高级数理逻辑第4讲分析
2019_2020学年高中数学第三章推理与证明4反证法课件北师大版选修1_2
证明:假设a,b,c都不大于0,
即a≤0,b≤0,c≤0,得a+b+c≤0,
而a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3≥π-3>0,
即a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,
所以a,b,c中至少有一个大于0.
反思结论中含有“至少”“至多”等词的命题,常用反证法证明,注意
假设要写正确,这是反证法证题的关键.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
“至多”“至少”类命题的证明
【例 2】 已知 a,b,c 均为实数,且 a=x2-2y+ π , ������ = 2������2 − 2������ +
π , ������ = ������2 − 2������ + π.
2
3
6
求证:a,b,c中至少有一个大于0.
分析:本题要证明的是AB,CD能不能互相平分.由于不易证明 “AB,CD不能互相平分”,不妨假设“AB,CD能互相平分”,以此为出发 点,得出与条件“AB,CD不全为直径”矛盾的结论.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
证明:假设AB,CD互相平分,则四边形ACBD为平行四边形, 所以∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD. 因为四边形ACBD为圆内接四边形, 所以∠ACB+∠ADB=180°,∠CAD+∠CBD=180°. 因此∠ACB=90°,∠CAD=90°, 所以对角线AB,CD均为直径,这与已知中“AB,CD不全为直径”相 矛盾. 因此AB,CD不能互相平分. 反思用反证法证明该几何问题时,假设之后,以假设为出发点,并 且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论,从而证明 了原命题成立.另外,证明含否定词的命题常用反证法.
逻辑思维训练之四分析法
逻辑思维训练之四分析法第四章分析法仔细地分析总是可以让人更加准确地得出问题的最佳答案。
如果一个人有较强的分析思维能力那么他便可以游刃有余地行走在自己的人生道路上。
因为对他来讲一切问题在他的分析之下都不再成为问题。
初级题144你能猜到他的年龄吗在训练的过程中你是司令你手下有两名军长五名团长十名排长和十二名士兵那么请问你能猜到司令今年的年龄吗145算一算那天是星期几今天的两天前是星期五那么请问明天的后一天是星期几146一元钱到哪了有3个人去旅店住宿住3间房每间房10元于是他们付给了老板30元。
第二天老板觉得25元就够了于是就让伙计退5元给这3位客人谁知伙计贪心只退回每人一元自己偷偷拿了2元。
这样一来便等于那3位客人各花了9元于是3个人一共花了27元在加上伙计独吞的2元总共29元。
可当初3个人一共付了30元那么还有1元到哪里去了147找错误一个正方体有6个面每个面的颜色都不同并且只能是红、黄、蓝、绿、黑、白6种颜色。
如果满足 1.红的对面是黑色2.蓝色和白色相邻3.黄色和蓝色相邻那么下面结论错误的是 A.红色与蓝色相邻B.蓝色的对面是绿色C.白色与黄色相邻 D.黑色与绿色相邻148最后剩下的是谁50名运动员按顺序排成一排教练下令“单数运动员出列”剩下的运动员重新排列编号教练又下令“单数运动员出列”如此下去最后只剩下一个人他是几号运动员如果教练喊“双数运动员出列。
”最后剩下的又是谁149有意思的钟爷爷有两个钟一个钟两年只准一次而另一个钟每天准2次爷爷问小明想要那个钟。
如果你是小明你会选哪只。
当然钟是用来看时间的。
150黑球白球一个大小均匀的长管子两端有口里面有4个白球和4个黑球球的直径、两端开口的直径等于管子的内径。
现在白球和黑球的排列是yyyyhhhh要求不取出任何一个球使得排列为hhyyyyhh。
151怎样取回自己的袜子曾经有两个盲人他们同时都买了两双白袜和两双黑袜八双袜子的布质、大小完全相同每一双袜子都有一张标签纸连着。
数理逻辑讲义
数理逻辑的一般介绍我们在中学时代就能进行一些证明了, 但并非所有的人都能回答到底什么是证明. 大概来说, 所谓的证明就是把认为某一断言是正确的理由明确地表述出来. 在这一过程中, 我们通常都需要把一些人们已接受的命题作为讨论的基础. 在此基础上, 如果我们能够把该断言推导出来, 该断言就是被认为是被证明了, 因而也就会被人们接受. 于是, 一个很自然的问题就是: 推导究竟为何物? 这个问题就属于逻辑的范畴.逻辑研究推理, 而数理逻辑则研究数学中所用的推理. 由于这种推理在计算机科学中有许多有广泛的应用, 数理逻辑也就成为计算机科学的重要基础之一.很明显, 我们不能够证明一切命题. 如上所述, 当我们证明某一断言(结论) 的时候需要一些其它的命题(前提)作为推理的基础. 我们还可以要求对这些前提进行证明. 如果一直这样要求下去, 或迟或早, 我们会遇这样的情况: 我们进行了“循环” 证明, 即把要证明的命题作为前提来使用, 或者我们无法再作任何证明, 因为没有更为明显的命题可以用来作为前提了.这样,我们就必须不用证明而接受某些命题,我们把这类命题称为“公理”; 其它由这些公理而证明的命题则被称为“定理”.所谓的命题, 直观上是关于某些概念之间的关系. 因而, 我们要求公理是那些根据概念可以明显地接受的命题. 由概念,公理和定理所组成的全体就是公理系统.以上对公理系统的描述要求我们知道公理系统的确切含义. 然而, 从推理的角度来说, 我们并不需要如此. 让我们来看下面的例子:(1).每个学生都是人,(2).王平是学生, (3).王平是人.我们可以由(1) 和(2)推导出(3), 也就是说,如果(1) 和(2)是正确的, 我们就可以断定(3)是正确的. 在这个推理过程中我们并不需要知道“王平”, “学生”, “人” 的含义如何, 把它们换成任何其它的名词, 这一推理都成立. 使(3) 成为(1) 和(2) 的逻辑推论是依据这样的事实: 如果(1)和(2)为真, 则(3)为真. 换句话说, 我们从命题的形式上就可以判断某一推理是否在逻辑上成立, 而无需考虑它的实际含义. 所以我们在研究逻辑的时候往往只需要进行形式的考察就行了, 不必考虑其含义.当我们对某一类研究对象指定了一个公理系统时, 这个公理系统所表示的含义就确定了. 但是在很多情况下, 我们会发现这个公理系统也适合于其它的一些对象. 于是当代数学建立了许多公理系统框架(如各种代数结构). 在这种公理系统框架中, 真正重要的并不是各种公理系统所表达的特定含义的不同, 而是它们的系统构造方面的区别. 这就告诉我们, 在对公理系统进行研究时, 仅对公理系统的形式进行考察是有实际意义的, 在某些情况下这种形式上的考察可以使我们的研究更具有一般性.基于如上认识以及其它的一些考虑(如从计算机科学的角度进行研究等), 我们将对公理系统的语法部分和语义部分进行分别研究. 公理系统的语义部分研究公理系统的含义, 它属于"模型论" 的研究范围, 我们将在今后作一些初步的介绍. 现在,我们对公理系统的语法部分进行粗略的描述.公理系统的语法部分称为形式系统. 它由语言, 公理和推理规则这样三个部分组成.任何推理必须在一定的语言环境中进行, 所以形式系统首先需要有它的语言. 自然语言(如英语, 中文等)具有很丰富的表达能力, 但通常会产生二义性. 例如"是" 在自然语言中可以表示“恒等” (如: 我们的英语老师是张卫国.), “属于” (如: 王小平是学生.), “包含” (如: 学生是人.) 等不同的含义. 同时, 我们还希望公理系统的语言结构能尽可能地反映它的语义并能有效地进行推理. 因而, 我们通常在形式系统中使用人工设计的形式语言.1设A 是一个任给的集合. 我们把A 称为字母表, 把A 中的元素称为符号. 我们把有穷的符号序列称为A的表达式. 一个以A 为其字母表的语言是A 的表达式集合的一个子集, 我们把这个子集中的元素称为公式. 因为我们希望这个语言能够表达我们所研究的对象, 我们要求公式能反映某些事实. 虽然理论上以A 为其字母表的语言可以是A 的表达式集合的任何子集, 我们将只讨论那些能将公式和其它表达式有效地区分开的语言. 我们将用L(F)表示公理系统F 的语言.形式系统的第二个部分是它的公理. 我们对公理的唯一要求是它们必须是该公理系统语言中的公式.最后, 为了进行推理我们需要推理规则. 每个推理规则确保某个公式(结论) 可由其它一些公式(前提) 推导出来.给定公理系统F, 我们可以把F 中的定理定义如下:1). F 的公理是F 的定理;2). 如果F 的某一推理规则的前提都是定理, 则该推理规则的结论也是定理;3). 只有1)和2)所述的是定理.这种定义方式和自然数的定义方式相类似, 称为广义递归定义. 它和通常的定义方式在形式上有所区别. 为了说明它的合理性, 我们对F的定理进行进一步的描述. 设S0 是F 的公理集. 