专题一线段之和最短问题

二次函数专题一——线段或周长（和最小与差最大）

一．两点之间线段最短

1.在l 上找一点P ，使得PA+PB 和最小。

（1.A ，B 两点在直线异侧时

（2）.A ，B 两点在直线同侧时

方法归纳：在直线l 上找一点P 使PA+PB 和最小，常把两点转化到直线的异侧 ，即作B 点关于直线l 的对称点B ′（也可以作Ａ点关于l 的对称点Ａ′），连接ＡＢ′交l 于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点。

2.在l 上找一点P ，使得∣PA －P B ∣最大

（1）A ，B 两点在直线同侧时

（2）A ，B 两点在直线异侧时

方法归纳：在直线l 上找一点P 使∣PA －P B ∣最大，常把两点转化到直线的同侧，即作A 点关于l 的对称点A ′（也可以作B 点关于l 的对称点B ′），连接A ′B 交l 于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点。

3.变式：在l 上找一P 点，使得△PAB 周长最小

关键点：分清题目类型，若是和最小，则把两点转化到直线的异侧；若是差的绝对值最大，则把两点转化到直线的同侧；可以简记为“异侧和最小，同侧差最大 ”。

l A · B · l A · B · l B · A · A · l B · l

A ·

B ·

二.应用举例

1．如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为y轴上任意一点，当点P到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点P 的坐标；

（3）点M为y轴上任意一点，当CM

AM-的值最大时，求此时点M的坐标；

并求CM

AM-的最大值。

2.抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点，且点A在x轴的负半轴上，抛物线与y轴交于点C

（1）求A、B两点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P使△PAC的周长最小，求出△PAC的最小周长，求点P的坐标。

x

3.已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，其中A（-3，0），C（0，-2）.

(1)求这条抛物线的函数表达式；

(2)已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标.

4.如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点，

(1)求抛物线的解析式；

(2)求当AD+CD最小时点D的坐标；