第三章《三角函数》重要概念

第一章第三章《三角函数》重要概念

1.l 弧度的角:等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做l 弧度的角。

2.弧度制:用弧度做度量角的单位的量角制叫做弧度制。

3.弧度制与角度制的换算: 360°=2π弧度 180°=π弧度

1°=180π

弧度≈0.01745弧度 1弧度=(π180

)°≈57°18'=57.30°

用弧度制度量角时,正角的弧度数为正数,负角的孤度数为负数,零角的弧度数为零。 4.定理:如果α，β为始边相同的两个角,那么α与β的终边重合⇔β=α+k ·2π(k ∈Z) 5.单位圆:圆心在原点,半径为1的圆叫做单位圆。

6．任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,点P （x,y)是终边上任意一点,则称：

r y 为α的正弦，记为sin α=r y

,

r x 为α的余弦，记为cos α=r x

；

x y

为α的正切，记为tan α=x y

； y x

为α的余切，记为cot α=y x ； x

r 为α的正割，记为sec α=x r ；

y

r 为α的余割，记为csc α=y r ；

这六个三角函数统称为角α的三角函数。

7．三角函数的性质

三角函数 定义域 值域 各三角函数在各象限内的符号 sin α {α|α∈R} [-1,1] cos α {α|α∈R} [-1,1]

tan α {α|α∈R ，α≠2

π+k π,k ∈Z} (-∞,+∞) cot α {α|α∈R ，α≠k π,k ∈Z} (-∞,+∞) sec α {α|α∈R ，α≠2π+k π,k ∈Z} (-∞,-1]∪[1,+∞) csc α {α|α∈R ，α≠k π,k ∈Z} (-∞,-1]∪[1,+∞) 8.诱导公式:f(2

π·n ±α)中,奇变偶不变,符号看象限。 sin(α+2π·k)=sin α sin(-α)=-sin α sin(π+α)=-sin α sin(π-α)=sin α sin(2π-α)=-sin α cos(α+2π·k)=cos α cos(-α)=cos α cos(π+α)=-cos α cos(π-α)=-cos α cos(2π-α)=cos α tan(α+2π·k)=tan α tan(-α)=-tan α tan(π+α)=tan α tan(π-α)=-tan α tan(2π-α)=-tan α cot(α+2π·k)=cot α cot(-α)=-cot α cot(π+α)=cot α cot(π-α)=-cot α cot(2π-α)=-cot α sec(α+2π·k)=sec α sec(-α)=sec α sec(π+α)=-sec α sec(π-α)=-sec α sec(2π-α)=sec α cse(α

+2π·k)=csc α

csc(-α

)=-csc α csc(π+α)=-csc α csc(π-α)=csc α csc(2π-α)=-csc α

这五组公式：k ·2π+α(k ∈Z),-α,π±α,2π-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面放上把α看成锐角时原函数值的符号。即“函数名不变，符号看象限” 。

sin(2π-α)=cos α sin(2π+α)=cos α sin(23π-α)=-cos α sin(23π

+α)=-cos α cos(2π-α)=sin α cos(2π+α)=-sin α cos(23π-α)=-sin α cos(23π+α)=sin α tan(2π-α)=cot α tan(2π+α)=-cot α tan(23π-α)=cot α tan(23π+α)=-cot α cot(2π-α)=tan α cot(2

π+α)=-tan α cot(23π-α)=tan α cot(23π+α)=-tan α 9.同角三角函数的基本关系式: 同角三角函数的基本关系图

⑴倒数关系 ⑵商数关系 ⑶平方关系

sin α·csc α=1 tan α=αα

cos

sin sin 2α+cos 2α=1

cos α·sec α=1 cot α=α

α

sin cos 1+tan 2α=sec 2

α tan α·cot α=1 1+cot 2

α=csc 2

α 10．和角、差角公式（三角函数的加法定理）

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β

tan(α+β)= β

αβ

αtan tan + tan(α-β)=βαβ

αtan tan - 11．倍角公式、半角公式、万能公式 sin2α=2sin αcos α tan2α=

α

α

tan 1tan 2- sin α=2

22tan 1tan 2α

α

+ cos2α=cos 2

α-sin 2

α sin 2

α=±2

cos 1α

- cos α=222tan 1tan 1α

α

+- =2cos 2

α-1 cos 2

α=±2cos 1α+ tan α=

22

tan 1tan 2α

α

-

=1-2sin 2

α tan 2

α=±α

αcos 1cos 1+- sin3α=3sin α-4sin 3

α

cos 2α=2cos 1α+ tan α=α

sin cos3α=4cos 3

α-3cos α sin 2

α=2cos 1α- tan α=αcos 1- 12．积化和差与和差化积

sin αcos β=1[sin(α+β)+sin(α-β)] sin θ+sin φ=2sin 2φ

θ+·cos 2φ

θ- cos αsin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] sin θ-sin φ=2cos 2φθ+·sin 2φ

θ-

cos αcos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] cos θ+cos φ=2cos φθ+·cos φ

θ-

sin αsin β=-21[cos(α+β)-cos(α-β)] cos θ-cos φ=-2sin 2φθ+·sin 2φ

θ-

13.解三角形部分公式

正弦定理：C

c B

b A a sin sin sin

=

=

=2R ， 余弦定理：a 2=b 2+c 2

-2bccosA, cosA=bc

a c b

2222

-+

三角形面积公式：S △=21absinC ； 斜三角形中射影定理：a=bcosC+ccosB

反三角函数

1.函数y=sinx(x ∈[-2

π,2

π])的反函数叫做反正弦函数,记作:y=arcsinx ；

2.函数y=cosx(x ∈[0,π])的反函数叫做反余弦函数,记作:y=arccosx ；

3.正切函数y=tanx 在(-2

π,2

π)内的反函数叫做反正切函数,记作:y=arctanx ；

4.余切函数y=cotx 在（0，π）内的反函数叫做反余切函数,记作:y=arccotx.

5.反正弦函数y=arcsinx 在定义域[-1,1]上是增函数,值域是[-2

π,2

π].

反正弦函数y=arcsinx 的图象关于原点对称,它是奇函数，arcsin （-x ）=-arcsinx,x ∈[-1,l] 6.反余弦函数y=arccosx 在定义域[-1,l]上是减函数,值域是[O ，π] 反余弦函数y=arccosx 既不是奇函数,也不是偶函数。

arccosx 与arccos(-x)这两个角互补,即arccos(-x)=π-arccosx.x ∈[-1, l] 7.反正切函数y=arctanx 在定义域(-∞,+∞)内是增函数,值域是（-2

π,2

π）

反正切函数y=arctanx 是奇函数,arctan(-x)=-arctanx,x ∈(-∞,+∞) 8.反余切函数y=arccotx 在定义域(-∞,+∞)内是减函数,值域是(0,π) 反余切函数y=arccotx 既不是奇函数,也不是偶函数。

arccotx 与arccot(-x)这两个角互补,即arccot(-x)=π-arccotx,x ∈(-∞,+∞) 9.基本公式：

arcsin(-x)=-arcsinx,(x ∈[-1,1]) arccos(-x)=π-arccosx,(x ∈[-1,1]) arctan(-x)=-arctanx,(x ∈(-∞,+∞) arccot(-x)=π-arccotx,(x ∈(-∞,+∞)