复变函数积分变换与场论试题A卷

河北科技大学2012—2013学年第一学期

《复变函数、积分变换与场论》期末考试试卷（A 卷） 学院： 班级： 姓名： 学号：

一、 填空题（每空3分，共24分） 1.11cos z dz z ==⎰ . 2. 1i n n n e z π

∞=∑的收敛半径为 . 3.(1)i

i += . 4.51z z e dz z =⎰= . 5.0z =是sin ()z f z z

=的 奇点，且Re [(),0]s f z = . 6.232t t ++拉氏变换为 .

7.已知3()f t t =，则()f t 的傅氏变换为 .

二、 选择题（每小题3分，共12分）.

1.下列级数中，绝对收敛的为（ ）

A. 111n i n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑

B.1(1)n n n ∞=-∑

C. 1ln n n i n ∞

=∑ D. 1(1)2n n n n i ∞=-∑ 2.22()()2f z x y xyi =-+,则()f z '=（ ）

A. 22x yi +

B. 22y xi +

C. 22x yi -

D. 22y xi -

3.下列叙述不正确的是（ ）

A.解析函数的导数仍为解析导数

B.()f z 在0z 可导，则()f z 在0z 解析

C.()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 区域内解析，则(,)u x y 、(,)v x y 都是D 内的调和函数

D.若0z 是()f z 的孤立奇点，则()f z 在0z 的去心邻域内可以展成洛朗级数0()n n n C z z +∞=-∞-∑

4. 设()1

z f z z e =+ ，则下列叙述正确的是（ ）

A. 0z =是()f z 的一级极点，z =∞是()f z 的可去奇点

B. 0z =是()f z 的一级极点，z =∞是()f z 的一级极点

C. 0z =是()f z 的可去奇点，z =∞是()f z 的一级极点

D. 0z =是()f z 的本性奇点，z =∞是()f z 的一级极点

三、计算题（每小题6分，共36分）.

1.将221(1)

z +展开成z 的幂级数. 2.2(1)z z e dz z z =-⎰. 3.在(0,)+∞上求sin cos t t *.

4.证明22

y v x y =+为调和函数，并求解析函数()f z u iv =+. 5.求数量场23(,,)u x y z xy yz =+在点M(2,1,1)-处的梯度及在矢量22l i j k =+-方向的方向导数.

6.求矢量场222222A y z i z x j x y k =++的散度和旋度.

四、解答题(每小题9分，共18分).

1.把函数()

21()f z z z i =-在以i 为中心的圆环域内展开为洛朗级数. 2.求微分方程321y y y '''++=，(0)(0)0y y '==的解. 五、证明题(共10分.请将证明写在答题纸指定位置,应写出主要的证明过程).

求函数()sin ,0,t t f t t ππ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的Fourier 积分,并推证: 20sin ,sin sin 210,t t t d t ππ

ωπωωωπ+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰.