21.2.1.2配方法2课件
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21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)
2×2 2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
用配方法解一元二次方程PPT课件
1．配方的关键：(1)当二次项系数为1时，方程两边同时加 上一次项系数__一__半____的平方；
(2)当二次项系数不为1时，方程两边同时__除__以____二次项系
数，化二次项系数为1后再配方．
2．(中考·安顺)若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式， 则m＝__－__1_或__7___.
(3)(2019·呼和浩特)(2x＋3)(x－6)＝16.
解：原方程化成一般形式为 2x2－9x－34＝0.
二次项系数化为 1、移项，得 x2－92x＝17.
两边同时加上－942，得x－942＝17＋8116，即x－942＝31563.
两边直接开平方，得 x－94＝± 3453，
解得
x1＝9＋
4
353，x2＝9－
4．火线和零线：进户线有火线和零线之分，通常用 _试__电__笔___来辨别。在使用试电笔时，用手接触笔尾金属 体，笔尖接触电线，如果氖管___发__光___，表示接触的是 火线。
习题链接
13 见习题 14 见习题 15 见习题 16 见习题
17 见习题 18 会；44 19 乙；909
答案呈现
课堂导练
课堂导练
9．(2019·泸州)为安全用电，家庭电路中的空气开关应装 在________线上；空气开关“跳闸”后，受它控制的电 路处于________(填“短路”“断路”或“通路”)状态；试电 笔________(填“能”或“不能”)区分零线与地线。
课堂导练
6．(2019·贵阳)我国的家庭电路有两根进户线，都是从 低压输电线上引下来的。其中一根叫零线，一根叫 ___火__线___，两根进户线之间有___2_2_0___V的电压。
4
353 .
九年级数学上册：21.2.1.2配方
x 12 1.
3
为什么方程 两边都加12？
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
上式都不成立，所以原方程无实数根．
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？
移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2+6x+9 =5； (2)x2+6x+4=0.
把两题转化成 (x+n)2=p(p≥0)的 形式，再利用开平方
讲授新课
一 配方的方法
探究交流
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( a+b )2； (2) a2-2ab+b2=( a-b )2.
（35-x)(26-x)=850， 整理得
x2-61x+60=0. 解得
x1=60（不合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1m.
5.已知a,b,c为△ABC的三边长，且 a2 b2 c2 ab ac bc 0, 试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
1 a b2 a c2b c2 0,
问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他 数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方， 方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方法归纳
方程配方的方法：
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是 在二上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方
3
为什么方程 两边都加12？
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
上式都不成立，所以原方程无实数根．
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？
移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2+6x+9 =5； (2)x2+6x+4=0.
把两题转化成 (x+n)2=p(p≥0)的 形式，再利用开平方
讲授新课
一 配方的方法
探究交流
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( a+b )2； (2) a2-2ab+b2=( a-b )2.
（35-x)(26-x)=850， 整理得
x2-61x+60=0. 解得
x1=60（不合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1m.
5.已知a,b,c为△ABC的三边长，且 a2 b2 c2 ab ac bc 0, 试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
1 a b2 a c2b c2 0,
问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他 数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方， 方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方法归纳
方程配方的方法：
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是 在二上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方
21.2.2配方法2
二、探究新知
1.填空：
2.填空 =
3.解下列方程： x -8x+7=0 2x +8x-2=0
2x +1=3x 3x -6x+4=0
分析1：
与上节课衔接（二次项系数为1） 至 二次项系数不为1.二次项系数化为1后， 的一次项系数为偶数.为后面做铺垫. 的一次项系数为分数， 无解.
分析2：
（1）解方程 ，复习用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤；
（2）对比 的解法得到方程 的解法，总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
.把常数项移到方程右边；
.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
.方程两边都加上一次项系数一半的平方；
.原方程变形为（x+m） =n的形式；
.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
(3)运用总结的配方法步骤解方程 ，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；解方程 配方后右边是负数，确定原方程无解.
(4) 不写出完整的解方程过程，到哪一步就可以确定方程的解得情况
三、课堂练习P9页
四、小结归纳
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把原方程化为 的形式，
2.把常数项移到方程右边；
教学难点
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次项系数是1的类型.
