第四章梁的内力1

集中力 偶作用 截面
画内力图的步骤：
１、根据平衡方程求约束反力； ２、找出杆件的控制面，确定控制面上的内力； ３、利用微分关系确定控制面间内力图的形状， 作内力图。
0 x a
l
A
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B
b
a
a x l
3、定点、作内力图 思考：a=b时，内力图有 什么特点呢？
Me l
Fs
M eb l
M
M ea l
例
图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图
和弯矩图。
q
A FA x
l
B FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
ql FA FB 2
6kN m
6kN
1
2
q 2kN m
3
4
5
B
1
2m
A
2
3
3m
C
4
5
3m
FA 13kN
FB 5kN
二、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
F x q M
通常情况下，梁横截面上的内力会随截面的位置而变化。 内力方程：反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置 变化的函数式。 剪力方程 Fs Fs ( x ) 内力方程 弯矩方程 M M ( x )
FS,max
ql 2
ql2 8 M
l/2
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
M max
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称
ql 2 8
例题5-4：外伸梁受力如图所示，试列出梁的剪力方程 和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。
解： 1、约束反力
5qa FB 2 qa FC 2
qa
dM ( x) Fs ( x) dx
d 2 M ( x) q( x) 2 dx
微分式中的正负号与坐标x的方向及载荷集度q的方 向有关，通常规定载荷集度q(x)以向上为正。
几何意义 1、剪力图某点的切线斜率，等于相应截面处的载荷 集度； 2、弯矩图某点的切线斜率，等于相应截面处的剪 力； 3、弯矩图的凹凸向取决于该段梁上的载荷集度q的 方向。
x1
1m
x2 1m 2m
M
B
0, 1 2 1 2 3 FAY 4 0 FBY 2(kN )
FAY 2(kN );
AC :
2、写出内力方程 Fs ( x1 ) FAY 2(kN ), M ( x1 ) FAY x1 2 x1 (kN.m),
CD :
F 弯曲后梁的轴线 （挠曲线） q M 纵向对称面 轴线
对称轴
平面弯曲特点：外载荷垂直轴线且作用于纵向对称 面内。梁变形后的轴线成为纵向对称面内的曲线。
§5-2 梁的荷载和支座反力
1、约束简化
固定铰支座 pin support
A FAx FAy A
FAx
FAy
活动铰支座 roller support
FA 3F FB 2F
F
1
2
3Fa
3
4
F
y
0,
0,
0,
Fs1 F
A1 2 3 4 a FA a a F F F
Fs1
B FB
M
F F
c
M1 Fa
Fs 2 3F F 2F
M1
Fs2
y
Mc 0,
y
M2 Fa
Fs 3 3F F 2F
Fb FA l Fa FB l Fs FA
m
A
x
a
F
l
b
B
m
剪力和弯矩的确定
Fb 0, Fy 截面法 l Fb Mc 0, M FA x l x Fy 0, Fs F FB Fb l Mc 0, Fb M FB l x F a x x l
q A FA
x
2 2 x qlx qx FS(x) M x FA x qx 2 2 2
M(x) F x F qx ql qx S A
3、作剪力图和弯矩图
q l
A FS ql 2
ql B FS x 2 qx
qlx qx2 M x 2 2
三、利用微积分关系作剪力图、弯矩图
载荷 情况
剪力图 特征 弯矩图 特征 可能的 最大弯 矩截面
Fs
q=0
q>0
q<0
C
F
M C Fs
Fs
Fs x x
Fs x Fs左 F
or x
or
Fs右 Fs左
x
Fs右
or
M
x M
x M
x M
M右 M左
x M
x
M右 M左 M
剪力为零的截面
集中力 作用截 面
M( x )
a x l
Fa ( l x ) a x l l
Fs图
Fa l
思考：a=b时，内力图有 什么特点呢？
M图 Fab l
例题5-3：图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。 Me
A
a C l B b FB
FA
解: 1、求支反力
A x1 aF B a
q
C FC
2、列内力方程
B
a
AB段： Fs ( x1 ) qa
M ( x1 ) qax1
0 x1 a 0 x1 a
x2
5qa qx 2 CB段： F ( x 2 ) 2 2 5 qax qx 2 M ( x2 ) 3qa2 2 2 2
BC :
A
2kN C D
1kN/m B
AC : Fs ( x1 ) 2, CD : Fs ( x2 ) 0， M ( x2 ) 2，
(0 x1 1) (1＜x2＜2) (1 x2 2)
M ( x1 ) 2 x1， (0 x1 1)
FAY
Fs(x)
FBY 2kN
A
40kN m
E
40 kN
F B 2m
C
D
1m 1m
2m
4m
§5-4弯矩、剪力及载荷集度间的关系 一、弯矩、剪力及载荷集度间的微分关系
F x q(x) M Fs(x) M(x)
c
q(x) Fs (x)+dFs(x)
dx
dx M(x)+dM(x)
取微段dx研究，根据平衡条件
