整除、同余与高斯函数

整除、同余与高斯函数

一、整除

对于整数a (本讲字母均表示整数)和不为零的整数b,我们有带余除法:a bq r =+,(0)r b ≤<.其中q 称为商,r 称为余数. 特别地,若0r =,即a bq =,则称a 被b 整除或称b 整除a ,记为|b a ; 若0r ≠,则称b 不整除a ,记为b a .若|b a ,我们也称a 是b 的倍数,b 是a 的约数(或因数).整除有下面的基本性质:

1.若|a b ,|b c ,则|a c .

2.若|a b ,k 为整数,则|a kb .

3.若|a bc ,且a 与c 互质,则|a b , 特别地,若质数|p bc ,则必有|p b 或|p c .

4.若|a b , |a c , 则|()a b c ±.

5.若|b a , |c a , 且b 与c 互质, 则|bc a .

例1. 求出所有的正整数n ,使得n n 的正整数整除.

精析 令()221k n k ≤<+，即n 介于两个完全平方数之间是解题的突破口.

全解 设()221k n k ≤<+，

当3k ≥时， 1,2,,n n k n .

因为()2,11k k --=，()1,1k k -=，()2,2k k -≤， 所以 ()()1122

k k k n --. ()()()211212

k k k n k --≤<+， 故 325220k k k ---<，

即 ()()22512k k --<.

得 3,45k =或.

所以 36n <.

当14n ≤<，有1,1,2,3n n =都满足条件；

当49n ≤<，有1,2,4,6,8n n n =都满足条件；

当916n ≤<，有1,2,3n n n ，即6n ，12n =满足条件；

当1625n ≤<，有1,2,3,4n n n n ，即12n ，24n =满足条件；

当2536n ≤<，有1,2,3,4,5n n n n n ，即60n ，无n 满足条件；

综上，本题的解为1,2,3,4,6,8,12,24.

例2. 设p 是大于5的素数，求证：4240|1p -.

证明 2401635=⨯⨯，显然16,3,5两两互质，故只须证明16,3,5分别能整除41p -.

42221(1)(1)(1)(1)(1)p p p p p p -=+-=++-，

因为p 是大于5的素数，显然，22|1p +.由于1,1p p -+是连续两个偶数，所以必有一个能被2整除，有一个能被4整除.因此8|(1)(1)p p -+.故416|1p -.

因为p 是大于5的素数，故3|p /所以31p q =±，从而23|1p -.故43|1p -. 因为p 是大于5的素数，故5|p /.所以51p q =±或52p q =±.

当51p q =±时，25|1p -，所以45|1p -.

当52p q =±时，25|1p +，所以45|1p -.

故 45|1p -

综上可得 4240|1p -.

说明 把一个较大的数分解成两两互素的若干个整数的积，这是解决整除问题的一个基本方法.

例3. 1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，如果1987x y z ++=+++，请确定所有可能的,,x y z 和b .

解 由题意得：

21987,xyz xb yb z =++= ①

25.x y z ++= ②

①-②得 2(1)(1)1962,x b y b -+-=

即 (1)[(1)]1962,b b x y -++=

故 1|1962,b -

显然， 10,b > 19.b ->

因为 211962b -≤，所以196345b ≤<，

所以 1045;9144.b b <<<-<

由2196223109=⨯⨯知，1962有12个正约数：

1，2，3，6，9，18，109，218，327，654，981，1962.

所以 118b -=，19b =.

将1987用19进制表示：1987=5×192+9×19+11，

所以 5,9,11,19x y z b ====.

注：先进行范围的估计再找在此范围内满足条件的整数，这是解决数论问题常用的思想方法.

二、同余

给定一个正整数m , 如果两个整数a b 、用m 除所得的余数相同, 则称a 与b 对模m 同余, 记作(mod )a b m ≡,读作a 同余b ,模m . 反之,若a 与b 对模m 不同余,则记作a (mod )b m .

由定义不难得出, 同余具有如下基本性质:

(1)定义等价性

|m a b -(mod )a b m ⇔≡a b mt ⇔=+(t 为整数);

(2)反身性 (mod )a a m ≡;

(3)对称性 (mod )a b m ≡(mod )b a m ⇒≡;

(4)传递性

(mod )(mod )(mod )a b m a c m b c m ≡⎫⇒≡⎬≡⎭; (5)可加性

(mod )(mod )(mod )a b m a c b d m c d m ≡⎫⇒±≡±⎬≡⎭

； (6)可乘性

(mod )(mod )(mod )a b m ac bd m c d m ≡⎫⇒≡⎬≡⎭;

推论(mod )a b m ≡(mod )n n a b m ⇒≡ (n 为正整数);

(7)可除性

(mod )(mod )0(,)ac bc m m a b c c m ≡⎫⇒≡⎬≠⎭

; 当(,)1c m =时,有(mod )a b m ≡;

(8)若(mod )a b m ≡,|n m ,n 为正整数, 则(mod )a b n ≡;

(9)若(mod )i a b m ≡,1,2,3,

,i n =. 则12(mod[,,,])n a b m m m ≡.

其中(,)c m 表示整数c 与m 的最大公约数, 12[,,

,]n m m m 表示整数12,,,n m m m 的最小公倍数.

由上可知,同余式具有某些与等式类似的性质.利用同余解决问题的主要方法是:灵活应用同余性质,有机结合代数恒等变形技巧,常常兼顾分类讨论思想.

例4. 证明222530x xy z -++=无整数解.

证明 把原方程看成是关于x 的二次方程,则

24244(53)2

y y z x ±-+= 2453y y z =±--. 因为,,x y z Z ∈,故453y z Z --∈, 453y z --应是一个完全平方数.

因为20,1,4(mod5)y ≡,故40,1(mod 5)y ≡,

又50(mod5)z -≡,32(mod5)-≡,从而

4532,3(mod5)y z --≡.

若4253y z m --=,m Z ∈,则20,1,4(mod 5)m ≡,故453y z --不可能是一个完全平方数,从而原方程无整数解.

用同余理论处理不定方程时,经常用到这一结论:若a

(mod )b m ,则a b ≠.本例中因为453y z --2(mod 5)m ,所以4253y z m --≠.解题的关键是选择合适的m .

例5. 求使21n -为7的倍数的所有正整数n .

分析 易知3217-=，即37|21-，从而知3n =为所求的最小正整数.经验证