优质课教学设计：任意角的三角函数1 Word版含答案
高中数学人教B版必修4教案：1.2.1 任意三角函数的定义(一) Word版含答案
1．21 任意三角函数的定义（一）
一。
、教学目标
1．知识目标：（1）让学生理解任意角的三角函数的定义；
（2）掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域;
(3) .理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
2．能力目标：（1）培养学生应用图形分析数学问题的能力；
（2）学会运用任意三角函数的定义求相关角的三角函数值；
（3）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（4）判断.三角函数值在各象限内的符号.
3．情感目标：（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；
（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；
（3）通过三角函数定义的学习，从中体会三角函数像一般函数一样，具有一
般函数的抽象美。
二、教学重点
（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；
（2）三角函数的定义域；
（3）根据任意角的三角函数定义求三角函数值。
（4）判断.三角函数值在各象限内的符号.
三、教学难点
任意角的正弦、余弦、正切的定义；。
(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版
(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版《任意角的三角函数》教案邓赞武第 1 章（单元) 第 2 节第 2 课时一、教学内容：1.2.2任意角的三角函数（二）二、教学目标:知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2。
利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值;3。
利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;三、教学重点与难点：重点：正弦、余弦、正切线的概念.难点：正弦、余弦、正切线的利用。
四、教学程序：（目标导航、自主学习、合作探究、精讲点拨、演练反馈、总结提高、当堂检测）五、教学过程：4．精讲点拨时量:8分钟左右例1．已知42ππα<<，试比较,tan,sin,cosαααα的大小.以合作互动方式一起完成体会三角函数线的用处和实质5．演练反馈时量：8分钟左右练习19P第1,2,3，4题当堂练习，巩固知识检验对知识、方法的掌握程度6．总结提高时量：4分钟左右学习小结（1)了解有向线段的概念。
（2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.1．作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1）sin15︒、tan15︒（2）'cos15018︒、cos121︒（3）5π、tan5π2．练习三角函数线的作图。
再次总结回忆本节课的重点内容概括、整合、拓展，体验收获,反思提高；课后预习与作业任务布置）六、提纲：风,没有衣裳；时间,没有居所;它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。
你赤手空拳来到人世间,为了心中的那片海不顾一切. 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康. 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美,在于它必然的流逝。
高一数学人教A版必修四教案：1.1.1任意角Word版含答案(20200620120402)
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.（2）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（3）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）理解任意角以及象限角的概念；（6）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（7）推广角的概念、引入大于360角和负角；2、过程与方法通过创设情境：“转体720，逆（顺）时针旋转”，角有大于360角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具: 三角板、电脑、投影机四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图 1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周），“转体1080”（即转体3周）等,都是遇到大于360的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle). [展示课件]如教材图 1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750；图 1.1.3(2)中，正角210，负角150,660；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（anyangle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
高中数学《任意角的三角函数》公开课优秀教学设计
....2.. “任意角的三角函数”第一课时教学设计一、教学内容解析1、本节课是人教 A 版《数学 4》第一章“三角函数”中的“任意角的三角函数（第一 课时）”，其重点内容是任意角的三角函数概念的建构.通过引入直角坐标系，实现用锐角终 边上点的坐标表示锐角的三角函数值（坐标化）；随着单位圆的引入（形式优化），进而引导 学生注意到在单位圆中，锐角 和单位圆上的点有对应关系，因为角的集合与实数集之间 可以建立一一对应的关系，从而发现锐角的弧度数和单位圆上点的坐标之间形成函数关系 （函数化）；最终形成任意角的三角函数的概念（一般化）之后，通过例题闯关，应用了概 念，加强了对概念的理解（概念理解强化）.2、任意角的三角函数是三角学内容的基础，是后续内容学习的思维起点，是整个三角 学认知结构的生长点.它的学习既是学科系统内部知识发展的需要，又是坐标思想、数形结 合思想的载体，更是对函数概念理解和认识的一次升华.学习过程中的认知冲突，容易激发 学生思维的积极性，有助于探究、创新能力的培养.由锐角三角函数的定义到任意角三角函 数的定义是学生认识上的突破，也是体会特殊到一般思想的良好素材 二、教学目标设置1、知识与技能：①借助单位圆让学生认识和理解任意角的三角函数的定义②让学生能 根据定义判定三角函数的符号③让学生知道公式一，并由此体会三角函数的周期性特点2、过程与方法：①通过回忆初中的锐角三角函数定义，发现角概念推广后其局限性， 必须寻找其它方式定义；②在形成新的锐角三角函数定义的过程中领悟坐标法的优越性，加 深对函数概念的理解；③由特殊到一般的思想推广到任意角的三角函数定义；④通过探究任 意角正弦函数定义，类比得到任意角的余弦函数和正切函数，培养学生类比分析的能力；⑤ 通过对三角函数值在各个象限符号的确定，培养学生利用规律解决问题的意识；⑥通过对公 式一的学习，培养学生数形结合的意识，让学生体会三角函数的周期性3、情感态度与价值观：①培养学生在运动变化的过程中认识知识的发生和发展，体会 知识之间的内在联系，感悟知识的整体性；②通过小组合作交流，倡导学生主动参与课堂， 培养学生团队合作的意识；③通过对新知识的探究，培养学生分析解决问题的能力和理性思 维的能力.三、教学重点1、对任意角的三角函数定义的理解； 、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内符号的 确定；3、三角函数的周期性特点（公式一）.四、教学难点任意角的三角函数概念的建构过程.五、学生学情分析学生在初中学习的锐角三角函数是以锐角为自变量，以边的比值为函数值的函数，以及 高中学习过的函数的定义和任意角及弧度制，这些是学生学习任意角的三角函数知识的基础 和依据.本节课从研究锐角三角函数的概念出发，更容易激发学生学习的热情，从而催生学 生创造性思维.在概念建构的过程中，学生必需经历由特殊到一般的认识过程以及把新的概 念纳入到一般函数的结构之中，这是认知过程的一道坎，又是认知的一次升华 六、教学策略分析本课采用“引”“探”相结合的方式，将问题以问题串的形式展现，让学生在愤悱中形 成认知冲突，体会、感悟数学研究的一般思路和方法 课堂中以学生为主体，将学生分成若 干小组，使学生全员参与课堂，通过学生之间合作交流，教师间或参与学生的讨论，对有困..惑的小组或者个别学生进行帮助和引导，培养学生主动探究新知识的能力 .此外，为了提高 教学效果，使课堂教学更生动形象，利用多媒体课件进行教学 七、教学过程（一）创设情境，导入新课（问题 1 到问题 2 是温故知新化过程）问题 1 初中我们在直角三角形中学习过锐角三角函数，你能回忆出初中锐角的正弦、余弦、 正切函数是怎样定义的吗？你能说出它们的自变量是什么，又以什么为函数值呢？自变量的 范围是什么？设计意图：要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况 开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的.将锐角三角函数融入学生已有的函数知识 结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然 问题 2 在高中，随着角的概念的推广和弧度制的引入，角的范围变成了全体实数R ，那么 对于任意角 α ，比如当α 为钝角时，角α 的“斜边”这种说法还存在吗？那么任意角的三 角函数该如何定义呢？设计意图：利用角 α 的变化作为思维的切入点，打破学生已有的认知结构的平衡，感受学 习新知识的必要性，即角的范围扩大了，初中锐角三角函数的定义也应该与时俱进，这有利 于将探究的主动权交给学生.（二）提出问题，探求新知（问题 3 到问题 5 是定义坐标化过程）问题 3 中国有句古话说的好，“工欲善其事，必先利其器”.随着角的概念推广和弧度制的 引入，我们一般借助什么工具来研究角？设计意图：依托学生已有的经验，启发学生联想，触发学生的灵感，为坐标法的实施奠定研 究的基础.问题 4 我们先研究哪种角呢？是直接研究任意角的情形还是先研究锐角的情形呢？设计意图：以锐角三角函数的研究为本节课知识的“生长点”，这样的研究符合学生的认知 规律，学生有思考的落脚点，更能够激发学生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本节课任 意角三角函数概念的建构这一教学难点.问题 5 对于任意角α 都有始边和终边.在直角坐标系中，如何放置锐角α 可以方便研究？在锐角 α 的终边上任取一点 P(a, b ) ，它与原点 O 的距离为 r ，你能用点 P 的坐标及 r 来表示锐角 α 的三角函数吗？设计意图：把锐角 α 放在直角坐标系下对学生来说比较简单，构造直角三角形也是一目了 然的，这样可以把复习的初中的锐角三角函数的定义纳入直角坐标系，将边长的比变成坐标 关系，为任意角的三角函数定义的给出做好铺垫.提及“始边”、“终边”也是为了概念一般 化做铺垫.（问题 6 到问题 7 是表达式形式优化过程）问题 6 当锐角 α 确定，如果改变α 的终边上的 P 点位置，角 α 的正弦值会发生改变吗？ 设计意图：问正弦值这一种情况，方便师生研究.余弦值和正切值可以类比得到，更方便学 生理解（下面有类似问法也是同样考虑）;由三角形相似，说明在终边上任意取点不影响三 角函数值. 这是为单位圆定义的提出做好铺垫.问题 7 数学追求“简洁美”，既然这三个比值与终边上点 P 的位置无关，那么当 P 点选在 何处时， sin α和 c os α 的形式最简单？设计意图：通过问题的形式过渡，自然得出单位圆的概念.由此便可顺势得出 s in α和 c os α 的 简化形式，体现了数学的“简洁美”.同时也明确在单位圆的背景下，锐角和单位圆上 P 点.有对应关系.（问题 8 到问题 10 是函数化过程）问题 8 当锐角 α 发生变化时， P 点的坐标会发生相应的改变吗？（追问）当锐角α 确定 了， P 点的坐标是否唯一确定？（配合动画演示） 教师板书：任意锐角α （实数）→唯一 实数 b ；任意锐角 α （实数）→唯一实数 a .）设计意图：初中学生对函数理解还比较肤浅，这里提出的问题扣准了函数概念的内涵，突出 了变量之间的依赖关系及对应关系，是从一般函数知识演绎到三角函数知识的重要环节，是 准确理解三角函数概念的关键.问题 9 你能给这个函数（任意锐角α （实数）→唯一实数 b ）命名吗？设计意图：只单问一个函数，可以方便学生思考，也方便师生共同总结，还可以让学生在自 行总结任意角的三角函数概念时有参照对象.问题 10 既然是函数，你能说出锐角α 正弦函数的自变量吗？以什么为函数值呢？设计意图：让学生能更好的理解锐角三角函数的定义，同时为总结任意角三角函数定义打好 基础.（问题 11 到问题 12 是特殊到一般化过程）问题 11 我们现在得到的锐角三角函数的定义和初中所学锐角三角函数定义有什么区别？ 设计意图：加强学生对新的定义方式的理解，让学生意识到任意角没有“斜边”，但是有“始 边”、“终边”，从而发现对于任意角，如果始边放在 x 轴非负半轴上，其终边定与单位圆有 唯一交点，从而能形成函数关系.为归纳任意角三角函数概念扫清心理障碍.问题 12 由特殊到一般的思想，你能给任意角的三角函数下一个定义吗？（教师在与学生 交流中，板书定义）设计意图：利用类比、迁移的认知规律，学生容易给出任意角的三角函数定义 .学生可以意 识到锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角三角函数是锐角三角函数的自然延伸 （三）分析思考，加深理解（下列问题是概念理解强化过程）问题 13 既然它们是函数，就要注意其定义域，它是函数的“生命之域”，那么正弦、余弦、 正切函数的定义域分别是什么？设计意图：因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，故三角函数也可以看成实 数为自变量的函数，强调了其函数属性.问题 14 当 α 为锐角时， sin α ,cos α , tan α 的值都是正数，当α 的终边落在各个象限时，它们分别取什么符号？设计意图：对比锐角三角函数，让学生再次回忆任意角三角函数的定义，培养学生利用规律 解决问题的意识.设置一个阅读环节，让学生阅读“三角函数名称由来简史”.设计意图：通过三角知识简史的阅读，让学生有新奇感，同时提高课堂的数学文化感，让学 生感知数学是源于生活的.以此，进一步激发学生的学习热情.（四）强化训练，巩固双基第一关 求5π 3 的正弦、余弦和正切的值.设计意图：将例题以闯关的形式呈现，和综艺节目设置相似，寓教于乐，能激发学生的学习 热情；明确已知角的终边，要求其三角函数值，可以先求终边与单位圆的交点坐标，通过运 用概念，巩固对概念的理解.4 ) ； . ..问题 15 （追问）求11π 3 的正弦、余弦和正切的值.设计意图：引起学生发现这两个角的终边是重合的，所以它们与单位圆的交点坐标相同，由 任意角三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值是相等的 .让学生体验到公式 一的作用和三角函数的周期性.第二关 确定下列三角函数值的符号：（1） cos 260 ； （2） sin(-π （3） tan(-700 ) ； （4） tan3 π .第三关 求下列三角函数值：9π 11π (1)sin(-1050 ) ； (2) cos ； (3) tan(- ) .4 6 设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本节课的教学目标之一，引导学生抓住定义、数 形结合判断三角函数值的正负符号，同时应用终边相同的角的同一三角函数值是相等的这一 结论.第四关 已 知 角 α 的 终 边 经 过 点 P (-3, -4), 求 角 α 的 正 弦 ， 余 弦 和 正 切 值 . 0P (-3a, -4a)(a ≠ 0), 情况又如何？0 设计意图：该点不在单位圆上，与例题 1 的解法对比；为课后探究“角 α 终边上任一点 Q( x , y) ，求角 α 的正弦、余弦和正切的值.”这一问题作铺垫；增加了一个问题，加强了学生对任意角三角函数定义的理解，同时渗透了分类讨论的思想（五）课堂小结,升华提高知识与技能：任意角三角函数的定义（单位圆）；能根据定义判定三角函数的符号；公式一 （终边相同的角的同一三角函数值相等）即三角函数的周期性特点 思想与方法：坐标法、特殊到一般、数形结合、类比、转化、分类讨论设计意图：让学生自己总结，教师补充，并且提醒学生知识重要，探究的思想与方法更重要，体现了教学应以学生为主体，教师为主导的新课标理念.（六）作业布置：1、课本 15 页练习 2、3、5.2、假设角 α 的顶点是直角坐标系的原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，已知角 α 终边上任一点 Q ( x , y) ，求角 α 的正弦、余弦和正切函数值.3、通过本节课学习，你对任意角三角函数有哪些新的认识？利用定义你能解决哪些问题？你还有哪些不明白的地方？请把它写下来.设计意图：体现作业的多样性，鼓励学有余力的同学课后探究，因材施教，多元发展.教师和学生同唱励志歌曲《奔跑》，课堂在歌声中结束.设计意图：拉近师生关系，也鼓励学生不畏艰难，在学习过程中保持奔跑的态度.在数学课堂也可以渗透品德教育.“任意角的三角函数”教学课例点评一堂好的数学课，必须蕴含丰富的数学内涵，能够激发学生思考的热情，使学生经历“百思不得其解的困惑——茅塞顿开的激动——问题解决的愉悦”的过程，从中品味思考的乐趣，发展思维的能力，获得数学的思想方法.这样的课才既有内容又有思想，既见树木又见森林.蔡老师将本节课设计成问题串的形式，通过问题串诱发、引导学生完成本节课的探究过程（温故知新化过程——定义坐标化过程——表达式形式优化过程——函数化过程——特殊到一般化过程——概念理解强化过程）.整个教学过程层层递进，线索清晰，突出了教学重点，突破了教学难点.问题的设计能让学生产生认知需求，享受在领悟、感知中探求新方法和学习新知识的乐趣.此外，例题以闯关的形式出现，寓教于乐，是学生喜闻乐见的.本节课在知识的学习中很好的渗透了数学的思想和方法.比如，单位圆的引入渗透了数形结合的思想；由锐角的三角函数到任意角的三角函数体现了从特殊到一般的思想；将任意角的正弦函数的定义类比到了任意角的余弦函数和正切函数定义等等.本节课融入了数学文化、数学育人的精神.比如，通过三角函数名称简史的阅读，渗透了数学文化，提高课堂的数学文化厚度，让学生感知数学是源于生活的；在单位圆的引入体现数学“简洁美”时，蔡老师提到为人应当“简简单单，堂堂正正”；通过对新知识的探究，培养学生分析解决问题的能力和理性思维的能力；在课堂结尾时，教师鼓励学生在学习过程中要保持奔跑的态度，师生同唱立志歌曲《奔跑》等等，这些都体现了立德树人的教育理念.。
任意角的三角函数及弧度制教案及练习(含答案)
第一章：三角函数第一课时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。
相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广1.回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2.讲解：“旋转”形成角突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角α或α∠可以简记成α4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒³2=720︒） 3周（360︒³3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒ 390︒-330︒是第Ⅰ象限角， 300︒-60︒是第Ⅳ象限角585︒ 1180︒是第Ⅲ象限角，-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)k∈个周角的和(Zk390︒=30︒+360︒)1k(=-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0³360︒ )0(=k 1470︒=30︒+4³360︒ )4(=k -1770︒=30︒-5³360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 五、小结： 1︒ 角的概念的推广， 用“旋转”定义角，角的范围的扩大 2︒“象限角”与“终边相同的角”第二课时教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。
高中数学人教A版必修四教学案任意角的三角函数含答案
y 12 [尝试解答] (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝ 52＋（－12）2＝13，则 sin α＝ ＝－ ，
r 13
x5
y 12
cos α＝ ＝ ，tan α＝ ＝－ .
r 13
x5
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，
3
1
3)，则 r＝ （－1）2＋（ 3）2＝2，所以 sin α＝ ，cos α＝－ ，tan α＝－ 3；在第
3 (3)∵(－3，a)为 α 终边上的一点，cos α＝－ ，
5
－3
3
∴
＝－ ，∴a2＝16.
（－3）2＋a2 5
4 又∵α 为第二象限角，∴a＞0，即 a＝4.∴sin α＝ .
5 34 答案：(1)D (2)－ (3) 25
讲一讲
cos α
2．(1)若 sin αtan
α＜0，且 tan
α＜0，则角 α 是( )
提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点 P(x，y)在终边上的位置
无关，只与角 α 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
(2)若角 α 与 β 的终边相同，根据三角函数的定义，你认为 sin α与 sin β，cos α与 cos
β，tan α与 tan β之间有什么关系？
2
第三象限角．所以 α 是第一或第三象限角．又因为 cos α＜0，所以 α 为第三象限角．
(2)①∵105°，230°分别为第二，第三象限角，∴sin 105°＞0，cos 230°＜0.
于是 sin 105°·cos 230°＜0.