教学用具
多媒体
教学方法(学习方法)
观察探究、对比，自主学习，合作交流
教学过程
一、复习引入
导语：我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如x =p（p≥0）或（mx+n） =p（p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二次方程.
1.填空：
2.填空 =
3.解下列方程： x -8x+7=0 2x +8x-2=0
2x +1=3x 3x -6x+4=0
分析1：
与上节课衔接（二次项系数为1） 至 二次项系数不为1.二次项系数化为1后， 的一次项系数为偶数.为后面做铺垫. 的一次项系数为分数， 无解.
分析2：
（1）解方程 ，复习用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤；
（2）对比 的解法得到方程 的解法，总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
.把常数项移到方程右边；
.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
.方程两边都加上一次项系数一半的平方；
.原方程变形为（x+m） =n的形式；
.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
(3)运用总结的配方法步骤解方程 ，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；解方程 配方后右边是负数，确定原方程无解.
(4) 不写出完整的解方程过程，到哪一步就可以确定方程的解得情况
三、课堂练习P9页
四、小结归纳
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把原方程化为 的形式，
2.把常数项移到方程右边；
教学难点
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次项系数是1的类型.
教学用具
多媒体
教学方法(学习方法)
观察探究、对比，自主学习，合作交流
教学过程
一、复习引入
导语：我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如x =p（p≥0）或（mx+n） =p（p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二次方程.
配方法ppt课件
新课讲解
知识点2 配方法解一元二次方程
配方法解一元二次方程的一般步骤：
第一步：移项
使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项
第二步：化二次项系数为1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x ±m)²= n的形式.
第四步：直接开平方
达标检测
1.用配方法解一元二次方程 x²+8x+7=0，方程可变形为（
21.2 解一元二次方程 —— 配方法
人民教育出版社八年级下册 第二十一章 一元二次方程
知识回顾
直接开平方法
方程特征： 方程的一边是未知数的平方， 另一边是常数.
形如：
解为：
当 时， 方程有两个不相等的实数根，即： 当 时， 方程有两个相等的实数根，即： 当 时， 方程无实数根.
典例解析
典例解析
A.(x +8)²= 57
B.(x +4)²= 25
C.(x - 4)²= 9
） D.(x +4)²= 9
2.将一元二次方程 x²-6x+5=0化成 (x -a)²= b 的形式，则 ab =_______
达标检测
用配方法解下列方程：
利用完全平方式的特征配方，并完成填空．
当二次项系数为 1 时： ①已知一次项的系数，则常数项为一次项系数的一半的平方； ②已知常数项，则一次项系数为 ±（常数项的平方根的两倍）．
新课讲解
知识点2 配方法解一元二次方程
解下列方程：
能力提升
解方程：
化二次项系数为1
移项 化二次项系数为1
∴ 原方程无实数根
解下列方程：
典例解析
解下列方程：
降次
典例解析
配方法ppt课件
（1） ；
[答案] ，
（2） .
[答案] ，
能力提升
10.已知 ， ,求 的值.
[答案] 54
中考链接
11.（2022·雅安）若关于 的一元二次方程 配方后得到方程 ，则 的值为( ) .
C
A. B.0 C.3 D.9
12.（2020·浙江）比较 与 的大小.
人教版九年级数学上册课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
自主学习
自主导学
1.配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法.即将一元二次方程化成一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，得到_ ____________的形式，开平方即可得方程的解.
2.用配方法解一元二次方程 的一般步骤：
（1）尝试（用“ ”“ ”或“ ”填空）
①当 时， _ __ ；
②当 时， _ __ ；
③当 时， _ __ .
（2）归纳：若 取任意实数， 与 有怎样的大小关系？试说明理由.
[答案] .理由： ，
典例分享
例 解方程：
（1） ；
[答案] 解 由 ，得 ，即 ，所以 ，所以原方程的解为 ， .
（2） .
[答案] 移项，得 .配方，得 ，即 因为实数的平方不会是负数，所以 取任何实数时， 都不成立，即原方程无解.
方法感悟配方时，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，前提条件是二次项的系数为1，否则计算时容易出错.
轻松达标
1.将方程 的左边配成完全平方形式后，所得方程为( ) .
A
A. B. C. D.以上答案都不对
2.用配方法解一元二次方程 ，配方后的方程为( ) .
[答案] ，
（2） .
