波动方程
波动方程
1.1 波动方程的形式一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例）（1）边界条件①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。
②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立0=∂∂=ox xu 。
也可以考虑更普遍的边界条件()t xu x μ=∂∂=0，其中()t μ是t 的已知函数。
③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为0u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=l x u x σ。
也可以考虑更普遍的情况()t u x lx v u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=σ，其中()t v 是t 的已知函数。
1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞=∂∂==+∞<<∞>=∂∂-∂∂)x -(,,:0t x 0,-t ,,22222x t u x u t x f x u a t u ψϕ （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψϕ,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。
即如果函数()t x u ,1和()t x u ,2分别是下述初值问题（I ）()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂===∂∂-∂∂2.1.....................,:0t 1.1. (022)222x t u x u x u a t u ψϕ和 （II ）()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂===∂∂-∂∂4.1....................................................................0,0:0t 3.1................................................................,22222t u u t x f x u a t u的解，那么()()t x u t x u u ,,21+=就一定是定解问题（1）的解。
波动方程与解法
波动方程与解法波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将介绍波动方程的基本概念和常见的解法。
一、波动方程的基本概念波动方程是一种偏微分方程，描述了波动过程中的空间和时间变化。
一维波动方程可表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u表示波函数，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是一种常见的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以被表示为时间因子T(t)和空间因子X(x)的乘积形式：u(x, t) = X(x)T(t)将波动方程代入上式后，将方程两边的变量分离，得到两个常微分方程，分别是关于时间的方程和关于空间的方程。
通过求解这两个方程，可以得到波函数的具体形式。
2. 超级位置法超级位置法是另一种常用的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以表示为两个函数之和的形式：u(x, t) = φ(x - vt) + ψ(x + vt)其中，φ和ψ是任意两个函数。
这种波函数形式常用于描述传播方向相反的两个波包或两个波的干涉。
3. 叠加原理叠加原理是波动方程解法中的重要原理。
根据叠加原理，可将多个波动方程的解叠加在一起，得到新的波函数。
利用叠加原理，可以描述出复杂的波动现象，如波的干涉和衍射。
三、波动方程的应用波动方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
以下是几个例子：1. 机械波方程机械波的传播可以通过波动方程进行描述。
例如，弦上传播的横波和纵波可以用波动方程解析求解，从而了解波的传播速度和波形。
2. 电磁波方程电磁波的传播和干涉也可以通过波动方程进行描述。
例如，光的传播可以使用电磁波方程进行解析求解，从而了解光的折射、反射和衍射等现象。
3. 地震波方程地震波在地球内部的传播可以通过波动方程进行建模。
利用波动方程可以分析地震波的传播路径、速度和震级等特征，对地震进行研究和预测具有重要意义。
常微分方程的波动方程
常微分方程的波动方程常微分方程（ODE）是描述物理、生物、工程学等各种现象的数学模型。