F
y
0 Fs ( x) q( x)(dx) Fs ( x) dFs ( x) 0
Fa CB段： FS ( x) l
M( x ) Fa (l x ) l
3、定点、作内力图
A Fb AC段： Fs ( x ) 0 x a l FA Fb M( x ) x 0 x a l a l
Fb l
F C B b FB
Fa FS ( x) CB段： l
第五章
§5-1
§5-2
梁的内力
工程实际中的弯曲问题
梁的荷载和支座反力
§5-3
§5-4
梁的剪力、弯矩和剪力图、弯矩图
弯矩、剪力和载荷集度之间的关系
§5-1 工程实际中的弯曲问题
F F
弯曲特点：杆件受到垂直 于杆轴线方向的外力（或
在杆轴平面内的外力偶）
作用时，杆的轴线由直
线弯成曲线。
q
F
F
F
F
梁——以弯曲为主要变形的杆件。 工程上常见梁，其截面多有对称轴。如圆形矩形、 T型、工字形
二、弯矩、剪力及载荷集度间的积分关系
F
A
q x
B
M
dx
载荷图面积
dFs q dx dM Fs dx

B
A
dFs qdx
A
B
Fs B Fs A A qdx
B
B
A
dM Fs dx
A
B
M B M A A Fs dx
B
剪力图面积 作内力图方法：微分定形、积分定量
x
BC : Fs ( x3 ) 2 x3，(0＜x3 2)
2 x3 (0 x3 2) 2kN M ( x3 ) 2 x3 2 ，
3、根据方程画内力图
M ( x)
2kN.m
2kN.m
x
思考：作图示梁的内力图，如果用内力方程作图， 需要列多少个方程呢？
80 kN m 160 kN
M 3 3Fa 2Fa Fa
3F
M2 Fs3 M3
0, 0,
M
3F
c
Fy 0, M F M
c
F
Fs 3 3F F 2F
M 3 3Fa 2Fa Fa Fs 4 2F
1
2
3Fa
3
4
0, 0, 0,
A1 2 3 4 a FA a a
FA Me l
Me FB l
2、列内力方程
Me 剪力方程： FS x FA 0 x l l
Me 剪力方程： FS x FA 0 x l l
弯矩方程：
Me x AC段：M x l
Me
C l
CB段：M x M e l x
dFs ( x) q( x) dx
Mc 0
1 2 M ( x) Fs ( x)dx q( x)dx M ( x) dM ( x) 0 2 2 dM ( x) d M ( x) Fs ( x) q( x) 2 dx dx
dFs ( x) q( x) dx
内力图：显示剪力和弯矩随截面位置的变化规律的图形， 分别称为剪力图和弯矩图。
控制面的概念：外力规律发生变化的截面—集中 力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处 的横截面。
F q M
依据控制截面分段列出梁 的剪力方程和弯矩方程之 后，即可作内力图。
画内力图要求： ①受力图与剪力图、弯矩图对齐。 ②正剪力画在横轴上侧，正弯矩画在横轴下侧。 ③必须标明各个控制截面和极值点上的内力值。
Fs3
B FB
y
c
M 4 2Fa
3F
Fs4 M4
M3
2F
总结：
① Fs Fi , Fi——截面一侧的外力，左上、右下为 正，反之负。 ② M M i , Mi——截面一侧的外力矩，左顺、右 逆为正，反之负。
Fs1 F
Fs 2 2F Fs 3 2F Fs 4 2F
Fs ( x2 ) FAY 2 2 2 0, M ( x2 ) FAY x2 2( x2 1) 2(kN.m),
Fs ( x3 ) FBY 1 x3 2 x3 , 2 x3 x3 M ( x3 ) FBY x3 1 x3 2 x3 , 2 2
M1 Fa M2 Fa
M3 Fa
F
1
2
3Fa
3
4
A1 2 3 4 a FA a a
B FB
M 4 2Fa
③集中力作用截面两侧，剪力发生突变，突变值的 大小等于该截面集中力的大小。 ④集中力偶作用截面两侧，弯矩发生突变，突变值
的大小等于该截面集中力偶的大小。
复习：求图示外伸梁中1－1、2－2、3－3、 4－4和5－5各截面上的内力。
A
FA
A FA
固定端fixed support
MA A FAx FAy
2、常见静定梁形式
简支梁Simple beam
悬臂梁Cantilever beam 外伸梁Beam with an overhang 组合梁Compound beam
§5-3 梁的剪力、弯矩和剪力图、弯矩图
一、剪力和弯矩
FA M FA M
FB
设正法
F
Fs
Fs
FB
剪力和弯矩的正负规定
FS
﹢
FS
FS
﹣
FS
Fs： 剪力对脱离体内任一点取矩，产生顺时针力 矩的为正，反之为负。（左上、右下为正）
M M
﹢
﹣
M M
M：使脱离体下侧受拉、上侧受压为正，反之为 负。（左顺、右逆为正）
例题5-1：求图示梁指定截面的内力。 解： 由平衡条件得
例题5-2：简支梁受力如图，试列出梁的剪力方程和弯 矩方程作梁的剪力图和弯矩图。
解： 1、约束反力
Fb FA l Fa FB l
F
A FA x ax
C l
B b
2、列内力方程
FB
AC段： Fs ( x )
Fb l Fb M( x ) x l
0 x a 0 x a a x l a x l
B a
3qa 2
a
C FC
5qax2 qx2 2 M ( x2 ) 3qa 2 2 a x2 3a
qa qa 2
qa 2
a/2
dM ( x 2 ) 5qa qx2 0 dx 2
qa2 8
A FAY
2kN C D
1kN/m B x3 FBY
[例] 画出梁的内力图。 解：1、支反力 Y 0, FAY FBY 2 1 2 0
a x2 3a a x2 3a
3、定点、作内力图 AB段： Fs ( x1 ) qa
M ( x1 ) qax1
5qa CB段：F ( x2 ) 2 qx 2
qa A
q
0 x1 a 0 x1 a
a x2 3a
2
aF
B