统理论或等待线理论，是研究要求获得某种服务的对象所产生的随机性聚散现象的理论。
它起源于A.K.Er-lang的著名论文《概率与电话通话理论》。
一般排队系统有三个基本部分组成⑴:（1）输入过程：输入过程是对顾客到达系统的一种描述。
顾客是有限的还是无限的、顾客相继到达的间隔时间是确定型的也可能是随机型的、顾客到达是相互独立的还是有关联的、输入过程可能是平稳的还是不平稳的。
（2）排队规则：排队规则是服务窗对顾客允许排队及对排队测序和方式的一种约定。
运筹学排队论2
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
排队论详解及案例
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2 几个常用的概率分布
9.2.1 经验分布 9.2.2 泊松分布 9.2.3 负指数分布 9.2.4 爱尔朗分布
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.1 经验分布
主要指标
平均间隔时间 = 总时间 到达顾客总数
Operations Research
9.1.3 排队论研究的基本问题
（3）系统优化问题的研究 研究排队系统的目的就是通过对该系统概率规律的研究， 实现系统的优化。系统的优化包括最优设计和最优运营问 题。前者属于静态问题，它是在输入和服务参数给定的情 况下，确定系统的设计参数，以使服务设施达到最大效益 或者服务机构实现最为经济。后者属于动态问题，它是指 对于一个给定的系统，在系统运行的参数可以随着时间或 状态变化的情况下，考虑如何运营使某个目标函数达到最 优。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
一般的排队过程可以这样描述：顾客由顾客源出发，到达 服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接 受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服 务后就离开。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
尽管排队系统是多种多样的，但所有的排队系统都是由输入过程、排 队规则、服务机构及服务规则三个基本部分组成的。 （1）输入过程 描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。 一般从以下几个方面对输入过程进行描述：顾客源中顾客的数量是 有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客的到 达是否相互独立（以前到达的顾客对以后达到的顾客没有影响，则称 顾客的达到是相互独立的，否则就是有关联的）；顾客相继到达的间 隔时间分布是确定型的还是随机型的（如果是随机分布，需要知道单 位时间内的顾客到达数或者顾客相继到达时间间隔的概率分布）；输 入的过程是平稳的还是非平稳的（若相继到达的间隔时间分布参数 （如期望值、方差等）都是与时间无关的，则称输入过程是平稳的， 否则称为非平稳）。 本章主要讨论顾客的到达是相互独立的、输入过程是平稳的情形。
排队问题的提出排队论基本概念到达间隔分布和服务时间
（1）萌芽阶段 1909~1920年，丹麦数学家、电气工程师爱尔朗用概率论方法研究电话通话问
题，从而开创了这门应用数学学科，并为这门学科建立了许多基本原则。之后从事 排队论研究的先驱人物有法国数学家勃拉彻、前苏联数学家欣钦、瑞典数学家巴尔 姆等，他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。 20世纪30年代中期，当费勒引进了生灭过程时，排队论才被数学界承认是一门重要 的学科。
6.1.2 排队论在现代物流管理中的运用
排队论应用面很广，从开始的通信系统到存量问题和交通运输问题，从生产作 业到公共服务，再到计算机配置等，可以说是不胜枚举。这里仅列出与现代物流管理 有关的几个应用例子。