在ODE中，自变量是一个单独的变量，而微分方程则描述了因变量随时间的变化。
其中，波动方程是ODE的一种类型，用于描述波动现象。
一、什么是波动方程？波动方程是一种描述波动现象的微分方程。
该方程描述了波动沿空间和时间的传播规律，以及波动的幅度和速度变化。
它适用于许多自然现象，如光波、声波、电磁波等等。
波动方程可以写作：∂^2 u/∂t^2 = c^2 ∇^2 u其中，u是波动的位移函数，t是时间，c是波速，∇^2是Laplace算子。
这个方程描述了波动在空间和时间上如何扩散。
二、它如何应用于物理学？波动方程在物理学中有广泛应用。
下面，我们将讨论几个重要的例子。
1. 声波声波是通过分子振动传播的机械波，其速度取决于介质的密度和弹性。
当声波传播时，空气分子在以正弦波的形式振动，这导致了声音的变化。
波动方程可以应用于描述声波的传播。
在这种情况下，波速c与介质的弹性和密度有关。
2. 光波光波是通过电磁激发传播的波动，其速度取决于介质的折射率。
当光波传播时，电磁辐射在以正弦波的形式振动。
与声波一样，波动方程也适用于描述光波的传播。
这种情况下，波速c与介质的折射率有关。
3. 机械波机械波是由物体的振动引起的波动，其速度取决于物质的性质。
例如，水波是由水的波动引起的波浪。
波动方程也可以应用于描述机械波的传播。
在这种情况下，波速c与介质的物理性质有关。
三、如何求解波动方程？解波动方程常常需要使用一些高级数学方法。
以下列出了一些流行的解法。
1. 分离变量法分离变量法是求解波动方程的一种常用方法。
在这种方法中，我们将波动方程中的变量分离开来，再对每个独立变量求解，最终将求解结果组合在一起。
2. 特征线法特征线法是针对波动方程的一种数学技巧。
它将波动方程转换成另一种形式，其中新方程的解是一个函数，这个函数可以用来求解原来的波动方程。
3. Fourier变换Fourier变换是一种将信号分解成不同频率分量的方法。
波动方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。
波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
对于一个标量(quantity) 的波动方程的一般形式是：
这里a通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。
对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。
但若a作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：
注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。
那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。
u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。
对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。
是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。
注意u可能是一个标量或向量。
波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太
宽泛了。
不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。
电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。
这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。
波动方程或称波方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。
波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。
在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。
在弦振动问题中，c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。
而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。
在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。
此时，c应该用波的相速度代替：实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程：另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。
这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。
