矩阵分析 第三章 第6节
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矩阵分析引论--第三章 矩阵的标准化-多项式矩阵与史密斯标准形
D2(l ) , D1(l )
0
0
0
- l 2
l
c3 -1c1 0 0
0
l(l - 1)
0
1 0
- l 2
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
1 c1c3 0
0
l
l(l - 1) 0
- l 2
0
0
1 c3 -lc1 0
- l 2
0
l(l - 1)
0
0 0
l(l - 2)
1 0
r3 (l-2)r2 0 l
0
l(l - 2)
0 0 l(l - 1)(l - 2)
1 0
c3 -( l -2)c2 0 l
0
0
0 0 l(l - 1)(l - 2)
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-7 设多项式矩阵A(l)的秩 r≥1, 则A(l )
J(l)称为 A(l)的 Smith标准形.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
例2 求多项式矩阵 A(l) 的Smith标准形.
0 l(l - 1) 0
A(l ) l 0
l 1 .
0
0
- l 2
解
l 0
l 1
A(l ) r1r2 0 l (l - 1)
3º 初等矩阵及其性质与数字矩阵类似.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-6 若A(l)可经有限次初等变换化为B(l), 则称A(l)与B(l)等价. 记为A(l) ≌ B(l).
矩阵分析
∞ ∞
m× n
中的矩阵序列，并且 lim A k = A ， lim B k = B ，则
k →∞ k →∞
lim (α A k + β B k ) = α A + β B,
k →∞
∀α , β ∈ C ．
m× n
（2）
设 { A k }k =1 和 {B k }k =1 分 别 为 C
k →∞
∞
∞
∞ ∞
（2）
矩阵级数
∑ A k 为绝对收敛的充分必要条件是正项级数 ∑ A k 收敛.
k =1 k =1
∞
∞
（3）
设
∑A
k =1
k
为C
m× n
中的绝对收敛的级数，
∑B
k =1
k
为C
n×l
中的绝对收敛的级数，并且
∞
∞
∞
∞
A = ∑ A k , B = ∑ B k , 则 ∑ A k · ∑ B k 按任何方式排列得到的级数也是绝对收敛
根 据 这
m1 + m2 + ⋯ + ms = n 个方程，得到一个以 c0 , c1 ,⋯, c n−1 为未知数的线性方程组。事实上，
这即为以 λ1 , λ 2 , ⋯ , λ s 为插值节点的 Hermite 插值，因此方程组有唯一解。进一步，如果得 到 A 的最小多项式 m(λ ) ，则类似有 f ( z ) = m( z ) g ( z ) + r ( z ) ，而且，此时的余式 r ( z ) 的 次数可以更低，使得计算更为简单。 对于函数满足的恒等式， 只要能保证等式两边的矩阵函数同时为收敛的矩阵幂级数， 则 可以得到相应的矩阵函数恒等式，例如可以证明 （Ⅰ） ∀A ∈ C
m× n
中的矩阵序列，并且 lim A k = A ， lim B k = B ，则
k →∞ k →∞
lim (α A k + β B k ) = α A + β B,
k →∞
∀α , β ∈ C ．
m× n
（2）
设 { A k }k =1 和 {B k }k =1 分 别 为 C
k →∞
∞
∞
∞ ∞
（2）
矩阵级数
∑ A k 为绝对收敛的充分必要条件是正项级数 ∑ A k 收敛.
