数字信号处理 第10章 平稳随机信号

{ } right = E X (n1) 2 X (n2 ) 2 = rx2 (0)
2. rx (m) = rx (−m)
rx (m) = r∗x (−m)
偶对称 Hermitian对称
3. rx y (m) = ryx (−m)
rxy (m) = r∗yx (−m)
互相关
4.
rx (0)ry (0) ≥
1N
2
x(n, i)
N N →∞
i =1
4.自相关函数
{ } rx (n1, n2 ) = E X ∗(n1) X (n2 )
lim ∑ =
N →∞
1 N
N
x*(n1, i)x(n2 , i)
i =1
5. 自协方差函数
{ } covx(n1,n2) = E [ X (n1) − µx(n1)]∗ [ X (n2) − µx(n2)]
自相关矩阵的这一性质在信号处理 中有着重要的应用。
证明：令
a = [a0 , a1, , aM ]T
非零向量
MM
∑ ∑ aH RM a =
aman∗rx (m − n)
m=0 n=0
∑ =
E

M
an∗
X
(n)
2

n=0

≥0
功率谱密度 PSD
∫ X (t) dt ⇒ ∞, ∑ X (n) ⇒ ∞ n 即随机信号是功率信号
2
rxy (m)
rx (0) + ry (0) ≥ 2 rxy (m)
互相关
与自相 关
5. 令自相关矩阵
rx (0)
RM
=