三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。
绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。
在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波:式中：•和被称为弹性体的拉梅常数（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamé moduli），是描述各向同性固体弹性性质的参数；•表示密度；•是源函数（即外界施加的激振力）；•表示位移；注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。
波动方程与热方程
波动方程与热方程波动方程和热方程是数学中的两个重要偏微分方程，它们在物理学、工程学和计算机模拟等领域有着广泛的应用。
本文将介绍波动方程和热方程的定义、特点以及它们在实际问题中的应用。
一、波动方程波动方程是描述波动现象的数学方程，它具有如下的标准形式：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u是波函数（表示波的振幅），t是时间，c是波速，∇²是拉普拉斯算子。
1.1 定义波动方程描述了波在空间和时间中的传播行为。
它的数学形式告诉我们，波函数的二阶时间导数和空间的二阶梯度之间存在一种关系。
这个关系决定了波函数如何随着时间和空间的变化而变化。
1.2 特点波动方程具有以下特点：（1）线性性质：波动方程是一个线性偏微分方程，满足叠加原理。
即如果u₁和u₂是波动方程的解，那么任意线性组合αu₁ + βu₂也是波动方程的解，其中α和β是任意常数。
（2）能量守恒：波动方程满足能量守恒定律。
即波函数的能量在传播过程中保持不变。
1.3 应用波动方程广泛应用于各个领域，下面分别介绍几个具体的应用。
（1）声波传播：声波是一种机械波，它的传播满足波动方程。
例如，在声学中，我们可以用波动方程来描述声波在空气、水或固体中的传播行为。
（2）电磁波传播：电磁波也是一种波动现象，它包括可见光、无线电波、微波等不同频率的波动。
电磁波的传播行为可以通过波动方程来描述。
（3）振动现象：振动是波动方程的一个重要应用，例如弦上的横波振动、模型中的地震波传播等。
波动方程可以帮助我们理解和预测这些振动现象。
二、热方程热方程是描述热传导过程的数学方程，它具有如下的标准形式：∂u/∂t = c∇²u其中，u是热函数（表示温度），t是时间，c是热传导系数，∇²是拉普拉斯算子。
2.1 定义热方程是热传导现象的数学描述，它告诉我们温度如何随时间和空间的变化而变化。
热方程的数学形式说明了温度函数的一阶时间导数和二阶梯度之间的关系。
经典波动方程
经典波动方程经典波动方程是描述波动现象的基本方程，它可以用来描述各种波动现象，如声波、光波、水波等。
在本文中，我们将列举一些经典波动方程，并对其进行简要的介绍。
1. 声波方程声波是一种机械波，它是由物体振动引起的，通过介质传播。
声波方程描述了声波在介质中的传播过程。
声波方程可以写成：∂^2p/∂t^2 = c^2∇^2p其中，p是声压，t是时间，c是声速，∇^2是拉普拉斯算子。
这个方程描述了声波在介质中的传播速度和波形。
2. 光波方程光波是一种电磁波，它是由电场和磁场交替变化引起的。
光波方程描述了光波在空气或其他介质中的传播过程。
光波方程可以写成：∂^2E/∂t^2 = c^2∇^2E其中，E是电场强度，t是时间，c是光速，∇^2是拉普拉斯算子。
这个方程描述了光波在介质中的传播速度和波形。
3. 水波方程水波是一种机械波，它是由水面的振动引起的。
水波方程描述了水波在水中的传播过程。
水波方程可以写成：∂^2η/∂t^2 = c^2∇^2η其中，η是水面的位移，t是时间，c是水波速度，∇^2是拉普拉斯算子。
这个方程描述了水波在水中的传播速度和波形。
4. 电磁波方程电磁波是一种电场和磁场交替变化的波动。
电磁波方程描述了电磁波在空气或其他介质中的传播过程。
电磁波方程可以写成：∂^2E/∂t^2 = c^2∇^2E∂^2B/∂t^2 = c^2∇^2B其中，E是电场强度，B是磁场强度，t是时间，c是光速，∇^2是拉普拉斯算子。
这个方程描述了电磁波在介质中的传播速度和波形。
5. 弹性波方程弹性波是一种机械波，它是由物体的弹性变形引起的。
弹性波方程描述了弹性波在固体中的传播过程。
弹性波方程可以写成：ρ∂^2u/∂t^2 = μ∇^2u + (λ+μ)∇(∇·u)其中，ρ是密度，u是位移，t是时间，μ和λ是弹性模量，∇^2和∇(∇·u)是拉普拉斯算子和散度算子。
这个方程描述了弹性波在固体中的传播速度和波形。
波动方程三个表达式
波动方程三个表达式“波动方程”一词源自于19世纪数学大师JosephFourier，他发明了一种称为波动方程的方法。
波动方程用于描述物理现象，比如传播的电磁波，地震波等等。
在物理学，工程学，数学以及其他科学领域，波动方程经常被用来描述物理现象，它有三个基本表达式：动量守恒方程，能量守恒方程和质量守恒方程，它们描述了能量、质量和动量之间的关系。