( ) π
2π
2π
②∵ 2 ＜3＜π，∴3 是第二象限角，∴cos 3＜0，又－ 3 是第三象限角，∴tan － 3
(完整)《任意角的三角函数》教学设计
《任意角的三角函数（第一课时）》教学设计任意角的三角函数（1）一、教学内容分析:高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1。
2.1任意角的三角函数第一课时。
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。
在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。
《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切)的定义.在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。
二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣.我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。
所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准）的教学设计就很值得思考探索。
如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中?《普通高中数学课程标准(实验）解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。
第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。
根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。
“任意角的三角函数—第一课时”教学设计
“任意角的三角函数—第一课时”教学设计初中学生已经学过锐角三角函数，在直角三角形中用边长的比来刻画。
三角函数是基本初等函数，它是刻画周期变化现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
与其他初等函数的学习一样，学习任意角的三角函数，关键在于让学生理解它的概念、图像和基本性质，并能用三角函数解释一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题。
本节课基于初中学习锐角三角函数的基础，用单位圆来进一步深入的研究三角函数，为诱导公式的推导，研究三角函数的图象和性质以及三角恒等变换打下了坚实的准备基础。
二、教材地位与作用三角函数是高中数学的重要内容之一.它是学生学习的一些简单函数的延伸和拓展；在教学过程中，学生对这个概念的认识经历了直观感受、文字描述和精确定义三个阶段，从而为高中的后继课程打下基础，与不等式、导数有紧密联系.过去教材习惯于用角的终边上的点的坐标的“比值”来定义，新教材则用单位圆来定义。
相比而言，用单位圆上的点的坐标定义三角函数有诸多优点。
定义三角函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横纵坐标）之间的对应关系显得更为简洁明了，突出了函数的本质。
其次，使三角函数的数形关系更直接，为后面的三角函数线与定义间的联系更为直接。
更有利于用数形结合的思想去探讨三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系、诱导公式、单调性、周期性、对称性及最值等。
三、教法学法分析建构主义教学理论认为：“知识是不能为教师所传授的，而只能为学习者所构建.”也就是说，教学过程不只是知识的授受过程，也不是机械的告诉与被告诉的过程，而是一个学习者主动学习的过程．因而，考虑到学生的认知水平，本节通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以探究研讨法为主，结合讲练结合法、谈话法等展开教学.教材在给出了三角函数的定义后，并没有直接给出它们的定义域和函数值的正负，而是设置了“探究”，留给了学生主动学习的空间，引导学生通过自己的思维活动得出结论四、教学过程1、问题切入，追寻历史李文林认为“数学史研究具有三重目的，一是为历史而历史，即恢复历史的本来面目；二是为数学而历史，即古为今用，洋为中用，为现实的数学研究的自主创新服务；三是为教育而历史，即将数学史应用于数学教育，发挥数学史在培养现代化人才方面的教育功能”。
全国第八届青年数学教师优质课教学设计：任意角的三角函数1 Word版含答案
任意角的三角函数教学设计福建师大附中张春晓一、教学内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在《数学1》中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的扩张.引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射.本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，教材中对任意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数的建构过程.二、教学目标知识与技能：理解任意角三角函数的定义，树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.过程与方法：经历单位圆定义法，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作用.情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解，感悟数学概念的严谨性与科学性.重点:任意角三角函数的定义.难点：任意角三角函数概念的建构过程.三、教学流程1．复习通过对任意角的概念的学习，你认为它与初中角的概念有什么区别？设计意图对任意角概念的理解是学习本节课的基础.2．创设情境、引出主题h,它的直径为2r，逆时针方向做匀速转动，转问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点A出发，求相对于地面的高度h与时间t的函数关系式.师生：开始高度h设计意图的“周期性”特点.师：我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢？让我们先从特殊情形入手.例如，过了20s生：00sin20h h r =+.师：你能对这个式子做一解释吗？生：0h 表示水平位置OA 距离地面的高度，0sin 20r 表示P 距离水平位置OA 的高度，即0|MP|h h =+.师：如果过了40s 呢？对上面式子做怎样修改？师生：将020换成040，即：00sin40h h r =+.一般地，过了t 秒呢？猜想: 0sin h h r t =+ 师：这样猜想合情，但合理吗？随着摩天轮的转动，POA ∠从最初的锐角被推广到了任意角.对任意角α，sin α该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容，任意角的三角函数.设计意图 为引出任意角的三角函数做准备，按照从特殊到一般地策略来探究，让学生感受到接下来学习新知识的必要性. 3．概念生成师：当P 在水平但位置OA 上方时，0|MP|h h =+；当P 在水平位置OA 下方时，0-|MP|h h =，即：0|MP|h h =±与0sin h h r t =+相比较，要想两者和谐统一，必须有：sin |MP|r t =±，即：MPsin rt =±. 师生小结：当点P 在圆周上运动时，POA ∠随之变化，任一个POA ∠，对应着唯一点P ，进而有唯一||MP ，得到：MPsin rt =±. 师：不过这样表述|MP|±时，还是不够简洁,M P 何时取正值，何时取负值？能否用一个量去代替MP ±，使上述表示形式更简单？它的绝对值与M P 的长度相等，符号在OA 上方表示正的，OA 下方表示负的.生:引入直角坐标系，用点P 的纵坐标y 来替代||MP 或-||MP .设计意图 让学生感受到任意角三角函数定义中，坐标系的引入是自然的，有必要的.师：接下来，我们把角α放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为r 做圆，与角α的终边交于点P ，假设点P 坐标为(,)x y ，利用我们刚才对上述问题的分析，这里，sin =y rα. 师：当α是锐角时，此规定与初中规定是否吻合？生：吻合，利用初中对锐角三角函数定义，|MP|sin =|OP|α，|MP|即y ，|OP|即r . 师：三角函数只有这一个吗？ 生：还有余弦，正切.师：你能仿照正弦给出它们的类似定义吗？ 生：cos x r α=，tan y xα= 师：从高中函数定义来看，他们是真正意义上的函数吗？生：是的，任意给定角α，其终边唯一确定，终边与圆的交点P 就唯一确定，比值随之唯一确定.师：比值会随着点P 在终边上的变化而变化吗？ 生：不会，由相似三角形知识，比值是唯一确定的.师：很好，任意给定α→唯一确定比值.那如果α是任意角呢，我们不妨假设此时α终边落在第二象限，终边与圆的交点仍然是P ，坐标为(,)x y 显然，我们已经不能把α终边唯一确定，其与圆的交点P 唯一确定，仍然符合函数的定义. 师：这种比值形式能进一步简化吗？生：另=1r ，则sin =y α，cos x α=，tan y xα= 师：此时点P 具有什么特点？ 生：点P 即是角终边与单位圆的交点. 师：它们是函数吗？生：是的，当α给定时，点P 即定，函数值唯一确定. 师：既然是函数，则有三要素，它们的定义域是什么？生：sin y α=，cos y α=的定义域均为R ，tan y α=的定义域是{|k +,k Z}2πααπ≠∈师：很好，我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.其实，我们可以发现，任意角的三角函数是以角作为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，即从角的集合到实数集的一种对应关系.设计意图 这里采用概念同化的学习方式，让学生理解定义的合理性，理解概念的背景和生成过程.4．概念运用例1.（口算）求下列三角函数值：(1)0sin 270; (2)cos3π; (3)3tan()4π-.变式：若已知cos 1θ=-,你能写出θ的一个角吗？ 例2.角α的终边经过点1(,2P ，求它的三角函数值. 设计意图 让学生熟悉定义，从中概括出用定义解题的步骤.. 例3.设sin 0θ<且tan 0θ>,确定θ是第几象限的角.设计意图 通过定义的应用，让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想. 例4.不求值，判断下列三角函数值的符号. (1) 0sin(1060)-; (2) 16cos()5π; (3)0tan556. 设计意图 引出公式一sin(2)sin k απα+⋅=，cos(2)cos k απα+⋅=，tan(2)tan k απα+⋅=，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想.5．探究发现在如图所示的单位圆中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为OP ，则有向线段,,,,,MP OM AT BS OT OS 分别称为角α的正弦线，余弦线，正切线，余切线，正割线和余割线.图中的正弦线M P ，余弦线OM 均为圆O 上的弦的一段.如M P 是圆O 的弦上'PP 的一段，OM 是圆O 的弦'AA上的一段.图中正切线AT ,余切线BS 均为圆O 上的切线段.图中正割线OT ,余割线OS 均为圆O 上的割线段.你能否据此给出三角函数名称的一种几何解释，并说明理由？设计意图 也为即将介绍“三角函数线”埋下伏笔. 6．小结反思通过本节课的学习，谈谈你对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些体会？ 设计意图 让学生回顾所学内容，体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型，它实质上就是以角为自变量，以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等思想方法的应用.。
任意角的三角函数教学设计
“任意角的三角函数”教学设计一、教学目标1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；2．会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值；3．会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量、函数值；4．体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法．二、教学重难点重点：理解任意角三角函数的定义。
难点：引导学生将任意角的三角函数的定义强化，帮助学生真正理解定义。
三、教学过程设计（一）教学情境复习锐角三角函数的定义问题1 对于三角函数我们并不陌生，初中学过锐角三角函数，你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗？任意画一个锐角α，你能借助三角板，根据锐角三角函数的定义找出sinα的值吗？（设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义。
）(二) 认识任意角三角函数的定义问题2 你能借助象限角的概念，用直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗？即将三角函数值用终边上点的坐标表示出来。
，对于这些比值 ，我们以前称之为锐角α的正弦、余弦和正切，统称为锐角α的三角函数。
当角α确定后，比值xy r x r y ,,也是唯一确定的，而与P 点在角终边上的位置无关。
当α是锐角时，x y r x r y ,,（设计意图：比值“坐标化”，与点在终边上的位置无关。
）问题3 既然当角确定后，三角函数值与点P 在终边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，使三角函数的形式更简单？（设计意图：在求简意识的指引下，自然地引出单位圆，同时在对圆周运动寻求函数关系的求解的过程中体会它与锐角三角函数之间的内在联系。
）当α是锐角时，设P (x ,y )是α的终边与单位圆的交点，那么当r=1,则y 就称为锐角α的正弦，x 就称为锐角α的余弦， 就称为锐角α的正切. 记为：类似地，我们可以将锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数： 设α是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为P (x ,y ),则y 叫做α的正弦,记作sin α= y . x 叫做α的余弦,记作c o s α=x ; 叫做α的正切,记作t a n α= 任意角α的正弦、余弦和正切,统称为任意角α的三角函数.x y xy x y ===αααtan ,cos ,sin xy问题4 你能说明上述定义符合函数定义的要求吗？ （设计意图：让学生用函数的三要素说明定义的合理性，以此进一步明确三角函数的对应法则、定义域和值域。
高一数学人教A版必修四教案：任意角的三角函数 Word版含答案
任意角的三角函數教學目的：知識目標：1.復習三角函數的定義、定義域與值域、符號、及誘導公式； 2.利用三角函數線表示正弦、余弦、正切的三角函數值；3.利用三角函數線比較兩個同名三角函數值的大小及表示角的範圍。
能力目標：掌握用單位圓中的線段表示三角函數值，從而使學生對三角函數的定義域、值域有更深的理解。
德育目標：學習轉化的思想，培養學生嚴謹治學、一絲不苟的科學精神； 教學重點：正弦、余弦、正切線的概念。
教學難點：正弦、余弦、正切線的利用。
授課類型：新授課 教學模式：講練結合教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復習引入：1．三角函數的定義及定義域、值域：練習1：已知角α的終邊上一點()P m ，且sin α=cos ,sin αα的值。
解：由題設知x =y m =，所以2222||(r OP m ==+，得r =從而sin4α=m r ==，解得0m =或21662m m =+⇒=當0m =時，r x ==cos 1,tan 0x yxαα==-==；當m =r x ==cos tan x y r x αα====；當m =r x ==cos tan x y r x αα==== 2．三角函數的符號：練習2：已知sin 0α<且tan 0α>， （1）求角α的集合；（2）求角2α終邊所在的象限；（3）試判斷tan ,sin cos 222ααα的符號。
3．誘導公式：練習3：求下列三角函數的值： （1）9cos4π， （2）11tan()6π-， （3）9sin 2π．二、講解新課：當角的終邊上一點(,)P x y 1=時，有三角函數正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數線。
1．單位圓：圓心在圓點O ，半徑等於單位長的圓叫做單位圓。
2．有向線段：坐標軸是規定了方向的直線，那麼與之平行的線段亦可規定方向。
規定：與坐標軸方向一致時為正，與座標方向相反時為負。
3．三角函數線的定義：設任意角α的頂點在原點O ，始邊與x 軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點P (,)x y ， 過P 作x 軸的垂線，垂足為M ；過點(1,0)A 作單位圓的切線，它與角α的終邊或其反向延 長線交與點T .由四個圖看出：當角α的終邊不在坐標軸上時，有向線段,OM x MP y ==，於是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP AT AT x OM OAα====． 我們就分別稱有向線段,,MP OM AT 為正弦線、余弦線、正切線。