rx (1)
rx (M )
rx (−1) rx (0)
rx (M −1)
则：
det [RM ] ≥ 0
rx (−M ) rx (−M +1)
rx (0)
0.5
()t 0 X
-0.5
fai= -0.5062
fai= -1.4316 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
t
10.1 随机信号及其特征描述：
一、随机变量 X X 取值是离散的
离散型随机变量 (二项式分布，泊松分布）
X 取值是连续的
连续型随机变量 （均匀分布，高斯分布）
描述： 1.分布函数和概率密度：
x
∫ P(x) = p(x)dx, p(x) = dP(x) dx −∞
2. 数字特征：
求均值运算
∫ 均值： µ = E {X } =
∞
xp( x)dx
−∞wenku.baidu.com
lim ∑ =
N →∞
1 N
N
xi
i =1
方差：
{ } ∫ σ 2 = E X − µ 2 = ∞ x − µ 2 p(x)dx −∞
若 X (n) 满足：
1. µx (n) = E{X (n)} = µx
2. E{ X (n) 2} < ∞ 3. rx (n1, n2 ) = E{X（* n）X (n + m)} = rx (m)
则 X (n) 为宽平稳（或广义）平稳信号
注意：平稳信号的均值和时间无关，为常数； 自相关函数和时间的起点无关，只和两 点的时间差有关。
{ } Px (e jω ) = E Pi (e jω ) , i ∈ Z +
{ } 功率谱
定义1：
E
Px
(e
jω
)
=
lim
M →∞
X M (e jω ) 2 2M +1
功率谱原始定义，包含了求均值和求极限两个运 算，即：既要求时间平均，又要求集总平均。
功率谱 定义2：
维纳—辛钦定理
∞
∑ Px (e jω ) = rx (m)e− jωm m=−∞
无法做傅里叶变换。那么，对随机信号， 如何实现频谱分析？一般的方法，不是对 信号直接进行傅立叶变换，而是对信号的 自相关函数作傅立叶变换，这时得到的不 再是频谱，而是功率谱（Power Spectrum
Density, PSD) 1.功率谱的定义
1.功率谱的定义
x(n,i) ⇒ X (n) 的一个样本
则 X (n1), X (n2 ) 不相关
自相关函数的性质： 1. rx (0) ≥ rx (m)
证明： 若 X为实过程，则
{ } E [ X (n) ± X (n + m)]2 ≥ 0
若 X为复过程，则
{ } { } E x(n1)x(n2 ) 2 ≤ E X (n1) 2 X (n2 ) 2
{ } left = E x(n1)x*(n2 ) x(n1)x*(n2 )* = rx (m) 2
12
，已知
对新的随机向量 X， 判断它属于那一类：
计算 X 到两类的距离，属于距离小的类。
∑ di
(X
)
=
−
1 2
(X
−
µi )T
i −1( X − µi )
模式识别中的线性判别函数。
Mahalanobis 距离
二、随机信号： X (t) = {x1(t), , xN (t), t → ∞, N → ∞} X (n) = {x(n,1), , x(n, N ), n → ∞, N → ∞}
所以：可用随机变量的方法来描述随机信号。
随机信号的描述：
高维概率密度：
Px (x1, , xm; t1, , tm ) = P{X (t1) ≤ x1, , X (tm ) ≤ xm} m→∞
这一种描述方法理论上最好，但是不实际的。 找到高维的概率密度，或高维的分布函数是异 常困难的。找到了，求解也非常困难。
lim ∑ =
N →∞
1 N
N
[x(n1,i) − µx (n1)]*[x(n2,i) − µx (n2)]
i=1
自相关函数描述了随机信号 X (n) 在 n1 和 n2
时刻的关系，是描述随机信号最重要的统计量。
如果：
n1 = n2 = n
{ } rx (n1, n2 ) = E X (n) 2 = D2x (n)
A=2.0639 A= 1.7235 A=1.2631
A=0.6004 A=0.1109
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200
t
X (t) = a sin(2πft + Φ), Φ : (−π ,π )均匀分布
X(t)=a *S in(2*pi*f*t+fa i) fai=1.5961 fai=1.0252 fai=2.4096
π −π
X M (e jω ) 2 dω
记：Pi
(e
jω
)
=
lim
M →∞
X M (e jω ) 2 2M +1
∫ 则：Pi
=
1
2π
π −π
Pi
(e
jω
)dω
∴ Pi (e jω ) 为 x(n, i) 的功率谱
信号 X (n) 的功率谱 Px (e jω ) 应是多个样本 X (n,i) 功率谱的集总平均，即
则
{ } covx(n1,n2) = E
X (n) − µx(n) 2
=
σ
2 x
6. 互相关函数
{ } rxy (n1, n2 ) = E X ∗(n1)Y (n2 )
7. 互协方差函数
{ } covxy (n1,n2) = E [ X (n1) − µx(n1)]∗ Y(n2) − µy (n2)
第十章平稳随机信号
10.1 随机信号及其特征描述： 10.2 平稳随机信号： 10.3 平稳随机信号通过线性系统： 10.4 平稳随机信号的各态遍历性： 10.5 平稳随机信号应用举例： 10.6 参数估计及质量评价：
确定性信号：
信号随时间变化具有规律性，可以准 确预测，可以用某一明确的数学关系描述;
lim ∑ =
N →∞
1 N
N i =1
2
xi − µ
均方差：
{ } ∫ D2 = E X 2 = ∞ x 2 p(x)dx −∞
Note:随机变量与时间变量无关
两个随机变量： 协方差函数
{ } cov[ X ,Y ] = E ( X − µX )(Y − µY )* = E{XY *} − E{X } E{Y}∗
数字特征－最常用的方法：
1. 均值：
µx (n) = E{X (n)}
2. 方差：
lim ∑ =
1 N x(n,i)
N N →∞
i =1
时 间
σ
2 x
(n)
=
E{
X
(n)
−
µx
(n)
2}
的 函
lim ∑ =
N →∞
1 N
N i =1
2
x(n,i) − µx (n)
数
lim ∑ 3.均方 D2x (n) = E{ X (n) 2} =
xM (n,i) = x(n,i)d (n), d (n)： 矩形窗
M
∑ X M (e jω ) =
x(n, i)e− jωn
n=−M
由Parseval定理，x(n, i)的平均功率
∑ Pi
= lim 1 M M →∞ 2M +1 n=−M
2
x(n, i)
∫ = lim 1 ⋅ 1
M →∞ 2M +1 2π
如果： covxy (n1, n2) = 0
X, Y 不相关
两个信号不相关，有：
{ } rxy (n1, n2 ) = E X ∗(n1)Y (n2 )
{ } = E
X ∗ (n1)
E
{Y
(n2
)}
=
µ
∗ x
(n1
)µ
y
(n2
)
两个信号相互独立，有
p(x, y) = p(x) p( y)
10.2 平稳随机信号
σ 12
cov[ x2
,
x1
]
cov
[
xN
,
x1
]
cov[ x1, x2 ]
σ
2 2
cov[ xN , x2 ]
cov [ cov [
x1 x2
, ,
xN xN
] ]