k =1 k =1
∞
∞
（3）
设
∑A
k =1
k
为C
m× n
中的绝对收敛的级数，
∑B
k =1
k
为C
n×l
中的绝对收敛的级数，并且
∞
∞
∞
∞
A = ∑ A k , B = ∑ B k , 则 ∑ A k · ∑ B k 按任何方式排列得到的级数也是绝对收敛
根 据 这
m1 + m2 + ⋯ + ms = n 个方程，得到一个以 c0 , c1 ,⋯, c n−1 为未知数的线性方程组。事实上，
这即为以 λ1 , λ 2 , ⋯ , λ s 为插值节点的 Hermite 插值，因此方程组有唯一解。进一步，如果得 到 A 的最小多项式 m(λ ) ，则类似有 f ( z ) = m( z ) g ( z ) + r ( z ) ，而且，此时的余式 r ( z ) 的 次数可以更低，使得计算更为简单。 对于函数满足的恒等式， 只要能保证等式两边的矩阵函数同时为收敛的矩阵幂级数， 则 可以得到相应的矩阵函数恒等式，例如可以证明 （Ⅰ） ∀A ∈ C
矩阵分析第三章
例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||
数值分析(07)矩阵的正交分解
令单位阵I (1) R( k 1)( k 1)，I ( 2) R( n k 1)( n k 1) , ( 对x ( 2)构造一个( n k 1)阶的初等阵H k2) , 使
H
(2) k
x
(2)
e
(k ) k 1
( 其中e1k ) (1, 0, , 0)T R n k 1 , 用前面介绍的方法 (2) 构造H k 。
U x y x i ei ( x1 , , xi i , , xn )T ,
有Hx y i ei
1 sign( x i ) 1
xi 0 xi 0
构造初等反射阵 UU T 1 T H I 2WW I 2 I UU T 2 U
解 : 3 sign( x3 ) x
2
4 0 4 1 3,因x3 2 0,
故取K 3 3 于是y 3e3 Ke3 (0, 0, 3, 0)T ,
U x y (2, 0, 5,1) , 3 ( 3 x3 ) 3(3 2) 15
数值分析
数值分析
function [H,y]=holder1(x) n=length(x); if x(1)<0 M=max(abs(x)); s=-s; if M==0, end; disp('M=0'); x(1)=s+x(1); return; p=s*x(1); else u=x; x=x/M; H=eye(n,n)-p\u*u'; end; y=zeros(n,1); s=norm(x); y(1)=-M*s;
1 T 1 2 2 其中 U U ( x1 ... ( xi i )2 xn ) 2 2 1 (2 xi i 2 i 2 ) i ( xi i ) 2
H
(2) k
x
(2)
e
(k ) k 1
( 其中e1k ) (1, 0, , 0)T R n k 1 , 用前面介绍的方法 (2) 构造H k 。
U x y x i ei ( x1 , , xi i , , xn )T ,
有Hx y i ei
1 sign( x i ) 1
xi 0 xi 0
构造初等反射阵 UU T 1 T H I 2WW I 2 I UU T 2 U
解 : 3 sign( x3 ) x
2
4 0 4 1 3,因x3 2 0,
故取K 3 3 于是y 3e3 Ke3 (0, 0, 3, 0)T ,
U x y (2, 0, 5,1) , 3 ( 3 x3 ) 3(3 2) 15
数值分析
数值分析
function [H,y]=holder1(x) n=length(x); if x(1)<0 M=max(abs(x)); s=-s; if M==0, end; disp('M=0'); x(1)=s+x(1); return; p=s*x(1); else u=x; x=x/M; H=eye(n,n)-p\u*u'; end; y=zeros(n,1); s=norm(x); y(1)=-M*s;
1 T 1 2 2 其中 U U ( x1 ... ( xi i )2 xn ) 2 2 1 (2 xi i 2 i 2 ) i ( xi i ) 2
《矩阵分析》课程教案
难点：Hermite矩阵、Hermite二次齐次式，正定二次型、正定Hermite矩阵，Rayleigh商
讨 论
练 习
作 业
作业：第3章练习题中任选5题
教学要求
熟练掌握线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准型，内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等基本概念和基本方法。
教学方法
课堂讲述+实验演示+实际动手操作+作业+研究报告
教学手段
多媒体课件+案例+理论推导+编程实现
考核方式
结合课堂所学写一篇论文/开卷考试二者选一
教学参考资料
[1]《矩阵分析》，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2010.6，第3版