（1）交通运输系统 港口的码头是服务台，船只为顾客，码头的使用决定了港口的吞吐量，船只过久 等待进港造成罚款都是应当注意的问题。飞机跑道或者停机坪可以作为服务台，飞机 起降为顾客的服务要求，如何安排飞机班次便利旅客并使飞机起降有条不紊，是机场 调度的重要问题。铁路公路交通站可视作一个大服务台，服务系统上的队长为交通站 内旅客以及送行者的总人数，通过对人数变化的了解，可帮助设计者决定交通站建筑 的容量、旅客候车或候机室座位的多寡等。 （2）仓储配送服务 储存系统中存量的变化是随机行为，和排队论中的队列长度变化的随机行为有相 似之处。 （3）综合物流管理 在物流系统中排队的现象很多，如决策系统收发物流信息能力的强弱，服务网点 的布局与服务水平的高低，物流设施设备的多少与服务能力的大小，服务内容的多寡 与服务质量的好坏等等。 由此可见，排队问题不是一个简单的服务问题，它是一个管理问题。表面上的排 队问题背后，实际上隐藏着急待改善管理的“大文章”。
6.2.1.1 输入
输入描述的是顾客出现在排队系统中的方式，人们通常用某种带有任意参数和 适当简化假设的随机过程来表示它。输入过程又由如下一些元素构成：
排队论公式
1排队论公式构成排队模型的三个主要特征指标(1) 相继顾客到达间隔时间的分布；(2) 服务时间的分布；(3) 服务台的个数。
根据这三个特征对排队模型进行分类的Kendall 记号：X/Y/ZX ：表示相继到达间隔时间的分布；Y ：表示服务时间的分布；Z ：并列的服务台的数目。
表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布符号M——负指数分布(M 是Markov 的字头，因为负指数分布具有无记忆性，即Markov 性) D——确定型(deterministic)E k ——k 阶爱尔朗(erlang)分布G—— 一般(general)服务时间的分布Kendall 符号的扩充X/Y/Z/A/B/C其中前三项的意义不变，后三项的意义分别是：A ：系统容量限制N ，或称等待空间容量。
B ：顾客源数目m 。
分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。
C ：服务规则，如先到先服务(FCFS)，后到后服务(LCFS)，优先权服务(PR)等。
（例如某排队问题为M/M/1/∞/∞/FCFS ，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(即泊松流)；服务时间为负指数分布；有1个服务台，系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。
）一、M/M/1/∞/∞ 设1λρμ=<， 则： 01P ρ=-；s L λμλ=-，q L ρλμλ=-；1s W μλ=-，q W ρμλ=- 故而：s s L W λ=，q q L W λ=；1s q W W μ=+，s q L L λμ=+ 二、M/M/1/N/∞（系统容量有限） 设λρμ=，则：2 12011,111,11N P P N P ρρρρ+⎧====⎪+⎪=⎨-⎪≠-⎪⎩； 101,12(1),111N s n N n N N L nP N ρρρρρρ+=+⎧=⎪⎪==⎨+⎪-≠--⎪⎩∑； 01(1)(1)Nq n s n L n P L P ==-=--∑；有效到达率0(1)e P λμ=-；ss e L W λ=，1q s W W μ=- 三、M/M/1/∞/m （顾客源有限）001!()!i m i P m m i λμ==⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；0(1)s L m P μλ=--，有效到达率0()(1)e s m L P λλμ=-=- 0(1)q s L L P =--；1=s s e e m L W λλλ=-，1q s W W μ=-四、M/M/c/∞/∞设1c λρμ=<，则： 0101111!!1k c c k P k c λλμρμ-==⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑02()!(1)c q c L P c ρρρ=-，s q L L λμ=+； s s L W λ=，q q L W λ=3五、一般服务时间M/G/1T 表示服务时间，当T 服从负指数分布时，1()E T μ=，而在M/G/1模型中，T 的分布是一般的。
第六章-排队系统建模与仿真(New)
出现的次数ft 38 25 17 9 6 5 0 100
三、排队系统的分析
解：（1）计算 平均到达速度：
nfn 2.1人 / 小时
100
平均手术时间： 平均服务速度：
Ts
tft 100
0.37小时 / 人
1 1 2.5人 / 小时
Ts 0.4
（2）取λ=2.1，μ=2.5，通过统计检验方法的检验，可以认 为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时间服从参数 为2.5的负指数分布。