根据1), S0 中的元素是定理. 设S1 是公式集, 它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 中的元素. 根据2), S1 中元素是定理. 设S2 是公式集,它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 或S1 中的元素. 根据2), S2 中元素是定理. 如此下去, 我们得到S2 ,S3 ,.... 最后, 设S N 是公式集, 它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 或S1 ,...S N中的元素. 根据2), S N 中元素是定理并且我们得到了F中的所有定理. 我们将经常使用这种定义方式. 为了书写方便, 在今后的广义递归定义中我们将不再把类似3)的条款列出.如此定义的F 中定理为我们提供了一种证明方法. 当要证明F 中的定理都具有某一性质P 时, 我们可以采用下述步骤:1). 证明F 的公理都具有性质P;2). 证明如果F 的每个推理规则的所有前提具有性质P, 则它的结论具有性质P.这种证明方法称为施归纳于F的定理. 一般说来, 如果集合C 是由广义递归定义的, 我们可用类似的方法证明C中的元素都具有性质P. 这种证明方法称为施归纳于C中的元素. 2)中的前提称为归纳假设.现在我们就可以定义什么是证明了. 所谓F 中的一个证明是一个有穷的F 的公式序列, 该序列中的每一个公式要么是公理, 要么F 的某个推理规则以该序列中前面的公式所为前提而推导出的结论. 如果A 是证明P 的最后的公式, 则称P 是A 的证明.定理公式A 是F 的定理当且仅当A 在F 中有证明.证明首先根据定理的定义可以看出任何证明中的任何公式都是定理, 所以如果A 有证明, 则A 是定理. 我们施归纳于F 的定理来证明其逆亦真. 如果A 是公理, 则A 本身就是A 的证明. 如果A 是由F 的某一推理规则以B1 ,...,B n 为前提推导而得的结论, 由归纳假设, B1 ,...,B n 都有证明. 我们把这些证明按顺序列出来即可得到A 的一个证明. 证完今后, 我们将用 F .... 表示"....是F 的定理".一阶理论2今后, 我们将主要讨论一类特殊的公理系统. 这类公理系统称为一阶理论. 一阶理论是一种逻辑推理系统, 它具有很强的表达能力和推理能力, 并且在数学, 计算机科学及许多其它的科学领域中有广泛的应用. 事实上, 目前使用的大多数计算机语言和数学理论都是一阶理论.如前所述, 一阶理论的第一个部分是它的语言. 我们把一阶理论的语言称为一阶语言. 如同其它的形式语言一样, 一阶语言应包括一个符号表和一些能使我们把公式和其它表达式区分开的语法规则.首先, 我们定义一阶语言的符号表, 它由三类功能不同的符号组成. 它们是:a) 变元x,y,z,...;b) n元函数符号f,g,..., 及n元谓词符号p,q,...;c) 联结词符号和量词符号⌝,∨和∃.为了今后的方便, 我们假定一阶语言的变元是按一定顺序排列的, 并且我们把这种排列顺序称为字母顺序. 我们称0 元函数符号是常元符号. 注意: 一个任给的一阶理论并没有要求必须有函数符号: 一个一阶理论可能没有函数符号, 可能有有穷多个函数符号, 也可能有无穷多的函数符号. 我们要求任何一阶理论必须包括一个二元谓词符号, 并用"=" 来表示它. 和函数符号一样, 一个给定的一阶语言可能有有穷或无穷多个(甚至没有) 其它的谓词符号. 函数符号和除=外的谓词符号称为非逻辑符号, 而其它的符号称为逻辑符号.在定义公式之前, 我们必须先定义"项":(1.1) 定义在一阶语言中, 项是由下述广义递归方式定义的:a) 变元是项;b) 如果u1 ,...,u n 是项, f是n元函数符号, 则fu1 ...u n 是项.然后, 我们定义公式如下:(1.2) 定义在一阶语言中, 公式是由下述广义递归方式定义的:a) 如果u1 ,...,u n 是项, p是n元谓词符号, 则pu1 ...u n 是(原子) 公式,b) 如果u,v 是公式, x 是变元, 则⌝u, ∨uv 和∃xu是公式.如前所述, 相应于公式的定义, 我们有一种广义归纳的证明方法. 我们将把这种证明方法称为施归纳于长度. 有时我们还用施归纳于高度的证明方法, 而所谓的高度是公式中含有⌝,∨,和∃的数量.如果一个表达式b包括另一个表达式a, 则称第二个表达式a在第一个表达式b中出现, 即如果u,v,w 是表达式, 则v在uvw 中出现. 这里, 我们不仅要求a的符号都包括在b中, 而且要求这些符号的排列顺序和a一样并且中间不插有任何其它的符号. 我们把b包括a的次数称为a在b中出现的次数.接下来, 我们要讨论关于一阶语言的一些性质. 这种讨论不仅可以使我们加深对一阶语言的认识, 同时还能帮助我们理解其它的形式系统. 首先要考虑的是唯一可读性问题, 也就是说, 我们将要证明一阶语言中的任何公式不可能有不同的形式. 这一性质说明一阶语言在结构上是不会产生二义性的. 为了简化书写, 我们把公式和项统称为合式表达式. 于是, 根据定义可以知道所有的合式表达式都具有uv1 ...v n 的形式, 其中u 是n 元(函数或谓词) 符号, v1 ,...,v n 是合式表达式.我们说两个表达式u和v是可比较的, 如果存在一个表达式w (w 可以是空表达式) 使u=vw. 显然, 如果uv和u'v'是可比较的, 则u 和u'是可比较的; 如果uv和uv' 是可比较的, 则v 和v'是可比较的.3(1.3) 引理如果u1 ,...,u n ,u'1 ,...,u'n 是合式表达式(u1 和u'1 都不是空表达式), 而且u1 ...u n 和u'1 ...u'n 是可比较的,则对于一切i=1,...,n, u i =u'i .证明施归纳于u1 ...u n 的长度k.如果k=1, 则u1 ...u n 只有一个符号. 所以, n=1. 于是u1 ...u n =u1 且u'1 ...u'n =u'1 . 由于u1 和u'1 都是合式表达式, 它们只可能是变元或常元符号. 由于它们是可比较的, 所以u1 =u'1 .假定当k〈m时引理成立, 并设k=m.由于u1 是合式表达式, 我们可以把它写成vv1 ...v s , 其中v 是s 元符号, v1 ,...,v s 是合式表达式. 由上, u'1 和u1 是可比较的, v 也是u'1 的第一个符号. 于是, 由于u'1 是合式表达式, 它具有vv'1 ...v's 的形式. 由上所述的性质, v1 ...v s 和v'1 ...v's 是可比较的. 由于|v1 ...v s |<|u1 |≤|u1 ...u n |, 根据归纳假设, 对于一切j=1,...,s, v j =v'j , 所以, u1 =u'1 . 由此而得, u2 ...u n 和u'2 ...u'n 是可比较的, 且|u2 ...u n |<|u1 ...u n |, 所以, 由归纳假设, 对于一切i=2,...,n, u i =u'i .于是, 引理得证#(1.4) 唯一可读性定理每一个合式表达只能以唯一的方式写成uv1 ...v n 的形式, 其中, u 是n 元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式.证明设w,w'是同一个合式表达式书写形式, 我们必须证明它们的结构是相同的. 首先, 它们必须都有相同的第一个符号,这样, u和n就唯一确定了, 从而, w=uv1...v n 且w'=uv'1...v'n, 其中v i ,v'j 是合式表达式(i,j=1,...,n). 我们还需证明对一切i=1,...,n, v i=v'i. 因为w 和w'是同一个表达式, 因而是可比较的. 于是, 根据引理(1.3), 对于一切i=1,...,n, v i=v'i #下面的定理说明如果一个合式表达式不可能由两个(或更多) 合式表达式的某些部分组成.(1.5) 引理合式表达式u中的任何符号w都是u中某一合式表达式的第一个符号.证明施归纳于u的长度k. 如果k=1, 则u是变元或常元符号. 于是任何在u中出现的符号就是u本身, 从而引理成立.假定当k<m时引理成立, 并设k=m.设u 是vv1 ...v n , 其中v是n元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式. 如果w是v, 则它是u的第一个符号. 否则, 存在i=1,...,n, 使w 在v i 中出现. 由于|v i |<|u|, 根据归纳假设, w 是v i 中的某一合式表达式的第一个符号, 当然也是u中的某一合式表达式的第一个符号. 证完. #(1.6) 出现定理设u是n元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式. 如果一个合式表达式v在uv1 ...v n 出现, 而且v不是整个uv1 ...v n , 则v在某一v i 出现.证明如果v的第一个符号就是定理中的u, 则v=uv'1 ...v'n , 其中v'1 ,...,v'n 是合式表达式, 且由定理条件, u和v是可比较的. 