[2]《Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition》，Lars Eldén，The SIAM series on Fundamentals of Algorithms，2007.2
本课程针对计算机应用技术专业研究生的知识结构背景，在其本科阶段所学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法，全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后的进一步学习和研究打下扎实的基础。
山西财经大学研究生课程教案
课程名称
矩阵分析
课程编码
讨 论
练 习
作 业
作业：第3章练习题中任选5题
教学要求
熟练掌握线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准型，内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等基本概念和基本方法。
教学方法
课堂讲述+实验演示+实际动手操作+作业+研究报告
教学手段
多媒体课件+案例+理论推导+编程实现
考核方式
结合课堂所学写一篇论文/开卷考试二者选一
教学参考资料
[1]《矩阵分析》，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2010.6，第3版
[2]《Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition》，Lars Eldén，The SIAM series on Fundamentals of Algorithms，2007.2
本课程针对计算机应用技术专业研究生的知识结构背景，在其本科阶段所学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法，全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后的进一步学习和研究打下扎实的基础。
山西财经大学研究生课程教案
课程名称
矩阵分析
课程编码
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵1
(α1 ,α 2 , , α n ) L
设：1α1 +k2α 2 +L +knα n＝0 k
(α j , k1α1 +k2α 2 +L +knα n )＝(α j , 0) ＝0
k j (α j , α j )＝0
k j＝0, 即k j＝0, j = 1, 2,L , n) (
正交向量组线性无关 那么线性无关向量组是否正交呢？ 那么线性无关向量组是否正交呢？
定义4.3： 子空间， 定义 ： 设 S , T 是C n 的（或 R n ）子空间，若对任意的 x ∈ S 和 y ∈ T 都有
( x, y ) = 0
是正交的， 则称 S 和 T 是正交的，记为 S ⊥ T
定理4.6： 两个正交子空间， 定理 ：设 S , T 是 C n 的（或 R n ）两个正交子空间，那么 （1）S I T = {0} ） （2）dim( S + T ) = dim( S ) + dim(T ) ）
α1 , α 2 ,L , α n
′ ′ α1′, α 2 ,L , α n
度量矩阵 度量矩阵
A B
′ ′ (α1′, α 2 ,L , α n ) = (α1 , α 2 ,L , α n ) P
B = PT AP or
BT = P H AT P
定义1.5: 定义
设V是酉（欧氏）空间，定义 ∀α ∈ V 长度为
(1), A−1 = AH
(2), det A = 1
(3), A ∈ U
T n×n
(1), A = A
−1
T
(2), det A = ±1
(4), if B ∈ U n×n , then AB, BA ∈U
线性代数课件第三章
的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形矩阵.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
Kronecker乘积清华大学《矩阵分析》讲义张贤达
么 A ⊗ B 的 mp 个特征值为 λi µ j (i = 1,2L, m; j = 1,2.L, p).
证 由第三章§2 知，A 与 B 一定与 Jordan 标准形相似，即存在可逆矩阵 P 与 Q，使得
λ
∗
P −1 AP
=
J1
=
O
,
0
λm
Q −1BQ
=
J2
=
µ1
O
∗
0
µ p
即有
例 1—1
设
A
=
a c
b d
,
B
=
xy,
那么
A
⊗
B
=
aB cB
ax
bB dB
=
ay cx
cy
bx by dx
dy 4×2
xa
B
⊗
A
=
xA yA
=
xc
ya
yc
xb ac
xd
=
cx
yb ay
yd cy
bx dx by
dy 4×2
由这个例子可以看出， A ⊗ B 与 B ⊗ A 一般不是同一矩阵，即 Kronecker 积不满足交换律，但它们的阶
p
∑ = aij (Ai ⊗ B j )(xr ⊗ ys ) i, j=0
