代数循环群微课

四、进一步结构
1.循环群的生成元 2.循环群的子群 3.循环群的同态象
本节课到此结束，谢谢大家！
i
1 i m 1, [i] [1] [1] [1] i [1]
m
[0] [m] [1] [1] [1] m [1]
二、构造 G (a) { , a2, a1, a0, a, a2, }
回忆元素的阶的性质：
1.ord(a) ,即an e,只能n 0
则 ah ak h k;
生成元.
即 x G ，必存在一个整数m,使得 x am
因此 G {,a2,a1,a0,a,a2,}
一、存在性
例1 G {1, 1,i, i} (i)
对于数的普通乘法做成群.1是单位元. 且可计算得
i0 1, i1 i, i2 1, i3 i i4 1, i5 i, i6 1, i7 i
研究的对象是代数系统，即
带有封闭运算的集合。
代数系统的研究目标
研究一种代数系统就是要解决这种代数系统 的三种问题:
1.存在问题 2.结构问题 3.数量问题
结构问题指的是该代数体系中元素的表 达方式、运算规则以及生成元集、子体系等 问题.
数量问题指的是抛开元素及运算的具体 表示而仅考虑共同本质时，彼此不同构的代 数体系的数量,因为同构的代数体系抽象地 看可以认为是相同的.
例2 全体整数对于数的加法做成的整数加群Z Z=(1) m 1 Z ,m 11 1 m1 m m (1) (1) (1) m（ 1）=（ m）1，
0 01
例3 模m 的剩余类加群 Zm {[0],[1],[2], ,[m 1]}
运算： [a] [b] [a b]
=([1])
进而 , a2 , a1, a0 , a, a2, 两两不同.
2.ord(a) n,即n是使an e 成立的最小正整数
则 ah ak h k(mod n).
进而 , an , , a2 , a1, a0 , a, a2 , , an1 , an ,
互不相同的n个
定理1 循环群 G (a) ，则
定理2 循环群 G (a) ，则
(1) 若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构. (2) 若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群 同构. 证明（1）令 : G Z, ak k, k Z，是双射；且
（ah ak）=（ahk）=h k, 是同构映射.
同理可证（2） : ak [k]是G到Zn的同构映射.
近世 代数
(Abstract Algebra)
授课教师 ： xxx
(数信学院)
第二章 群论
第7节 循环群
初等代数、线性代数、 高等代数都称为经典代数 （classical algebra），研究的对
象是代数方程和线性方程组。
近世代数（modern algebra）
也称为
抽象代数
（abstract algebra）
群 —只含有一个代数运算的代数系统
研究群也需要解决以上问题,但我 们又不可能将所有群找出来一一研究, Hale Waihona Puke Baidu是要将群分类讨论.
到目前为止,研究清楚的只有少数 几类,循环群就是一类.
定义：若群G中每个元都能表示成某个固定元a的 方幂，就称群G为循环群, 也称群G为由元a
生成的群，记为G=(a)= a,称a是G的一个
1. G是无限阶循环群 ord(a) ；且
G {,a 2 ,a 1,a0 ,a,a2 ,}
其中 ah ak =ahk ;
2.G是n阶循环群 ord(a) n ；且
G {a0 , a1, , an1}
其中 ah ak =ahk =arhk , k k rhk (mod n);
三、数量