于是根据引理(1.3), 对于一切i=1,...,n, v i =v'i , 即v=uv1 ...v n . 矛盾.现假定v的第一个符号在某一v i 中出现. 根据引理(1.5), 该符号是某一合式表达式v'的第一个符号. 显然, v和v'是可比较的, 因而由引理(1.3), v=v', 即v在v i 中出现.4#为了方便起见, 我们今后将用大写字母A,B,...表示公式, 用f,g,...表示函数符号, 用p,q,...表示谓词符号, 用x,y,...表示变元, 用a,b,...表示常元符号.现在我们定义两类性质不同的变元, 即自由变元和约束变元.(1.7) 定义a) 如果x 在原子公式中出现, 则x是自由变元;b) 如果x是A 和B 中的自由变元, 且y 不是x, 则x 是⌝A, ∨AB和∃yA中的自由变元.a') x 是∃xA中的约束变元;b') 如果x是A 或B 中的约束变元, 则x 是⌝A, ∨AB和∃yA中的约束变元.注意: x可以在A 中既是自由变元又是约束变元.我们将用u[x/a]表示在表达式u 中将所有的自由变元x换成项a而得的表达式. 设A 是公式, 在很多情况下, A[x/a]关于a 所表示的含义与A 关于x所表示的含义是一样的, 但并非总是如此. 例如, 若A 是∃y=x2y, 而a 是y+1, 则A 是说x 是偶数, 但A[x/a]却不是说y+1是偶数. 这表明并非所有的代入都会保持原有的含义. 于是我们有下述定义:(1.8) 定义 a 被称为是在A 中可代入x的, 如果i) 如果A是原子公式，则a 是在A中可代入x 的；ii) 如果a 在B中可代入x 且对于a 中的任何变元y, ∃yB不含有自由变元x，则a 是在∃yB中可代入x 的；iii) 如果a 在A, B中可代入x, 则a 在⌝A和A∨B中是可代入x 的.今后, 当使用A[x/a] 时, 我们总是假定a是在A 中可代入x的. 类似地, 我们将用u[x1/ a1 ,...,x n/ a n ]表示在表达式u 中将所有的自由变元x1 ,...,x n 分别换成项a1 ,...,a n 而得的表达式, 同时还假定它们都是可代入的.在我们的一阶语言定义中项和公式的写法对于证明和理论分析比较方便, 但和通常的阅读方式不一致. 为了克服这一弱点, 我们引进一些定义符号:(A∨B) 定义为∨AB; (A→B) 定义为(⌝A∨B); (A&B) 定义为⌝(A→⌝B);(A↔B) 定义为((A→B)&(B→A)); ∀xA 定义为⌝∃x⌝A.注意: 定义符号只是为了方便而引进的记号, 它们不是语言中的符号. 当我们计算公式的长度时, 必须把它们换成原来的符号. 同样, 当用施归纳于长度或高度进行证明时也不能把它们作为符号来处理. 今后, 我们将在展示公式时用定义符号, 而在证明时用定义(1.1) 和(1.2).我们称:⌝A 为 A 的否定; A∨B 为 A 和B 的析取(A 或者B); A&B 为 A 和B 的合取(A并且B);A→B 为 A 蕴含B; A↔B 为A等价于B; ∃xA 为关于x的存在量词(存在x 使得A);∀xA 为关于x的全称量词(对一切x 使得A).作业:1) 施归纳于长度证明如果u是公式(项), x 是变元, a是项, 则u[x/a]是公式(项).2) 证明如果uv和vv'是合式表达式, 则v和v'中必有一个是空表达式.一阶理论的逻辑公理和规则形式系统的公理和规则可以分为两类: 逻辑公理和逻辑规则, 非逻辑公理和非逻辑规则. 逻辑公理和逻辑规则指的是那些所有形式系统都有的公理, 而非逻辑公理和非逻辑规则仅在5某些特定的形式系统中才有. 但是, 当形式系统足够丰富时,我们并不需要非逻辑规则. 假定在一个形式系统F 中有一条非逻辑规则使我们可以由B1 ,...,B n 推导出A, 只要F 有足够多的逻辑规则, 我们只需要在F 中加进一条公理B1 →...→B n →A (这里, B1 →...→B n →A表示B1 →(...→(B n →A)...).)就不再需要那条非逻辑规则了. 因此, 我们今后假定我们的形式系统中没有非逻辑规则. 今后我们将把逻辑规则简称为规则. 由于我们仅对形式系统进行一般讨论, 我们的兴趣主要是那些逻辑公理和规则.下面是逻辑公理:1) 命题公理: ⌝A∨A;2) 代入公理: A[x/a]→∃xA;3) 恒等公理: x=x;4) 等式公理: x1 =y1 →...→x n =y n →fx1 ...x n =fy1 ...y n ;或x1 =y1 →...→x n =y n →px1 ...x n →py1 ...y n .注意: 以上并不是仅有四条公理, 而是四类公理. 如命题公理并非一条公理, 而是对于任何公式A 我们有一条命题公理. 所以, 以上的公理实际上是公理模式.以下是规则:1) 扩展规则: 如果A, 则B∨A;2) 收缩规则: 如果A∨A, 则A;3) 结合规则: 如果A∨(B∨C), 则(A∨B)∨C;4) 切割规则: 如果A∨B且⌝A∨C, 则B∨C;5) ∃-引入规则: 如果A→B且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B.如同上面的公理, 这些规则也不是五条规则, 而是五个规则模式.现在, 我们定义一阶理论如下:(1.9) 定义一个一阶理论T (简称理论T)是具有如下特征的形式系统:1) T 的语言L(T)是一阶语言;2) T 的公理是以上列出的四组公理和一些其它的非逻辑公理;3) T 的规则是以上列出的五组规则.由于一阶理论的逻辑符号, 逻辑公理和规则已经确定, 一阶理论之间的区别在于它们的非逻辑符号和非逻辑公理. 因此, 当我们希望讨论某一具体的一阶理论时只需要把它的非逻辑符号和非逻辑公理指明就行了.例.1) 数论NN 的非逻辑符号为: 常元0, 一元函数符号S, 二元函数符号+和*, 和二元谓词符号<. N 的非逻辑公理为:N1 Sx≠0; N2 Sx=Sy→x=y; N3 x+0=x; N4 x+Sy=S(x+y); N5 x*0=0;N6 x*Sy=(x*y)+x; N7 ⌝(x<0); N8 x<Sy↔x<y∨x=y; N9 x<y∨x=y∨y<x.2) 群GG 只有一个非逻辑符号, 即二元函数符号*. G 的非逻辑公理为:G1 (x*y)*z=x*(y*z); G2 ∃x(∀y(x*y=y)&∀y∃z(z*y=x)).根据我们在第一节所述, 一阶理论T 的定理可以定义为:1) 每一条命题公理, 代入公理, 恒等公理, 等式公理和非逻辑公理是定理;2) 如果A 是定理, 则A∨B是定理;3) 如果A∨A是定理, 则A 是定理;64) 如果A∨(B∨C) 是定理, 则(A∨B)∨C 是定理;5) 如果A∨B和⌝A∨C是定理, 则B∨C是定理;6) 如果A→B是定理且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B是定理.与此对应, 我们可以用如下广义归纳法证明一阶理论T 中的定理都具有某一性质P:1) 每一条命题公理, 代入公理, 恒等公理, 等式公理和非逻辑公理具有性质P;2) 如果A 具有性质P, 则A∨B具有性质P;3) 如果A∨A具有性质P, 则A 具有性质P;4) 如果A∨(B∨C) 具有性质P, 则(A∨B)∨C 具有性质P;5) 如果A∨B和⌝A∨C具有性质P, 则B∨C具有性质P;6) 如果A→B具有性质P且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B具有性质P.下面我们证明一阶理论的逻辑公理是相互独立的.(1.10) 定理一阶理论的逻辑公理和规则是互相独立的.证明当我们希望证明某一命题A 是独立于某个命题集Γ和规则集Δ时, 我们需要找到一个性质P 使A 不具有性质P, 而Γ中的每一命题具有性质P 且Δ中的每一规则保持性质P (即如果该规则的前提具有性质P, 则其结论具有性质P); 当我们希望证明某一规则R 是独立于Γ和Δ时, 我们需要找到一个性质P 使R 不保持性质P, 而Γ中的每一命题具有性质P 且Δ中的每一规则保持性质P. 这样就可以断言: 在由Γ为其公理集, Δ为其规则集的形式系统中, 每一定理都具有性质P. 由于A不具有性质P (或R 不保持性质P), 所以, A (或R)是不可能由Γ和Δ来证明的. 这样, A(或R)就独立于Γ和Δ了. 我们将根据这个思想来证明本定理.1) 对于命题公理. 定义f 如下:f(A)=T 若 A 是原子公式; f(⌝A)=F; f(A∨B)=f(B); f(∃xA)=T.可以证明: f(⌝⌝(x=x)∨⌝(x=x))=F, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=T.2) 对于代入公理. 定义f 如下:f(A)=1 若A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1;f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=0.