p
∑ = aij (Ai xr ⊗ B j ys ) i, j=0
7
p
∑ =
aij λir
µ
j s
xr
⊗
ys
i, j=0
= f (λr , µs )xr ⊗ ys
证毕
特别地，若取 f (x, y) = xy ，则有
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对称矩阵，二次型
AH A
AT A
Hemite矩阵
对称矩阵
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
x H Ax 是实数。 （1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x C n ，
（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S C nn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
定理6.3：
A C nn， 则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
定理7.9： 酉空间V上的线性变换 T 是正规变换的充要条件是： 在V中存在一标准正交基，使得 T 在这个基下的矩阵表示为对角 矩阵。
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
3.3正交变换与酉变换
1、酉变换（或正交变换）将酉空间（线性空 间）的标准正交基变到标准正交基。（空间 中向量的模不变的线性变换） 2、酉变换（或正交变换）在标准正交基下的 矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）
3、பைடு நூலகம்矩阵的逆等于它的复共轭转置
酉矩阵 正交矩阵
AH A AAH E
AT A AAT E
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型） 系数为复数的二次齐次复多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) i , j 1 aij xi x j (规定aij a ji )
n
x ( x1, x2 ,, xn )T C n
A (aij )nn
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax
3.5对称变换与反对称变换 （欧氏空间)
1、如果对内积中的某个元素作线性变换之后 得到内积，与对另外一个元素作同样变换之 后得到的内积相等，那么称这样的变换为对 称变换。
(T ( ), ) ( , T ( ))
2、这种变换在标准正交基下的矩阵表示为对 称矩阵。
AT A
3、反对称变换、反对称矩阵
3.1欧氏空间和酉空间
1、欧氏空间和酉空间引入内积在线性空间基 础上再定义多四个条件 2、为了将向量的模概念引入线性空间中，所 以需要关注向量的模的基本性质： 非负性 齐次性 三角不等式 柯西许瓦兹三角不等式不等式
3.2标准正交基、Schmidt方法
1、正交向量、正交向量组。 2、标准正交向量组。 3、正交向量组是无关向量组。 4、标准正交基：由标准正交向量组线性空间 的一组基。 5、线性空间的任何一组基出发，可以采用 Schmidt方法构造出一个标准正交基。
AAH AH A
U H AU B
BBH U H AU (U H AU )H U H AUU H AHU U H AAHU
H H BH B (U H AU )H U H AU U H AHUU H AU U A AU
引理6.2：A 是正规矩阵，且 A 是三角矩阵，则 A 是对角矩阵。
3.4幂等矩阵、正交投影
1、幂等矩阵：平方等于本身的矩阵。（特征 值非零即1 ） 2、投影：将一个空间中的向量唯一的表示为 其两个互补子空间中的向量之和，这时称其 中属于某个子空间的子向量为原向量沿其补 子空间到本子空间的投影。 3、正交投影：投影到的两个互补子空间是正 交的 4、正交投影在标准正交基下的矩阵表示可以 分解成一个次酉矩阵乘以它的复共轭转置。
推论3.6.1 ：AH Udiag(1, 2 ,, n )U H (1) AH A i i (2) AH A i i , Re(i ) 0
(3) AAH E i i 1 i 1
P122例题6.4：例题6.5：
P149习题3-13：
第5节 对称与 反对称变换
定义5.1：设 T 是欧氏空间 V 的一线性变换，如果对任意的 , V
(T ( ), ) ( , T ( ))
那么称 T 是 V 的一个对称变换。 定理5.2： T 是欧氏空间 V 的一对称变换的充要条件是 T 在 V 的 任意标准正交基下的矩阵表示是对称矩阵。
A C nn， 则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
证明：
i 是A的特征值。
根据Schur引理，存在酉矩阵U，使得：
U H AU B(上三角) 由于A是正规矩阵，所以B也是正规矩阵，又因为B是上三角矩 阵，所以B是对角矩阵（引理6.2）。
