矩阵分析 第三章 第6节
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矩阵分析引论--第三章 矩阵的标准化-多项式矩阵与史密斯标准形
D2(l ) , D1(l )
0
0
0
- l 2
l
c3 -1c1 0 0
0
l(l - 1)
0
1 0
- l 2
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
1 c1c3 0
0
l
l(l - 1) 0
- l 2
0
0
1 c3 -lc1 0
- l 2
0
l(l - 1)
0
0 0
l(l - 2)
1 0
r3 (l-2)r2 0 l
0
l(l - 2)
0 0 l(l - 1)(l - 2)
1 0
c3 -( l -2)c2 0 l
0
0
0 0 l(l - 1)(l - 2)
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-7 设多项式矩阵A(l)的秩 r≥1, 则A(l )
J(l)称为 A(l)的 Smith标准形.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
例2 求多项式矩阵 A(l) 的Smith标准形.
0 l(l - 1) 0
A(l ) l 0
l 1 .
0
0
- l 2
解
l 0
l 1
A(l ) r1r2 0 l (l - 1)
3º 初等矩阵及其性质与数字矩阵类似.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-6 若A(l)可经有限次初等变换化为B(l), 则称A(l)与B(l)等价. 记为A(l) ≌ B(l).
矩阵分析
∞ ∞
m× n
中的矩阵序列，并且 lim A k = A ， lim B k = B ，则
k →∞ k →∞
lim (α A k + β B k ) = α A + β B,
k →∞
∀α , β ∈ C ．
m× n
（2）
设 { A k }k =1 和 {B k }k =1 分 别 为 C
k →∞
∞
∞
∞ ∞
（2）
矩阵级数
∑ A k 为绝对收敛的充分必要条件是正项级数 ∑ A k 收敛.
k =1 k =1
∞
∞
（3）
设
∑A
k =1
k
为C
m× n
中的绝对收敛的级数，
∑B
k =1
k
为C
n×l
中的绝对收敛的级数，并且
∞
∞
∞
∞
A = ∑ A k , B = ∑ B k , 则 ∑ A k · ∑ B k 按任何方式排列得到的级数也是绝对收敛
根 据 这
m1 + m2 + ⋯ + ms = n 个方程，得到一个以 c0 , c1 ,⋯, c n−1 为未知数的线性方程组。事实上，
这即为以 λ1 , λ 2 , ⋯ , λ s 为插值节点的 Hermite 插值，因此方程组有唯一解。进一步，如果得 到 A 的最小多项式 m(λ ) ，则类似有 f ( z ) = m( z ) g ( z ) + r ( z ) ，而且，此时的余式 r ( z ) 的 次数可以更低，使得计算更为简单。 对于函数满足的恒等式， 只要能保证等式两边的矩阵函数同时为收敛的矩阵幂级数， 则 可以得到相应的矩阵函数恒等式，例如可以证明 （Ⅰ） ∀A ∈ C
m× n
中的矩阵序列，并且 lim A k = A ， lim B k = B ，则
k →∞ k →∞
lim (α A k + β B k ) = α A + β B,
k →∞
∀α , β ∈ C ．
m× n
（2）
设 { A k }k =1 和 {B k }k =1 分 别 为 C
k →∞
∞
∞
∞ ∞
（2）
矩阵级数
∑ A k 为绝对收敛的充分必要条件是正项级数 ∑ A k 收敛.
k =1 k =1
∞
∞
（3）
设
∑A
k =1
k
为C
m× n
中的绝对收敛的级数，
∑B
k =1
k
为C
n×l
中的绝对收敛的级数，并且
∞
∞
∞
∞
A = ∑ A k , B = ∑ B k , 则 ∑ A k · ∑ B k 按任何方式排列得到的级数也是绝对收敛
根 据 这
m1 + m2 + ⋯ + ms = n 个方程，得到一个以 c0 , c1 ,⋯, c n−1 为未知数的线性方程组。事实上，
这即为以 λ1 , λ 2 , ⋯ , λ s 为插值节点的 Hermite 插值，因此方程组有唯一解。进一步，如果得 到 A 的最小多项式 m(λ ) ，则类似有 f ( z ) = m( z ) g ( z ) + r ( z ) ，而且，此时的余式 r ( z ) 的 次数可以更低，使得计算更为简单。 对于函数满足的恒等式， 只要能保证等式两边的矩阵函数同时为收敛的矩阵幂级数， 则 可以得到相应的矩阵函数恒等式，例如可以证明 （Ⅰ） ∀A ∈ C
矩阵分析第三章
例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||
数值分析(07)矩阵的正交分解
令单位阵I (1) R( k 1)( k 1)，I ( 2) R( n k 1)( n k 1) , ( 对x ( 2)构造一个( n k 1)阶的初等阵H k2) , 使
H
(2) k
x
(2)
e
(k ) k 1
( 其中e1k ) (1, 0, , 0)T R n k 1 , 用前面介绍的方法 (2) 构造H k 。
U x y x i ei ( x1 , , xi i , , xn )T ,
有Hx y i ei
1 sign( x i ) 1
xi 0 xi 0
构造初等反射阵 UU T 1 T H I 2WW I 2 I UU T 2 U
解 : 3 sign( x3 ) x
2
4 0 4 1 3,因x3 2 0,
故取K 3 3 于是y 3e3 Ke3 (0, 0, 3, 0)T ,
U x y (2, 0, 5,1) , 3 ( 3 x3 ) 3(3 2) 15
数值分析
数值分析
function [H,y]=holder1(x) n=length(x); if x(1)<0 M=max(abs(x)); s=-s; if M==0, end; disp('M=0'); x(1)=s+x(1); return; p=s*x(1); else u=x; x=x/M; H=eye(n,n)-p\u*u'; end; y=zeros(n,1); s=norm(x); y(1)=-M*s;
1 T 1 2 2 其中 U U ( x1 ... ( xi i )2 xn ) 2 2 1 (2 xi i 2 i 2 ) i ( xi i ) 2
H
(2) k
x
(2)
e
(k ) k 1
( 其中e1k ) (1, 0, , 0)T R n k 1 , 用前面介绍的方法 (2) 构造H k 。
U x y x i ei ( x1 , , xi i , , xn )T ,
有Hx y i ei
1 sign( x i ) 1
xi 0 xi 0
构造初等反射阵 UU T 1 T H I 2WW I 2 I UU T 2 U
解 : 3 sign( x3 ) x
2
4 0 4 1 3,因x3 2 0,
故取K 3 3 于是y 3e3 Ke3 (0, 0, 3, 0)T ,
U x y (2, 0, 5,1) , 3 ( 3 x3 ) 3(3 2) 15
数值分析
数值分析
