数字信号处理 第10章 平稳随机信号

由此还可导出：
σ
2 x
(n)
=
σ
2 x
Dx2 (n) = Dx2源自方差和均方也 与时间无关。
covxy (m) = E{[ X (n) − µx ]*[Y (n + m) − µy ]
互协方差函数也和 时间的起点无关。
实际中的大部分信号都可看作 是宽平稳的。处理方便。
几个概念：
1. 若
px (x1, , xn ;t1, , tn )
如果： covxy (n1, n2) = 0
X, Y 不相关
两个信号不相关，有：
{ } rxy (n1, n2 ) = E X ∗(n1)Y (n2 )
{ } = E
X ∗ (n1)
E
{Y
(n2
)}
=
µ
∗ x
(n1
)µ
y
(n2
)
两个信号相互独立，有
p(x, y) = p(x) p( y)
10.2 平稳随机信号
12
，已知
对新的随机向量 X， 判断它属于那一类：
计算 X 到两类的距离，属于距离小的类。
∑ di
(X
)
=
−
1 2
(X
−
µi )T
i −1( X − µi )
模式识别中的线性判别函数。
Mahalanobis 距离
二、随机信号： X (t) = {x1(t), , xN (t), t → ∞, N → ∞} X (n) = {x(n,1), , x(n, N ), n → ∞, N → ∞}
A=2.0639 A= 1.7235 A=1.2631
A=0.6004 A=0.1109
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200
t
X (t) = a sin(2πft + Φ), Φ : (−π ,π )均匀分布
X(t)=a *S in(2*pi*f*t+fa i) fai=1.5961 fai=1.0252 fai=2.4096
4. 若 X (n) ≠ X *(n)， 则 Px (ω) ≠ Px (−ω)
∫ 5.
P= 1
2π
π −π
P
x
(e
jω
)dω
,
信号的总功率
∞
∑ 6. Px (z) = rx (m)z−m m=−∞
例1. 随机相位正弦波
X (n) = Asin(ωn + Φ), p(ϕ) = 1 , −π < ϕ < π 2π
则 X (n1), X (n2 ) 不相关
自相关函数的性质： 1. rx (0) ≥ rx (m)
证明： 若 X为实过程，则
{ } E [ X (n) ± X (n + m)]2 ≥ 0
若 X为复过程，则
{ } { } E x(n1)x(n2 ) 2 ≤ E X (n1) 2 X (n2 ) 2
{ } left = E x(n1)x*(n2 ) x(n1)x*(n2 )* = rx (m) 2
无法做傅里叶变换。那么，对随机信号， 如何实现频谱分析？一般的方法，不是对 信号直接进行傅立叶变换，而是对信号的 自相关函数作傅立叶变换，这时得到的不 再是频谱，而是功率谱（Power Spectrum
Density, PSD) 1.功率谱的定义
1.功率谱的定义
x(n,i) ⇒ X (n) 的一个样本
定义1和定义2的等效的证明，见书。
定理成立的条件：
∞
∑ rx (m) < ∞
m=−∞
X (n) 是宽平稳
功率谱的性质：
1. Px (e jω ) 总是ω 的实函数，失去了相位信息;
2. Px (e jω ), ∀ω 非负;
3. 若 X (n) = X *(n), 则 Px (ω) = Px (−ω)
lim ∑ =
N →∞
1 N
N i =1
2
xi − µ
均方差：
{ } ∫ D2 = E X 2 = ∞ x 2 p(x)dx −∞
Note:随机变量与时间变量无关
两个随机变量： 协方差函数
{ } cov[ X ,Y ] = E ( X − µX )(Y − µY )* = E{XY *} − E{X } E{Y}∗
数字特征－最常用的方法：
1. 均值：
µx (n) = E{X (n)}
2. 方差：
lim ∑ =
1 N x(n,i)
N N →∞
i =1
时 间
σ
2 x
(n)
=
E{
X
(n)
−
µx
(n)