(T ( ), ) ( , T ( ))
那么称 T 是 V 的一个反对称变换。 定理5.5： T 是欧氏空间 V 的反对称变换的充要条件是 T 在 V 的 任意标准正交基下的矩阵表示是反对称矩阵。
(u1, u2 ,, un ) U nn
T (u1, u2, ,, un) ( u1, u2, ,, u) n A
T (1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A
T H (1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) B
B AH
epsilon
例题7.1, 7.2, 7.3
伴随变换的性质： 定理7.4：设V是一酉（欧氏）空间，S, T是V上的线性变换，若 存在V上的线性变换，k 为一个复（实）数，那么：
第7节 Hermite变换、 正规变换
定义7.1（Hermite变换）：设V是一酉空间，T是V上的线性变换， 若 (T ( ), ) ( , T ( )), , V 那么称T是V上的一个Hermite变换，或者自伴变换。 对称变换 定义7.2（反Hermite变换）：设V是一酉空间，T是V上的线性变 换，若 (T ( ), ) ( , T ( )), , V 那么称T是V上的一个反Hermite变换。 反对称变换
(1) (S T ) H S H T H
(2) (kT )H kT H
(3) (ST )H T H S H (4) (T H ) H T
定义7.4：设V是一酉空间，T是V上的线性变换，如果 T 满足
T H T TT H
那么称 T 是正规变换。
定理7.5： 酉空间V上的线性变换T是正规变换的充要条件是T在V 的任一标准正交基下的正规矩阵。
2 n
2
等号成立的条件是 A 酉相似于对角矩阵。
例题6.1：
P148 3-3
定义6.2：正规矩阵
A C nn
AAH AH A AAT AT A
则称 A 为正规矩阵。
例：对角矩阵，Hermite矩阵，反Hermite矩阵，对称矩阵，反 对称矩阵等都是正规矩阵。 引理6.1：A 是正规矩阵，那么与A 酉相似的矩阵都是正规矩阵。
若作可逆线性变换x Py
P 0
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax
( Py)H A( Py) y H PH APy y H By
B P H AP
Hermite二次齐式的标准型：定理8.5, 8.6
hermite矩阵B
Hermite二次齐式的标准型：定理8.5, 8.6
a22 a2 n
a11 a12 ann a1n
a22 a2 n
a11 a12 a1n a a 22 2n a nn ann
定理6.3：
AT A
总的来说，如果对内积中的某个元素作线性变换之后得到内积，与 对另外一个元素作同样变换之后得到的内积相等，那么称这样的变 换为对称变换。这种变换在标准正交基下的矩阵表示为对称矩阵。 反对称变换与此类似。
例3.5.1 ~例3.5.2
习题
第6节 正规矩阵、 Schur引理
定义6.1：酉相似（正交相似）
定义7.3（伴随变换）：设V是一酉（欧氏）空间，T是V上的线 性变换，若存在V上的线性变换 T H 使得，
(T ( ), ) ( , T H ( )), , V
那么称T有一个伴随变换 T H 。
酉（欧氏）空间上的每一个线性变换T都有唯一的一个伴随变 换 TH 。
定理7.4 设 1 , 2 , , n 是酉（欧氏）空间V上的一组标准正交基， T是V上的线性变换，其自变换是 TH
(u1, u2 ,, un ) U nn
T (u1, u2, ,, un) ( u1, u2, ,, u) n A
AT A
定理5.3： 欧氏空间对称变换的是可对角化的线性变换。 T 因为实对称矩阵正交相似于对角矩阵，即合同。
定义5.2：设 T 是欧氏空间 V 的一线性变换，如果对任意的 , V
diag (1, 2 ,, n ) 是对角矩阵，所以也是正规矩 阵，从而A是正规矩阵。
i 是A的特征值，对应的特征向量是x， 推论6.1：设 A 是正规矩阵， 那么 i 是 A H的特征值，其对应的特征向量是 x
推论6.2：n 阶正规矩阵 A 有n个线性无关的特征向量。 推论6.3：正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的。
定理7.1 酉空间V上的线性变换T是 Hermite 变换的充要条件是T 在V的任一标准正交基下的矩阵是 Hermite 矩阵
AH A
定理7.3 酉空间V上的线性变换T是反Hermite 变换的充要条件是T 在V的任一标准正交基下的矩阵是反Hermite 矩阵
AH A
定理7.2 酉空间V上的Hermite 变换T的特征值为实数。 酉空间V上的反Hermite 变换T的特征值的实部为零。
3.6 schur引理、正规矩阵
1、正规矩阵比酉矩阵少了一项约束：不要求 等于单位矩阵。
AAH AH A
