浅析三线八角

浅析“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角

雷家英

北师大版初中数学七年级下册中的《平行线与相交线》这章中，讲述了两条直线被第三条直线所截时，形成“三线八角”。三线八角是初中数学的基础，是研究平行线的判定和平行线性质的重点，更是后继学习平行四边形的准备。但是，七年级下学期现在使用的各种版本的数学课本，对三线八角的概念没有一个完整的叙述，只是让学生从图上感知同位角、内错角、同旁内角，导致学生在学习平行线的判定与性质时，常常把与平行线有关的同位角、内错角、同旁内角找错。在我的教学过程中，为了让学生能快速、准确地找出这三种角，我总结了有关方法，与大家一起来探讨一下。

首先，我们一起来探讨同位角，书中只说如图1具有∠3、∠5这样位置关系的角称为同位角，到底他们具有什么样的位置关系，没有具体的文字来描述，这对识图能力差的学生，一遇到稍微复杂的图形，就不能正确地找出同位角。同位角：顾名思义，位置相同的两个角，即在两条被截直线的同一方向，截线的同一侧的两个角是同位角。其两角三线所成的基本图形是:呈“F”字型。这个“F”可以通过旋转、对称得到。不管已知的图形有多复杂，只要找出图中的“F”个数，图中同位角的对数就是“F”的个数。

位角，并指出来。

分析：在该图中有4个“F”型，如：∠1与∠7所在直线构成“F”型，那么有4对同位角，∠1与∠7，∠4与∠8，∠3与∠5，∠2与∠6。解：（略）

从这道题中，我们可以看出找同位角，就是找图中的“F”,根据

“F”来写出每对同位角，达到了快速、准确。

接下来，我们再一起探讨内错角和同旁内角。内错角：内，指

的是两条被截直线的内部；错，即交错、错开，合起来就是指位于两

条被截直线的内部，截线异侧交错的两个角是内错角。其两角三线所

成的基本图形是:呈“Z”字型。同旁内角：同旁,在同一旁边；内，指

的是两条被截直线的内部，合起来就是指位于两条被截直线的内部，

截线同侧交错的两个角是同旁角其两角三线所成的基本图形是:呈

“U”字型。我总结的方法是：找内错角，找“Z”字型；找同旁内

角，找“U”字型。“Z”字型、“U”字型也都可以通过旋转、对称

得到。如图1中∠1与∠2所在直线构成“Z”字型，∠1与∠2就是

内错角；∠2与∠4所在直线构成“U”字型，∠2与∠4就是同旁内

角。这种方法在我的教学中的多次证明非常有用。

例：如图2已知平行四边形ABCD中，

（1）AD∥BC，可得到哪些内

（2）AB∥DC，可得到哪些内

错角相等？哪些同旁内角互补？

分析：（1）当AD∥BC时，找“Z”、“U”字型三线，必须要有AD、BC。图中AD、BC、AC三条线构成“Z”字型，AD、BC、BD 三条线构成“Z”字型，则∠DAC和∠ACB，∠ADB和∠DBC是内错角，所以这两对角分别相等。图中AD、BC、AB三条线构成“U”字型，AD、BC、DC三条线构成“U”字型，则∠DAB和∠ABC，∠ADC和∠DBC都是同旁内角，所以∠DAB+∠ABC=180度，∠ADC+∠DBC=180度。同理可得到（2）题的答案。

解：（略）

从上面的例题可以看出，有了这种方法，学生找同位角、内错角、同旁内角时，只需记住口诀：找同位角，找“F”型；内错角，找“Z”型；找同旁内角，找“U”型。在我的教学实践中，我的学生用这种方法的效果不错。说不定这些还有更好的方法，都需要我们与学生一起不断地去探索、总结。