到达间隔的分布与服务时间的分布

例：某工厂有大批同类机床，机床发生故障可视为顾客的到达，
检验该顾客流是否为泊松流。取 n 6，并记录到故障相继发生
时刻分别为：
194，209，250，279，312，493（小时）
解：取 0.05，查正态分布表得 Z / 2 =1.96，
计算当 n 6时， v
12(n
1) ( (n
1 1) n
(t)
Pn (t)
Pn 1 (t )
o(t) t
令 t 0 ，得下列方程，并注意初始条件，则有
dPn
(t
)
dt
Pn
(t)
Pn1 (t)
Pn (0) 0
n 1
（12-5）
当 n 0时，没有（B）、（C）两种情况，所以有
dP0
(t
)
dt
P0 (t)
P0 (0) 1
（12-6）
解（12-5）和（12-6）可得
n 1
j 1
j
1) 2
=0.036。
由于 v (1.96,1.96) ，故该故障流可认为是泊松流。
假设各个顾客的服务时间 1,2 ,n 独立同分 布，都为负指数分布，即分布函数，密度函数分别 为：
Fv (t) 1 et ，f (t) et
t 0 （12-12）
其中 表示单位时间内服务完的顾客数，称为
n
Pn1 (t)(t o(t))
n 2 Pn2 (t) 2
n
（C）
n 3 Pn3 (t) 3
o(t)
n
0
P0 (t)
n
n
o(t)
由表 12-7 和 (12 4) 可得：
Pn (t t) Pn (t)(1 t o(t)) Pn1(t)(t o(t)) o(t)
Pn (t
t) t
Pn
e t
t 0
0
t 0
E(T )
1
，Var(T )
1
2
, (T )
Var(T ) 1
定理：输入过程是强度为 的泊松流顾客相继到达的时间间
隔T1,T2 , Tn 独立同分布，且T1 是均值为（1/ ）的负指
数分布。 由上定理可得对一个顾客流是否为泊松流的一个检验方法：
（1） 对一个顾客流，首先确定一个较大的数 n ，然后观察并
小。 0 是常数，它表示单位时间内有一个顾客 到达的概率，称为概率强度 （3） 对于充分小的 t,[t,t t) 内有 2 个或 2 个以上的 顾客到达的概率极小，以至可以忽略，即
P(N (t t) N (t) 2) Pn (t,t t) o(t) n2
（12-3）
假设顾客到达是泊松流，下求 N(t) 的分布
k 0
n
Pnk (t)Pk (t, t t) k 0
(12 4)
区 间 情 况
（A）
[0, t )
个数 概率
n
Pn (t)
表 12-7
[t,t t)
个数
概率
个数
0 1 t o(t) n
[0,t t) 概率
Pn (t)(1 t o(t))
（B）
n 1 Pn1 (t) 1
t o(t)
1 t o(t)
（12-4）
下通过建立 Pn (t) 的微分方程来求它：
区间[0，t t)内到达n个顾客=
n
[0，t
)内到达(n
k
)个顾客
[t，t t)内到达k个顾客
k 0
Pn (t t) Pn (0,t t) P([0,t t)内到达n个顾客）
n
P[0，t)内到达(n k)个顾客P[t，t t)内到达k个顾客
N (t )
01
n
P(t)
P0 (t) P1(t) Pn (t)
1 P(N (t t) N (t) 0)
P0 (t, t t) P1 (t, t t) Pn (t, t t) n2
P0 (t, t t) t o(t) o(t)
P0 (t, t t) P(N (t t) N (t) 0)
当 Pn (t1 , t2 ) 满足下列三个条件时称顾客的到达为泊松
流。
（1） 在不重复的时间区间内顾客到达数是相互独立 的；
（2） 对充分小的 t,[t,t t) 内有一个顾客到达的概
率与 t 无关，而与区间 t 成正比，即
P1(t,t t) t o(t) （12-2）
其中，当 t 0 时， o(t) 是比 t 更高阶的无穷
服务率。
2.4爱尔朗分布
设1,2 ,n 独立同为负指数分布，且 E(i ) 1/ k ，则
T 1 2 k 的密度函数是
bk
(t)
k ( k t) k 1
(k 1)!
e kt , t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
（12-13）
称T
服从
k
阶爱尔朗分布，得
E(T )
1
，
Var(T )
1
k 2
。
例如串联的 k 个服务台，每台服务时间独立，服从相
同的负指数分布（参数为 k ），那么一个顾客走完这 k 个
服务台总共需要的服务时间就服从上述的 k 阶爱尔朗分
布。
Pn (t)
(t ) n
n!
e t
,t
0, n
0,1,2,
（12-7）
E[N (t)] nPn (t) t ； Var[N(t)] t n0
（12-8）
E[N(1)]—单位时间内到达的顾客平均
数。
2.3 负指数分布
其密度函数是
fT (t)
et
0
t 0 t 0
其分布函数是
F
(t )
1
❖ 2.1经验分布 ❖ 例1（P307） ❖ 例2（P308）
2.2 泊松流
设 N(t) ：[0, t) 到达的顾客数
Pn (t1, t2 ) ：[t1,t2 )(t2 t1 ) 内有 (n 0) 个顾客到
达的概率，即
Pn (t1,t2 ) P(N (t2 ) N (t1 ) n) (t2 t1, n 0)
记录顾客相继到达系统的时刻1 2 n ；
（2） 计算 v
12(n 1)( 1
(n 1) n
n 1
j
j 1
1 2
)
；
（3） 对于给定的显著性水平 ，由 N(0,1) 查双侧 百分位点
Z / 2 ，若 v (Z / 2 , Z / 2 ) 内则在 水平下接受 H 0 ，即认为所
观察的顾客流为泊松流，否则，拒绝 H 0 。