2、正规矩阵的很多性质与酉相似相关。 酉相似： H U AU U 1 AU B 3、Schur引理：任意的一个n阶复矩阵A酉相 似于一个上（下）三角矩阵。（三角矩阵主 对角线的值是A的特征值） 4、正规矩阵分别为Hermite矩阵，反Hermite 矩阵，酉矩阵时，它的特征值分别为均是实 数，均是纯虚数，模长均为1。
AH A
AT A
Hemite矩阵
对称矩阵
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
x H Ax 是实数。 （1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x C n ，
（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S C nn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
定理6.3：
A C nn， 则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
定理7.9： 酉空间V上的线性变换 T 是正规变换的充要条件是： 在V中存在一标准正交基，使得 T 在这个基下的矩阵表示为对角 矩阵。
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
3.3正交变换与酉变换
1、酉变换（或正交变换）将酉空间（线性空 间）的标准正交基变到标准正交基。（空间 中向量的模不变的线性变换） 2、酉变换（或正交变换）在标准正交基下的 矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）
3、பைடு நூலகம்矩阵的逆等于它的复共轭转置
酉矩阵 正交矩阵
AH A AAH E
AT A AAT E
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型） 系数为复数的二次齐次复多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) i , j 1 aij xi x j (规定aij a ji )
n
x ( x1, x2 ,, xn )T C n
A (aij )nn
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax
3.5对称变换与反对称变换 （欧氏空间)
1、如果对内积中的某个元素作线性变换之后 得到内积，与对另外一个元素作同样变换之 后得到的内积相等，那么称这样的变换为对 称变换。
(T ( ), ) ( , T ( ))
2、这种变换在标准正交基下的矩阵表示为对 称矩阵。
AT A
3、反对称变换、反对称矩阵
3.1欧氏空间和酉空间
1、欧氏空间和酉空间引入内积在线性空间基 础上再定义多四个条件 2、为了将向量的模概念引入线性空间中，所 以需要关注向量的模的基本性质： 非负性 齐次性 三角不等式 柯西许瓦兹三角不等式不等式
3.2标准正交基、Schmidt方法
1、正交向量、正交向量组。 2、标准正交向量组。 3、正交向量组是无关向量组。 4、标准正交基：由标准正交向量组线性空间 的一组基。 5、线性空间的任何一组基出发，可以采用 Schmidt方法构造出一个标准正交基。
AAH AH A
U H AU B
BBH U H AU (U H AU )H U H AUU H AHU U H AAHU
H H BH B (U H AU )H U H AU U H AHUU H AU U A AU
引理6.2：A 是正规矩阵，且 A 是三角矩阵，则 A 是对角矩阵。
3.4幂等矩阵、正交投影
1、幂等矩阵：平方等于本身的矩阵。（特征 值非零即1 ） 2、投影：将一个空间中的向量唯一的表示为 其两个互补子空间中的向量之和，这时称其 中属于某个子空间的子向量为原向量沿其补 子空间到本子空间的投影。 3、正交投影：投影到的两个互补子空间是正 交的 4、正交投影在标准正交基下的矩阵表示可以 分解成一个次酉矩阵乘以它的复共轭转置。
推论3.6.1 ：AH Udiag(1, 2 ,, n )U H (1) AH A i i (2) AH A i i , Re(i ) 0
(3) AAH E i i 1 i 1
P122例题6.4：例题6.5：
P149习题3-13：
第5节 对称与 反对称变换
定义5.1：设 T 是欧氏空间 V 的一线性变换，如果对任意的 , V
(T ( ), ) ( , T ( ))
那么称 T 是 V 的一个对称变换。 定理5.2： T 是欧氏空间 V 的一对称变换的充要条件是 T 在 V 的 任意标准正交基下的矩阵表示是对称矩阵。
A C nn， 则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
证明：
i 是A的特征值。
根据Schur引理，存在酉矩阵U，使得：
U H AU B(上三角) 由于A是正规矩阵，所以B也是正规矩阵，又因为B是上三角矩 阵，所以B是对角矩阵（引理6.2）。
(T ( ), ) ( , T ( ))
那么称 T 是 V 的一个反对称变换。 定理5.5： T 是欧氏空间 V 的反对称变换的充要条件是 T 在 V 的 任意标准正交基下的矩阵表示是反对称矩阵。