[答案] ，
能力提升
10.已知 ， ,求 的值.
[答案] 54
中考链接
11.（2022·雅安）若关于 的一元二次方程 配方后得到方程 ，则 的值为( ) .
C
A. B.0 C.3 D.9
12.（2020·浙江）比较 与 的大小.
人教版九年级数学上册课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
自主学习
自主导学
1.配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法.即将一元二次方程化成一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，得到_ ____________的形式，开平方即可得方程的解.
2.用配方法解一元二次方程 的一般步骤：
（1）尝试（用“ ”“ ”或“ ”填空）
①当 时， _ __ ；
②当 时， _ __ ；
③当 时， _ __ .
（2）归纳：若 取任意实数， 与 有怎样的大小关系？试说明理由.
[答案] .理由： ，
典例分享
例 解方程：
（1） ；
[答案] 解 由 ，得 ，即 ，所以 ，所以原方程的解为 ， .
（2） .
[答案] 移项，得 .配方，得 ，即 因为实数的平方不会是负数，所以 取任何实数时， 都不成立，即原方程无解.
方法感悟配方时，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，前提条件是二次项的系数为1，否则计算时容易出错.
轻松达标
1.将方程 的左边配成完全平方形式后，所得方程为( ) .
A
A. B. C. D.以上答案都不对
2.用配方法解一元二次方程 ，配方后的方程为( ) .
《配方法(2)》课件
3 2
m
3 4
2
1 2
3 4
2
m
3 4
2
1 16
【思路点拨】将二次项系数 不为1的一元二次方程两边
m3 1 44
m 31 44
m
1 1, m2
1 2
同除以二次项系数，化成二 次项系数为1的一元二次方
程，再将方程化成 x m2 n
的形式，直接开方法求解. 9
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
11
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：利用配方法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
活动2 练习4.下列配方有错误的是（ D ）
A.x2 4x 1 0化为 x 22 5
B.x2 6x 8 0化为 x 32 1
C.2 x 2
7x
6
0化为
x
7 4
2
97 16
D.3x2 4x 2 0化为3x 22 2
重点、难点知识★▲
活动2 例4.在方程的两边同时加上4，用配方法可求得实数解的方程
是（ C ）
A. x2 4x 6 B. 2x2 4x 5
C. x2 4x 5
D. x2 2x 2
【解题过程】
CAB...xx222x2 44xx4x5,56,,x2xx224x24xx4524,5x422,,2xxx122225291,2，无x 实1数2 解72；
用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0a 0 的一般步骤：
（1）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数； （2）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的 右边； （3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
（4）将原方程变成 x m2 n 的形式；
人教版2020-2021学年九年级数学上册21.2.1配方法(第二课时)课件
21.2.1配方法
（第二课时）
问题1
直接开平方法的步骤是什么？
问题2
当x²=p，（1）p>0时方程有几个根？ （2）p<0时方程有几个根？ （3）p=0时方程有几个根？
1.方程3x2+27=0的解是 ( )
A.x=±3
B.x=-3
C.无实数根
D.以上都不对
2.方程(x-2)2=9的解是 ( )
方程(x+h)2＝k，当k什么时候方程有解， 什么时候方程无解？
（1）k>0时，方程有两个不相等的实数根 （2）k=0时，方程有两个相等的实数根 （3）k<0时，方程在实数范围内无解
练一练：
1．若 x2 6x 是m一2 个完全平方式，则m的值是( ）
AC．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对
409、:0桃敏57花而.1潭好2.水学20深，20千不09尺耻:0，下57不问.1及。2.汪。20伦72.10送20.9我2:0情250。797.:10.1252.:20.20302720.10279..:2100252.02090:20905:00597:0.1520:0.923:0025900:095:0:053:0309:05:03
这醉人春芬去芳春的又季回节，，新愿桃你换生旧活符像。春在天那一桃样花阳盛光开，的心地情方像，桃在 54、少海不壮内要不存为努知它力已的，结老天束大涯而徒若哭伤比，悲邻应。当为Su它nd的ay开, J始u而ly 笑12。, 270.2102J.2u0ly20270.S1u2n.2d0a2y0, 0J9u:l0y51029,:200520097:0/152:0/230290:05:03 这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 65、莫吾愁生生前命也路的有无成涯知长，已而，需知天要也下吃无谁饭涯人，。不还识需9时君要5。吃分苦99时时，55吃分分亏91时2。-5JSu分ul-n12d20a-7Jy.u1,l2J-2.u20ly0721.1022,.2020July 20Sunday, July 12, 20207/12/2020