可以证明: f((x=x)→∃x(x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.3) 对于恒等公理. 定义f 如下:f(A)=0 若A是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A)},f(B); f(∃xA)=f(A).可以证明: f((x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.4) 对于等式公理. 首先在L(T)中加进常元e1 ,e2 和e3 而得L'. 然后定义f 如下:f(e i =e j )=1 iff i≤j; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=T iff 存在i 使f(A[x/e i ])=T .可以证明: f((x=y→x=z→x=x→y=z))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A[x/e i ])=1, 其中, x是A 中的自由变元.5) 对于扩展规则. 定义f 如下:f(A)=1 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, 否则, f(A)=0; f(A∨B)=1 如果f(A)=f(⌝B), 否则f(A∨B)=0; f(∃xA)=f(A).可以证明: f((x=x∨(⌝(x=x)∨x=x)))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.6) 对于收缩规则. 定义f 如下:7f(A)=T 若 A 是原子公式; f(⌝A)=f(∃xA)=F; f(A∨B)=T.可以证明: f(⌝⌝(x=x))=F, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=T.7) 对于结合规则. 定义f 如下:f(A)=0 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1-f(A); f(A∨B)=f(A)*f(B)*(1-f(A)-f(B)); f(∃xA)=f(A).可以证明: f(⌝(⌝(x=x)∨⌝(x=x)))>0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=0.8) 对于切割规则. 定义f 如下:f(A)=1 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0或A是原子公式, 否则f(⌝A)=0; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=f(A).可以证明: f(⌝⌝(x=x)))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.9) 对于E-引入规则. 定义f 如下:f(A)=1 若A是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=T.可以证明: f(∃y⌝(x=x)→⌝(x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.结构和模型现在我们讨论一阶理论的语义部分. 为此我们先引进一些集论的记号: 集合或类是把一些我们想要研究的对象汇集在一起, 从而我们可以把它看作是一个整体. 如果A 和B 是集合, 一个由A 到B 的映射 F (记作F: A→B)是一个A 和B 之间的对应, 在这个对应中A 中的每一个元素a 都对应着一个唯一的B中元素 b (称为F在a 上的值, 记作F(b) ). 我们把n个A 中元素按一定顺序排列而得的序列称为A 的一个n 元组, 并用(a1,...,a n )表示由A 中元素a1,...,a n 按此顺序排列的n 元组. 把由A 的所有n 元组成的集合记为A n, 然后把由A n 到B的映射称为由A 到B 的n元函数. 我们把A n 的子集称为A 上的n 元谓词. 如果P是A 上的n 元谓词, 则P(a1 ,...,a n )表示(a1 ,...,a n )∈P.真值函数根据我们对公式和项的定义, 我们可以先用函数符号和谓词符号以及变元构造一些简单的公式, 然后用联结词得到比较复杂的公式, 如"A 并且B" 等等. 我们用符号"&" 表示"并且", 即若A 和B 是公式, "A&B" 表示"A 和B同时成立".于是一个很自然的问题是怎样知道A&B 的真假? 这里, A&B 的一个很重要的特征是: 只需要知道A 和B 的真假就能确定A&B 的真假, 而不必知道A 和B 的具体含义. 为了表示这一特征, 我们引进真值. 真值是两个不同的字母T 和F, 而且当公式A 为真时, 我们用T 表示其真值; 当公式A 为假时, 我们用F 表示其真值. 于是, A&B 的真值就由A 和B 的真值确定了.有了真值的概念, 我们就可以定义真值函数了. 所谓的真值函数是由真值集T,F 到真值集T,F 的函数. 由此, 我们可以把以上的讨论叙述为: 存在二元真值函数H& 使得: 若a 和b 分别是A 和B 的真值, 则H& (a,b) 是A&B 的真值. 我们定义H& 为:H& (T,T)=T, H& (T,F)=H& (F,T)=H& (F,F)=F.我们用"∨" 表示"或者", 并定义H∨如下:8H∨(F,F)=F, H∨(T,F)=H∨(F,T)=H∨(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H∨(a,b)就是A∨B的真值.我们用"→" 表示"如果...则...", 并定义H→如下:H→(T,F)=F, H→(F,F)=H→(F,T)=H→(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H→(a,b)就是A→B的真值.我们用"↔" 表示"当且仅当", 并定义H↔如下:H↔(F,T)=H↔(T,F)=F, H↔(F,F)=H↔(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H↔(a,b)就是A↔B的真值.我们用"⌝" 表示"非", 并定义H⌝如下:H⌝(F)=T, H⌝(T)=F.于是当a 是A 的真值时, H⌝(a)就是⌝A的真值.容易证明, &,→, 和↔可由⌝和∨定义. 事实上所有的真值函数都可以由⌝和∨定义.作业1. 证明: 任何真值函数f(a1 ,...,a n )都可以由H⌝和H∨定义.2. 设H d , H s 是真值函数, 其定义为:H d (a,b)=T 当且仅当a=b=F; H s (a,b)=F 当且仅当a=b=T.证明: 任何真值函数f(a1 ,...,a n )都可以由H d (或H s )定义.结构现在我们讨论一阶语言的语义部分(称为它的结构). 所谓一个语言的语义, 当然是表示该语言中所指称的对象范围和每一个词和句子所表达的含义. 一阶语言的语义也是如此. 如前定义, 一阶语言中的符号有函数符号和谓词符号, 这些都应在它的语义中有具体的含义. 把这些组合起来, 我们就可以得到如下定义:(1.11) 定义称三元组M=〈|M|,F,P〉是一个结构，如果:1) |M|是一个非空集合，它称为是L 的论域, |M| 中的元素称为是M 的个体;2) F是|M|上的函数集合;3) P是|M|上的谓词集合.定义设L是一阶语言，M是一个结构。
逻辑思维特训营——第4讲：三花聚顶(最新小学数学课件)
大家一阵无语，米德说道：“关键时刻还 是要看我天才米德的，刚才我已经看穿了这个 魔方的还原方法了。大家准备好脱困吧！哈哈 哈哈......”
三花聚顶
完成两次之后，就要开始进行第三 层的还原，第三次的还原关键在于：
次，上逆两次，右顺一次
秘诀三分支二：中上一次，上顺一 次，中下一次，上顺两次，中上一 次，上顺一次，中下一次
出 现时，开始运用秘诀三分
秘诀三分支二：中上一次，上顺一次，中下一次， 上顺两次，中上一次，上顺一次，中下一次
PS:当顶部为中间黄块或者只有四个边 角有黄块的时候，运用秘诀三分之一 是做不出
PS：这几类都是表示已诀三分支一：右逆一次，上逆一
秘诀三是： 次，右顺一次，上逆一次，右逆一
黄色小花的完成。
还原黄色小花需要使用的就是我们的秘诀三：
秘诀三分支一：当顶部没有由黄色组成的
形状时使用。
右逆一次，上逆一次，右顺一次，上逆一次，右逆一次，上 逆两次，右顺一次
PS：当顶部为中间黄块并且四周有的黄块只在四个角的时候， 运用秘诀
三分支一是还原不出
形状的，这时候我们要用分支二来还原。
当 支二。
01-高等数理逻辑课程介绍_
{
{
{
□
z
描述问题的逻辑工具 常用的逻辑: 命题逻辑 谓词逻辑 多值逻辑 直觉主义逻辑 模态逻辑 时态逻辑 描述逻辑 二阶逻辑
{ { { { { { { {
l 逻辑方法是求解问题的一种独特方法.