动量守恒方程可以概括为：物体内部机械动能应该保持不变，即它们没有外界外力或内力作用时，动量不会有变化，这是动量守恒定律的原理。
此外，动量守恒定律还表明，当受到外力的作用时，物体的动量即可能减少也可能增加。
因此，动量守恒定律对于运动物体是必不可少的，它们可以帮助更好地理解物体是如何运动的。
能量守恒方程指出，物体间的总能量应该保持不变，无论是物体本身的内能量，还是物体间交互的能量都应该保持不变。
能量守恒定律的运用可以帮助我们研究物体之间的能量传递机制，以及物理现象如何影响物体的总能量。
因此，它有助于更好地理解能量的变化规律。
质量守恒方程描述的是物体的总质量，即物体本身的质量加上外界物体的质量。
物体在运动过程中，总质量不会改变，即外界物体施加的任何力都不会影响总质量，这就是质量守恒定律。
该定律帮助我们理解物体质量的变化规律，以及物体间质量的转移机制。
以上就是波动方程的三个基本表达式：动量守恒方程，能量守恒方程和质量守恒方程。
波动方程是用来描述物理现象的有效方法，它们有助于我们更好地理解动量、能量和质量的变化规律，有助于开发出更先进的技术和发现更新的物理现象。
回顾19世纪，Joseph Fourier发明的波动方程被证明可以解释多种物理现象，这些物理现象已经被用于定义和识别复杂的声波运动，以及电磁波，气体，地震波等等。
现代物理学家也继续使用波动方程来研究未知物理现象，而由这种方法发现的可以更好地帮助我们理解物理现象的规律。
综上所述，波动方程有三个基本表达式：动量守恒方程，能量守恒方程和质量守恒方程。
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x at 0 0; 1 x at d x at / 2a; 0 x at 1 2a 1 / 2a; x at 1
%ex602; (p159) 无限长弦波动的解析解(初位移为0, 初速不为0) clear; M=100; N=80; a=1.0; L=10; T1=8; dx=L/M; dt=T1/N; x=-L:dx:L; t=0:dt:T1;[X,T]=meshgrid(x,t); xp=X+a*T; xp(find(xp<=0))=0; xp(find(xp>=1))=1; xm=X-a*T; xm(find(xm<=0))=0; xm(find(xm>=1))=1; S=(xp-xm)/(2*a); figure(1); h=plot(x,S(1,:),'linewidth',3); axis([-L L 0 .6]); set(h,'erasemode','xor'); for k=2:N+1; pause(0.01); set(h,'ydata',S(k,:)); drawnow; end;
2l Bn 2 2 cos3nπ / 7 cos4nπ / 7 nπa An 0;
%ex603; (p161) % 两端固定的弦波动的解析解 clear; N=100; M=500; K=100;a=1.0;L=1;T=.4; dx=L/M; dt=T/K; x=dx*(0:M); t=dt*(0:K); [X,T]=meshgrid(x,t); w=0; for n=1:N; p=(7+n)*pi/7; q=(7-n)*pi/7+eps; r=n*pi/L; s=n*pi; A(n)=(sin(4*q)-sin(3*q))/q/7-(sin(4*p)-sin(3*p))/p/7; B(n)=0; %B(n)=2*a*L/(s*a)^2*(cos(3*s/7)-cos(4*s/7));A(n)=0; w=w+(A(n)*cos(r*a*T)+B(n)*sin(r*a*T)).*sin(r*X); end; ymax=1.1*max(max(abs(w))); figure(1);h=plot(x,w(1,:),'linewidth',3); axis([0 M*dx -ymax ymax]); set(h,'erasemode','xor'); for k=2:K; pause(0.02); set(h,'ydata',w(k,:)); drawnow; end; figure(2);mesh(X,T,w);
%ex6012; (p157-161) 无穷长弦波动的差分解 clear; II=500; N=240; L=10; T=4; a=1.0; A=1; dx=L/II; dt=T/N; x=dx*(0:II); t=dt*(0:N); K=1:II+1;fai(K)=0; psi(K)=0; C=(a*dt/dx)^2; I=2:II; %fai=A*sin(7*pi*x/L);fai(find(x>4*L/7|x<3*L/7))=0;% (初位移) psi(find(x<4*L/7&x>3*L/7))=1; %(初位移不为0，初速为0)； u(1,:)=fai; u(2,:)=fai+dt*psi; figure(1); h=plot(x,u(1,:),'linewidth',3); %画动画; axis([0,II*dx,-A,A]); set(h,'erasemode','xor'); set(h,'ydata',u(2,:)); drawnow; pause(0.01); for k=2:N; u(k+1,1)=0; u(k+1,I+1)=0; u(k+1,I)=2*u(k,I)-u(k-1,I)+C*(u(k,I+1)-2*u(k,I)+u(k,I-1)); set(h,'ydata',u(k+1,:)); drawnow; pause(0.01); end; figure(2); mesh(x,t,u);