（第二课时）
问题1
直接开平方法的步骤是什么？
问题2
当x²=p，（1）p>0时方程有几个根？ （2）p<0时方程有几个根？ （3）p=0时方程有几个根？
1.方程3x2+27=0的解是 ( )
A.x=±3
B.x=-3
C.无实数根
D.以上都不对
2.方程(x-2)2=9的解是 ( )
方程(x+h)2＝k，当k什么时候方程有解， 什么时候方程无解？
（1）k>0时，方程有两个不相等的实数根 （2）k=0时，方程有两个相等的实数根 （3）k<0时，方程在实数范围内无解
练一练：
1．若 x2 6x 是m一2 个完全平方式，则m的值是( ）
AC．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对
409、:0桃敏57花而.1潭好2.水学20深，20千不09尺耻:0，下57不问.1及。2.汪。20伦72.10送20.9我2:0情250。797.:10.1252.:20.20302720.10279..:2100252.02090:20905:00597:0.1520:0.923:0025900:095:0:053:0309:05:03
这醉人春芬去芳春的又季回节，，新愿桃你换生旧活符像。春在天那一桃样花阳盛光开，的心地情方像，桃在 54、少海不壮内要不存为努知它力已的，结老天束大涯而徒若哭伤比，悲邻应。当为Su它nd的ay开, J始u而ly 笑12。, 270.2102J.2u0ly20270.S1u2n.2d0a2y0, 0J9u:l0y51029,:200520097:0/152:0/230290:05:03 这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 65、莫吾愁生生前命也路的有无成涯知长，已而，需知天要也下吃无谁饭涯人，。不还识需9时君要5。吃分苦99时时，55吃分分亏91时2。-5JSu分ul-n12d20a-7Jy.u1,l2J-2.u20ly0721.1022,.2020July 20Sunday, July 12, 20207/12/2020
人教版数学九上21.2《解一元二次方程》(配方法)ppt课件
方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使 左边配成一个完全平方式
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？ （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项 系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 ； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方 求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的 步骤吗？ （1）把常数项移到方程右边； （2）方程两边同除以二次项系数，化二次项 系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方 ； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方 求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次 方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方 程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫
【九年级数学课件】21.2.1配方法-课件(2)
开平方，得
x 2 5.
解这两个方程，得 x1 2 5 x2 2 5.
解：
练习：x2 6x 7 0.
二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 6x 7.
x 配方：左右两边同时加上一次项 2 6x 32 7 32.
系数一半的平方，得
两边同除以2,得 x2 2x 4
配方,得 x2 2x 1 4
x 12 4, x 1 2, x1 3, x2 1
易错点1:用配方法解一元二次方程时,二次 项系数不是1时易出错. 例如:用配方法解方程 2x2 4x 8 0 错解3:移项,得 2x2 4x 8
两边同除以2,得 2x2 4x 22 4 22
次三项式ax2+bx+c.各项除以a所得
二次三项式
x2
b a
x
c a
与原式值不同,
所以化二次三项式系数为1时方程与代数式的
方法不能混淆.
(3)x2 8x 42 =( x 4 )2
(4) x2 4 3
共(同5) 点x2：
x
px
(2)2 3
=( x
p
( 2)2 =(
x
2 3
)2
p 2
)2
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方. 右边:所填常数等于一次项系数的一半.
➢合作探究
现在你会解方程 x2 4x 1 0 吗?
解: 把常数项移到方程右边得： 如何配方?
x2 6x 9 2.
写成（）2 的形式，得
x 32 2.
开平方，得
x 3 2.
பைடு நூலகம்
解这两个方程，得 x1 3 2 x2 3 2.
人教版数学九年级上册《21.2.1 配方法(2)》课件(共25张PPT)
3 3x2 6x 4 0.
解：移项，得 3x2 6x 4,
二次项系数化为1，得
x2 2x 4 , 3
配方，得 即
x2 2x 12 4 12, 3x 12 1.3为什么方程 两边都加12？
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都
不成立，所以原方程无实数根．
a 3，b 4，c 5, a2 b2 32 42 52 c2 ,
所以，△ABC为直角三角形.