{
□
z
抽象问题类的性质研究 使用不同的逻辑体系描述具体问题, 针对问题的求解, 需要关注以下 性质:
{ {
□
z
数学分析中的 % - $ 语言语句. / $ 时, 对任意的 % > 0 , 存在 $ > 0 , 当 0=|x-a|< |f(x)-b|< % . □ 数学语句的符号化. “函数 f 在点 a 的极限是 b ”常被写为: ] % > 0 ^ $ > 0 ] x(0=|x-a|< / $ >|f(x)-b|< % ) . □
z z
z
无限集合初步 公理集合论初步 自然数的逻辑理论
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
命题逻辑完备性定理及紧致性 命题逻辑公理的独立性 可满足问题及相关判定算法 谓词逻辑的模型及无限模型 一目谓词逻辑的可判定性 非欧几何简介 实闭域的可判定性 谓词逻辑的完备性 谓词逻辑公理的独立性 可计算性及半可判定性 不完备性定理与非标准模型 直觉主义逻辑 模态逻辑 □
解答: 设定以下的命题变元:
根据对三个情形的约定可得语句 9 1 : (p1 ) r 3 ) [ (q 1 ) p3 ) [ (r 1 ) p 2 ). 根据无并列第一及第三可得语句 9 2 \ (p 1 [q 1 ) [\ (p 1 [ r 1 ) [\ (q1 [ r 1 ) [\ (p 3 [r 3 ). 根据对名次唯一性约定可得语句 9 3 \ (p 1 [p 2 ) [\ (p 1 [ p 3 ) [\ (p 2 [ p3 ) [\ (r 1 [ r 3 ). 所以问题可以被描述为: 91 [ 92[ 93 . 用真值表方法可以求得唯一赋值 v: v(q 1 )=v(p 2 )=v(r 3 )=1,v(p 1 )=v(p 3 )=v(r 1 )=0. 使得 v( 9 1 [ 9 2 [ 9 3 )=1 这表明从一到三的排名是:B,A,C. □ 命题逻辑计算复杂性分析
数理逻辑
§1.1.4.命题翻译
解： 1. 李明是计算机系的学生，他住在312室或313室。 首先用字母表示简单命题。 P:李明是计算机系的学生。 Q:李明住在312室。 R：李明住在313室。 该命题符号化为：P ∧ (Q ⊕ R) 2. 张三和李四是朋友. 该命题符号化为：P
§1.1.2.命题联结词
命题联结词在使用中的优先级
运算时联结词的优先次序由高到低为: ¬,∧,∨,→, ↔。 先括号内运算, 后括号外运算。 运算符合运算符的优先顺序。 联结词按从左到右的次序进行运算。 例 • ¬P∨(Q∨R)可省去括号, ∨运算是可结合的。 • ( ¬P∨Q)∨R 可省去括号。 • P→(Ｑ→Ｒ)中的括号不能省去，因为→不满足结合律。
§1.1.2.命题联结词
例1 P: 我拿起一本书 Q: 我一口气读完了这本书 P→Q: 如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。
通常称为形式蕴含 即前提和结果有某种形式和内容上 形式蕴含, 形式蕴含 的联系。 例2 P: 月亮出来了 Q: 3×3=9 P → Q: 如果月亮出来了, 则3×3=9。 通常称为实质蕴含 实质蕴含,即前提和结果可以有联系，也可以没 实质蕴含 有联系，只要满足条件命题的定义。
定义 由真值表给出，如左图。
即：当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为Ｔ， 则（ＰΛＱ）的真值为“Ｔ”。否 则，其真值为Ｆ。 注意：Ｐ和Ｑ是互为独立的，地位 注意 是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换 而不会影响ＰΛＱ的结果。
P F/0 F/0 T/1 T/1
Q PΛ Q QΛP F/0 F/0 F/0 T/1 F/0 F/0 F/0 F/0 F/0 T/1 T/1 T/1
第一篇 数理逻辑
逻辑学：研究推理的科学。 逻辑学分为二类：
辩证逻辑：是研究事物发展的客观规律。 形式逻辑：对思维的形式结构和规律进行研究。
《高级数理逻辑》课件
介绍基于高级数理逻辑研究的智 能推理算法，让计算机更高效地 进行推理和判断。
多值逻辑及其应用
多值逻辑概述
介绍多值逻辑的概念、基本原理以及与二值逻 辑的区别。
多值逻辑在人工智能中的应用
深入研究多值逻辑在自然语言处理、机器学习 和智能系统中的应用，以提高其智能水平。
多值逻辑在计算机科学中的应用
探索多值逻辑在计算机编程、信息理论和密码 学等方面的应用。
模型检验方法
介绍基于多值逻辑的模型检验方法及其应用， 以确保系统或软件的正确性。
模态逻辑理论及扩展
1
经典模态逻辑
2
探讨经典模态逻辑的语法、语义、推理
规则及其应用。
3
非经典模态逻辑
4
介绍非经典模态逻辑，如增长逻辑、其 他模态逻辑和拓扑逻辑等，并探讨其应
用。
模态逻辑概述
介绍模态逻辑的基本概念、语言和语义。
二阶逻辑理论及应用
1 二阶逻辑概述
介绍二阶逻辑中的语法、 语义和推理规则。
Hale Waihona Puke 2 二阶逻辑的应用探讨二阶逻辑在模型论、 计算机科学和数学中的应 用。
3 高维逻辑
介绍高维逻辑的概念、语 言和语义，以及它在数学、 物理学和哲学中的应用。
可计算论概述及相关定理
可计算性理论
介绍可计算性理论和计算模型， 如图灵机、λ演算和递归函数等。
动态模态逻辑
研究模态逻辑中时间、知识和行动等概 念的语义和推理规则。
一阶逻辑及其扩展
概述
介绍一阶逻辑中的语法、语义和 推理规则。
一阶逻辑扩展
研究一阶逻辑的拓展，如高阶逻 辑、无限值逻辑和时态逻辑等， 并探讨其应用。
程序语言理论
介绍一阶逻辑在程序语言理论中 的应用，包括程序设计、程序分 析和验证等。
《数理逻辑》第四章
马琦 2010.10.16 maqi08@非形式化命题演算基本要素 真值指派 逻辑推理 等价性 p,q,r,…~,∧,∨,→,↔, A,B,C,… 真值表 重言式：对任意变元真值都取T。
论证形式的有效性语句形式演算系统 L~,→,( , ) , p1, p2, p3,… 合式公式，公理，演绎规则 重言式：对每一赋值都取T。
定理和证明(推演和后承)论证形式是有效的当且仅当相应的命题形式是重言式。
重言式是定理，定理是重言式。
论证形式是有效一阶语言 L基本要素 真值指派 x1,x2,…,a1,a2,…, Ain, fin, (,),,,~,→,∀ 解释：变元域以及其他元素的指定。
赋值：对变元的指定。
重言式：L L中重言式的代换实例。
逻辑推理 等价性 逻辑有效：对每一解释都是真的。
逻辑有效的。
重言式是逻辑有效 逻辑有效形式系统KLL的合式公式，公理，规则定理和证明(推演和后承) 定理是逻辑有效的。
逻辑有效的是定理。
公理• 设A,B,C是L的任意wf.，下列为KL的公理。
• (K1) (A→(B→A)) • (K2) (A→(B→C))→((A→B)→(A→C)) • (K3) (~A→~B)→(B→A)) • (K4) ((∀xi)A→A))，xi不在A中自由出现。
• (K5) ((∀xi)A(xi)→A(t)))，A(xi)是L的wf.，而 L的项 t 对A(xi)中的 xi 是自由的。
• (K6) ((∀xi)(A→B)→(A→(∀xi)B))，若A不包含变元xi的自由出现。
规则• (1) 分离规则，即由A和 (A→B)推出B，这里A和B是L的任意wf.。
• (2) 全称概括规则，即由 A推出 (∀xi)A，这里A是L的任意wf.，xi是任意变元。
全称概括规则证明和定理• KL中的一个证明是L的wf.序列 A1,…An，使对每一i(1≤i≤n)，或者Ai是KL的公理， 或者Ai是由序列中在前的wf.用MP规则或全称概括规则而推得。
第三四讲——产生式及一阶谓词
专家系统的开发过程
专家系统是一个复杂的智能软件，与一般软件 类似，但又有不同的特点。
一般软件处理的对象是数值、文字、图形等信 息，且有固定的算法序列，而专家系统软件处理的 对象是以符号表示的知识，在运行过程中常有回溯 发生，因此专家系统的开发过程与一般软件的开发 有所不同。
专家系统的创始人费根鲍姆教授把开发专家系 统的技术称之为知识工程，即以知识获取、知识表 示、知识运用(推理)为中心。根据这个思想，可把 专家系统的开发过程分为以下几个阶段。
14
2019/12/15
例：初始状态 Start 目标状态 Goal
R冲1：突if 原P 则a：nd Q then Goal
R2：if选R取最an久d 以S 前t被he触n 发P 的或根本没有被触发的规则
R3：if如W果出an现d R“平t局he”n Q，选取R其4：中if的T第a一nd个U规则then Q
接口，完成信息适的用性和有效性密切相关的。
内部形式和人可接