function [H,y]=holder1(x) n=length(x); if x(1)<0 M=max(abs(x)); s=-s; if M==0, end; disp('M=0'); x(1)=s+x(1); return; p=s*x(1); else u=x; x=x/M; H=eye(n,n)-p\u*u'; end; y=zeros(n,1); s=norm(x); y(1)=-M*s;
1 T 1 2 2 其中 U U ( x1 ... ( xi i )2 xn ) 2 2 1 (2 xi i 2 i 2 ) i ( xi i ) 2
《矩阵分析》课程教案
难点：Hermite矩阵、Hermite二次齐次式，正定二次型、正定Hermite矩阵，Rayleigh商
讨 论
练 习
作 业
作业：第3章练习题中任选5题
教学要求
熟练掌握线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准型，内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等基本概念和基本方法。
教学方法
课堂讲述+实验演示+实际动手操作+作业+研究报告
教学手段
多媒体课件+案例+理论推导+编程实现
考核方式
结合课堂所学写一篇论文/开卷考试二者选一
教学参考资料
[1]《矩阵分析》，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2010.6，第3版
[2]《Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition》，Lars Eldén，The SIAM series on Fundamentals of Algorithms，2007.2
本课程针对计算机应用技术专业研究生的知识结构背景，在其本科阶段所学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法，全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后的进一步学习和研究打下扎实的基础。
山西财经大学研究生课程教案
课程名称
矩阵分析
课程编码
讨 论
练 习
作 业
作业：第3章练习题中任选5题
教学要求
熟练掌握线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准型，内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等基本概念和基本方法。
教学方法
课堂讲述+实验演示+实际动手操作+作业+研究报告
教学手段
多媒体课件+案例+理论推导+编程实现
考核方式
结合课堂所学写一篇论文/开卷考试二者选一
教学参考资料
[1]《矩阵分析》，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2010.6，第3版
[2]《Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition》，Lars Eldén，The SIAM series on Fundamentals of Algorithms，2007.2
本课程针对计算机应用技术专业研究生的知识结构背景，在其本科阶段所学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法，全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后的进一步学习和研究打下扎实的基础。
山西财经大学研究生课程教案
课程名称
矩阵分析
课程编码
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵1
(α1 ,α 2 , , α n ) L
设：1α1 +k2α 2 +L +knα n＝0 k
(α j , k1α1 +k2α 2 +L +knα n )＝(α j , 0) ＝0
k j (α j , α j )＝0
k j＝0, 即k j＝0, j = 1, 2,L , n) (
正交向量组线性无关 那么线性无关向量组是否正交呢？ 那么线性无关向量组是否正交呢？
定义4.3： 子空间， 定义 ： 设 S , T 是C n 的（或 R n ）子空间，若对任意的 x ∈ S 和 y ∈ T 都有
( x, y ) = 0
是正交的， 则称 S 和 T 是正交的，记为 S ⊥ T
定理4.6： 两个正交子空间， 定理 ：设 S , T 是 C n 的（或 R n ）两个正交子空间，那么 （1）S I T = {0} ） （2）dim( S + T ) = dim( S ) + dim(T ) ）
α1 , α 2 ,L , α n
′ ′ α1′, α 2 ,L , α n
度量矩阵 度量矩阵
A B
′ ′ (α1′, α 2 ,L , α n ) = (α1 , α 2 ,L , α n ) P
B = PT AP or
BT = P H AT P
定义1.5: 定义
设V是酉（欧氏）空间，定义 ∀α ∈ V 长度为
(1), A−1 = AH
(2), det A = 1
(3), A ∈ U
T n×n
(1), A = A
−1
T
(2), det A = ±1
(4), if B ∈ U n×n , then AB, BA ∈U
线性代数课件第三章
的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形矩阵.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
Kronecker乘积清华大学《矩阵分析》讲义张贤达
么 A ⊗ B 的 mp 个特征值为 λi µ j (i = 1,2L, m; j = 1,2.L, p).
证 由第三章§2 知，A 与 B 一定与 Jordan 标准形相似，即存在可逆矩阵 P 与 Q，使得
λ
∗
P −1 AP
=
J1
=
O
,
0
λm
Q −1BQ
=
J2
=
µ1
O
∗
0
µ p
即有
例 1—1
设
A
=
a c
b d
,
B
=
xy,
那么
A
⊗
B
=
aB cB
ax
bB dB
=
ay cx
cy
bx by dx
dy 4×2
xa
B
⊗
A
=
xA yA
=
xc
ya
yc
xb ac
xd
=
cx
yb ay
yd cy
bx dx by
dy 4×2
由这个例子可以看出， A ⊗ B 与 B ⊗ A 一般不是同一矩阵，即 Kronecker 积不满足交换律，但它们的阶
p
∑ = aij (Ai ⊗ B j )(xr ⊗ ys ) i, j=0
p
∑ = aij (Ai xr ⊗ B j ys ) i, j=0
7
p
∑ =
aij λir
µ
j s
xr
⊗
ys
i, j=0
= f (λr , µs )xr ⊗ ys
证毕
特别地，若取 f (x, y) = xy ，则有
华北电力大学研究生课程-电力网络分析
第三章 多口网络
华北电力大学 电力市场研究所 王雁凌 Yanling.wang@
内容： 内容：
第一节 非含源多口网络的常见矩阵表示法 第二节 含源多口网络表示方法 第三节 多口网络的等效电路 Matrix） 第六节 不定导纳矩阵（Indefinite Admittance Matrix） 不定导纳矩阵（
∑y
j =1
n
y1 + y 2 + L L + y n
j
（2）目的：消去网络中的无可达结点 （3）应用 p116 例3－3－1（自己看）
不定导纳矩阵（ 第六节 不定导纳矩阵（Indefinite Admittance Matrix） ）