巩固练习
1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则
m 的值为（ C ）
A. 1
B.1
C.1或2
D.1或-2
2.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.
1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负）
解题策略
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时， 可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方 式中的配方
3.利用配方 构成非负数 和的形式
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一 次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数 的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式 得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，
从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－ 2)2=0,即a=0，b=2.
课件PPT部编版课件统编版部编版人 教版数 学九年 级上册 《21.2.1 配方法（2）》课件（共25张PPT ）课件 优质课 课件免 费课件PPT
21.2.1第2课时配方法2024-2025学年九年级上册数学配套教学设计(人教版)
x^2 - 5x + 25/4 - 25/4 + 6 = 25/4 - 25/4 + 6
x^2 - 5x + 25/4 - 25/4 = 25/4 - 25/4 + 6
x^2 - 5x + 0 = 25/4 - 25/4 + 6
x^2 - 5x = 25/4 - 25/4 + 6
x^2 - 5x = 6
（2）观察：教师应时刻关注学生在课堂上的学习状态，观察他们是否能够积极参与讨论、主动思考问题。对于表现优秀的学生，可以给予表扬和鼓励；对于表现不足的学生，应及时进行个别辅导，帮助他们跟上课堂进度。
（3）测试：在课堂上，可以适时进行一些配方法的小测试，了解学生对知识点的掌握情况。测试结果可以作为评价学生学习效果的重要依据。
（5）参观数学博物馆：如果条件允许，可以组织学生参观数学博物馆，了解数学的历史和发展。
（6）参加数学讲座：邀请数学专家或教师为学生举办数学讲座，让学生了解数学的最新发展和应用。
课堂
1.课堂评价
（1）提问：在课堂上，教师可以通过提问的方式了解学生对配方法的理解情况。针对学生的回答，教师可以及时进行反馈，帮助学生巩固正确答案，纠正错误思路。
本节课的内容与学生的日常生活紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣。在教学过程中，教师应注重引导学生通过观察、思考、讨论等方式主动探索配方法的应用，提高学生的数学思维能力和团队合作能力。同时，教师还要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况给予适当的指导，使他们在原有基础上得到提高。
核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：逻辑推理、数学建模、数学交流和问题解决。通过学习配方法的基本步骤和应用，学生能够提高逻辑推理能力，运用数学知识解决实际问题。同时，学生通过观察、思考、讨论等方式，培养数学建模和数学交流的能力。在解决一元二次方程的过程中，学生能够体会到数学在实际生活中的应用，提高问题解决能力。教师应关注学生的个体差异，给予适当的指导，使他们在原有基础上得到提高。
x^2 - 5x + 25/4 - 25/4 = 25/4 - 25/4 + 6
x^2 - 5x + 0 = 25/4 - 25/4 + 6
x^2 - 5x = 25/4 - 25/4 + 6
x^2 - 5x = 6
（2）观察：教师应时刻关注学生在课堂上的学习状态，观察他们是否能够积极参与讨论、主动思考问题。对于表现优秀的学生，可以给予表扬和鼓励；对于表现不足的学生，应及时进行个别辅导，帮助他们跟上课堂进度。
（3）测试：在课堂上，可以适时进行一些配方法的小测试，了解学生对知识点的掌握情况。测试结果可以作为评价学生学习效果的重要依据。
（5）参观数学博物馆：如果条件允许，可以组织学生参观数学博物馆，了解数学的历史和发展。
（6）参加数学讲座：邀请数学专家或教师为学生举办数学讲座，让学生了解数学的最新发展和应用。
课堂
1.课堂评价
（1）提问：在课堂上，教师可以通过提问的方式了解学生对配方法的理解情况。针对学生的回答，教师可以及时进行反馈，帮助学生巩固正确答案，纠正错误思路。
本节课的内容与学生的日常生活紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣。在教学过程中，教师应注重引导学生通过观察、思考、讨论等方式主动探索配方法的应用，提高学生的数学思维能力和团队合作能力。同时，教师还要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况给予适当的指导，使他们在原有基础上得到提高。