服务员空闲否？
Y
开始服务
经过Si
服务完毕
N
排队等待
顾客离去
四、排队系统的仿真
仿真方法：手工仿真 仿真初始条件：系统中没有顾客，即：排队的队列中没有顾客等待，服务台 无服务对象。 仿真开始：以第一个顾客到达时刻为仿真的起始点。
四、排队系统的仿真
? 事件何时出现？
在仿真中，通过随机数来产生！
四、排队系统的仿真
• M——负指数分布 • M/M/1表示相继到达时间为负指数分布，服务时 间为负指数分布，单服务设备的模型。
三、排队系统的分析
1 单服务台M/M/1模型(M/M/1/∞/ ∞/FCFS)
（1）到达模式。动态实体源是无限的，动态实体单个 到达，相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布。
（2）排队规则。单对，且队列长度没有限制，先到先 服务。
混合制
队列的度量
队列的度量
（1）服务强度
1
T0
n
1 Ts
ns
（2）实际业务强度u‘
u' ' 1
（3）服务设备利用率
n
三、排队系统的分析
随机排队系统的运行指标： 在系统中动态实体数量的期望值Ls， 在系统队列中等待的动态实体数量（队列长度）的 期望值Lq。 在系统中动态实体逗留时间的期望值Ws， 在队列中动态实体等待时间（排队时间）的 期望值Wq。
排队论模型求解就医排队问题
逗留的患者的平均人数： Ls= 3人 患者的平均逗留时间： Ws=4小时 等待患者的平均人数： Lq=2.25人 患者的平均排队等待时间： Wq=3小时
由此可知，K个M/M/1模型中患者的平均排 队等待时间为3小时。
假设：各种特征的规定和假设与模型1相同，假定K 个服务台并联排列，各服务台独立工作，其平均服 务率相同，即μ1=μ2=…=μk=μ因此，该系统的平均 服务率为kμ。 1 P 1 1 k 在M/M/K模型中： ( ) ( )(
[1]吴希.医院门诊系统的排队过程模型[J].中国 医药导报,2007,4(25):131—132. [2]彭迎春,董斯彬,常文虎.运用排队论模型测量 医 院 门 诊 流 程 效 率 [J]. 中 华 医 院 管 理 杂 志,2005,21(12):806—809. [3]李军,徐玖.运筹学一非线性系统优化[M].北京: 科学出版社2003:42 —50. [4]钱颂迪.运筹学[M].清华大学出版社,2005. [5]唐应辉,唐小我.排队论——基础与分析技术[M] 科学出版社,2006.
模型1OR模型2？
假设：该诊疗室每天平均有6名患者前来，每人平 均服务时间为l小时，前来的患者按泊松分布到达， 服务时间服从指数分布，每天按8小时计。则平均 到达率=6／8=0.75人／小时，平均服务率=1人／小 时，服务强度=0.75／1=0.75 在M／M／1模型中：
即如果一个诊室内有数名医生应把病案放在门口排队由一名护士按次序送到空闲的医生处而不是把病案放在各个医生处排队
资源学院2010级本科生 朱南华诺娃 201011191012
排队论论述
1971年，一次关于排队论符号标准化会议， 将kendall符号扩充为：
X /Y /Z / A/B/C
前三项意义不变， A处填写系统容量限制， B处填写顾客源数目， C处填写服务规则
表示相继到达间隔时间和服务时间 的各种分布的符号：
M：负指数分布，（M 是 Markov 的字头，因为负指数分布具有 无记忆性，即：Markov 性） D：确定型（Deterministic）
13
2. 排队规则
③随机服务（RAND） 。即当服务台空闲时， 不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受 服务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。
④优先权服务（PR）。如老人、儿童先进车站； 危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计 算机立即中断其他数据的处理等，均属于此 种服务规则。
14
2. 排队规则
在[t,t+Δt]内有一个顾客到达的概率与t无关,而 与Δt成正比。
30
λ>0 是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称 为概率强度。
③ 普通性：对充分小的Δt,在时间区间（t,t+Δt） 内有2个或2个以上顾客到达的概率是一高P0+阶P1无+P穷≥2=小1 .