间假设和中间结 果
收的形式之间进行
转换。
用
推
理
动态库
用
户
执
知识
户
界
行
获取
机
面
构
知识库
推理机根据动态库的当 前状态，利用知识库中 的知识进行推理。
包括:1与当前问题有关的数据信
解 释 息；2 一般知识和领域知识。规
机构
则、网络和过程等形式表示。
以人类专家知识为基础的专家系统的问题求解，从本质
上都可以看作是从初始状态到目标状态的推导变换过程，
因而都可用产生式系统来求解。
2019/12/15
21
2019/12/15
高级数理逻辑
1.2 数理逻辑的发展过程
第五阶段：公理集合论促进了数理逻辑形式 系统的产生 英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数 学家罗素在集合论的研究过程中，于1903 年提出了著名的罗素悖论（数学史上的第 三次危机）。罗素悖论动摇了集合论的基 础，促使人们去研究数学中的矛盾性。从 而提出了公理集合论。公理集合论的产生 和发展，促进了形式系统的产生。
10
1.1 基本概念
语义 涉及符号和符号表达式的涵义。 语法 涉及符号表达式的形式结构，不考虑 任何对语言的解释。
两者既有区别又有联系。
---------------------------------------------------------11
1.2 数理逻辑的发展过程
逻辑学→数理逻辑→形式逻辑→计算逻辑 第一阶段：逻辑学思想的提出 亚里士多德提出建立探索人类推理、 思维原则的学科，从而有了逻辑的概念。
14
1.2 数理逻辑的发展过程
第四阶段：发展为独立的学科 十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有 了比较大的发展，1884年，德国数学家弗 雷格出版了《数论的基础》和《符号论》， 在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的 符号系统更加完备。对建立这门学科做出 贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作 中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑 最基本的理论基础逐步形成，成为一门独 立的学科。
---------------------------------------------------------16
1.2 数理逻辑的发展过程
第六阶段：形式推理自动化的产生 1965年Robinson提出了归结原理 （Principle of Resolution），归结原理提 出了基于形式描述的，利用计算机的推理 方法。从而使机器定理证明和计算机辅助 软件工程得到长足的发展。
北邮高级数理逻辑课件
形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。
：1、 符号表∑为非空集合，其元素称为符号。
2、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。
项集TERM 为∑*的子集，其元素称为项；项集TERM 有子集V ARIABLE 称为变量集合，其元素称为变量。
F(X) a, X,3、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。
公式结FORMULA 为∑*的子集，其元素称为公式；公式集有子集ATOM ，其元素称为原子公式。
A(f(a,x1,y)), A →B4、 公理集AXIOM 是公式集FROMULA 的子集，其元素称为公理。
5、 推理规则集RULE 是公式集FORMULA 上的n 元关系集合，即RULE=)}2(|{n FORMULA r n n n r ⊆∧≥∧∃是正整数，其元素称为形式系统的推理规则。
其中公式集和项集之间没有交叉，即TERM ∩FORMULA =φ，公式和项统称为表达式。
由定义可知，符号表∑、项集TERM 、公式集FORMULA 是形式系统的语言部分。
而公理集AXIOM 、推理规则集RULE 为推理部分形式系统特性1、 符号表∑为非空、可数集合（有穷、无穷都可以）。
2、 项集TERM 、公式集FORMULA 、公理集AXIOM 和推理规则集RULE 是递归集合，即必须存在一个算法能够判定给定符号串是否属于集合（可判定的）。
3、 形式系统中的项是用来描述研究的对象，或者称为客观世界的。
而公式是用来描述这些研究对象的性质的。
这个语言被称为对象语言。
定义公式和项产生方法的规则称为词法。
公理：I))((A B A →→ II))()(())(((C A B A C B A →→→→→→ III ))())()(((A B B A →→⌝→⌝证明：A →A(1)A →(A →A)((A →(B →C))→((A →B)→(A →C))((A →(B →A))→((A →B)→(A →A))((A →((A →A)→A))→((A →(A →A))→(A →A))A →((A →A)→A))(A →(A →A))→(A →A)(A →(A →A))A →ABB A A →, 已知：R 是一个有关公式的性质证明：R 对于所有公式有效I. 对于)(FSPC Atom p ∈，则)(P RII. 假设公式A 和B 都具有RIII. )(FSPC Atom A ∈∀，且)(A R ，则)(A R ⌝IV. B A ,∀是公式，如果)(A R 且)(B R ，则)(B A R →根据：形式系统的联结词只有两个→⌝,，因为在命题逻辑的语义上，其他联结词可以有这两个联结词表示。
应用高等数学第7章7.2 数理逻辑(1)-文档资料
P Q ¬ P 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0
G 1 1 1 1
② H P ¬ PQ 0 ∴ H 是矛盾式。
K 0 0 0 1 29
P Q ¬ P ¬PQ 0 0 1 1 ③ K P(¬ PQ) 0 1 1 1 ∴K是可满足式。 1 0 0 0 (仅可满足式) 1 1 0 1
• “ ”不是联结词，它表示两个公式的 关系。
26
例：用真值表证明公式 P→Q 和 ¬ P∨Q等值. 证：由真值表：
P Q ¬ P P→Q ¬P Q 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1
可见在所有赋值 I 下真值相同， ∴ P→Q ¬ P∨Q . ■
23
定义 设G是公式，A1, A2,…, An 是出现在G中 的所有原子, 指定 A1,A2,…..An 一组真值, 则 这组真值称为G的一组赋值(解释、指派）, 记作I。 P Q R I: 例：G PQR. 0 1 0
G的真值记为 TI (G)1. • 一般地G是具有n个不同原子的公式, 则G有 2n 个不同的赋值。 • 对一个公式G, 将它在所有赋值下所取的真 值列成一个表, 称为G的真值表。
16
5) 等价(双条件) 定义 给定两个命题P和Q，复合命题PQ称 为双条件命题。当P、Q的真值相同时，PQ 的真值为T ；在其它情况下，PQ的真值为F。
P Q PQ 1 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1: “两个三角形全等当且仅 当对应边相等”。 设P: 两个三角形全等。 Q: 三角形对应边相等。 命题符号化：PQ。 且命题为真：PQ 1。 • 二元联结词。
14
数理逻辑_4
定理１ 对任意谓词公式A，都存在与其等价的前 束范式 . 证明 通过如下步骤，可将A化为前束范式． (1)使用等价式 A B＝(A→B)∧(B→A), A→B＝A∨B 去除→与 ， (2)使用Morgan律和双重否定律及量词否定型 等价式将 放在原子公式之前． (3)利用量词分配等价式，将所有量词提到公式 前面必要时换名)．
• 任取一个解释I及赋值v，设在此解释及赋值 下，xA(x)为１, 即 xA(x)I,v＝１，则 xA(x)I,v＝０，即有一个a∈D使A(a)I,v＝０， 于是 A(a)I,v＝１，故 x A(x)I,v＝１． • 反之，……。
谓词逻辑中的基本等价式
• 3. 量词分配等价式． • (1) x(A(x)∨B)＝xA(x)∨B. x(A(x)∨B)＝xA(x)∨B. x(A(x)∧B)＝xA(x)∧B. x(A(x)∧B)＝xA(x)∧B. • (2) x(A(x)∧B(x))＝xA(x)∧xB(x). x(A(x)∨B(x))＝xA(x)∨xB(x). xy(A(x)∨B(y))＝xA(x)∨xB(x). xy(A(x)∧B(y))＝xA(x)∧xB(x).