%ex6081; (p171)两端固定弦振动的差分解(有阻尼) clear;II=500; N=300; L=10; T=4; a=1.0; A=1; lamda=5; dx=L/II; dt=T/N; x=dx*(0:II); t=dt*(0:N); K=1:II+1;fai(K)=0; psi(K)=0; C=(a*dt/dx)^2; I=2:II; fai=A*sin(7*pi*x/L);fai(find(x>4*L/7|x<3*L/7))=0; %(初位移) u(1,:)=fai; u(2,I)=u(1,I)+0.5*C*(u(1,I+1)-2*u(1,I)+u(1,I-1)); figure(1); h=plot(x,u(1,:),'linewidth',3); %画动画; axis([0,L,-1.1*A,1.1*A]); set(h,'erasemode','xor'); set(h,'ydata',u(2,:)); drawnow; pause(0.01); for n=2:N; u(n+1,1)=0; u(n+1,II+1)=0; u(n+1,I)=2*u(n,I)-u(n-1,I)+C*(u(n,I+1)-2*u(n,I)+u(n,I-1)); u(n+1,I)=(u(n+1,I)+lamda*dt*u(n,I))/(1+lamda*dt); set(h,'ydata',u(n+1,:)); drawnow; pause(0.01); end; figure(2); mesh(x,t,u);title('lamda')
sin 7x / l ; 3l / 7 x 4l / 7 1. 取 l=1, a=1， x 0; x 其他; 0
1 sin 47 nπ / 7 sin 37 n π / l An 7 n π 1 sin 47 nπ / 7 sin 37 nπ / l ; n 7 7 n π A7 1 / 7; Bn 0; 1; 3l / 7 x 4l / 7 x 0; x 2. 取 l=1, a=1， 其他; 0
A sin 7x / l ; 3l / 7 x 4l / 7 x 1.若初始条件为： 0; 其他 x 0 1 则解析解为： u x, t x at x at
一. 解析解
2
%ex601; (p157) 一维无限长波动的解析解(初速为0)； clear; N=140; M=60; L=10; a=1; A=1; x1= 3*L/7;x2=4*L/7; x=L*(0:N)/N; dt=0.01; t=dt*(0:M); u0=A*sin(7*pi*x/L);u0(find(x<x1))=0;u0(find(x>x2))=0; figure(1); h=plot(x,u0,'linewidth',3);axis([0,L,-A,A]); set(h,'erasemode','xor'); b=7*pi/L; for k=2:length(t); xl=x+a*t(k); xr=x-a*t(k); ul=A*sin(b*xl); ul(find(xl<x1))=0; ul(find(xl>x2))=0; ur=A*sin(b*xr);ur(find(xr<x1))=0;ur(find(xr>x2))=0; set(h,'ydata',(ul+ur)/2 ); drawnow; pause(0.1); end;
差分解程序ex6012 (无穷长，有限长)
差分解程序ex6012 (无穷长，有限长)
7.1.2~3 两端固定的弦的自由振动
两端固定的弦的自由振动的定解问题为：
utt a 2u xx (0 x l ) u 0, t u l , t 0 u x, t 0 x ; u x, t 0 x ; t
2. 初始条件为： x 0
1; 0 x 1 x 0; 其他
则解析解为： 1 x at 1 x at 1 x at u x, t d d d 2a x at 2a 2a x at 0 0; 1 x at 其中： d x at / 2a; 0 x at 1 2a 1 / 2a; x at 1
解析解 程序ex603
解析解 程序ex603
7.1.4 两端固定的弦的振动(有阻尼)
当存在阻尼时，弦振动的振幅会不断减小，定解问题为：
utt a 2u xx 2ut ; (0 x l ) u 0, t 0; u l , t 0; sin 7 πx / l ; 3l/ 7 x 4l/ 7 u x, t 0 x 0; (其他) ut x, t 0 x 0; 2 2 n 1 a t n n 1 n n n n 1 n 1 u 2 u u u 2 u u t u u i i i i 1 i i 1 i i 2 x 1 2 0 u x ; u u i i i 2 t xi 0; i