一．不定导纳矩阵及其性质 1. 用途 用于不同网络的联接和同一网络的变换。 Yi U n = J Yi(n×n) 2. 定义
'
U1 U2 I = T− I 1 2 U1 I1 I = HU 2 2
U2 ' U 1 − I = T I 2 1
U I1 ' 1 U = H I 2 2
二．非含源多口网络常见矩阵表示法
1、双口网络和多口网络的Y Z阵区别仅在于端口数目的不同 p98式3－1－1 p100式3－1－2 2、双口网络中参数的下标：1——输入端口；2——输出端口 n端口网络中： 1——一类端口；2——二类端口 一类端口：电流作为激励的端口 二类端口：电压作为激励的端口 混合参数1阵：p103 （Hybrid1 Matrix） 混合参数2阵：p103 （Hybrid2 Matrix）
4. 开路抑制（端子的删减）（ 开路抑制（端子的删减）（ ）（Suppression） ） （1）可及结点、半可及结点及不可及结点 p137 （2）开路抑制 p137
华北电力大学 电力市场研究所 王雁凌 Yanling.wang@
内容： 内容：
第一节 非含源多口网络的常见矩阵表示法 第二节 含源多口网络表示方法 第三节 多口网络的等效电路 Matrix） 第六节 不定导纳矩阵（Indefinite Admittance Matrix） 不定导纳矩阵（
∑y
j =1
n
y1 + y 2 + L L + y n
j
（2）目的：消去网络中的无可达结点 （3）应用 p116 例3－3－1（自己看）
不定导纳矩阵（ 第六节 不定导纳矩阵（Indefinite Admittance Matrix） ）
一．不定导纳矩阵及其性质 1. 用途 用于不同网络的联接和同一网络的变换。 Yi U n = J Yi(n×n) 2. 定义
'
U1 U2 I = T− I 1 2 U1 I1 I = HU 2 2
U2 ' U 1 − I = T I 2 1
U I1 ' 1 U = H I 2 2
二．非含源多口网络常见矩阵表示法
1、双口网络和多口网络的Y Z阵区别仅在于端口数目的不同 p98式3－1－1 p100式3－1－2 2、双口网络中参数的下标：1——输入端口；2——输出端口 n端口网络中： 1——一类端口；2——二类端口 一类端口：电流作为激励的端口 二类端口：电压作为激励的端口 混合参数1阵：p103 （Hybrid1 Matrix） 混合参数2阵：p103 （Hybrid2 Matrix）
4. 开路抑制（端子的删减）（ 开路抑制（端子的删减）（ ）（Suppression） ） （1）可及结点、半可及结点及不可及结点 p137 （2）开路抑制 p137
应用时间序列分析第三章课后答案
应用时间序列分析第三章课后答案第三章应用时间序列分析课后答案第3-5节，最近考试题目：第一节序列的定义与平稳性第二节相关系数矩阵与平稳过程第三节非平稳序列第四节非平稳序列的特征值与协方差第五节离散时间序列分析是对连续时间序列进行研究和分析的一种重要方法。
本章主要内容有：时间序列的定义、平稳性、相关性、时间序列的构成及其表示方式、离散时间序列的概念、离散时间序列的时间趋势、离散时间序列的一般模型、随机过程及其应用、连续时间序列分析等。
第四节非平稳序列的特征值与协方差特征值又称为特征向量或自协因子，它反映了该特征值与其他各特征值之间的关系。
如果已知某个时间序列的全部平稳序列，那么由这些平稳序列的特征值就可以计算出每个观测值的特征值；若只知道观测值，而不知道这些观测值与哪些特征值相关，则需利用相关系数矩阵计算各观测值的协方差阵。
本节还将介绍可变参数模型，即通过改变或增加参数的办法来得到另外一组新的平稳或非平稳序列。
第五节离散时间序列分析是对连续时间序列进行研究和分析的一种重要方法。
本章首先介绍了一些基本概念，如时间序列的平稳性、特征值、协方差、自相关函数、脉冲响应等；然后介绍了时间序列的一阶、二阶和高阶矩；接着介绍了一些常见的平稳序列；最后给出了两类时间序列分解方法。
第六节连续时间序列分析本章内容较多，在此仅举几例，望同学们能够理解并掌握。
如当时间序列在均值附近单调递减时，可假设 x 和 y 的斜率相同，记为x→/ y，再用相关系数矩阵公式计算相关系数，这样便简化了运算。
这也正是统计中时间序列处理的实际情况。
有时需要作几次回归拟合才能取得满意效果，这就是所谓的多元回归分析。
时间序列中的趋势项具有比较稳定的形态。
矩阵分析_第三章 北京理工大学
(4) ( , ki i ) ki ( , i )
i 1 i 1
t
酉空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ), (k , ) k ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( ki i , ) ki ( i , )
b
2
a
f ( x) d ( x)
b
2
a
g ( x) d ( x)
定义：设 V 为欧氏空间，两个非零向量 , 的夹角定义为
, : arccos
于是有
( , )
2
0 ,
定理：
,
2
( , ) 0
因此我们引入下面的概念; 定义：在酉空间 V 中，如果 称 与 正交。
(1) ( , ) ( , ) (2) (k , ) k ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0
k 这里 , , 是 V 中任意向量， 为任意复数
，只有当 0 时 ( , ) 0 ，我们称带有 这样内积的 n 维线性空间 V 为酉空间。 欧氏空间与酉空间通称为内积空间。
1 2i 3i 6 1 2i (2) 9 1 i 3i 1 i 7
1 2i 3i 1 2i 3i 6 6 1 2i 1 2i 9 1 i 9 1 i 3i 1 i 7 3i 1 i 7
n
2
维线性空间
n n
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
矩阵分析 第三章 第6节
第5节对称与反对称变换那么称是V 的一个对称变换。
定义5.1：设是欧氏空间V 的一线性变换，如果对任意的T ,Vαβ∈((),)(,())T T αβαβ=T 定理5.2：是欧氏空间V 的一对称变换的充要条件是在V 的任意标准正交基下的矩阵表示是对称矩阵。
T T 1212(,,,,)(,,,,)n n T u u u u u u A= T A A=12(,,,)n nn u u u U ⨯∈ 定理5.3：欧氏空间对称变换的是可对角化的线性变换。
T 因为实对称矩阵正交相似于对角矩阵，即合同。
那么称是V 的一个反对称变换。
定义5.2：设是欧氏空间V 的一线性变换，如果对任意的T ,Vαβ∈((),)(,())T T αβαβ=-T 定理5.5：是欧氏空间V 的反对称变换的充要条件是在V 的任意标准正交基下的矩阵表示是反对称矩阵。
T T 1212(,,,,)(,,,,)n n T u u u u u u A= TA A =-12(,,,)n nn u u u U ⨯∈第6节正规矩阵、Schur引理定义6.1：酉相似（正交相似）,()()n n n n n n n n A B C or R U U or E ⨯⨯⨯⨯⎫∈⎬∃∈⎭1H U AU U AU B -==1()T U AU U AU B -==酉相似（正交相似）定理6.1 （Schur 引理）：任意的一个n 阶复矩阵A 酉相似于一个上（下）三角矩阵。
证明：（1）n=1时显然成立，假设你n=k-1时结论成立，即k-1阶矩阵A 酉相似于一个上三角矩阵。