σ
2 N

协方差矩阵
应用：线性判别函数：
∑ ∑ 两大类随机向量，若
各自（即类内）的：
µ 1，µ2

，
随机信号:
信号随时间变化不具有明确的规律性， 不能准确预测，不能用明确数学关系描述。 现实中的信号绝大部分是随机信号; 研究方法：
统计的方法，“估计”的方法。
随机信号示意图：
X (t) = Asin(2π f t), A : N (0,σ 2）
2
1.5
1
0.5
()t
0
X
-0.5
-1
-1.5
-2
X(t)=A*S in(2*pi*f*t)
4. 若 X (n) ≠ X *(n)， 则 Px (ω) ≠ Px (−ω)
∫ 5.
P= 1
2π
π −π
P
x
(e
jω
)dω
,
信号的总功率
∞
∑ 6. Px (z) = rx (m)z−m m=−∞
例1. 随机相位正弦波
X (n) = Asin(ωn + Φ), p(ϕ) = 1 , −π < ϕ < π 2π
µx (n) = E {Asin(ωn + Φ)}
∫ = A π sin(ωn + ϕ)dϕ = 0
2π −π
{ } rx (n1, n2 ) = E A2 sin(ωn1 + Φ) sin(ωn2 + Φ)
=
A2 2
cosω (n1
− n2 )
=
rx (m)
= px (x1, , xn;t1 + τ , , tn + τ )
2. 若
则 X (n) 严（狭义）平稳， 统计特性不随时间变化。
p(x1, x2; n1, n2 ) = p(x1, n1) p(x2 , n2 )
3. 若
则 X (n1), X (n2 ) 相互独立 covx (n1, n2 ) = 0
随机信号的特点：
1 是时间 (t, or n) 的函数；
2. 样本无穷多，持续时间无穷长， 所以，随机信号是功率信号；
3. 对任一时刻 t j xi (t j ), i = 1, 2, , ∞
的集合构成一个随机变量。随着 t j 的变化，
我们会得到无穷多个随机变量。
所以： 随机信号是依赖于时间 t(or n) 的随机变量。
若 p(x, y) = p(x) p( y),则 X ,Y 相互独立;
若 cov[ X ,Y ] = 0,则 X ,Y 不相关;
独立 ⇒ 不相关，反之不一定成立; 对高斯随机变量二者一致
常用随机变量:
1.均匀分布：
p(x) =
1
a−b
2.高斯分布：
p(x) =
1
2πσ
2
exp−
1
2σ 2
(
x
定义1和定义2的等效的证明，见书。
定理成立的条件：
∞
∑ rx (m) < ∞
m=−∞
X (n) 是宽平稳
功率谱的性质：
1. Px (e jω ) 总是ω 的实函数，失去了相位信息;
2. Px (e jω ), ∀ω 非负;
3. 若 X (n) = X *(n), 则 Px (ω) = Px (−ω)
由此还可导出：
σ
2 x
(n)
=
σ
2 x
Dx2 (n) = Dx2
方差和均方也 与时间无关。
covxy (m) = E{[ X (n) − µx ]*[Y (n + m) − µy ]
互协方差函数也和 时间的起点无关。
实际中的大部分信号都可看作 是宽平稳的。处理方便。
几个概念：
1. 若
px (x1, , xn ;t1, , tn )
−
µ
)
2

3. N 维高斯分布：
p(X ) =
1
(2π )N
Σ
exp
−
1 2
(
X
− µ)T Σ−1( X
− µ)
[ ] X = x1, , xN T , µ = µx1 , , µxN T
随机向量
均值向量
{ } ∑ = E [ X − µ][ X − µ]T
=