2}
的 函
lim ∑ =
N →∞
1 N
N i =1
2
x(n,i) − µx (n)
数
lim ∑ 3.均方 D2x (n) = E{ X (n) 2} =
1N
2
x(n, i)
N N →∞
i =1
4.自相关函数
{ } rx (n1, n2 ) = E X ∗(n1) X (n2 )
lim ∑ =
N →∞
1 N
N
x*(n1, i)x(n2 , i)
i =1
5. 自协方差函数
{ } covx(n1,n2) = E [ X (n1) − µx(n1)]∗ [ X (n2) − µx(n2)]
µx (n) = E {Asin(ωn + Φ)}
∫ = A π sin(ωn + ϕ)dϕ = 0
2π −π
{ } rx (n1, n2 ) = E A2 sin(ωn1 + Φ) sin(ωn2 + Φ)
=
A2 2
cosω (n1
− n2 )
=
rx (m)
{ } Px (e jω ) = E Pi (e jω ) , i ∈ Z +
{ } 功率谱
定义1：
E
Px
(e
jω
)
=
lim
M →∞
X M (e jω ) 2 2M +1
功率谱原始定义，包含了求均值和求极限两个运 算，即：既要求时间平均，又要求集总平均。
功率谱 定义2：
维纳—辛钦定理
∞
∑ Px (e jω ) = rx (m)e− jωm m=−∞
随机信号:
信号随时间变化不具有明确的规律性， 不能准确预测，不能用明确数学关系描述。 现实中的信号绝大部分是随机信号; 研究方法：
统计的方法，“估计”的方法。
随机信号示意图：
X (t) = Asin(2π f t), A : N (0,σ 2）
2
1.5
1
0.5
()t
0
X
-0.5
-1
-1.5
-2
X(t)=A*S in(2*pi*f*t)
0.5
()t 0 X
-0.5
fai= -0.5062
fai= -1.4316 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
t
10.1 随机信号及其特征描述：
一、随机变量 X X 取值是离散的
离散型随机变量 (二项式分布，泊松分布）
X 取值是连续的
连续型随机变量 （均匀分布，高斯分布）
则
{ } covx(n1,n2) = E
X (n) − µx(n) 2
=
σ
2 x
6. 互相关函数
{ } rxy (n1, n2 ) = E X ∗(n1)Y (n2 )
7. 互协方差函数
{ } covxy (n1,n2) = E [ X (n1) − µx(n1)]∗ Y(n2) − µy (n2)
= px (x1, , xn;t1 + τ , , tn + τ )
2. 若
则 X (n) 严（狭义）平稳， 统计特性不随时间变化。
p(x1, x2; n1, n2 ) = p(x1, n1) p(x2 , n2 )
3. 若
则 X (n1), X (n2 ) 相互独立 covx (n1, n2 ) = 0
{ } right = E X (n1) 2 X (n2 ) 2 = rx2 (0)
2. rx (m) = rx (−m)
rx (m) = r∗x (−m)
偶对称 Hermitian对称
3. rx y (m) = ryx (−m)
rxy (m) = r∗yx (−m)
互相关
4.
rx (0)ry (0) ≥
−
µ
)
2

3. N 维高斯分布：
p(X ) =
1
(2π )N
Σ
exp
−
1 2
(
X
− µ)T Σ−1( X
− µ)
[ ] X = x1, , xN T , µ = µx1 , , µxN T
随机向量
均值向量
{ } ∑ = E [ X − µ][ X − µ]T
=

若 p(x, y) = p(x) p( y),则 X ,Y 相互独立;
若 cov[ X ,Y ] = 0,则 X ,Y 不相关;
独立 ⇒ 不相关，反之不一定成立; 对高斯随机变量二者一致
常用随机变量:
1.均匀分布：
p(x) =
1
a−b
2.高斯分布：
p(x) =
1
2πσ
2
exp−
1
2σ 2
(
x
σ 12