（2）n=k 时：111A αλα=11A αλ是矩阵的对应于特征值的单位特征向量（2）n=k 时：111A αλα=1α12(,,,)k ααα 扩充成K 阶酉矩阵1U =12(,,,)k A ααα 11210(,,,)0k A λααα**⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1AU =k-1阶矩阵11H W AW R =111100H U AU A λ**⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭上三角矩阵21let U W ⎛⎫== ⎪⎝⎭12112100H H U U AU U R λ⊗⊗⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭定理6.1 （Schur 引理）：任意的一个n 阶复矩阵A 酉相似于一个上（下）三角矩阵。
第三章-图形变换的矩阵方法
变换后这点的坐标值，这项技术的术语名称是“坐标变换”。如
果图形上每一个点都进行同一变换，即可得到该图形的变换。对于
线框图形的变换，通常是变换每个顶点的坐标，连接新的顶点序列
即可产生变换后的图形，对于曲线、曲面等图形变换，一般通过对
其参数方程做变换来实现对整个图形的变换。
➢ 有两种不同的变换方法：一种是图形不动，坐标系变动，变换前
量的基本定理，对于这个平面内的任意向量，都可以用这组基线
性表示，即 = 1 + 2 。这组不共线的向量 , 就构成平面
的一个坐标系，1 , 2 为向量在这组基下的坐标，即 = (1 , 2 )
➢ 若向量 =(1,0), =(0,1)， , 是平面直角坐标系中x轴和
和变换后图形是针对不同坐标系而言，变动后该图形在新坐标系
里具有新的坐标值，称之为几何变换；另一种是坐标系不动，图
形改变，变换前和变换后的坐标值是针对同一坐标系而言，称之
为坐标变换。这两种变换在某种意义上是等价的，将图形变换一
个量等价于将坐标系变换一个相反的量，实际应用中，后一种图
形变换更有实际意义。
②平行于y轴的直线变换后
仍平行于y轴；
③平行于x轴的直线变换后，
x=0的点不动(不动点)，x≠0的点
沿y方向平移了bx，形成与x轴夹
角为θ的直线，且 tgθ＝bx / x＝b。
D′
A′
D
C
A
B
C′
x
B′
bx
3.4.1
二维图形变换矩阵
我们分析了“变换”与“乘法”是等价的。利用向量、矩阵做图形变换的
3.2 坐标系矩阵
3.2.1 坐标系矩阵
✓ 请说说你对坐标系的认识，你知道的坐标系有哪些？
果图形上每一个点都进行同一变换，即可得到该图形的变换。对于
线框图形的变换，通常是变换每个顶点的坐标，连接新的顶点序列
即可产生变换后的图形，对于曲线、曲面等图形变换，一般通过对
其参数方程做变换来实现对整个图形的变换。
➢ 有两种不同的变换方法：一种是图形不动，坐标系变动，变换前
量的基本定理，对于这个平面内的任意向量，都可以用这组基线
性表示，即 = 1 + 2 。这组不共线的向量 , 就构成平面
的一个坐标系，1 , 2 为向量在这组基下的坐标，即 = (1 , 2 )
➢ 若向量 =(1,0), =(0,1)， , 是平面直角坐标系中x轴和
和变换后图形是针对不同坐标系而言，变动后该图形在新坐标系
里具有新的坐标值，称之为几何变换；另一种是坐标系不动，图
形改变，变换前和变换后的坐标值是针对同一坐标系而言，称之
为坐标变换。这两种变换在某种意义上是等价的，将图形变换一
个量等价于将坐标系变换一个相反的量，实际应用中，后一种图
形变换更有实际意义。
②平行于y轴的直线变换后
仍平行于y轴；
③平行于x轴的直线变换后，
x=0的点不动(不动点)，x≠0的点
沿y方向平移了bx，形成与x轴夹
角为θ的直线，且 tgθ＝bx / x＝b。
D′
A′
D
C
A
B
C′
x
B′
bx
3.4.1
二维图形变换矩阵
我们分析了“变换”与“乘法”是等价的。利用向量、矩阵做图形变换的
3.2 坐标系矩阵
3.2.1 坐标系矩阵
✓ 请说说你对坐标系的认识，你知道的坐标系有哪些？
第三章 投入产出
不同符号的含义解释
xij
Xi
yi
Xj
yik
dj vj
Ei
tj
sj
yi
Nj
Nj dj vj tj sj
二 价值型投入产出表的结构分析 （一） 四象限划分
1第一象限（中间产品象限） 行方向：某一部门产品提供给其他部门作中间产品 使用的数量。 列方向：某一部门生产过程中消耗其他部门产品的 数量。
b2k ak 2
3 k 1
b33 a33 b3k ak 3
2
k 1
2 设国民经济分为工业农业和其它三各部门，下 面是这三个部门的直接消耗系数表
n最终使用结构系数投资结构系数消费的结构系数净出口结构系数ikikikieieie完全生产税净额系数行向量直接营业盈余系数行向量中间投入中间使用总消费资本形成总额合计工业农业其它3249469046601500304579012101914465455600174050578451914414121941434461229747856487558503873415666500039004660700086504690115069003249ij10331444121015402754790378639683045346568451500ij产品平衡方程行模型1n个部门的产品平衡方程2一般表达式12112221引入的方程表达用矩阵表达ijijijijij三价值平衡方程列模型1n个部门的价值平衡方程2一般表达式21112212引入的价值平衡方程ij演示展开式4用矩阵表示中间投入系数的对角矩阵增加值系数矩阵的对角阵第三节价值型投入产出模型实例新疆六个部门直接消耗系数表1997货运邮电业商业餐饮业农业工业建筑业货运邮商业餐服务业电业01494017320004500133000610067201663037080001200332002400039400000049930000050106600590700245200000303775001495004840024100482000020206500213010810058402338000820229300211002440062901160新疆六个部门直接消耗系数表2002货运邮电业商业餐饮业农业工业建筑业货运邮商业餐服务业电业02514009080000040038500271007720113101956000050072400333005350003603816000000017590042300550000430311100108005550047300867001150079000067007430037903343000050171400088005180055001119011310195600005007240033300535货运邮电业商业餐饮业农业1997农业2002014940173200045001330006100672新疆六部门完全消耗系数表1997026200435100101004060029401256035470807600089
矩阵分析 第三章内积空间、正规矩阵1-4节
四、长度及其性质
记为 . 1、定义： 非负实数 ( , )称为向量的长度， 2、 单位向量： 1 , 则称 为单位向量. 设 1 0 注 :当 0时， 为单位向量
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3、 性质： (1) 非负性： 0， 当且仅当 0 时 0;
( 2) 齐次性： ; ( 3) 三角不等式： .