即 Pn (t, t t) o(t) n2
12
2. 排队规则
(2)等待制。指当顾客来到系统时，所有服务台 都不空，顾客加入排队行列等待服务。
例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。 等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有 如下四种规则：
①先到先服务（FCFS ）。按顾客到达的先后顺 序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。
②后到先服务（LCFS）。仓库中迭放的钢材， 后迭放上去的都先被领走，就属于这种情况。
数学期望:(离散) E(ξ)=
顾客到达流与服务时间的分布
专题十排队论Queueing Theory10.1 排队论概述10.2 顾客达到流与服务时间的分布10.3 生灭过程及其状态平衡方程10.4 M/M/s 等待制排队模型10.5 排队服务系统的优化10.2 顾客到达流与服务时间的分布（1）事件流⚫事件流：同类事件在随机时刻，一个接一个地发生的序列．⚫事件流可以看作“点”在时间轴上的分布：0t0t•流的强度( λ )：单位时间内，事件发生的平均数．•正则流：事件发生的间隔时间相等、固定．•平稳流：事件发生的概率与时间无关．即发生的概率只与的长度有关，而与在时间轴上的位置无关，概率近为．•无后效性的流：每个事件发生的时刻互不相关．•普通性的流：在充分小的时间间隔中，最多有一个事件发生．Δt Δt➢事件流有以下几个特征：∆t ∆t λ∆t（2）泊松流(Poisson 流，也称最简单流)➢同时具有平稳性、无后效性和普通性的事件流．①概率分布，即在时间t 内到达n 个顾客的概率：n ()()!n t t P t e n λλ−=②数学期望：．•若取单位时间，即．※描述了在给定时间内，系统到达顾客数这一特征．()λ=⎡⎤⎣⎦E N t t ()1,则λ==t E N（3）负指数分布➢描述泊松流的另一重要特征：相邻两顾客到达的间隔时间．•间隔时间小于等于时间的概率：λ−=≤=−>=−=−≥0 ()()1()1()1(0)T t F t P T t P T t P t e t f ()(0)t T t et λλ−=≥•的分布密度函数：•数学期望：1()E T λ=T T t T※若到达顾客流是泊松流，则到达间隔时间服从指数分布．※泊松流具有可加性．即．T 1212,λλλλ→+⚫约定：对于一个输入流和输出流都是泊松流（或者说到达间隔时间和服务间隔时间都服从指数分布）的服务系统，习惯地描述为到达流服从泊松分布，服务间隔时间服从指数分布．排队服务系统到达流泊松流( λ )到达间隔时间负指数分布(1/λ)服务流泊松流( μ )服务间隔时间负指数分布(1/μ)小结：（1）泊松流的三个基本性质：平稳性、无后效性和普通性；（2）泊松流和负指数分布的概率分布式、期望值表达式；（3）将它们引入排队系统中所表征的基本含义；（4）两个分布之间的内在联系。
到达和服务的时间分布
P(T≤t)即为在区间[0,t]内至少有一个顾客到达的概率。则有：
概率密度： 即到达时间间隔服从负指数分布。则:
三、爱尔朗分布
物流运筹学
当Pn(t1,t2)符合下列三个条件时，则可判断顾客的到达形成泊松流。 ①不相重叠的时间区间内，顾客到达数是相互独立的，即无后效性； ②对充分小的△t，在[t,t+△t]内有1个顾客到达的概率与t无关，而与时间长度 △t成正比，即P(t,t+△t)=λ△t+ο(△t)； ③对充分小的△t，在[t,t+△t]内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，可忽略。 经过数学处理，得到在时间[0,t]内到达系统的顾客数N(t)的概率为：
泊松过程是在一定时间t内顾客到达系统的人数服从参数为λt的泊松分布，记 为N(t)=P(λt)。也可以这样说，单位时间内到达的顾客数N是服从泊松分布的 随机变量，即
且有泊松分布的均值和方差分别为：E(N)=λ，D(N)=λ。
二、负指数分布
有的书上也称为指数分布，是排队论分析中用得最多的极为重要的概率分 布，通常用来描述顾客到达的间隔时间和对顾客服务时间的分布。现实生活 中大多数排队问题都符合这种分布规律。
物达规律的特殊随机过程， 与概率论中的泊松分布和负指数分布关系密切。
设N(t)表示在在时间区间[0,t]内到达的顾客数（t<0），Pn(t1,t2)表示在区 间 [t1,t2](t2>t1)内有n个顾客到达的概率，则Pn(t1,t2)=P{N(t2)-N(t1)=n}。
到达间隔的分布与服务时间的分布
到达间隔的分布与服务时间的分布一、到达间隔的分布常见的到达间隔分布包括泊松分布和指数分布。
1.泊松分布：泊松分布用于描述单位时间内事件发生次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数为P(x;λ)=(λ^x*e^(-λ))/x!，其中λ是单位时间内事件的平均发生次数。
