知识讲解-二项式定理(理)(提高)

二项式定理

【学习目标】

1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法. 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

【要点梳理】 要点一：二项式定理

1.定义

一般地，对于任意正整数n ,都有：

n

n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈），

这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。 式中的r

n r

r n C a

b -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r ＋1项:1r n r r

r n T C a b -+=，

其中的系数r

n C （r=0,1，２，…,n)叫做二项式系数， ２.二项式(a+b)ｎ

的展开式的特点：

(1)项数：共有n+1项,比二项式的次数大１;

(2)二项式系数:第r+１项的二项式系数为r

n C ，最大二项式系数项居中；

(３)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到０;字母b 升幂排列，

次数从0到n,每一项中，ａ,b 次数和均为n ；

3.两个常用的二项展开式:

①011()(1)(1)n n n r r n r r n n n

n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅(*N n ∈)

②122

(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=+++

++

+

要点二、二项展开式的通项公式

公式特点:

①它表示二项展开式的第r+１项，该项的二项式系数是r

n C ; ②字母ｂ的次数和组合数的上标相同； ③ａ与b 的次数之和为ｎ。 要点诠释：

（1)二项式（a+b ）ｎ的二项展开式的第r+1项r n r

r n C a

b -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r r

n C b a -是

有区别的,应用二项式定理时,其中的a 和ｂ是不能随便交换位置的.

(２）通项是针对在（a+b)ｎ这个标准形式下而言的，如（ａ－b)ｎ

的二项展开式的通项是

1(1)r r n r r

r n T C a b -+=-（只需把－ｂ看成b 代入二项式定理）。

要点三:二项式系数及其性质

１.杨辉三角和二项展开式的推导。

在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表,可直观地看出二项式系数。

n b a )(+展开式中的二项式系数,当n 依次取１,２,3,…时,如下表所示:

1)(b a +………………………………………1 1

2)(b a +……………………………………1 2 １

3)(b a +…………………………………1 3 3 1 4)(b a +………………………………1 4 6 4 １ 5)(b a +……………………………１ 5 10 １0 ５ 1 6)(b a +…………………………1 ６ 1５ 2０ 15 ６ 1 …… …… ……

上表叫做二项式系数的表， 也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。

用组合的思想方法理解(ａ+b)ｎ

的展开式中n r r a b -的系数r

n C 的意义：为了得到(a+b)n 展开式中n r r

a b -的系数，可以考虑在()()

()n

a b a b a b +++这n 个括号中取r 个b ，

则这种取法种数为r

n C ，即为n r r a b -的系数.

2．()n

a b +的展开式中各项的二项式系数0

n C 、1n C 、2n C …n

n C 具有如下性质:

①对称性:二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即r

n n r n C C -=；

②增减性与最大值:二项式系数在前半部分逐渐增大,在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，

当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2

n

n C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项

式系数21-n n C ,21

+n n C 相等,且最大.

③各二项式系数之和为2

n

,即01234

2n

n n n n n

n n C C C C C C ++++++=；

④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，

即15

314202-=+++=+++n n n n n n n

C C C C C C 。 要点诠释：

二项式系数与展开式的系数的区别

二项展开式中，第r+１项r r n r n

b a C -的二项式系数是组合数r

n C ,展开式的系数是单项式r r n r n b a C -的系数,二者不一定相等。

如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r r r n T C a b -+=-,在这里对应项的二项式系数都是r

n C ，但项的系

数是(1)r r

n C -,可以看出,二项式系数与项的系数是不同的概念.

3.()n

a b c ++展开式中p q r

a b c 的系数求法（,,0p q r ≥的整数且p q r n ++=)

r

q q r n q r n r n r r n r n n n c b a

C C c b a C c b a c b a ----=+=++=++)(])[()( 如:10

)(c b a ++展开式中含523c b a 的系数为!

5!2!3!

105527310⨯⨯=

C C C

要点诠释：

三项或三项以上的展开式问题,把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。 要点四:二项式定理的应用

１.求展开式中的指定的项或特定项(或其系数）． 2．利用赋值法进行求有关系数和。