高中数学：1.2.1 任意角的三角函数(第1课时) Word版含答案
课题：1.2.1任意角的三角函数（第一课时）一、三维目标：知识与技能: 掌握任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
过程与方法: 通过回忆锐角三角函数概念,体会引入象限角概念后,用角的终边上点的坐标比表示锐角三角形函数的意义,体会用单位圆上的点的坐标表示三角函数的简单,方便,反映本质。
情感态度与价值观: 通过任意角的三角函数的学习，培养科学的态度，体会数学美感。
二、学习重、难点:重点 ：任意角的三角函数的定义。
难点 : 理解定义，用单位圆上的点的坐标刻画三角函数。
三、学法指导: 阅读教材P11-12页.回忆初中学过的锐角三角函数概念,结合象限角概念,在直角坐标系中用角的终边上点的坐标比表示任意角三角形函数.。
四、知识链接: 锐角的三角函数定义(教材P11页)。
五、学习过程：任意角的三角函数的定义：问题1.角推广后，锐角的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?问题2.对于确定的角，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么?单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆。
上述P 点就是α的终边与单位圆的交点, 锐角α的三角函数用单位圆上点的坐标如何表示。
问题3. 任意角的三角函数定义：问题4.任意角的三角函数定义与点P 的位置是否有关？当α的终边落在x 轴、y 轴上时，哪些三角函数值无意义？问题5.三角函数为什么是实数与实数的对应？B 例1.求下列各角的正弦、余弦、正切值:3π、 32π、35π问题6.已知角终边上任一点P (x , y )，如何求它的三角函数值呢?A 例2.已知角α的终边过点P(-2,-4)，求α的正弦、余弦和正切值。
问题7：请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：六、达标训练：A1.口答下列各特殊角的正弦、余弦、正切值：0°、90°、180°、270°、360°。
高中数学人教B版必修4教案：1.2.1 三角函数的定义1 Word版含答案
三角函数的定义一、教学目标1.知识与技能目标（1）理解并掌握任意角三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等；（2）掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域；（3）熟记三角函数在各象限的符号.2.过程与方法目标（1）培养学生应用图形分析数学问题的能力；（2）通过对任意角三角函数的定义的探究，培养学生自主探究、合作交流的能力；3.情感、态度与价值观目标通过三角函数定义的学习，体会同一角的三角函数值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示我们在研究问题时，要在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑，从中体会三角函数，像一般实函数一样，体现了一般函数的抽象美。
二、教学重难点重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的定义域，判定三角函数值的符号.难点：任意角的三角函数的定义.三、教学方法在教学中以问题为核心，采取“导引体验式”教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，引导学生重新定义任意角的三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号．【教学过程】新课例题讲解、变式训练探究：三角函数在各象限的符号．三角函数在各象限的符号如下图所示：例题2. 确定下列各三角函数值的符号：（1）cos260°例题3.设sinα<0且tanα>0, 试确定α是第几象限角？变式训练2.10tan3π（1）（）的符号sin cos0,ααα⋅<（2）则是第几象限角？(3)cos22βββ、已知是第三象限角且<0，问是第几象限角？学生探究得到三角函数在各象限的符号，教师可以引导学生总结口诀，帮助学生记忆：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦．教师：PPT展示求解过程并点明，解决这一类问题主要就是判断角的终边落在哪一个象限，并且熟记三角函数在各个象限的符号.教师也可以借助超级画板动态演示，可以更直观形象的得到三角函数在各象限的符号，符合新课程理念提出的借助信息技术辅助教学，同时也是直观教学的一种体现..例题的讲解主要是让学生体会如何利用三角函数在各象限的符号解决问题，加深学生对这一部分知识的体会.小结本节课所学知识点：内容总结：(1)任意角三角函数的定义．(2三角函数的定义域．(3)任意角三角函数值的符号（记住口诀）．思想方法方面：（1）定义法求解三角函数值.让学生总结，教师适当的提醒给予补充完整．培养学生的语言组织总结能力和数学语言表达能力．O xy＋＋－－sin αO xy＋－＋－cos αO xy＋－－＋tan αsin-3π（2）（）。
高中数学苏教版必修四教学案：第1章 1.2 任意角的三角函数 Word版含答案
第1课时 任意角的三角函数如图，直角△ABC .问题1：如何表示角A 的正弦、余弦、正切值？ 提示：sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b.问题2：如图，锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P (a ，b )，作PM ⊥x 轴，如何用图中的数据表示sin α，cos α，tan α？提示：∵PM ⊥x 轴，∴△OPM 为直角三角形， ∴|OP |＝|OM |2＋|PM |2＝a 2＋b 2，∴sin α＝|PM ||OP |＝b a 2＋b 2，cos α＝|OM ||OP |＝aa 2＋b 2，tan α＝|MP ||OM |＝ba.在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离为r (r ＝x 2＋y 2>0)规定：三角函数定义定义域正弦 sin α＝y r R 余弦cos α＝x rR正切 tan α＝y x{α|α≠k π＋π2，k ∈Z }问题1：由三角函数的定义知sin α在什么条件下函数值为正？ 提示：α的终边在第一、二象限或y 轴正半轴． 问题2：tan α在什么情况下为负数？提示：因tan α＝y x，则x 、y 异号为负数，即α的终边在二、四象限为负数．三角函数值在各象限内的符号，如图所示：如图，由单位圆中的三角函数的定义可知sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. 问题：sin α是否等于PM 的长？若不等，怎样才能相等？提示：不一定，可能等于PM 的长，也可能等于PM 长的相反数，把MP 看成有向线段即可．1．有向线段规定了方向(即规定了起点和终点)的线段． 2．有向线段数量根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量．3．单位圆圆心在原点，半径等于单位长度的圆．4．三角函数线设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M.(1)则有向线段MP、OM就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP＝sin α，OM＝cos α；(2)过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边或角α终边的反向延长线交于点T，则有向线段AT就是角α的正切线，即AT＝tan_α.1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．2．三角函数值的符号，用角α的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，是与坐标轴垂直的线段．这些线段分别可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的一种几何表示．[例1] 已知角α的终边上有一点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．[思路点拨] 由三角函数的定义求三角函数时，应先确定α终边位置．由于含有参数a，而a 的条件为a ≠0，所以必须对a 进行分类讨论．[精解详析] ∵x ＝－3a ，y ＝4a ， ∴r ＝－3a2＋4a2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，角α为第二象限角，∴sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝2×45－35＝1.当a <0时，r ＝－5a ，角α为第四象限角， ∴sin α＝y r ＝4a －5a ＝－45，cos α＝x r ＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－1.[一点通] 已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r ，再由三角函数的定义求出三角函数值．当点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．1．角α的终边过点P (－8m ，－6cos 60°)且cos α＝－45，则m 的值是____________．解析：P (－8m ，－3)，由cos α＝－45可得－8m 64m 2＋9＝－45， 解得m ＝12(m ＝－12不合题意，舍去)．答案：122．已知角α终边上点P (x,3)(x ≠0)，且cos α＝1010x ，求sin α，tan α. 解：∵r ＝x 2＋9，cos α＝x r， ∴1010x ＝xx 2＋9. 又x ≠0，则x ＝±1.∵y ＝3＞0，∴α在第一或第二象限．当α在第一象限时，sin α＝31010，tan α＝ 3.当α在第二象限时，sin α＝31010，tan α＝－3.3．已知角的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解：(1)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1，2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2. (2)当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝ －12＋－22＝5，得sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2.[例2] 确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π 3；(3)tan 191°－cos 191°；(4)sin 3·cos 4·tan 5.[思路点拨] 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号．[精解详析] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.从而tan 108°·cos 305°<0，∴式子符号为负．(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角．∴cos 5π6<0，tan 11π6<0，sin 2π3>0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3>0.∴式子符号为正． (3)∵191°是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0. ∴tan 191°－cos 191°>0. ∴式子符号为正．(4)∵π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. ∴sin 3·cos 4·tan 5>0. ∴式子符号为正．[一点通] 对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．4．判断下列各式的符号： (1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3.解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin 105°＞0，cos 230°＜0. 于是sin 105°·cos 230°＜0. (2)∵π2＜3＜π，∴3是第二象限角，∴cos 3＜0，又－2π3是第三象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＞0， ∴cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＜0.5．已知sin α·tan α>0，则α是第几象限角？解：∵sin α·tan α>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，tan α>0，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α<0，tan α<0.当sin α>0，且tan α>0时，α为第一象限角； 当sin α<0，且tan α<0时，α为第四象限角． ∴α为第一、四象限角.[例3] 分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3与sin 4π5，cos2π3与cos 4π5，tan 2π3与tan 4π5的大小．[思路点拨] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时依据三角函数线的长度和正负．[精解详析] 在直角坐标系中作单位圆如图，以Ox 轴正方向为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox 轴，垂足为M ，由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT .同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.由图形可知：MP >M ′P ′，符号相同⇒sin 2π3>sin 4π5，OM >OM ′，符号相同⇒cos2π3>cos 4π5，AT <AT ′， 符号相同⇒tan 2π3<tan 4π5.[一点通] 利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断．6．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 解析：在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比较可得． 答案：sin 1.5>sin 1.2>sin 17．利用三角函数线，求满足下列条件的角x 的集合． (1)sin x ≤12； (2)cos x ＜32.解：(1)利用角x 的正弦线，作出满足sin x ≤12的角x 的终边所在位置的范围．如图(1)的阴影部分，由图形得角x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－7π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .(2)利用角x 的余弦线，作出满足cos x ＜32的角x 的终边所在位置的范围，如图(2)的阴影部分，由图形得角x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6＜x ＜2k π＋11π6，k ∈Z .1．准确理解三角函数的定义根据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的．2．确定三角函数的符号根据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标y 、横坐标x 的符号；正切值则是纵坐标y 、横坐标x 同号时为正，异号时为负．3．三角函数线的应用三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值大小．课下能力提升(三)一、填空题1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝________.解析：∵α是第三象限角， ∴sin α＜0，cos α＜0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：0 2．有下列命题：(1)若sin α>0，则α是第一、二象限的角； (2)若α是第一、二象限角，则sin α>0； (3)三角函数线不能取负值；(4)若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的序号是________．解析：只有(2)正确；∵sin π2＝1>0，但π2不是第一、二象限角，∴(1)不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴(3)不正确；(4)应是cos α＝x x 2＋y 2(∵α是第二象限角，已有x <0)，∴(4)不正确．答案：(2)3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________．解析：由cos α≤0及sin α＞0知角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上．故⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.答案：(－2,3]4．角α的终边上有一点P (a,4)，且tan α＝43，则3sin α－2cos α的值为________． 解析：∵tan α＝43，∴a ＝3.∴r ＝32＋42＝5，sin α＝45，cos α＝35，∴3sin α－2cos α＝125－65＝65.答案：655．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4； ③tan π8>tan 3π8；④sin 3π5>sin 4π5.其中判断正确的有________．解析：分别作出各角的三角函数线，可知：sin π6＝－sin 7π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4，tanπ8<tan 3π8，sin 3π5>sin 4π5，∴②④正确． 答案：②④ 二、解答题6．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴，若角α终边过点P (－3，y )，且sinα＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α的值． 解：依题意，P 到原点O 的距离r ＝|OP |＝－32＋y 2＝3＋y 2. ∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16. ∴y 2＝73，y ＝±213.∴点P 在第二或第三象限， 且cos α＝－33＋y2＝－33＋73＝－34.7．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.8．已知π4<θ<π2，试用三角函数线比较sin θ，cos θ，tan θ的大小．解：如图，在单位圆中作出正弦线、余弦线、正切线， sin θ＝MP >0, cos θ＝OM >0， tan θ＝AT >0，由图知OM <MP <AT ， 即cos θ<sin θ<tan θ.第2课时 同角三角函数关系若角α的终边与单位圆交于P (x ，y )，如图．问题1：角α的三角函数值是什么？ 提示：sin α＝y .cos α＝x .tan α＝y x. 问题2：sin α与cos α有什么关系？ 提示：sin 2α＋cos 2α＝y 2＋x 2＝1.问题3：sin αcos α的值与tan α有什么关系？提示：sin αcos α＝y x＝tan α.同角三角函数的基本关系式平方关系 sin 2_α＋cos 2_α＝1商数关系tan α＝sin αcos α，其中α≠π2＋k π，k ∈Z同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义．所以sin 2α＋cos 2α＝1对于任意角α∈R 都成立，而tan α＝sin αcos α并不是对任意角α∈R 都成立，此时α≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] (1)若sin α＝－45，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；(2)已知tan α＝2，求2sin α－2cos α4sin α－9cos α的值．[思路点拨] 第(1)题应先利用平方关系求余弦，再由商的关系求正切； 第(2)问先把所求式化为只含tan α的代数式，再代入求值． [精解详析] (1)∵sin α＝－45，α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35，tan α＝sin αcos α＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.(2)∵tan α＝2， ∴2sin α－2cos α4sin α－9cos α＝2tan α－24tan α－9＝2×2－24×2－9＝－2.[一点通] 已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意： (1)角所在的象限；(2)用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；(3)用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tan α＝sin αcos α代入sin α、cos α的值即可求得tan α.1．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________.解析：∵sin α＋cos α＝12，∴(sin α＋cos α)2＝14，即1＋2sin αcos α＝14.∴sin αcos α＝－38.答案：－382．若sin θ－cos θ＝2，则tan θ＋1tan θ＝__________.解析：由已知得(sin θ－cos θ)2＝2， ∴sin θcos θ＝－12.∴tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－2. 答案：－23．若cos α＝513，求sin α和tan α.解：∵cos α＝513>0，∴α是第一或第四象限角．当α是第一象限角时，sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝125；当α是第四象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－5132＝－1213.∴tan α＝sin αcos α＝－125.4．保持本例(2)的条件不变，求4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α的值． 解：4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.[例2] 化简：tan α＋tan αsin αtan α＋sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α·sin α1＋sin α. [思路点拨] 采用切化弦，减少函数种类，以达到化简的目的． [精解详析]原式＝tan α1＋sin αtan α＋sin α·1＋cos αcos α·sin α1＋sin α＝sin αcos αsin αcos α＋sin α·1＋cos αcos α· sin α＝11＋cos α·1＋cos αcos α·sin α＝sin αcos α＝tan α.[一点通] 化简三角函数式的常用方法：(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简． (2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的．5.sin θ－cos θtan θ－1＝________.解析：sin θ－cos θtan θ－1＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝sin θ－cos θsin θ－cos θcos θ＝cos θ.答案：cos θ6．化简1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为________． 解析：原式＝sin 210°－2 sin 10°cos 10°＋cos 210°sin10°－cos 210° ＝sin 10°－cos 10°2sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. 答案：－17．若3π2＜α＜2π，化简：1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α.解：∵3π2＜α＜2π，∴0＜cos α＜1，－1＜sin α＜0，∴原式＝ 1－cos α21＋cos α1－cos α＋1＋cos α21－cos α1＋cos α＝1－cos α21－cos 2α＋1＋cos α21－cos 2α＝ （1－cos α）2sin 2α＋ （1＋cos α）2sin 2α ＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α.[例3] 求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ. [思路点拨] 从较复杂的一边入手，采用切化弦的方式，即把左边的正切值用tan θ＝sin θcos θ替换． [精解详析] 左边＝sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos θsin θ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θcos θ＋cos θ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θsin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． ∴原式成立．[一点通] 证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有： (1)从一边开始证明它等于另一边； (2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．8．求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x1－tan x.证明：法一：右边＝1＋sin x cos x 1－sin x cos x＝cos x ＋sin xcos x －sin x＝cos x ＋sin x2cos x －sin x cos x ＋sin x＝cos 2x ＋sin 2x ＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝左边，∴原式成立． 法二：左边＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos xcos 2x －sin 2x ＝sin x ＋cos x 2cos x ＋sin x cos x －sin x ＝sin x ＋cos xcos x －sin x＝tan x cos x ＋cos x cos x －tan x cos x ＝1＋tan x1－tan x＝右边，∴原式成立．9．求证：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α.证明：左边＝sin α－cos α＋1sin α＋cos α＋1sin α＋cos α－1sin α＋cos α＋1＝sin α＋12－cos 2αsin α＋cos α2－1＝sin 2α＋2sin α＋1－cos 2α1＋2sin αcos α－1＝2sin α1＋sin α2sin αcos α＝1＋sin αcos α＝右边．∴原等式成立．1．对同角三角函数的基本关系式的理解“同角”有两层含义，一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．如：sin 23α＋cos 23α＝1，tan α2＝sinα2cosα2.2．同角三角函数的基本关系式的应用(1)应用同角三角函数关系式时，应灵活选择和使用．如cos 2α＝1－sin 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos α＝sin αtan α，sin α＝tan α·cos α等，上述关系都必须在定义域允许的范围内才成立．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外的三角函数值，且因为利用“平方”关系公式，最终需求平方根，会出现两解，所以要注意角所在的象限．这类问题通常会出现以下这几种情况：①如果已知三角函数值，且角的象限已被指定，那么只有一组解；②如果已知三角函数值，但没有指定角所在的象限，那么先由三角函数值确定角所在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；③如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角所在的象限，则需要分类讨论．课下能力提升(四)一、填空题 1．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m ＝________. 解析：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1， ∴⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1.即(m －3)2＋(4－2m )2＝(m ＋5)2，∴4m 2－32m ＝0. ∴m ＝0或m ＝8 答案：0或82．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝________.解析：∵sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，∴tan α＋12tan α－1＝2.∴tan α＋1＝4tan α－2 即3tan α＝3，∴tan α＝1. 答案：13．化简：cos 4α＋sin 2α·cos 2α＋sin 2α＝________. 解析：cos 4α＋sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＋sin 2α ＝cos 2α＋sin 2α＝1.答案：14．已知tan α＝m (π＜α＜3π2)，则sin α＝________.解析：∵tan α＝m ，π＜α＜3π2.∴m ＞0且sin α＜0.又tan 2α＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α＝m 2. ∴sin 2α＝m 21＋m2.∵sin α＜0，∴sin α＝－m1＋m2.答案：－m1＋m25．若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________. 解析：∵sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α. 又角α的终边落在x ＋y ＝0上， 故角α的终边在第二、四象限． 当α在第二象限时， 原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时， 原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0.答案：0 二、解答题6．已知tan x ＝2，求： (1)cos x ＋sin x cos x －sin x 的值； (2)23sin 2x ＋14cos 2x 的值． 解：(1)cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝1＋21－2＝－3.(2)23sin 2x ＋14cos 2x ＝23sin 2x ＋14cos 2xsin 2x ＋cos 2x＝23tan 2x ＋14tan 2x ＋1＝23×4＋144＋1＝712. 7．求证：tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.证明：法一：左边＝sin 2αsin α－sin α cos α＝sin α1－cos α，右边＝sin α＋sin α cos αsin 2α＝1＋cos αsin α， 而sin 2α＝1－cos 2α， ∴sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，故左边＝右边，∴原式成立．法二：tan α·sin αtan α－sin α－tan α＋sin αtan α·sin α＝tan 2αsin 2α－tan 2α－sin 2αtan α－sin αtan αsin α＝tan 2αsin 2α－1＋sin 2αtan α－sin αtan αsin α＝－tan 2αcos 2α＋sin 2αtna α－sin αtan αsin α＝－sin 2α＋sin 2αtan α－sin αtan αsin α＝0，∴tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.8．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15.求sin x －cos x 的值．解：法一：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75.法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15 ①，sin 2x ＋cos 2x ＝1 ②，由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12＝0， 解得cos x ＝－35，或cos x ＝45.∵－π2<x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos x ＝45，sin x ＝－35，∴sin x －cos x ＝－75.第3课时 三角函数的诱导公式一～四对于任意角α.问题1：2k π＋α(k ∈Z )与α的三角函数之间有什么关系？提示：由于α与2k π＋α(k ∈Z )的终边相同，所以三角函数值对应相等．问题2：观察下图，角π－α，π＋α，－α的终边与角α的终边之间有什么关系？你能利用它们与单位圆的交点的坐标之间的关系推导出它们的三角函数之间的关系吗？提示：π－α，π＋α，－α的终边与α的终边分别关于y 轴，坐标原点，x 轴对称．能.