第二类型Skolem范式
• 生成方法：去掉存在量词 • 例： x y z u v w P(x,y,z,u,v,w) • 定理 2：公式A永假 当且仅当 其Skolem范 式永假。
推理理论
• 定义１ 设A，B是两个公式，如果对任意 解释I及赋值v，当A的真值为１时必有B的 真值为１，则称A蕴涵B，记为A B．
谓词逻辑中的基本等价式
• １．从命题逻辑中移植来的等价式 由P＝P 可得 A＝A. 由 P→Q＝P∨Q 可得 A→B＝A∨B.
• ２．量词否定型等价式 xA(x) ＝ x A(x). xA(x) ＝x A(x).
第五章 高级数理逻辑
26
当涉及归纳定义的集S上的函数f的递归定 义和递归定义原理时，应当要求S中的元有 唯一的生成过程 例 M={0,1}，g1是一元函数，且有g1(0)=1, g1(1)=0，故S={0,1}中的0和1可以由M生成， 也可以由g1生成，即生成过程不唯一.
27
例 令h(0)=h1(0)=0和h(1)=h1(1)=1，则按照 递归定义S上的函数f如下：
19
归纳证明
使用如上定理作出的证明，称为归纳证明， 即用归纳法作出的证明。 命题“对于任何n∈N，R(n)”是归纳命题， 其中n是归纳变元，这是说，当证明归纳命 题时，要对n做归纳。
第一步，称为（归纳的）基始，是证明定理中
的(i)，即0有性质R。 第二步，称为归纳步骤，是证明其中的(ii)，即 后继运算保存R性质。归纳步骤中的假设R(n) 称为归纳假设。
28
f(x)=h(x) 对于任何x∈M f(g1(x))=h1(f(x)) 对于任何x∈S 当0,1 ∈M时，有 f(0)=h(0)=0和f(1)=h(1)=1 但是此外，也有 f(0)= f(g1(1))=h1(f(1)) =h(1)=1 f(1)= f(g1(0))=h1(f(0)) =h(0)=0
22
递归定义原理
在归纳定义的集上定义函数，可以采用递 归定义的方法。 定理2 设g和h是N上的已知函数，则存在唯 一的N上的函数f，使得
f(0)=g(0),
f(n’)=h(f(n))
或 f(n’)=h(n, f(n)) .
对于任何n∈N，f(n)的值能够由上述定义f 的方程通过f(0),f(1),…,f(n-1)计算出来。称 这种定义为递归定义。
高级数理逻辑
集合归纳定义的一般情况
设M为集合，gi为ni元函数，i=1,2,…,k。 两种等价的定义：
(1)M⊆S (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈S，则 gi (x1,x2,…,xni ) ∈S (3)只有由（有限次使用）(1)和(2)生成的元素才是S 中元素
集合S是满足以下(1)和(2)的T中的最小集： (1)M⊆T (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈T，则 gi (x1,x2,…,xni ) ∈T
课程的主要内容?经典逻辑?命题逻辑?谓词一阶逻辑?非经典逻辑?构造型逻辑?模态逻辑集合论?19世纪下半叶cantor提出朴素集合论?1903年russel提出集合论悖论产生数学的第三次危机?1908年zermelo提出公理化集合论zf体系集合论?集合论是数学的基石?基本概念?集合元素?序偶笛卡尔积?关系?映射?等价关系?相容关系?序关系集合元素?若干事物组成的整体被称为集合集合中的每个事物被称为元素
自然数集的归纳定义
后继 两种等价定义
(1)0∈N (2)对于任何n，若n∈N，则n’ ∈N（n’为n的后继） (3)只有由（有限次使用）(1)和(2)生成的n ∈N
N是满足以下(1)和(2)的S中的最小集： (1)0∈S (2)对于任何n，若n∈S，则n’ ∈S（n’为n的后继）
基于自然数集的归纳证明原理
笛卡尔积
ST { x, y | x S y T}
扩展(n>2)
有序n元组
<a1, a2, …, an>=<< a1, a2, …, an-1 >, an >
n阶笛卡尔积
S1 S2 ...Sn { x1, x2,..., xn | x1 S1 x2 S2 ... xn Sn}
数理逻辑讲稿
数理逻辑讲稿数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。
它是数学的一个分支，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。
其主要特征之一是“形式化”，就是将数理逻辑的研究对象“数学推理形式化，推理都有前提、结论和推理规则，这些前提和结论都是命题。
一个推理系统包含命题、公理和推理规则，“形式化”即为将这样的推理系统符号化而形成一个形式系统。
用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到十七世纪莱布尼茨，他设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。
由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。
但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。
后人基本是沿着莱布尼茨的思想进行工作的。
1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。
对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。
从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。
数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。
它是现代计算机技术的基础。
数理逻辑的内容两个最基本的也是最重要的组成部分，就是“命题演算”和“谓词演算”。
命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。
命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。
在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。
数理逻辑的发展数理逻辑这门学科建立以后，发展比较迅速，促进它发展的因素也是多方面的。
比如，非欧几何的建立，促使人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性。
数理逻辑ch4
举例：用核心语言编写n！程序 因为自然n的阶乘n！归纳定义为（由数学知） 0！=1 （n+1）！=（n+1）*n！ （4-4） 用核心语言编写为： y=1； z=0； while（z！= x）{ z=z+1； y= y*z； } Note：这虽然是一个很简单的程序P，但要验证 它确实能做到，接下来我们就验证它。
34
例2：如计算n的阶乘n：（设程序为fac1） y=1； z=0； while（z！=x） { z= z+1； y= y*z； } 该程序只有x最初为非负时该程序才终止 |=tot (|x≧0|Fac1|Ψ|) 成立 |=tot (| T |Fac1|Ψ|) 不可证 |=par (|x≧0|Fac1|Ψ|) 可证 |=par (| T |Fac1|Ψ|) 可证
25
例如： 对满足 L（x）=-2 L（y）=5 L（z）=-1 的任意状态L，关系
① L╞ ┐（x+y< z）成立， 因为x+y计算为-2+5=3，Z计算为L（z）=-1 而3不是严格小于-1。故成立
26
例如：对满足 L（x）=-2 L（y）=5 L（z）=-1 的任意状态L，关系
②L╞ y- x*z< z不成立 即：5-（-2）*（1-）=3而3不是严格小于-1。故 ②不成立
14
3）命令的形式定义 C ::= x= E∣C;C∣if B{C} else{C} ∣while B{C} x=E: 当前状态下计算整数表达式E的值，然后用该计算 的结果复写储存在x中的当前值 C;C： 命令C1和C2的顺序合成。开始在当前储存状态下 执行C1。若执行终止，则在执行C1的结果后的储 存状态下执行C2，否则C1的执行不终止，运行 C1,C2也不终止。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。
因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。
1、例如：所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。
因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。
而这些原子命题之间无法建立关联关系。
因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。
所以用命题逻辑描述它不能进行推理。
然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。
2、再例如：所有实数的平方是非负的A-是实数B3-的平方是非负的C34.1.2一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。
●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。
个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。
P(x)●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。
这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。
F(x,y)=x*y●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。
这些有关个体性质的描述称为谓词。