泊松分布具有以下特点：-事件之间是独立的。
-平均发生次数固定，无论过去发生的事件次数如何。
-事件发生次数只能是非负整数。
2.指数分布：指数分布用于描述连续时间内事件的发生间隔的概率分布。
指数分布的概率密度函数为f(x;λ)=λ*e^(-λx)，其中λ是事件发生的平均速率。
指数分布的特点如下：-事件之间是独立的。
-事件发生间隔满足无记忆性，即已经等待了一段时间后，再等待一段时间的概率与刚开始等待的概率是相同的。
指数分布常用于描述连续到达的事件，比如顾客到达商店的间隔时间、设备故障的间隔时间等。
服务时间是指服务一个顾客所需要的时间，比如顾客在商店里结账的时间、服务员处理一个顾客的时间等。
服务时间的分布描述了服务的持续时间的变化规律。
常见的服务时间分布包括均匀分布、正态分布和指数分布。
1.均匀分布：均匀分布用于描述服务时间是在一个区间内等概率地分布。
均匀分布的概率密度函数为f(x;a,b)=1/(b-a)，其中a和b是区间的上下限。
均匀分布的特点如下：-服务时间在整个区间上等概率地分布。
-服务时间的最大值和最小值固定。
均匀分布常用于描述服务时间相对稳定的情况，比如办理项业务所需时间。
2.正态分布：正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线分布，用于描述服从正态分布的随机变量。
正态分布的概率密度函数为f(x;μ,σ)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ是均值，σ是标准差。
正态分布的特点如下：-均值、中位数和众数相等。
-曲线呈钟形，左右对称。
-标准差决定了分布的宽度，标准差越小，曲线越陡峭。
正态分布常用于描述服务时间在一些区间内变化的情况，比如顾客在商店里等待结账的时间、服务员处理顾客的时间等。
到达间隔的分布和服务时间的
到达间隔的分布和服务时间的一、背景介绍在排队论中，到达间隔的分布和服务时间是非常重要的概念。
它们决定了队列系统的性能和稳定性。
到达间隔的分布描述了顾客到达队列的时间间隔的概率分布，而服务时间则描述了每个顾客在队列中接受服务的时间长度。
二、到达间隔的分布到达间隔的分布是指顾客到达队列的时间间隔的概率分布。
在排队论中，常见的到达间隔分布包括泊松分布、指数分布和常数到达间隔分布。
2.1 泊松分布泊松分布是一种常用的描述到达间隔的分布，它适用于一些独立的随机事件发生的概率问题。
泊松分布的概率质量函数为：P(k;λ) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内随机事件平均发生的次数，k表示随机事件发生的次数。
2.2 指数分布指数分布是一种连续概率分布，它常用于描述到达时间间隔的分布。
指数分布的概率密度函数为：f(x;λ) = λ * e^(-λx)其中，λ表示到达率，x表示时间。
2.3 常数到达间隔分布常数到达间隔分布是一种特殊的分布，它假设每个顾客到达的时间间隔相同。
在实际应用中，常数到达间隔分布并不常见，但在一些理论推导中可以作为简化的假设。
三、服务时间服务时间是指每个顾客在队列中接受服务的时间长度。
服务时间分布的选择会直接影响到队列系统的性能和稳定性。
在排队论中，常见的服务时间分布包括指数分布、正态分布和均匀分布。
3.1 指数分布指数分布在服务时间分布中经常被使用，其概率密度函数为：f(x;λ) = λ * e^(-λx)其中，λ表示服务速率，x表示时间。
3.2 正态分布正态分布（也称为高斯分布）是一种常见的连续概率分布，其形状呈钟形曲线。
在服务时间的分布中，正态分布可以用于描述服务时间的变化范围和概率密度。
3.3 均匀分布均匀分布是一种连续概率分布，其概率密度函数是常数。
在服务时间的分布中，均匀分布通常用于描述服务时间在一个区间内随机分布的情况。
四、总结到达间隔的分布和服务时间是排队论中的关键概念，对于队列系统的设计和分析具有重要意义。
顾客到达排队系统的过程
19
2019年9月27日
1、Poisson分布
系统状态为 n 的概率分布:
如果取时间段的初始时间为 t 0 ，则可记 Pn (0,t) Pn (t)， 在[t,t t) 内，由于
Pn (t,t t) P0 (t,t t) P1(t,t t) Pn (t,t t) 1
n0
n2
故在[t,t t) 内没有顾客到达的概率为
P0 (t,t t) 1 P1(t,t t) Pn (t,t t) 1 t o(t) n2
20
2019年9月27日
1、Poisson分布
将[0,t t) 分为[0,t) 和[t,t t) ，则在[0,t t) 内到 达 n 个顾客的概率:
2、排队系统的组成与特征
（1）输入过程：主要有五条特征：
1）顾客总体(顾客源)的组成可能是有限的，也可 能是无限的； 2）顾客到来的方式可能是一个一个的，也可能是 成批的； 3）顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的，也 可以是随机的； 4）顾客的到达是相互独立的; 5）输入过程是平稳的，或称为对时间是齐次的， 即相继到达的时间间隔分布与时间无关。
