控制工程基础习题解答3

第三章

3-2．假设温度计可用1/（Ts+1）传递函数描述其特性。现用该温度计测量某容器中的水温，发现经1min 后才能指示出实际水温的96%，问：

（1）. 该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间是多少？ （2）. 如果给该容器加热，使容器内水温以0.1℃/s 的速度均匀上升，当定义误

差e(t)=r(t)-c(t)时，温度计的稳态指示误差有多大？ 解：

（1）. 设实际水温为T r ，温度计原来处于T 0=0度，当温度计放入水中时，相当

于输入一阶跃值为T r -T 0=T r 的阶跃函数，温度计的时间响应函数为：

根据题意可得：T

e

60196.0--=

即可得：T=18.64(s)，()⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=-T

t r

e T t c 1 10%所需的时间为64.18111.0t e --=，()s t 96.11=。 90%所需的时间为64

.18119.0t e

-

-=，()s t 92.422=。

所以可得该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间（上升时间）是

（2）. 由题可知系统为一阶系统，故系统稳定，为求当r(t)=0.1t 时的稳态误

差，由一阶系统的时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以

稳态指示误差：()C T t e t 864.11.0lim =⨯=∞

→

（将1/（Ts+1）转化为开环传递函数为1/（Ts ）时的单位反馈系统，则可见此时系统的误差为e(t)=r(t)-c(t)。根据

系统为I 型，可得稳态速度误差系数为Kv=K=1/T ，得当输入信号为

r(t)=0.1t 时的稳态误差为

C T K e v

ssv 864.11.01

1.0=⨯=⨯

=） 3-5．某控制系统如图3-24所示，已知K=125，试求： （1）. 系统阶次，类型。 （2）. 开环传递函数，开环放大倍数。 （3）. 闭环传递函数，闭环零点、极点。 （4）. 自然振荡频率ωn ，阻尼比ζ，阻尼振

荡频率ωd 。

（5）. 调整时间t s (△=2%)，最大超调量σ

p %。

（6）. 输入信号r(t)=5时，系统的输出终值

c(∞)、输出最大值c max 。

图3-24 题3-5图

（7）. 系统的单位脉冲响应。【系统的单位阶跃响应】 （8）. 系统的单位斜坡响应。【讨论系统单位阶跃响应出现超调、衰减振荡、无

超调三种情况下的K 值】

（9）. 静态误差系数K p 、K v 、K a 。 （10）. 系统对输入为r(t)=5+2t+t 2时的稳态误差。 解：

（1）. 系统的开环传递函数：()()()()()

125.05625

.1125.00125.0442.0+=+=+=

s s s s K s s K s H s G ，

可见系统阶次为二阶，类型为I 型。 （2）. 开环传递函数()()()

125.05625

.1+=s s s H s G ，开环放大倍数为1.5625

（3）. 闭环传递函数为：

()()()()2

22

25

.25.28.025.255625.125.08125.71+⨯⨯+⨯=++=+=Φs s s s s H s G s G s ，闭环没有闭环零点，闭环极点为：j s 5.122,1±-= （4）. 5.2=n ω，8.0=ς，5.112=-=ςωωn d （5）. 24

==

n

s t ςω，015.0%2

1==--

ςςπσe

p

（6）. 因为标准型二阶系统单位阶跃信号的稳态输出为1，最大值为1+M p =1+

σp %=1.015，由于线性系统符合叠加原理，所以可得：()5=∞c *5=25，c max =5*5*1.015=25.375

（7）. 由于标准型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：

所以系统单位阶跃响应为：()()⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-=-6435.05.1sin 35152t e t c t

利用线性系统的重要特征即可得单位脉冲响应：

【由于标准型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：

所以系统单位阶跃响应为：()()⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-=-6435.05.1sin 35152t e t c t 】

（8）. 同理可得单位斜坡响应：

积分常数C 由初始状态为零的条件而得，即 可得C=-3.2，所以单位斜坡响应为：

【闭环传递函数为()()K

s s K

K s s K s 05.0425.02.0442++=++=

φ

可得K

05.02=

ς

超调：10<≤ς，得80>K 衰减振荡：10<<ς，得80>K

无超调：1≥ς，得80≤K ，又系统稳定0K >，所以080K <≤】

（9）. 由于系统为I 型，所以其静态误差系数分别为：

K p =∞

K v =1. 5625 K a =0 （10）. 系统对输入为r(t)=5+2t+t 2时的稳态误差为：

系统是二阶系统，开环传递函数中的系数均大于零（或由闭环传递函数中可知极点的实部小于零），所以系统稳定

3-16．已知开环系统的传递函数如下（K>0），试用罗斯判据判别其闭环稳定性，并说明系统在s 右半平面的根数及虚根数。 解：

（1）. 特征方程为()06523=++++K s K s s

当K>0时，则第一列的符号全部大于零，所以闭环稳定，系统在s 右半平面的根数及虚根数均为0。

（6）. 特征方程为0248234=+++K s s s

当K>0时，第一列有一个数小于零，所以闭环不稳定；第一列符号变化了两次，系统在s 右半平面的根数为2；第一列没有等于0的数，虚根数为0。 3-19．单位反馈系统的开环传递函数为()()()()()

3210+++=s s s a s s H s G ，试求： （1）. 系统稳定的a 值；

（2）. 系统所有特征根的实部均小于-1之a 值。 （3）. 有根在（-1，0）时之a 值。 解：

闭环传递函数为()()a

s s s a s s 101651023++++=φ （1）. 用罗斯判据可得：

系统稳定，则应：1620

100a a ->⎧⎨>⎩

，即a 值应为：08a <<

（2）. 令11+=s s ，即11-=s s ，此时当()0Re 1≤s 时，则()1Re -≤s 。对闭环传

递函数进行变换得：