Q(y), P(x,y) ::x<y●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。
有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。
为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。
2、谓词和函词●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。
它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。
没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。
谓词后面的空位个数为谓词的元数。
谓词是一个体域上的n元关系。
通常P(x,y,z)=0,1，表示x,y之间具有关系P(1,2)。
●函词定义：函词是表示某种操作的语言成份。
用于在给定的个体基础上，产生新的个体对象。
与谓词一样，函词具有空位的概念。
函词后面空位的个数为函词的元数。
通常用F(x,y,z)=x+y+z表示。
3、变元和常元●常元：常元表示个体域中的一个确定个体。
如：5，Zhang San 等。
●变元：变元可以用来表示个体域上的任意个体，是不确定的。
例如：（1）z+y=0 P(f(y,z)) 二元谓词表示方程P(f(x,z))==;P(f(-3,2))－3＋2＝0Z+y=x+y=0（2）对所有z，x，y•x=x•y Q(x*Z,Z*x) 二元谓词表示乘法交换率Q(x,z)=13*2=2*3Q (f(x,y),f(y,x))=Q (f(1,2),f(2,1))=1从这个例子来看，变元是具有不同的性质的。
因此，在一阶谓词逻辑中将变元划分成自由变元和约束变元。
f(x)+x+z=0对于所有的X,Y,P(x,y)<=P(X,Y)●自由变元：自由变元是真正的变元，可以将个体域中的任意个体代入到自由变元中。
类似于数学中的变元。
●约束变元：约束变元并不是实际意义的变元（数学意义上的变元）。
约束变元是为表达某种想的辅助符号。
●自由变元与约束变元的对比：自由变元约束变元可代入不可代入不可改名可改名举例说明：采用上例。
4、量词我们引入了谓词、函词、变元和常元的概念，还不能充分的描述现实中的命题。
例如对于下面的命题：如果P(x)对任意x恒真，则P(x+1)恒真。
我们现在表示，只能用P(x)→P(x+1)，来表示。
而这种表示方法没有确定的含义，例如可以认为P(x)是存在一个x 的值是P(x)成立。
为了描述这些谓词的成立范围，一阶谓词逻辑引入了量词的概念。
∀x Q(X2)=~ x ∃~Q(X2)x ∃Q(X,100000)=~∀x ~Q(X,100000) ~∀x Q(X,100000)= x ∃~Q(X,100000)∀z ∀y(Q(z*y,y*z))∀ x P(x) →∀yP(y+1)；P 大于0，x 论域是自然数, ∀xP(x)→ ∀yP(y+1)∀x ∀ y(P(x)→P(y+1))∀ x (P(x) →P(x+1)); P 大于0，x 论域是实数● 全称量词：)(x xP ∀中的∀称为全称量词，x ∀中的x 称为∀的指导变元；)(x P 称为量词的辖域。
x ∀(A(x))-->B(x)● 存在量词：)(x xP ∃中的∃称为存在量词，x ∃中的x 称为∃的指导变元；)(x P 称为量词的辖域。
x ∃ (A →B)→C ==x=1,A(1)→B(1) A(1)→B(1) x ∃A →BA(1,…)=1● 指导变元是约束变元。
● 量词等价公式：1. ∀xA(x)╞│)))(((x A x ⌝∃⌝{1,2,3} === ~(~(A(1)^A(2)^A(3)))=1 P(x,y)Y=1, x=1,x=2,x=3, P(x,y)=1===P(1,1),P(2,1), P(3,1)=1X=1, y=1, P(1,1)=1 P(1,2)=0, P(1,3)=0 X=2, y=2 P(2,2)=1, P(2,1)=P(2,3)=0 X=3, y=3, P(3,1)=P(3,2)=0, P(3,3)=1 ; \ ~(~A(1)v~A(2)v~A(3))=~~A(1)&~~A(2)&~~A(3) 2. )(x xP ∃ ╞│))((A x ⌝∀⌝ 3. ))((x xP ∀⌝╞│))((x P x ⌝∃4. )(x xP ⌝∃╞│))((x P x ⌝∀5. yA x ∀∀╞│ xA y ∀∀6. yA x ∃∃╞│xA y ∃∃yA x ∃∀(x,y) f(x) xA y ∀∃(x,y)x ∀(A(x)→A(x+z)) x ∀A(x)→A(x+z)∀xA(x) V ∀xB(x)=∀x(A(x)VB(x);A(1)^A(2)^A(3) B(1)^B(2)^B(3) A(1), B(1); B(2),A(2); A(3), B(3)==== ∀x ∀y(A(x) VB(y))= ∀x(A(x)VB(x))5、 用一阶谓词逻辑描述问题：例如：所有实数的平方是非负的3-是实数 3-的平方是非负的一阶谓词的表示： ))()((2x P x R x →∀ )3(-R ))3((2-P4.2 一阶形式系统（FSFC ）回顾形式系统的构成，主要有语言部分和推理部分构成。
语言部分是一阶语言。
4.2.1 一阶语言一阶语言可以从以下几个方面定义：符号表、项集、公式集等三个部分。
1、符号表● 个体变元符号：x,y ……● 个体常元符号：21.....a a ● 函词符号：,,,)1(3)1(2)1(1f f f（一元函词）,,,)(3)(2)(1n n n fff（n 元函词）● 谓词符号：,,,)1(3)1(2)1(1P P P（一元谓词） ,,,)(3)(2)(1n n n P P P（n 元谓词）● 联结词：⌝→, ● 量词：∀ ● 技术符：)(,2、项：谓词所讨论的对象。
项是递归定义的集合，其定义如下：（1）变元和常元交项；（2）对于任意正整数n 和函数)(n f，如果nt t ........1为项那么).......(1nnt t f 为项；（3）除有限次使用（1）（2）得到外，没有任何项。
{a, x, f()}={a, x,fn(a), fn(x)}由定义可知，项集是递归定义的、是可判定的。
3、公式集：公式由以下递归定义：（1）对于任意正整数n ，如果n t t ........1为项，那称).......(1nnt t P 为公式，并为原子公式；（2）如果A ，B 为公式，那么B A A →⌝,，xA ∀公式；（3）公式都是有限次使用（1）（2）得到的，除此之外无其他公式。
4.2.2 一阶语言性质● 闭项：不含自由变元的项),(21a a f ，● 闭公式：不含自由变元的公式P(a,b) ∀y(P(a,y)→B(y)) = ∀x((P(a,x))－>B(x))∀y(P(a,y)－>B(y))= ∀x(P(a,x)－>B(x)) ∀x(P(a,x)－>B(y))∀x(P(a,x)－>B(x)) A(x)=1,0;;;, ∀x A(x);● 辖域：公式A 称为量词)(x x ∃∀的辖域，如果)(x x ∃∀与A 相邻，且A 的任何真截断不是公式● 约束出现：在公式A 中，变元x 的某个出现叫做约束出现，如果x 为∀(x)的指导变元或在∀x ，∃x 的辖域内。
否则为自由出现)()(1211x P x P x ⌝→∀=VyP(y)→~P2(x1)x 1为约束出现，x 2为自由出现● 可代入性：称项t 是对A 中自由变元x 可代入的；如果A 中项x 的任何自由出现都不在)(y y ∃∀的辖域内，这里y 是t 中的任意自由变元。
∀y ∀x ∀zP(x,z) ∀yP(x,f+1)∀yA(x,y) t=y+1;∀yP(x+1,z)P(5,6)t=y+1 ∀yP(y+1,z) t=(x1+z) A=∀yP(x1+z,z))(),(y q y x xP →∀ )(),(a x q a x x xP +→+∀ )(),(a x q a x z zP +→+∀y=x+a=t 不可代入，y=z+a 为可代入的。
● 代入：将公式A 中变元x 的所有自由出现代换为项t 的过程称为代入，代入后所得公式称A 的实例。
将项x+a 代入到公式)(),(y q y x xP →∀中的y 得到：)(),(a z q a z x xP +→+∀P(x,y,z)→Q(x)(y+1)/x, P(y+1,y,z)→Q(y+1) P(y+1,z+1,z)→Q(y+1)(z+1)/y, P(z+2,z+1,z)→Q(z+2) P(x,z+1,z)→Q(x)P(y+1,z+1,z)→Q(y+!)∀yP(x,z) ∀yP(x,f+1)∀yP(z+1,z):::: ∀yP(y+x+1,y+x) ∀yP(z+1,y+x){(z+1)/x, (y+x)/z}我们用记号n n vv v t t t A ,,,,,2121 表示对A 中变元n v v v ,,21，同时作代入，1v 代换为项1t …n v 代换为项n t 。
这与下面的逐步代入是不同的：n n v t v t v t A )))(((2211 ∀xP(x,y,z)====Y=z+1, z=y1+1∀xP(x,z+1,y1+1)∀xP(x,z+1,z), ∀xP(x,y1+2,y1+1)Y=y1+2; z=y1+1 例：设公式A 为21)2(v v P可以写为),(21v v P ，那么 v2→v1, v3→v2P(v1,v2)==P(v2,v2)==P(v3,v3) P(v2,v3)),()((3333)2(2312v v P v v P A v v v v ==P(V1,V2)-----P(v2,v2)----P(v3,v3)P(v2,v3)P(v1,v2);P(v2,v2);P(v3,v3) P(v1,v2);P(v2,v3)),(3232)2(,,3122v v P v v P A v v v v ==P(v1,v2)=P(v2,v2)=P(v3,v3) P(v1,v2)=(v2,v3)可代入性保证了代入过程中变项的约束关系不发生改变，即原来约束的代入后仍旧是约束的；原来自由的代入后仍旧是自由的。