Pn (t t) P{N (t t) N (0) n}
n
P{N (t t) N (t) k} P{N(t) N (0) n k} k 0 n
Pnk (t) Pk (t,t t) k 0
Pn (t)P0 (t,t t) Pn1(t)P1(t,t t) Pn2 (t)P2 (t,t t)
排队规则和服务规则：按怎样的规则和次序 接受服务。
4
2019年9月27日
关于食堂排队的问题
教工自助餐优化问题摘要：通过运用排队论、泊松分布，为教工食堂服务工作建立相应的数学模型，为节约教工排队就餐时间，以高教工食堂服务质量，为优化教工食堂资源配置提供一种较有效的管理决策方案。
关键字：排队论、泊松分布、M/M/n模型、MATLAB软件引言在学校里，常常可以看到这样的情景：中午放学后，去多同学争相跑向食堂去买饭，食堂窗口在几分钟内就排成了长长的队伍，饥饿的同学见到这种长蛇阵，怎么能不埋怨。
同样，学校教工再给学生上了四节课后，早已是精疲力尽，很是饥饿。
每当中午放学后，教工来到教工食堂后，都要排长队，但往往排好队后，凉菜和汤也就完了，然而学校就一个教工食堂，教工往往不满意食堂的服务，但也没有什么办法。
一、问题重述在西北民族大学榆中校区，为了使中午不回家的教工就餐方便，学校专门在大学生活动中心三楼设立了教工就餐点。
就餐方式刚开始采用的是全自助方式，但由于经常出现热菜几分钟之内被抢一空、人员与菜肴协调不匹配的现象。
目前经改进，食堂采用半自助的服务方式，即热菜部分教工排队由服务员服务，其余如凉菜、汤、主食等由教工自己盛取。
教工来就餐时每人刷卡4元，学校补贴11元，食堂按15元标准提供饭菜。
这种运营方式充分显示了好处，但也出现了一些问题：如教工就餐点一般在12：00开始营业，部分行政人员和没有课的教师可从12：00开始陆续来就餐，到12：40第四节课下课后，来就餐的教师逐渐增多，一般10分钟内达到高峰，此时在打热菜的地方经常会排起长队。
这时，教工经常采取的策略和问题主要有：1、大部分教工为了能先打上热菜，来到食堂就会直接去排队打热菜，但由于食堂不能及时添加菜，教工打完热菜后经常发现凉菜和汤已没有了。
但若教工先去盛凉菜和汤后再去排队盛热菜，就要排到后面去了。
教工应该如何安排自己的打菜方式才能使自己尽快吃上饭？2、食堂现在提供的热菜品种约有8到9种，高峰时一般由2个服务员盛菜，食堂通常将这几种菜并列2排排列，一边一个服务员。
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例：某工厂有大批同类机床，机床发生故障可视为顾客的到达，
检验该顾客流是否为泊松流。取 n 6，并记录到故障相继发生
时刻分别为：
194，209，250，279，312，493（小时）
解：取 0.05，查正态分布表得 Z / 2 =1.96，
计算当 n 6时， v
12(n
1) ( (n
1 1) n
n 1
j 1
j
1) 2
=0.036。
由于 v (1.96,1.96) ，故该故障流可认为是泊松流。
假设各个顾客的服务时间 1,2 ,n 独立同分 布，都为负指数分布，即分布函数，密度函数分别 为：
Fv (t) 1 et ，f (t) et
t 0 （12-12）
其中 表示单位时间内服务完的顾客数，称为
当 Pn (t1 , t2 ) 满足下列三个条件时称顾客的到达为泊松
流。
（1） 在不重复的时间区间内顾客到达数是相互独立 的；
（2） 对充分小的 t,[t,t t) 内有一个顾客到达的概
率与 t 无关，而与区间 t 成正比，即
P1(t,t t) t o(t) （12-2）
其中，当 t 0 时， o(t) 是比 t 更高阶的无穷
❖ 2.1经验分布 ❖ 例1（P307） ❖ 例2（P308）
2.2 泊松流
设 N(t) ：[0, t) 到达的顾客数
Pn (t1, t2 ) ：[t1,t2 )(t2 t1 ) 内有 (n 0) 个顾客到
达的概率，即
Pn (t1,t2 ) P(N (t2 ) N (t1 ) n) (t2 t1, n 0)
k 0
n
Pnk (t)Pk (t, t t) k 0
(12 4)
区 间 情 况
（A）
[0, t )
个数 概率
n
Pn (t)
表 12-7
[t,t t)
个数
概率
个数
0 1 t o(t) n
[0,t t) 概率
Pn (t)(1 t o(t))
（B）
n 1 Pn1 (t) 1
t o(t)
(t)
Pn (t)
Pn 1 (t )
o(t) t
令 t 0 ，得下列方程，并注意初始条件，则有
dPn
(t
)
d(0) 0
n 1
（12-5）
当 n 0时，没有（B）、（C）两种情况，所以有
dP0
(t
)
dt
P0 (t)
P0 (0) 1
（12-6）
解（12-5）和（12-6）可得
服务率。
2.4爱尔朗分布
设1,2 ,n 独立同为负指数分布，且 E(i ) 1/ k ，则
T 1 2 k 的密度函数是
bk
(t)
k ( k t) k 1
(k 1)!
