角(提高)知识讲解

角(提高)

责编：康红梅

【学习目标】

1掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的换算及运算； 2. 掌握借助三角尺或量角器画角的方法，并熟悉角大小的比较方法； 3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；

5.掌握余角、补角及对顶角的概念及性质，会用其性质进行有关计算； 6•了解方位角、钟表上有关角，并能解决一些实际问题.

【要点梳理】

要点一、角的概念及表示

1 •角的定义：

(1)

定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两 条射线是角的两条边•如图

图1

图2

(2 )定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线 旋转时经过的平面部分是角的内部. 如图2所示，射线0A 绕它的端点0旋转到0B 的位置

时，形成的图形叫做角，起始位置 0A 是角的始边，终止位置 0B 是角的终边.

要点诠释：

(1)

两条射线有公共端点，即角的顶点； 角的边是射线；

角的大小与角的两边的长短无关.

(2) 平角与周角：如图1所示射线0A 绕点0旋转，当终止位置 0B 和起始位置0A 成一 条直线时，所形成的角叫做平角，如图 2所示继续旋转，0B 和0A 重合时，所形成的角叫

做周角.

平角 图I

2. 角的表示法：角的几何符号用"/”表示，角的表示法通常有以下

四种:

周角 图2

«示方法

图示 记法 '适范围

(1)用三个丸

垢字母表示

裁 A BOA 任柯情况都适 用，表示顶点的 字母写在中间

(2｝用一个大 写字母表示, /

O

AO

以某一点为顶点 的甬只有一个 时，可以用顶点 表示角

(各)用阿拉 伯數字表示

£1 任何情况那适用

(4)用希腊字

/

/.a 任何情况都适用

1°的—为1分，记作“ 1 ‘” 1 ‘的—为1秒，记作“ 1 〃” .这种以度、分、秒为单位

60

60

的角的度量制，叫做角度制.

1 周角=360° , 1 平角=180°, 1°= 60’，1 '= 60〃.

要点诠释：

在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除 的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算， 在相乘或相加时，当低位得

数大于60时要向高一位进位.

2. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种.

方法1:度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 方法2 :叠合比较法•把其中的一个角移到另一个角上作比较.

如比较/ AOB 和/A ‘ O ‘ B '的大小： 如下图，由图(1)可得/ AOB

(2)可得/ AOB = / A ‘ 0’ B ‘；由图(3)可得/ AOB >/ A ‘ 0’ B ’.

3. 角的和、差关系

要点诠释：

在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母.

3.角的画法

(1) 用三角板可以画出 30 °、45 °、60 °、90°等特殊角. (2) 用量角器可以画出任意给定度数的角.

(3) 利用尺规作图可以画一个角等于已知角. 要点二、角的比较与运算

1. 角度制及其换算

角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成

1 1

360等份，每一份就是1°的角，

如图所示，/ AOB 是/ 1与/ 2的和，记作：/ AOB = / 1 + / 2; / 1是/ AOB 与/ 2 的差，记作：/

1 = / AOB- / 2.

要点诠释：

(1)用量角器量角和画角的一般步骤：

① 对中(角的顶点与量角器的中心对齐 ② 重合(一边与刻度尺上的零度线重合 ③ 读数(读出另一边所在线的度数).

(2)利用三角板除了可以做出 30°、45 出 15°, 75°, 105°,

, —i

4. 角平分线

从一个角的顶点出发， 把这个角分成相等的两个角的射线， 叫做这个角的平分线.

如图

所示，OC 是/ AOB 的角平分线，/ AOB= 2/AOC= 2/ BOC 1

—/ AOB .

2

要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样. 要点三、余角、补角、对顶角

1.余角与补角

(1) 定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其 中一个角叫做另一个角的余角.

类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其 中一个角

叫做另一个角的补角. (2)

性质：同角(等角)的余角相等•同角(等角)的补角相等.

要点诠释：

(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们 的位置无

关.

(2) —个锐角的补角比它的余角大 90°. 2.对顶角

(1) 定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边 为对

顶角. 要点诠释：

(1) 对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向 延长线. (2) 只有两条直线相交时，才能产生对顶角•两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产 生邻补

角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线

(2) 性质：对顶角相等.

、60 °、90°外，根据角的和、差关系，还可以画

120°, 135°, 150°, 165 ° 的角.

(相对)的两个角，互

c

o

R

S

/AOC =/ BOC =