诱导公式角的终边间关系公式公式一终边相同sin(α＋2k π)＝sin_α(k ∈Z )cos(α＋2k π)＝cos_α(k ∈Z ) tan(α＋2k π)＝tan_α(k ∈Z )公式二终边关于x 轴对称sin(－α)＝－sin_αcos(－α)＝cos_α tan(－α)＝－tan_α 公式三终边关于y 轴对称sin(π－α)＝sin_αcos(π－α)＝－cos_α tan(π－α)＝－tan_α 公式四终边关于原点对称sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_α tan(π＋α)＝tan_α公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：(1)记忆方法：2k π＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，一句话概括：即“函数名不变，符号看象限”．(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.[例1] 求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6；(3)tan(－945°)． [思路点拨] 利用诱导公式进行化简求值．[精解详析] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan 945° ＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°) ＝－tan 45°＝－1.[一点通] 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．要准确记忆特殊角的三角函数值．1．tan 690°的值为________．解析：tan 690°＝tan(720°－30°)＝－tan 30°＝－33. 答案：－332．cos 29π6＝________.解析：cos 29π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos(⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.答案：－323．求下列各式的值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos 585°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.解：(1)原式＝sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋7π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π4＝22cos 7π6tan π4 ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝22(－cos π6) ＝－22×32＝－64. (2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6－cos(360°＋225°)⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan 37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π＋π4＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4 ＝－3×33sin 60°－22＝－2＋32.[例2] 化简下列各式：(1)cos π＋α·sin α＋2πsin －α－π·cos －π－α； (2)cos 190°·sin －210°cos －350°·tan －585°. [思路点拨] 利用诱导公式一、二、四将函数值化为α角的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．[精解详析] (1)原式＝－cos α·sin α－sin α＋π·cos π＋α＝－cos α·sin αsin α·－cos α＝1.(2)原式＝cos 190°·－sin 210°cos 350°·－tan 585°＝cos 180°＋10°·sin 180°＋30°cos 360°－10°·tan 360°＋225°＝－cos 10°·－sin 30°cos 10°·tan 225°＝sin 30°tan 180°＋45°＝sin 30°tan 45°＝12.[一点通] 三角函数式的化简有如下方法：(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.4．化简：sin540°＋α·cos －αtan α－180°＝____________.解析：sin 540°＋α·cos －αtan α－180°＝sin[360°＋180°＋α]cos α－tan 180°－α＝sin180°＋αcos αtan α＝－sin αcos αtan α＝－sin αcos αcos αsin α＝－cos 2α.答案：－cos 2α5．设k 为整数，化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α.解：当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )， 原式＝sin 2m π－αcos[2m －1π－α]sin[2m ＋1π＋α]cos 2m π＋α＝sin －αcos π＋αsin π＋αcos α＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )， 原式＝sin 2m π＋π－αcos 2m π－αsin[2m ＋2π＋α]cos[2m ＋1π＋α]＝sin π－αcos －αsin αcos π＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上可知，当k 为整数时sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α＝－1.6．若sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求sin π－α＋5cos 2π－α3cos π－α－sin －α的值．解：由sin(α－π)＝2cos(2π－α)， 得－sin α＝2cos α，所以tan α＝－2.所以原式＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝tan α＋5－3＋tan α＝－2＋5－3＋－2＝－35.[例3] 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos x －1； (2)g (x )＝x 3sin x ；(3)h (x )＝sin 2(π＋x )＋cos(π－x )cos(－x )－3. [思路点拨](1)判断函数的定义域是否关于原点对称． (2)通过判断f (－x )与f (x )的关系得出结论． [精解详析] (1)∵x ∈R ，又f (－x )＝3cos(－x )－1＝3cos x －1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数． (2)∵x ∈R ，又g (－x )＝(－x )3sin(－x )＝x 3sin x ＝g (x )， ∴g (x )为偶函数．(3)∵x ∈R ，h (x )＝sin 2x －cos 2x －3， 又h (－x )＝sin 2x －cos 2x －3＝h (x )， ∴h (x )为偶函数．[一点通] 根据诱导公式可知，正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，余弦函数y ＝cos x 为偶函数，正切函数y ＝tan x 为奇函数．7．函数y ＝cos(sin x )的奇偶性为________． 解析：令f (x )＝cos(sin x )，则f (－x )＝cos[sin(－x )]＝cos(－sin x ) ＝cos(sin x )＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．答案：偶函数8．若函数f (x )＝2cos 3x －sin 2x ＋π－2cos －x －π＋12＋2cos 27π＋x ＋cos －x ，(1)求证：y ＝f (x )是偶函数；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值． 解：(1)证明：∵f (x )＝2cos 3x －sin 2x ＋2cos x ＋12＋2cos 2x ＋cos x ＝2cos 3x －1－cos 2x ＋2cos x ＋12＋2cos 2x ＋cos x ＝2cos 3x ＋cos 2x ＋2cos x 2＋2cos 2x ＋cos x＝cos x 2cos 2x ＋cos x ＋22cos 2x ＋cos x ＋2＝cos x ， 即f (x )＝cos x ，x ∈R .则f (－x )＝cos(－x )＝cos x ＝f (x )， ∴y ＝f (x )是偶函数． (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.诱导公式的应用利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意负角的三角函数――→用公式一或二 任意正角的三角函数――→用公式一0～2π的角的三角函数――→用公式三或四锐角三角函数 可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角再求值”．课下能力提升(五)一、填空题1．sin 480°的值等于________． 解析：sin 480°＝sin(360°＋120°) ＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. 答案：322．化简：cos －αtan 7π＋αsin π＋α＝________.解析：原式＝cos α·tan π＋αsin π＋α＝cos αtan α－sin α＝sin α－sin α＝－1.答案：－13．已知cos(π＋α)＝－12，3π2＜α＜2π，则sin(2π－α)的值是________．解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，又3π2＜α＜2π，∴sin α＝－32， ∴sin(2π－α)＝－sin α＝32. 答案：324．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：∵cos(508°－α)＝1213，∴cos[360°＋(148°－α)]＝1213，即cos(148°－α)＝1213.∴cos(212°＋α)＝cos[360°－(148°－α)] ＝cos(148°－α)＝1213.答案：12135．设函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 013)＝－1，则f (2 014)的值为________．解析：∵f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝－1， ∴f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β) ＝a sin[π＋(2 013π＋α)]＋b cos[π＋(2 013π＋β)] ＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝1. 答案：1 二、解答题 6．求值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)． 解：(1)∵cos 25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝cos π3＝12， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋－4π＝tan π4＝1，∴cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(60°＋360°)cos(30°＋2×360°)＋sin[30°＋(－2)×360°]cos[60°＋(－2)×360°]＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60° ＝32×32＋12×12＝1. 7．已知sin(3π＋θ)＝14，求cos π＋θcos θ[cos π＋θ－1]＋cos θ－2πcos θ＋2πcos π＋θ＋cos －θ的值．解：sin(3π＋θ)＝－sin θ，∴sin θ＝－14.原式＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos θcos θ－cos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2 θ＝32. 8．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角．求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．解：∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．又cos(75°＋α)＝13>0，α为第三象限角，可知角75°＋α为第四象限角， 则有sin(75°＋α)＝－1－cos 275°＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223＝22－13.第4课时 三角函数的诱导公式五～六如图，设角α，π2－α，π2＋α的终边分别与单位圆交于P 1，P 2，P 3.问题1：若点P 1的坐标为(x ，y )，那么P 2，P 3的坐标分别是什么？ 提示：P 2(y ，x )，P 3(－y ，x )．问题2：你能根据P 1，P 2，P 3的坐标间的关系得出α，π2－α，π2＋α的三角函数之间的关系吗？提示：根据三角函数的定义可求出α，π2－α，π2＋α的三角函数值，从而可推出它们之间的关系．诱导公式角的终边间关系 公式公式五 角的终边关于y ＝x 对称sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α 公式六π2＋α的终边与π2－α的终边关于y 轴对称 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α诱导公式五～六的巧记方法π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号看象限”．[例1] 化简：tan 3π－αsin π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋sin 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos 2π＋α.[思路点拨] 充分利用诱导公式及同角三角函数的基本关系进行化简． [精解详析] ∵tan(3π－α)＝－tan α， sin(π－α)＝sin α，sin(2π－α)＝－sin α，cos (2π＋α)＝cos α， sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α， ∴原式＝－tan αsin α－cos α＋－sin α－sin α－cos α·cos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1. [一点通] (1)本题化简主要采用“异角化同角，导名化同名”的解题策略． (2)注意同角三角函数关系的应用，如sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α等．1．化简sin(π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos(π＋α)＝________.解析：原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－(sin 2α＋cos 2α)＝－1. 答案：－12．化简：sin π－α·cos π＋α·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos 3π－α·sin 3π＋α·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝________.解析：原式＝sin α·－cos α·sin α－cos α·－sin α·cos α＝－tan α.答案：－tan α3．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan π－αtan －α－πsin －α－π.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－tan αtan π＋α·sin π＋α＝－cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·－tan αtan α·－sin α＝cos α·sin α－sin α＝－cos α.(2)由于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α＝15，所以sin α＝－15.又α是第三象限角， 所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265，故f (α)＝－cos α＝265.[例2]若sinα＝55，求cos3π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2－αcos 3π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α的值．