(u1, u2 ,, un ) U nn
T (u1, u2, ,, un) ( u1, u2, ,, u) n A
T (1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A
T H (1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) B
B AH
epsilon
例题7.1, 7.2, 7.3
伴随变换的性质： 定理7.4：设V是一酉（欧氏）空间，S, T是V上的线性变换，若 存在V上的线性变换，k 为一个复（实）数，那么：
第7节 Hermite变换、 正规变换
定义7.1（Hermite变换）：设V是一酉空间，T是V上的线性变换， 若 (T ( ), ) ( , T ( )), , V 那么称T是V上的一个Hermite变换，或者自伴变换。 对称变换 定义7.2（反Hermite变换）：设V是一酉空间，T是V上的线性变 换，若 (T ( ), ) ( , T ( )), , V 那么称T是V上的一个反Hermite变换。 反对称变换
(1) (S T ) H S H T H
(2) (kT )H kT H
(3) (ST )H T H S H (4) (T H ) H T
定义7.4：设V是一酉空间，T是V上的线性变换，如果 T 满足
T H T TT H
那么称 T 是正规变换。
定理7.5： 酉空间V上的线性变换T是正规变换的充要条件是T在V 的任一标准正交基下的正规矩阵。
2 n
2
等号成立的条件是 A 酉相似于对角矩阵。
例题6.1：
P148 3-3
定义6.2：正规矩阵
A C nn
AAH AH A AAT AT A
则称 A 为正规矩阵。
例：对角矩阵，Hermite矩阵，反Hermite矩阵，对称矩阵，反 对称矩阵等都是正规矩阵。 引理6.1：A 是正规矩阵，那么与A 酉相似的矩阵都是正规矩阵。
若作可逆线性变换x Py
P 0
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax
( Py)H A( Py) y H PH APy y H By
B P H AP
Hermite二次齐式的标准型：定理8.5, 8.6
hermite矩阵B
Hermite二次齐式的标准型：定理8.5, 8.6
a22 a2 n
a11 a12 ann a1n
a22 a2 n
a11 a12 a1n a a 22 2n a nn ann
定理6.3：
AT A
总的来说，如果对内积中的某个元素作线性变换之后得到内积，与 对另外一个元素作同样变换之后得到的内积相等，那么称这样的变 换为对称变换。这种变换在标准正交基下的矩阵表示为对称矩阵。 反对称变换与此类似。
例3.5.1 ~例3.5.2
习题
第6节 正规矩阵、 Schur引理
定义6.1：酉相似（正交相似）
定义7.3（伴随变换）：设V是一酉（欧氏）空间，T是V上的线 性变换，若存在V上的线性变换 T H 使得，
(T ( ), ) ( , T H ( )), , V
那么称T有一个伴随变换 T H 。
酉（欧氏）空间上的每一个线性变换T都有唯一的一个伴随变 换 TH 。
定理7.4 设 1 , 2 , , n 是酉（欧氏）空间V上的一组标准正交基， T是V上的线性变换，其自变换是 TH
(u1, u2 ,, un ) U nn
T (u1, u2, ,, un) ( u1, u2, ,, u) n A
AT A
定理5.3： 欧氏空间对称变换的是可对角化的线性变换。 T 因为实对称矩阵正交相似于对角矩阵，即合同。
定义5.2：设 T 是欧氏空间 V 的一线性变换，如果对任意的 , V
diag (1, 2 ,, n ) 是对角矩阵，所以也是正规矩 阵，从而A是正规矩阵。
i 是A的特征值，对应的特征向量是x， 推论6.1：设 A 是正规矩阵， 那么 i 是 A H的特征值，其对应的特征向量是 x
推论6.2：n 阶正规矩阵 A 有n个线性无关的特征向量。 推论6.3：正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的。
定理7.1 酉空间V上的线性变换T是 Hermite 变换的充要条件是T 在V的任一标准正交基下的矩阵是 Hermite 矩阵
AH A
定理7.3 酉空间V上的线性变换T是反Hermite 变换的充要条件是T 在V的任一标准正交基下的矩阵是反Hermite 矩阵
AH A
定理7.2 酉空间V上的Hermite 变换T的特征值为实数。 酉空间V上的反Hermite 变换T的特征值的实部为零。
3.6 schur引理、正规矩阵
1、正规矩阵比酉矩阵少了一项约束：不要求 等于单位矩阵。
AAH AH A
2、正规矩阵的很多性质与酉相似相关。 酉相似： H U AU U 1 AU B 3、Schur引理：任意的一个n阶复矩阵A酉相 似于一个上（下）三角矩阵。（三角矩阵主 对角线的值是A的特征值） 4、正规矩阵分别为Hermite矩阵，反Hermite 矩阵，酉矩阵时，它的特征值分别为均是实 数，均是纯虚数，模长均为1。