满足以下条件:
i 1
i 1
(1) (， ) ( ， ) ； (2) (k， ) k (， )； (3) ( ， ) (， ) ( ， )； (4) (， ) 0， 当且仅当 0时等号成立. 则称V为C上的酉空间， (， )称为内积. 而
ii
4、 内积表示式： 设内积空间V中基 1， 2， ， n的度量矩阵为G 且， 在基下的坐标为 ， ， (， ) X T GY . X Y 则
证： (1， 2， ， n ) X， (1， 2， ， n )Y，
G (1， 2， ， n )T (1， 2， ， n ). (， ) T [(1， 2， ， n ) X ]T [(1， 2， ， n )Y ] X T [( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )]Y X T GY . 注： V为酉空间， (， ) Y H GX 若 则
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5、 不同基下度量矩阵的关 设 1， 2， ， n； 1， 2， ， n为内 系： 积空间V中的基且度量矩阵为 ， ， A B 过渡矩阵为C， B C T AC 则
证： A ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n ). B ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )，
大学数学高数微积分第三章线性方程组第六节课堂讲解
a21x1
a22x2 a2nxn
b2
,
(9)
as1x1 as2x2 asnxn bs .
若令 b1 = b2 = … = bs =0，就得到齐次方程组 (1).
方程组 (1) 称为方程组 (9) 的导出组.
2. 非齐次线性方程组的解 与其导出组的解之间的关系
方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的解之间有密 切的关系：
解时，(10) 就给出 (9) 的全部解.
证明 显然
= 0 + ( - 0 )， 由上面的 1)， - 0 是导出组 (1) 的一个解，令
- 0 = ，
就得到定理的结论.
既然 (9) 的任一个解都能表成
(10) 的形式，由 2) 在 取遍 (1) 的全部解的时候，
= 0 +
就取遍 (9) 的全部解.
是方程组 (1) 的两个解，则有
n
aijkj 0 (i1,2,,s),
j n1
aijlj 0 (i1,2,,s),
j1
把两个解的和
( k1 + l1 , k2 + l2 , … , kn + ln )
(2)
代入方程组，得
n
n
n
aij (k j l j ) aijkj aijlj
j 1
j1
1) 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组 (1) 的解.
证明 设 ( k1 , k2 , … , kn ) 与 ( l1 , l2 , … , ln )
是方程组 (9) 的两个解，则有
n
aijkj bi
j1 n
aijlj bi
j1
(i1,2,,s), (i1,2,,s),
化学软件基础-第3章 第6节-Matlab应用实例-化学计量学
预测：
X BTQ T
2019/10/29
化学计量学方法简介
23/40
④ 多元曲线分辨方法
多元曲线分辨简介
多元曲线分辨 （Multivariate Curve Resolution, MCR） 是这样一组技术,它能够从未知混合物的 各种演进过程的数据中提取出纯物质的各种响应 曲线（如,光谱曲线，pH曲线，时间曲线，洗脱 曲线，浓度曲线，等等），而不需要预先知道未 知样本的种类及组成信息。
Y n m X B n k k m
2019/10/29
化学计量学方法简介
22/40
PLS的基本原理
主成分分解
测量矩阵 Y T V T E Y 浓度矩阵 X R Q T E X
建立R和T之间的关系
ri b iti
使T使既可以描述Y矩阵，也可以描述X矩阵。
实现方法: 在迭代过程中，以 R代替T计算V T，以 T代替 R 计算 QT 。
Y XB
如：m个组分的浓度与k个波长的吸光度之间的关系！
2019/10/29
化学计量学方法简介
19/40
多元回归的应用
干扰组分存在时某组分的含量测定
0.010
0.008
吸 0.006 光 度 0.004
Co Ni
步骤
Cu
配制已知浓度(y)的标准溶液 （Co的浓度已知，Ni和Cu为干扰）；
18/40
多元校正（多元回归方法）
多元回归模型（II）
y11
Y
y21
y12 y22
y1m
y
2
m
yn1
矩阵分析(1)
f ( ) 0 AX 0 X
由此可得定理：
0 是 f 的特征值 0 是 A 的特征值 是 f 的属于0 的特征向量 X是 A 的 属于0 的特征向量
因此，只要将 A 的全部特征值求出来，它们 就是线性变换 f 的全部特征值；只要将矩阵 A的 属于0 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐 标的向量就是 f 的属于 0 的全部特征向量。
例 1 设 V 是数域 K上的3维线性空间，f 是 V 上 的一个线性变换，f 在V 的一个基 1,2 ,3 下的
矩阵是
2 2 2
A 2
1
4
2 4 1
求 f 的全部特征值与特征向量。
解： A 的特征多项式为
2 2 2 I A 2 1 4
y2
a21
a22
...
a2
n
x2
... ... ... ... ... ...