[思路点拨] 可利用诱导公式首先把所求式进行化简，使化简的结果与已知条件sin α＝55建立联系，最后求得数值． [精解详析]cos 3π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2－αcos 3π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α＝cos[2π＋π－α]cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π2＋α－1＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αcos α－cos α－1＋cos α－cos αcos α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α. ∵sin α＝55，∴2sin 2α＝10. 即原式＝10.[一点通] (1)利用公式五、六化简时一定要注意符号的准确性及名称的变化． (2)求值时整体把握角与角之间的相互关系及恒等变形，这是常用的解题策略．4．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，则sin(3π－α)＝________.解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，∴－sin α＝12，即sin α＝－12.∴sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝－12.答案：－125．已知sin 2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝1，求3sin 2θ＋3sin θ cos θ＋2cos 2θ的值． 解：∵sin 2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝sin θtan θtan π－θ－sin θtan π＋θ＝－sin θtan 2θ－sin θtan θ ＝tan θ＝1. ∴3sin 2θ＋3sin θ cos θ＋2cos 2θ＝3sin 2θ＋3cos 2θsin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2 ＝3＋31＋3＋2＝1.6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．解：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－33， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－33＋33＝0.[例3] 求证： tan2π－αsin －2π－αcos 6π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.[思路点拨] 解答本题可直接把左边利用诱导公式进行化简推出右边． [精解详析]左边＝tan －α·sin －α·cos －αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－tan α·－sin α·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．[一点通] 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活运用，其主要思路是利用诱导公式化同角后，利用同角三角函数关系进行化简证明，可从左边推得右边，也可从右边推得左边．7．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，求证：sinB ＋C2＝cos A2. 证明：∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＋C ＝π－A . ∴B ＋C 2＝π2－A2∴sinB ＋C2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.8．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. 证明：左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原式成立．1．利用诱导公式解决条件求值问题的基本思路 化简条件三角代数式的常见思路有：(1)若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件； (2)若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式； (3)若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止． 2．利用诱导公式证明三角恒等式(1)三角函数式证明的过程也是化简的过程，它是一个经历多次化归，由负角变正角，由大角变小角，一直变到0°～90°角的过程．对同一角的化归方式可以多种多样．(2)证明条件等式，一般有两种方法：一是从被证等式一边推向另一边的适当时候，将条件代入，推出被证式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法．课下能力提升(六)一、填空题1．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α)＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α2．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案：－2。
《任意角的三角函数》优质课教学设计
任意角的三角函数一、教学内容分析三角函数是重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。
任意角的三角函数是学习诱导公式、三角函数的图象与性质的前提。
它不仅是本节的核心概念，也是三角函数内容的核心概念。
由于角的概念的推广，锐角三角函数的概念也必然要扩充，任意角的三角函数的概念的出现是角的概念推广的必然结果。
二、教学目标分析（一）知识与技能1.能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数、任意角的三角函数。
2.了解三角函数是以角为自量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。
3.知道三角函数是研究一个实数集到另一个实数集的对应关系。
（二）过程与方法1.经历从锐角三角函数定义过渡到任意角的三角函数定义的学习过程，体验三角函数概念的产生、发展过程。
2.在定义任意角的三角函数过程中，领悟直角坐标系的工具功能，体会数形结合的魅力。
（三）情感态度与价值观1.引导学生积极探索、深入思考，在任意角三角函数定义建构的过程中，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，培养学生敢于探索、勇于创新的学习品质。
2.在任意角的三角函数概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的能力。
三、学情分析在概念教学过程中要注意学生已有知识经验的作用，发挥其正迁移，防止其负迁移。
本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。
以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。
具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫；第三，由于研究范围的改变，更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的。
高一数学人教A版必修四教案：1.2.1任意角的三角函数Word版含答案
5
2
（ 1） ； （ 2） ； （ 3）
；
3
6
3
13
（4）
．
6
解：图略。
例 2. 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1 sin 2 与 sin 4
2
4
2
4
2
tan 与 tan
3 cot 与 cot
3
5
3
5
3
5
解： 如图可知：
2
4
sin
m ，解得 m 0 或 16 6 2m2 m
5．
4
r
3 m2
当 m 0 时， r 3, x
3，
x
y
cos
1,tan
0；
r
x
当 m 5 时， r 2 2, x
3，
cos 当m
x
6 , tan y
r
4
Байду номын сангаас
x
5 时， r 2 2, x
15
；
3 3，
x cos
r
6
y
, tan
4
x
2．三角函数的符号：
练习 2：已知 sin 0 且 tan
P ( x, y) ，
过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1,0) 作单位圆的切线，它与角
延
的终边或其反向
长线交与点 T . y
y
T
P
A
Mo
x
P A
oM x
（Ⅱ）
y T
（Ⅰ）
y
M
A
o
x
数学苏教版必修4教学设计：1.2.1任意角的三角函数 Word版含解析
教学设计1．2.1任意角的三角函数整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．推进新课新知探究任意角的三角函数1．任意角的三角函数的定义．角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：2．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．图1三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x，y)，它与原点的距离r＝x2＋y2>0.过P作x 轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y.图2根据初中学过的三角函数定义，我们有sinα＝MP OP ＝y r ，cosα＝OM OP ＝x r ，tanα＝MP OM ＝y x. 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，对于确定的角α，比值y r 和x r 都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝π2＋kπ(k ∈Z )时，角α的终边在y 轴上，故有x ＝0，这时tanα无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠π2＋kπ，k ∈Z )，比值y x也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sinα、cosα、tanα分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数(trigonometric function)．由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．图3与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x ，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)sinα不是sin 与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sinα＝y r，因为y 恒有意义，即α取任意实数，y 恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα＝y x ，因为x ＝0时，y x无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，y x恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠π2＋kπ(k ∈Z )．(由学生填写下表)三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究． 应用示例思路1例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．图4解：因为x ＝2，y ＝－3，所以r ＝22＋(－3)2＝13.所以sinα＝y r ＝－313＝－31313，cosα＝x r ＝213＝21313， tanα＝y x ＝－32. 点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解.例2见课本本节例2.思路2例1已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sinα＋3secα＝________.活动：要让学生独立思考这一题目，本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？解析：设角α终边上任一点为P(k ，－3k)(k ≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k|.(1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sinα＝y r ＝－3k 10k＝－31010，secα＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sinα＋3secα＝10×(－31010)＋310＝－310＋310＝0. (2)当k<0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sinα＝y r ＝－3k －10k ＝31010，secα＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sinα＋3secα＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0. 综合以上两种情况均有10sinα＋3secα＝0.答案：0点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k ，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k ，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y ＝－3x 上是一致的．例2求函数y ＝sinα＋tanα的定义域．活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．解：要使函数y ＝sinα＋tanα有意义，则sinα≥0且α≠kπ＋π2(k ∈Z )． 由正弦函数的定义知道，sinα≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负． ∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k ∈Z )．∴函数的定义域是{α|2kπ≤α<π2＋2kπ，或π2＋2kπ<α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }． 点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sinα≥0，且tanα有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.知能训练课本本节练习1～6.课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．作业课本习题1.2 1,5,6.设计感想关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．备课资料一、关于余切、正割、余割函数设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x ，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是cotα＝x y ，secα＝r x ，cscα＝r y. 角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数．二、备用习题1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a ≠0)，则cosα的值是( )A.1313 B.1312 C ．±1313 D ．±213132．已知tanαcosα>0，且tanαsinα<0，则α在( )A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第三、四象限 3．下列各三角函数值中，负值的个数是( )①sin(－660°) ②tan160° ③cos(－740°) ④sin(－420°)cos570° A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.tan (－150°)cos (－210°)cos420°tan (－600°)sin (－330°)＝__________.5．确定下列各式的符号：(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan191°－cos191°.6．已知tanx>0，且sinx ＋cosx>0，则角x 是第__________象限角． 参考答案：1.D 2.A 3.A 4.325．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0. (2)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角． ∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.6．