e kt , t
0
（12-13）
称T
服从
k
阶爱尔朗分布，得
E(T )
1
，
Var(T )
1
k 2
。
例如串联的 k 个服务台，每台服务时间独立，服从相
记录顾客相继到达系统的时刻1 2 n ；
（2） 计算 v
12(n 1)( 1
(n 1) n
n 1
j
j 1
1 2
)
；
（3） 对于给定的显著性水平 ，由 N(0,1) 查双侧 百分位点
Z / 2 ，若 v (Z / 2 , Z / 2 ) 内则在 水平下接受 H 0 ，即认为所
观察的顾客流为泊松流，否则，拒绝 H 0 。
N (t )
01
n
P(t)
P0 (t) P1(t) Pn (t)
1 P(N (t t) N (t) 0)
P0 (t, t t) P1 (t, t t) Pn (t, t t) n2
P0 (t, t t) t o(t) o(t)
P0 (t, t t) P(N (t t) N (t) 0)
n
Pn1 (t)(t o(t))
n 2 Pn2 (t) 2
n
（C）
n 3 Pn3 (t) 3
o(t)
n
0
P0 (t)
n
n
o(t)
由表 12-7 和 (12 4) 可得：
Pn (t t) Pn (t)(1 t o(t)) Pn1(t)(t o(t)) o(t)
Pn (t
t) t
Pn
Pn (t)
(t ) n
n!
e t
,t
0, n
0,1,2,
（12-7）
E[N (t)] nPn (t) t ； Var[N(t)] t n0
（12-8）
E[N(1)]—单位时间内到达的顾客平均
数。
2.3 负指数分布
其密度函数是
fT (t)
et
0
t 0 t 0
其分布函数是
F
(t )
1
1 t o(t)
（12-4）
下通过建立 Pn (t) 的微分方程来求它：
区间[0，t t)内到达n个顾客=
n
[0，t
)内到达(n
k
)个顾客
[t，t t)内到达k个顾客
k 0
Pn (t t) Pn (0,t t) P([0,t t)内到达n个顾客）
n
P[0，t)内到达(n k)个顾客P[t，t t)内到达k个顾客
小。 0 是常数，它表示单位时间内有一个顾客 到达的概率，称为概率强度 （3） 对于充分小的 t,[t,t t) 内有 2 个或 2 个以上的 顾客到达的概率极小，以至可以忽略，即
P(N (t t) N (t) 2) Pn (t,t t) o(t) n2
（12-3）
假设顾客到达是泊松流，下求 N(t) 的分布
同的负指数分布（参数为 k ），那么一个顾客走完这 k 个
服务台总共需要的服务时间就服从上述的 k 阶爱尔朗分
布。
e t
t 0
0
t 0
E(T )
1
，Var(T )
1
2
, (T )
Var(T ) 1
定理：输入过程是强度为 的泊松流顾客相继到达的时间间
隔T1,T2 , Tn 独立同分布，且T1 是均值为（1/ ）的负指
数分布。 由上定理可得对一个顾客流是否为泊松流的一个检验方法：
（1） 对一个顾客流，首先确定一个较大的数 n ，然后观察并