ym
am1
am2
...
amn
xn
线性映射与矩阵之间的一一对应关系
线性映射 f 在给定基下的矩阵表示 A 是唯一的，
反之，给定一个 m n 矩阵A (aij )mn ，那么存
下的坐标。
（3）求向量 , A( ) 在基 1, 2 , 3下的坐标。
对于有限维的线性空间 V ，线性变换 A 在不同 基下的矩阵表示有什么关系？对于线性空间 V 已 知两组基 {1,2 ,L ,n},{1, 2,L , n}，而且
[1, 2,L , n ] [1,2,L ,n ]P
北理版矩阵分析课件
1 0
1 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
是其两组基，求向量 坐标。
A
1 3
2 4 在这两组基下的
解：设向量 A 在第一组基下的坐标为 ( x1, x2 , x3, x4 )T
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1
1 1 1 1 x3 0 1 x4 1 0
解得
x1
7, 3
求 V1 V2 、V1 V2 的基与维数。
第一章 第一节 函数
解： 设 V1 V2 ，则 V1， V2
所以可令 k11 k22 = l11 l22
故
k11 k22 l11 l22
这是关于 k1, k2 , l1, l2 的齐次方程组，即
k1
(1 , 2
,
1,
2
)
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
组互不相同的实数。
例 2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
是一组线性无关的函数，其中 1,2 , ,n为一
组互不相同的实数。
例 3 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
1,cos x,cos2x,,cosnx
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对称矩阵，二次型
AH A
AT A
Hemite矩阵
对称矩阵
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
x H Ax 是实数。 （1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x C n ，
（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S C nn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
定理6.3：
A C nn， 则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
定理7.9： 酉空间V上的线性变换 T 是正规变换的充要条件是： 在V中存在一标准正交基，使得 T 在这个基下的矩阵表示为对角 矩阵。
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
3.3正交变换与酉变换
1、酉变换（或正交变换）将酉空间（线性空 间）的标准正交基变到标准正交基。（空间 中向量的模不变的线性变换） 2、酉变换（或正交变换）在标准正交基下的 矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）
3、பைடு நூலகம்矩阵的逆等于它的复共轭转置
酉矩阵 正交矩阵
AH A AAH E
AT A AAT E
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型） 系数为复数的二次齐次复多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) i , j 1 aij xi x j (规定aij a ji )
n
x ( x1, x2 ,, xn )T C n
A (aij )nn
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax
3.5对称变换与反对称变换 （欧氏空间)
1、如果对内积中的某个元素作线性变换之后 得到内积，与对另外一个元素作同样变换之 后得到的内积相等，那么称这样的变换为对 称变换。
(T ( ), ) ( , T ( ))
2、这种变换在标准正交基下的矩阵表示为对 称矩阵。
AT A
3、反对称变换、反对称矩阵
3.1欧氏空间和酉空间
1、欧氏空间和酉空间引入内积在线性空间基 础上再定义多四个条件 2、为了将向量的模概念引入线性空间中，所 以需要关注向量的模的基本性质： 非负性 齐次性 三角不等式 柯西许瓦兹三角不等式不等式
3.2标准正交基、Schmidt方法
1、正交向量、正交向量组。 2、标准正交向量组。 3、正交向量组是无关向量组。 4、标准正交基：由标准正交向量组线性空间 的一组基。 5、线性空间的任何一组基出发，可以采用 Schmidt方法构造出一个标准正交基。
AAH AH A
U H AU B
BBH U H AU (U H AU )H U H AUU H AHU U H AAHU
H H BH B (U H AU )H U H AU U H AHUU H AU U A AU
引理6.2：A 是正规矩阵，且 A 是三角矩阵，则 A 是对角矩阵。
3.4幂等矩阵、正交投影
1、幂等矩阵：平方等于本身的矩阵。（特征 值非零即1 ） 2、投影：将一个空间中的向量唯一的表示为 其两个互补子空间中的向量之和，这时称其 中属于某个子空间的子向量为原向量沿其补 子空间到本子空间的投影。 3、正交投影：投影到的两个互补子空间是正 交的 4、正交投影在标准正交基下的矩阵表示可以 分解成一个次酉矩阵乘以它的复共轭转置。
推论3.6.1 ：AH Udiag(1, 2 ,, n )U H (1) AH A i i (2) AH A i i , Re(i ) 0
(3) AAH E i i 1 i 1
P122例题6.4：例题6.5：
P149习题3-13：
第5节 对称与 反对称变换
定义5.1：设 T 是欧氏空间 V 的一线性变换，如果对任意的 , V
(T ( ), ) ( , T ( ))
那么称 T 是 V 的一个对称变换。 定理5.2： T 是欧氏空间 V 的一对称变换的充要条件是 T 在 V 的 任意标准正交基下的矩阵表示是对称矩阵。
A C nn， 则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
证明：
i 是A的特征值。
根据Schur引理，存在酉矩阵U，使得：
U H AU B(上三角) 由于A是正规矩阵，所以B也是正规矩阵，又因为B是上三角矩 阵，所以B是对角矩阵（引理6.2）。
(T ( ), ) ( , T ( ))
那么称 T 是 V 的一个反对称变换。 定理5.5： T 是欧氏空间 V 的反对称变换的充要条件是 T 在 V 的 任意标准正交基下的矩阵表示是反对称矩阵。
(u1, u2 ,, un ) U nn
T (u1, u2, ,, un) ( u1, u2, ,, u) n A
T (1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A