核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：逻辑推理、数学建模、数学交流和问题解决。通过学习配方法的基本步骤和应用，学生能够提高逻辑推理能力，运用数学知识解决实际问题。同时，学生通过观察、思考、讨论等方式，培养数学建模和数学交流的能力。在解决一元二次方程的过程中，学生能够体会到数学在实际生活中的应用，提高问题解决能力。教师应关注学生的个体差异，给予适当的指导，使他们在原有基础上得到提高。
人教版九年级数学上册课件 21-2-1-2 配方法
3
3
平方，p＜0时，直接下结
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数
论：方程无实数根．
时，(x－1)2都是非负数，上式不成立，即原方
程无实数根．
典例精析
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一般步骤
方法
将常数项移到等号右边，含未知数的项移到
一移
移项
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
4 2 25
2
配方，得x ＋ x＋( ) ＝( ) ＋1，即(x＋ ) ＝ ．
3
3
3
4
5
开方，得x＋ ＝± ，
3
3
4 5
4
5
即x＋ ＝ 或x＋ ＝－ ．
3 3
3
3
1
所以x1＝ ，x2＝－3．
3
3
9
课堂总结
定义
配
方
法
通过配成完全平方形式来
解一元二次方程的方法
步骤
一移；二化；三配；四开
应用
求代数式的最值或证明
2．你还记得完全平方公式吗？填一填：
（1）a2＋2ab＋b2＝( a＋b )2；
（2）a2－2ab＋b2＝( a－b )2．
复习导入
？
下列方程能用直接开平方法来解吗?
（1）x2＋6x＋9＝5；
（2）x2＋4x＋1＝0．
合作探究
试一试，解方程：x2＋6x＋9＝5．
解：方程变形为(x＋3)2＝5，
开平方，得 x 3 5 ，
对于二次项系数为1的二次
（3）x2＋8x＋ 42 ＝(x＋ 4 )2；
三项式，将常数项配成一次
2
3
平方，p＜0时，直接下结
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数
论：方程无实数根．
时，(x－1)2都是非负数，上式不成立，即原方
程无实数根．
典例精析
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一般步骤
方法
将常数项移到等号右边，含未知数的项移到
一移
移项
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
4 2 25
2
配方，得x ＋ x＋( ) ＝( ) ＋1，即(x＋ ) ＝ ．
3
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5
开方，得x＋ ＝± ，
3
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即x＋ ＝ 或x＋ ＝－ ．
3 3
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1
所以x1＝ ，x2＝－3．
3
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课堂总结
定义
配
方
法
通过配成完全平方形式来
解一元二次方程的方法
步骤
一移；二化；三配；四开
应用
求代数式的最值或证明
2．你还记得完全平方公式吗？填一填：
（1）a2＋2ab＋b2＝( a＋b )2；
（2）a2－2ab＋b2＝( a－b )2．
复习导入
？
下列方程能用直接开平方法来解吗?
（1）x2＋6x＋9＝5；
（2）x2＋4x＋1＝0．
合作探究
试一试，解方程：x2＋6x＋9＝5．
解：方程变形为(x＋3)2＝5，
开平方，得 x 3 5 ，
对于二次项系数为1的二次
（3）x2＋8x＋ 42 ＝(x＋ 4 )2；
三项式，将常数项配成一次
2
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1．若 x 6x m 值是( C ）
2
2
是一个完全平方式，则m的
A． 3
B．-3
2
C．±3 D．以上都不
2 配方，得（ ） B.(x 2） 2 8
对
2 2．把方程 A.（x 2） 1
x 3 4x
A
2 C.（x 2） 7
D.（x 2） 21
2
3、用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零.
x 6 x 16 (x 3) =25
2
2
像这样，把方程的左边配成含有x的完全 平方形式，右边是非负数，从而可以用直接 开平方法来解方程的方法就叫做配方法。
用配方法解下列方程
二次项系数为1
x 8x 1 0 (x 1)(x 2) 2x 4
2
用配方法解下列方程 2 （） 1 x 8x 1 0
2 x6
( x __) ( x __)
1 3 b 2
5 2
2
配方时, 等式两 边同时加上的 是一次项系数 一半的平方。
2
3 2 x
(5) x bx ___ ( x __)
2
b 2 x 2
3
b ( )2 2
2
x 6 x 16
2
解法中,为什么 在方程两边加 9?加其他数行
3 1 x 4 4
化二次项的系数为1，得
x1 1, x 2
1 2
方程无解
(x 1) 0
解下列方程
3x 6x 2 0
2
4x 6x 0
2
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 化1：将二次项系数化为1； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:左边降次,右边开平方; 求解:解两个一元一次方程;（或者方程无解） 定解:写出原方程的解.
