北京云岗中学数学圆 几何综合综合测试卷(word含答案)
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北京云岗中学数学圆 几何综合综合测试卷(word 含答案)
一、初三数学 圆易错题压轴题(难)
1.如图,以A (0,3)为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ,与y 轴相交于点B ,弦BD
的延长线交x 轴的负半轴于点E ,且∠BEO =60°,AD 的延长线交x 轴于点C .
(1)分别求点E 、C 的坐标;
(2)求经过A 、C 两点,且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式; (3)设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ,试判断以M 点为圆心,ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)点C 的坐标为(-3,0)(2)2343333
y x x =++3)⊙M 与⊙A 外切 【解析】
试题分析:(1)已知了A 点的坐标,即可得出圆的半径和直径,可在直角三角形BOE 中,根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标,同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标;
(2)已知了对称轴的解析式,可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标,然后根据此点坐标以及C ,A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(3)两圆应该外切,由于直线DE ∥OB ,因此∠MED=∠ABD ,由于AB=AD ,那么
∠ADB=∠ABD ,将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ,即ME=MD ,因此两圆的圆心距AM=ME+AD ,即两圆的半径和,因此两圆外切.
试题解析:(1)在Rt△EOB 中,3
cot60232EO OB =⋅︒==, ∴点E 的坐标为(-2,0).
在Rt△COA 中,tan tan60333OC OA CAO OA =⋅∠=⋅︒==, ∴点C 的坐标为(-3,0).
(2)∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F (-1,0), 点C 与点F (-1,0)都在抛物线上. 设()()13y a x x =++,用(03A ,代入得
()()30103a =++,
∴3
3
a =. ∴()()3
13y x x =
++,即 2343333
y x x =
++. (3)⊙M 与⊙A 外切,证明如下: ∵ME ∥y 轴,
∴MED B ∠=∠.
∵B BDA MDE ∠=∠=∠, ∴MED MDE ∠=∠. ∴ME MD =.
∵MA MD AD ME AD =+=+, ∴⊙M 与⊙A 外切.
2.如图,∠ABC=45°,△ADE 是等腰直角三角形,AE=AD ,顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动(不与点B 重合),△ADE 的外接圆交BC 于点F ,点D 在点F 的右侧,O 为圆心.
(1)求证:△ABD ≌△AFE
(2)若AB=42,82<BE ≤413,求⊙O 的面积S 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)16π<S ≤40π
【解析】试题分析:(1)利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角,再利用已知AE=AD ,得出三角形全等;(2)利用△ABD ≌△AFE ,和已知条件得出BF 的长,利用勾股定理和2<BE 13EF,DF 的取值范围, 24
S DE π
=
,所以利用二次函
数的性质求出最值. 试题解析:(1)连接EF ,
∵△ADE 是等腰直角三角形,AE=AD , ∴∠EAD=90°,∠AED=∠ADE=45°, ∵AE AE = , ∴∠ADE=∠AFE=45°, ∵∠ABD=45°,
∴∠ABD=∠AFE , ∵AF AF =, ∴∠AEF=∠ADB , ∵AE=AD , ∴△ABD ≌△AFE ; (2)∵△ABD ≌△AFE , ∴BD=EF ,∠EAF=∠BAD , ∴∠BAF=∠EAD=90°, ∵42AB = , ∴BF=
42
cos cos45
AB ABF =∠=8,
设BD=x ,则EF=x ,DF=x ﹣8, ∵BE 2
=EF 2
+BF 2
, 82<BE ≤413 ,
∴128<EF 2+82
≤208, ∴8<EF ≤12,即8<x ≤12, 则()22284
4S DE x x π
π⎡⎤==
+-⎣
⎦=()2
482
x ππ-+,
∵
2
π
>0, ∴抛物线的开口向上, 又∵对称轴为直线x=4,
∴当8<x ≤12时,S 随x 的增大而增大, ∴16π<S ≤40π.
点睛:本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角,第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度,由于出现线段的取值范围,所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题,还要考虑圆的面积问题,得出二次函数,利用二次函数的性质求出最值.
3.如图所示,CD 为⊙O 的直径,点B 在⊙O 上,连接BC 、BD ,过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ,OE//BD ,交BC 于点F ,交AB 于点E. (1)求证:∠E=∠C ;
(2)若⊙O 的半径为3,AD=2,试求AE 的长; (3)在(2)的条件下,求△ABC 的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)10;(3)48 5
.
【解析】
试题分析:(1)连接OB,利用已知条件和切线的性质证明:OE∥BD,即可证明:
∠E=∠C;
(2)根据题意求出AB的长,然后根据平行线分线段定理,可求解;
(3)根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
试题解析:(1)如解图,连接OB,
∵CD为⊙O的直径,
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°,
∵AB是⊙O的切线,
∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°,
∴∠ABD=∠CBO.
∵OB、OC是⊙O的半径,
∴OB=OC,∴∠C=∠CBO.
∵OE∥BD,∴∠E=∠ABD,
∴∠E=∠C;
(2)∵⊙O的半径为3,AD=2,
∴AO=5,∴AB=4.
∵BD∥OE,
∴=,
∴=,
∴BE=6,AE=6+4=10
(3)S △AOE==15,然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得
S△ABC= S△AOE==
4.如图①,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,点D是AC边上一点(不与C 重合),以AD为直径作⊙O,过C作CE切⊙O于E,交AB于F.
(1)若⊙O半径为2,求线段CE的长;
(2)若AF=BF,求⊙O的半径;