T H (1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) B
B AH
epsilon
例题7.1, 7.2, 7.3
伴随变换的性质： 定理7.4：设V是一酉（欧氏）空间，S, T是V上的线性变换，若 存在V上的线性变换，k 为一个复（实）数，那么：
第7节 Hermite变换、 正规变换
定义7.1（Hermite变换）：设V是一酉空间，T是V上的线性变换， 若 (T ( ), ) ( , T ( )), , V 那么称T是V上的一个Hermite变换，或者自伴变换。 对称变换 定义7.2（反Hermite变换）：设V是一酉空间，T是V上的线性变 换，若 (T ( ), ) ( , T ( )), , V 那么称T是V上的一个反Hermite变换。 反对称变换
(1) (S T ) H S H T H
(2) (kT )H kT H
(3) (ST )H T H S H (4) (T H ) H T
定义7.4：设V是一酉空间，T是V上的线性变换，如果 T 满足
T H T TT H
那么称 T 是正规变换。
定理7.5： 酉空间V上的线性变换T是正规变换的充要条件是T在V 的任一标准正交基下的正规矩阵。
2 n
2
等号成立的条件是 A 酉相似于对角矩阵。
例题6.1：
P148 3-3
定义6.2：正规矩阵
A C nn
AAH AH A AAT AT A
则称 A 为正规矩阵。
例：对角矩阵，Hermite矩阵，反Hermite矩阵，对称矩阵，反 对称矩阵等都是正规矩阵。 引理6.1：A 是正规矩阵，那么与A 酉相似的矩阵都是正规矩阵。
若作可逆线性变换x Py
P 0
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax
( Py)H A( Py) y H PH APy y H By
B P H AP
Hermite二次齐式的标准型：定理8.5, 8.6
hermite矩阵B
Hermite二次齐式的标准型：定理8.5, 8.6
a22 a2 n
a11 a12 ann a1n
a22 a2 n
a11 a12 a1n a a 22 2n a nn ann
定理6.3：
AT A
总的来说，如果对内积中的某个元素作线性变换之后得到内积，与 对另外一个元素作同样变换之后得到的内积相等，那么称这样的变 换为对称变换。这种变换在标准正交基下的矩阵表示为对称矩阵。 反对称变换与此类似。
例3.5.1 ~例3.5.2
习题
第6节 正规矩阵、 Schur引理
定义6.1：酉相似（正交相似）
定义7.3（伴随变换）：设V是一酉（欧氏）空间，T是V上的线 性变换，若存在V上的线性变换 T H 使得，
(T ( ), ) ( , T H ( )), , V
那么称T有一个伴随变换 T H 。
酉（欧氏）空间上的每一个线性变换T都有唯一的一个伴随变 换 TH 。
定理7.4 设 1 , 2 , , n 是酉（欧氏）空间V上的一组标准正交基， T是V上的线性变换，其自变换是 TH
(u1, u2 ,, un ) U nn
T (u1, u2, ,, un) ( u1, u2, ,, u) n A
AT A
定理5.3： 欧氏空间对称变换的是可对角化的线性变换。 T 因为实对称矩阵正交相似于对角矩阵，即合同。
定义5.2：设 T 是欧氏空间 V 的一线性变换，如果对任意的 , V
diag (1, 2 ,, n ) 是对角矩阵，所以也是正规矩 阵，从而A是正规矩阵。
i 是A的特征值，对应的特征向量是x， 推论6.1：设 A 是正规矩阵， 那么 i 是 A H的特征值，其对应的特征向量是 x
推论6.2：n 阶正规矩阵 A 有n个线性无关的特征向量。 推论6.3：正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的。
定理7.1 酉空间V上的线性变换T是 Hermite 变换的充要条件是T 在V的任一标准正交基下的矩阵是 Hermite 矩阵
AH A
定理7.3 酉空间V上的线性变换T是反Hermite 变换的充要条件是T 在V的任一标准正交基下的矩阵是反Hermite 矩阵
AH A
定理7.2 酉空间V上的Hermite 变换T的特征值为实数。 酉空间V上的反Hermite 变换T的特征值的实部为零。
3.6 schur引理、正规矩阵
1、正规矩阵比酉矩阵少了一项约束：不要求 等于单位矩阵。
AAH AH A
2、正规矩阵的很多性质与酉相似相关。 酉相似： H U AU U 1 AU B 3、Schur引理：任意的一个n阶复矩阵A酉相 似于一个上（下）三角矩阵。（三角矩阵主 对角线的值是A的特征值） 4、正规矩阵分别为Hermite矩阵，反Hermite 矩阵，酉矩阵时，它的特征值分别为均是实 数，均是纯虚数，模长均为1。
AH A
AT A
Hemite矩阵
对称矩阵
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
x H Ax 是实数。 （1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x C n ，
（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S C nn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
定理6.3：
A C nn， 则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
定理7.9： 酉空间V上的线性变换 T 是正规变换的充要条件是： 在V中存在一标准正交基，使得 T 在这个基下的矩阵表示为对角 矩阵。
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
3.3正交变换与酉变换
1、酉变换（或正交变换）将酉空间（线性空 间）的标准正交基变到标准正交基。（空间 中向量的模不变的线性变换） 2、酉变换（或正交变换）在标准正交基下的 矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）
3、பைடு நூலகம்矩阵的逆等于它的复共轭转置
酉矩阵 正交矩阵
AH A AAH E
AT A AAT E
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型） 系数为复数的二次齐次复多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) i , j 1 aij xi x j (规定aij a ji )
n
x ( x1, x2 ,, xn )T C n
A (aij )nn
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax
3.5对称变换与反对称变换 （欧氏空间)
1、如果对内积中的某个元素作线性变换之后 得到内积，与对另外一个元素作同样变换之 后得到的内积相等，那么称这样的变换为对 称变换。
(T ( ), ) ( , T ( ))
2、这种变换在标准正交基下的矩阵表示为对 称矩阵。
AT A
3、反对称变换、反对称矩阵
3.1欧氏空间和酉空间
1、欧氏空间和酉空间引入内积在线性空间基 础上再定义多四个条件 2、为了将向量的模概念引入线性空间中，所 以需要关注向量的模的基本性质： 非负性 齐次性 三角不等式 柯西许瓦兹三角不等式不等式