解：移项，得
配方，得
2
x 8x 1
2
方程两边 b 2 ( ) 同时加上 2
2 2 x 8x ___ 4 1 ___ 4
(x 4) 15
2
x 4 15
x1 15 4, x 2 15 4
用配方法解下列方程
(x 1)(x 2) 2x 4
x( x 6) 16 化为一般形式，得
x 2 6 x 16 0
怎样解这个 方程？能不 能用直接开 平方法？
请解这个 方程
解方程x2 6 x 9 2 解方程x 2 6 x 16 0
解： ( x 3) 2 2 x3 2 即 x3 x1 2, x 3 2 方程的两根为 2 3, x2 2 3
2x 2 1 3x
2
用配方法解下列方程
解：移项，得 2
3x 2 6x 4 0
3x 6x 4
化二次项的系数为1，得
2
2x 3x 1
4 2 3 1 x 2x x x 3 2 2 配方，得 配方，得 4 2 2 2 3 3 1 3 2 2 2 x 2x 1 1 x x( ) ( ) 3 2 4 2 4 1 2 3 2 1 (x 1) (x ) 3 4 16 2
8 得 x , 9
2
∴
x x
2 8 2 , 3 3
即：x 6 3, x 6 3
∴方程的两根为:
x 6 3
方程的两根为:
2 2 x1 3
2 2 x2 . 3
x1=-3, x2=-9源自接开平方法x 2 p( p 0) (mx n) 2 p
2
北边
7 (1)x 10x 9 0 (2)x x 0 4 2 (3)x 4x 9 2x 11 (4)x(x 4) 8x 12
2
用配方法解下列方程
2 x 1 3x
2
二次项系数不为1
3x 6 x 4 0
2
可以将二次项的系数化为1
解：移项，得
x
p
左边降次， 右边开平方
p
mx n
注意：当p<0时，方程没有实数根。
完全平方公式：
a a
2
2ab b (a b) ;
2 2
2
2ab b (a b) .
2 2
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m, 并且面积为16 m2 , 场地的长和宽应各是多少 ?
解：设场地宽为xm，则长为(x+6)m, 根据长方形面积为 16m2，列方程得
1、配方法：像这样，把方程的左边配成含有 x的完全平方形式，右边是非负数，从而可以 用直接开平方法来解方程的方法就做配方法。
2、用配方法解一元二次方程的步骤：
①移项 ②化1 ③配方 ④降次 ⑤定解
课本第9页练习题1，2
完全平方式
2 2 1、完全平方和： a +2ab+b
2、完全平方差：
2 3、首
2 2 a -2ab+b 2 尾
± 2×首×尾 + 4、首平方，尾平方 ，首尾 2倍放中央。
（１）方程 (1)9 x 5 3的根是
2
（２）方程 是
x 6
2
9 0 的根
直接开平方法的书写步骤 2 2 2 x 6 9 0 (1)9 x 5 3 2 2 解： 移项 9 x 8, 解：移项得 x 6 9
分析： x 2 6 x 移项 16
x 2 6 x 9 16 9 变成 （mx n） p( P 0)形式
2
两边同时加上9
左边降次
( x 3) 25
2
x 3 5
右边开方
（mx n） p( P 0)
2
x 3 5, x+3=-5
得到两个一元一次方程
2 解：化为一般形式为 x x 2 0 2 x x 2 移项，得 1 2 1 2 2 配方，得 x x ( ) 2( )
方程两边 b 2 ( ) 同时加上 2
1 2 9 (x ) 2 4 1 3 x 2 2
2
2
x1 1, x 2 2
南边
解方程
填一填（根据 a2 2ab b2 (a b)2 ）
二次项系数都为1
2 2
5 ( x __) 5 (1) x 10 x ___
2
2
6 ( x __) 6 (2) x 12 x ___
2
2 x5
2
(3) x (4) x
2
5 ( )2 5 x ____ 2 5 2 x 2 2 ( 1 )2 2 1 x ___ 3