3.2标准正交基、Schmidt方法
1、正交向量、正交向量组。 2、标准正交向量组。 3、正交向量组是无关向量组。 4、标准正交基：由标准正交向量组线性空间 的一组基。 5、线性空间的任何一组基出发，可以采用 Schmidt方法构造出一个标准正交基。
AAH AH A
U H AU B
BBH U H AU (U H AU )H U H AUU H AHU U H AAHU
H H BH B (U H AU )H U H AU U H AHUU H AU U A AU
引理6.2：A 是正规矩阵，且 A 是三角矩阵，则 A 是对角矩阵。
3.4幂等矩阵、正交投影
1、幂等矩阵：平方等于本身的矩阵。（特征 值非零即1 ） 2、投影：将一个空间中的向量唯一的表示为 其两个互补子空间中的向量之和，这时称其 中属于某个子空间的子向量为原向量沿其补 子空间到本子空间的投影。 3、正交投影：投影到的两个互补子空间是正 交的 4、正交投影在标准正交基下的矩阵表示可以 分解成一个次酉矩阵乘以它的复共轭转置。
推论3.6.1 ：AH Udiag(1, 2 ,, n )U H (1) AH A i i (2) AH A i i , Re(i ) 0
(3) AAH E i i 1 i 1
P122例题6.4：例题6.5：
P149习题3-13：
第5节 对称与 反对称变换
定义5.1：设 T 是欧氏空间 V 的一线性变换，如果对任意的 , V
(T ( ), ) ( , T ( ))
那么称 T 是 V 的一个对称变换。 定理5.2： T 是欧氏空间 V 的一对称变换的充要条件是 T 在 V 的 任意标准正交基下的矩阵表示是对称矩阵。
A C nn， 则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
证明：
i 是A的特征值。
根据Schur引理，存在酉矩阵U，使得：
U H AU B(上三角) 由于A是正规矩阵，所以B也是正规矩阵，又因为B是上三角矩 阵，所以B是对角矩阵（引理6.2）。
(T ( ), ) ( , T ( ))
那么称 T 是 V 的一个反对称变换。 定理5.5： T 是欧氏空间 V 的反对称变换的充要条件是 T 在 V 的 任意标准正交基下的矩阵表示是反对称矩阵。
(u1, u2 ,, un ) U nn
T (u1, u2, ,, un) ( u1, u2, ,, u) n A
T (1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A
T H (1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) B
B AH
epsilon
例题7.1, 7.2, 7.3
伴随变换的性质： 定理7.4：设V是一酉（欧氏）空间，S, T是V上的线性变换，若 存在V上的线性变换，k 为一个复（实）数，那么：
第7节 Hermite变换、 正规变换
定义7.1（Hermite变换）：设V是一酉空间，T是V上的线性变换， 若 (T ( ), ) ( , T ( )), , V 那么称T是V上的一个Hermite变换，或者自伴变换。 对称变换 定义7.2（反Hermite变换）：设V是一酉空间，T是V上的线性变 换，若 (T ( ), ) ( , T ( )), , V 那么称T是V上的一个反Hermite变换。 反对称变换
(1) (S T ) H S H T H
(2) (kT )H kT H
(3) (ST )H T H S H (4) (T H ) H T
定义7.4：设V是一酉空间，T是V上的线性变换，如果 T 满足
T H T TT H
那么称 T 是正规变换。
定理7.5： 酉空间V上的线性变换T是正规变换的充要条件是T在V 的任一标准正交基下的正规矩阵。
2 n
2
等号成立的条件是 A 酉相似于对角矩阵。
例题6.1：
P148 3-3
定义6.2：正规矩阵
A C nn
AAH AH A AAT AT A
则称 A 为正规矩阵。
例：对角矩阵，Hermite矩阵，反Hermite矩阵，对称矩阵，反 对称矩阵等都是正规矩阵。 引理6.1：A 是正规矩阵，那么与A 酉相似的矩阵都是正规矩阵。
若作可逆线性变换x Py
P 0
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax
( Py)H A( Py) y H PH APy y H By
B P H AP
Hermite二次齐式的标准型：定理8.5, 8.6
hermite矩阵B
Hermite二次齐式的标准型：定理8.5, 8.6
a22 a2 n
a11 a12 ann a1n
a22 a2 n
a11 a12 a1n a a 22 2n a nn ann
定理6.3：
AT A
总的来说，如果对内积中的某个元素作线性变换之后得到内积，与 对另外一个元素作同样变换之后得到的内积相等，那么称这样的变 换为对称变换。这种变换在标准正交基下的矩阵表示为对称矩阵。 反对称变换与此类似。
例3.5.1 ~例3.5.2
习题
第6节 正规矩阵、 Schur引理
定义6.1：酉相似（正交相似）
定义7.3（伴随变换）：设V是一酉（欧氏）空间，T是V上的线 性变换，若存在V上的线性变换 T H 使得，
(T ( ), ) ( , T H ( )), , V
那么称T有一个伴随变换 T H 。
酉（欧氏）空间上的每一个线性变换T都有唯一的一个伴随变 换 TH 。
定理7.4 设 1 , 2 , , n 是酉（欧氏）空间V上的一组标准正交基， T是V上的线性变换，其自变换是 TH
(u1, u2 ,, un ) U nn
T (u1, u2, ,, un) ( u1, u2, ,, u) n A
AT A
定理5.3： 欧氏空间对称变换的是可对角化的线性变换。 T 因为实对称矩阵正交相似于对角矩阵，即合同。
定义5.2：设 T 是欧氏空间 V 的一线性变换，如果对任意的 , V
diag (1, 2 ,, n ) 是对角矩阵，所以也是正规矩 阵，从而A是正规矩阵。
i 是A的特征值，对应的特征向量是x， 推论6.1：设 A 是正规矩阵， 那么 i 是 A H的特征值，其对应的特征向量是 x
推论6.2：n 阶正规矩阵 A 有n个线性无关的特征向量。 推论6.3：正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的。
定理7.1 酉空间V上的线性变换T是 Hermite 变换的充要条件是T 在V的任一标准正交基下的矩阵是 Hermite 矩阵
AH A
定理7.3 酉空间V上的线性变换T是反Hermite 变换的充要条件是T 在V的任一标准正交基下的矩阵是反Hermite 矩阵
AH A
定理7.2 酉空间V上的Hermite 变换T的特征值为实数。 酉空间V上的反Hermite 变换T的特征值的实部为零。
3.6 schur引理、正规矩阵
1、正规矩阵比酉矩阵少了一项约束：不要求 等于单位矩阵。
AAH AH A
2、正规矩阵的很多性质与酉相似相关。 酉相似： H U AU U 1 AU B 3、Schur引理：任意的一个n阶复矩阵A酉相 似于一个上（下）三角矩阵。（三角矩阵主 对角线的值是A的特征值） 4、正规矩阵分别为Hermite矩阵，反Hermite 矩阵，酉矩阵时，它的特征值分别为均是实 数，均是纯虚数，模长均为1。