一 解析：由tanx>0，知x 为第一或第三象限角，而当x 是第三象限角时，sinx 与cosx 都取负值，这与sinx ＋cosx>0矛盾，故知角x 是第一象限角．(设计者：房增凤)第2课时导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．推进新课新知探究活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线．2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标．显然，线段OM的长度为|x|，线段MP的长度为|y|，它们都只能取非负值．当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：如果x>0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x<0，OM与x轴正向相反(即反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.如果y>0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y<0，把MP看作与y轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MP＝y.引导学生观察OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sinα＝yr ＝y1＝y＝MP，cosα＝xr＝x1＝x＝OM.这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线． 类似地，我们把OA 、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tanα＝y x ＝ATOA＝A T.这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做角α的正切线(如图6、7)．当角α终边在y 轴的右侧时(图6)，在角α终边上取点T(1，y ′)，则tanα＝y ′1＝y ′＝AT(A 为单位圆与x 轴正半轴的交点)；当角α终边在y 轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y ′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y ′)在角α终边上，故有tanα＝－y ′－1＝y ′＝AT.图6 图7即总有tanα＝A T.因此，我们把有向线段AT叫做角α的正切线．有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线．当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．图8师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．应用示例例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP 于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.图9活动：根据三角函数线的定义，可知sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，co sβ＝ON，tanβ＝AT′.答案：MP OM AT NQ ON AT′点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.例2证明恒等式11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋sec 2α＋11＋csc 2α＝2.活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子．证法一：设M(x ，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r ，由三角函数定义，有 sinα＝y r ，co sα＝x r ，secα＝r x ，cscα＝ry .原式左边＝11＋y 2r 2＋11＋x 2r 2＋11＋r 2x2＋11＋r 2y2＝r 2r 2＋y 2＋r 2r 2＋x 2＋x 2r 2＋x 2＋y 2r 2＋y 2 ＝r 2＋y 2r 2＋y 2＋r 2＋x 2r 2＋x 2 ＝2＝右边． ∴原等式成立． 证法二：左边＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋1cos 2α＋11＋1sin 2α＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α1＋sin 2α ＝1＋sin 2α1＋sin 2α＋1＋cos 2α1＋cos 2α ＝2 ＝右边． ∴左边＝右边． ∴原等式成立．点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边.知能训练课本本节练习7、8.课堂小结本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．作业利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sinα＋cosα>1；(2)sin2α＋cos2α＝1.证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P，过P作PM⊥x轴于M，则sinα＝MP，cosα＝OM.图10(1)在Rt △OMP 中，MP ＋OM>OP ， 即sinα＋cosα>1.(2)在Rt △OMP 中，MP 2＋OM 2＝OP 2， 即sin 2α＋cos 2α＝1.设计感想对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．备课资料一、一个三角不等式的证明 已知θ∈(0，π2)，求证：sinθ<θ<tanθ.证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 于点T ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则MP ＝sinθ，AT ＝tanθ，的长为θ，连结PA.图11∵S △OPA <S 扇形OPA <S △OAT ， ∴12|OA||MP|<12|OA|2·θ<12|OA||AT|. ∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ<AT ，即sinθ<θ<tanθ. 二、备用习题1．若π4<θ<π2，则sinθ，cosθ，tanθ的大小关系是( )A ．tanθ<cosθ<sinθB ．sinθ<tanθ<cosθC ．cosθ<tanθ<sinθD ．cosθ<sinθ<tanθ 2．若0<α<2π，则使sinα<32和cosα>12同时成立的α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3)C ．(5π3，2π)D ．(0，π3)∪(5π3，2π)3．在(0,2π)内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是__________． 4．设0<β<α<π2，求证：α－β>sinα－sinβ.5．当α∈[0,2π)时，试比较sinα与cosα的大小．参考答案：1.D 2.D 3.(π4，5π4)4．证明：如图12，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C ⊥P 1M 于C ，连结P 1P 2，图12则sinα＝M 1P 1，sinβ＝M 2P 2，α－β＝，∴α－β＝>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sinα－sinβ，即α－β>sinα－sinβ.5．解：如图13.(1)当0≤α<π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x 1，y 1)，此时x 1>y 1，而sinα＝y 1，图13cosα＝x 1，∴cosα>sinα.(2)当α＝π4时，x 1＝y 1，此时sinα＝cosα. (3)当π4<α≤π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 2(x 2，y 2)，此时y 2>x 2，而sinα＝y 2，cosα＝x 2，∴sinα>cosα.(4)当π2<α≤π时，sinα≥0，cosα<0，∴sinα>cosα. (5)当π<α<5π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 3(x 3，y 3)，此时x 3<y 3<0，而sinα＝y 3，cosα＝x 3，∴sinα>cosα.(6)当α＝5π4时，有sinα＝cosα. (7)当5π4<α≤3π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 4(x 4，y 4)，此时y 4<x 4<0，而sinα＝y 4，cosα＝x 4，∴sinα<cosα.(8)当3π2<α<2π时，cosα≥0，sinα<0， ∴cosα>sinα.综上所述，当α∈(π4，5π4)时，sinα>cosα；当α＝π4或5π4时，sinα＝cosα；当α∈[0，π4)∪(5π4，2π)时，sinα<cosα.(设计者：房增凤)。
高一数学人教A版必修四教案：1.2.1任意角的三角函数Word版含答案
当角的终边上一点 P(x, y)的坐标满足'..x 2y 21时，有三角函数正弦、任意角的三角函数教学目的： 知识目标: 能力目标: 1. 复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2. 利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值； 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、 值域有更深的理解。
学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点 教学难点 授课类型 教学模式 教德育目标： 正弦、余弦、正切线的概念。
正弦、余弦、正切线的利用。
新授课 讲练结合 具：多媒体、实物投影仪教学过程： 一、复习引入： i .三角函数的定义及定义域、值域: 练习1 :已知角的终边上一点P( - 3，m )，且sin£，求 y m ，所以 r 2 |OP |2 ( 3)2cos ,sin 的值解：由题设知x 打,2m m 4 r r .3, x 从而sin 0时,；m2，解得m 0或16 3 m 3 ,cos 1,tan - coscosr.5 时，r 2「2, xx. 6 丄y,tanr 4 x ,5 时，r 2.2, x x 、6 ,tan r 4 .3 二 .15 ； 3 ； 3, .15 3 .2m 22.三角函数的符号：练习2 :已知sin 0 且 ta n (1)求角 的集合; (2)求角 7终边所在的象限；(3)试判断 tan ,sin cos —2 2 2的符 号。
3.诱导公式： 练习3 :求下列三角函数的值： 9 “ 11、 (1) cos , (2) tan( ), 4 6二、讲解新课：(3) sin92正切值的几何表示一一三角函数线。
1 •单位圆：圆心在圆点 0,半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2 •有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
课教学设计任意角三角函数1Word版含答案
随意角的三角函数教课方案一、教课内容分析三角函数是描绘客观世界中周期性变化规律的重要数学模型,在其余学科领域也有着广泛的应用.随意角的三角函数是函数的下位看法,它成立在《数学1》中函数看法的基础上,是对锐角三角函数看法的扩充.引入锐角三角函数的看法,目的是为了研究三角形中的边角关系,定义重视于从几何的角度,在直角三角形中获得角与边的比值之间确实定关系.而引入随意角三角函数的看法,是为了研究周期变化现象,定义重视于从代数的角度,以单位圆为工具,获得角和其终边与单位圆交点坐标确实定关系.在弧度制下,是数集到数集的映照.本节课是在学习完“随意角和弧度制”后的第一节新讲课,教材中对随意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究随意角的三角函数作用看,单位圆定义法显得更加简单直观,为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看,单位圆定义法对描绘周期性变化规律模型起到推进作用.所以,本教课方案从学生已有的反应周期现象变化的平时经验出发,以数学实质应用为线索,达成随意角的三角函数的建构过程.二、教课目的知识与技术：理解随意角三角函数的定义,建立映照看法,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.过程与方法：经历单位圆定义法,培育合情猜想的能力 ,领会函数模型的作用 .感情、态度与价值观：经过学生踊跃参加知识“发现”与“形成”的过程,加深对数学概念实质的理解,感悟数学看法的谨慎性与科学性.要点: 随意角三角函数的定义.难点：随意角三角函数看法的建构过程 .三、教课流程1．复习经过对随意角的看法的学习,你以为它与初中角的看法有什么差别？设计企图对随意角看法的理解是学习本节课的基础.2．创建情境、引出主题问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为h0,它的直径为2r,逆时针方向做匀速转动,转动一周需要360秒,若此刻你坐在坐舱中,从初始地点点A出发,求相关于地面的高度h与时间t的函数关系式.师：让我们一同剖析一下,在整个运动过程中,高度h是如何变化的?师生：开始高度h先逐渐增高至最高点,再逐渐降低至最低点,再逐渐高升,最后回到初始地点；第二周,第三周, ,循环往复,体现周期现象.设计企图以解决实质问题为背景,引入随意角三角函数看法 ,突出研究问题的“周期性”特色.师：我们该用如何的函数模型来刻画这类运动呢？让我们先从特别情况下手.比如,过了20s后,人距离地面的高度是多少？生：h h0rsin200.PθAOM师：你能对这个式子做一解说吗？生：h0表示水平地点OA距离地面的高度,rsin200表示P距离水平地点OA的高度,即h h0|MP|.师：假如过了40s呢？对上边式子做如何改正？师生：将200换成400,即：h hrsin400.一般地,过了t秒呢？猜想:h hrsint师：这样猜想合情,但合理吗？跟着摩天轮的转动,POA从最先的锐角被推行到了随意角.对随意角,sin该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容,随意角的三角函数.设计企图为引出随意角的三角函数做准备,依据从特别到一般地策略来研究,让学生感觉到接下来学习新知识的必需性. 3．看法生成师：当P 在水平但地点OA上方时,h0|MP|P,h h0-|MP|,h在水平地点OA下方时即：；当hh0|MP|与hh0rsint对比较,要想二者和睦一致,一定有：rsint|MP|,即：sintMP.r师生小结：当点P在圆周上运动时,POA随之变化,任一个POA,对应着独一点P,进而有独一|MP|,获得：sint MP.r师：可是这样表述|MP|时,仍是不够简短,MP何时取正当,何时取负值？可否用一个量去代替MP,使上述表示形式更简单？它的绝对值与方表示负的.MP的长度相等,符号在OA上方表示正的,OA下生:引入直角坐标系,用点P的纵坐标y来代替|MP|或-|MP|.设计企图师：接下来让学生感觉到随意角三角函数定义中,我们把角放在平面直角坐标系中,坐标系的引入是自然的,以原点为圆心,半径为,有必需的.r做圆,与角的终边交于点P,假定点P坐标为(x,y),利用我们方才对上述问题的剖析,这里,sin=y.r师：当是锐角时,此规定与初中规定能否符合？生：符合,利用初中对锐角三角函数定义,sin=|MP|,|MP|即y,|OP|即r.|OP|师：三角函数只有这一个吗？生：还有余弦,正切.师：你能模仿正弦给出它们的近似定义吗？生：cos x,tan yr x师：从高中函数定义来看,他们是真实意义上的函数吗？生：是的,随意给定角,其终边独一确立,终边与圆的交点P就独一确立,比值随之独一确定.师：比值会跟着点P在终边上的变化而变化吗？y生：不会,由相像三角形知识,比值是独一确立的.是随意角呢,我们不如师：很好,随意给定独一确立比值.那假如|OP|=rP(x,y)假定此时终边落在第二象限,终边与圆的交点仍旧是P,坐标为(x,y),αOysinα=rxcosα=rxytanα=x明显,我们已经不可以把放在一个锐角三角形内,可是我们相同能够发现,当给定后,终边独一确立,其与圆的交点P独一确立,仍旧切合函数的定义.师：这类比值形式能进一步简化吗？生：另r=1,则sin=y,cosx,tanyx师：此时点P拥有什么特色？生：点P即是角终边与单位圆的交点.师：它们是函数吗？生：是的,当给准时,点P即定,函数值独一确立.师：既然是函数,则有三因素,它们的定义域是什么？生：ysin,ycos的定义域均为R,ytan的定义域是{|k+,kZ}2师：很好,我们就把上边这三个函数称为随意角的三角函数.其实,我们能够发现,随意角的三角函数是以角作为自变量,以坐标或许坐标的比值为函数值的函数,即从角的会合到实数集的一种对应关系.设计企图这里采纳看法同化的学习方式,让学生理解定义的合理性 ,理解看法的背景和生成过程.4．看法运用例1.（口算）求以下三角函数值：(1)sin2700; (2) cos3 ; (3) tan( 3).4变式：若已知cos1,你能写出的一个角吗？例2.角的终边经过点P(1,3),求它的三角函数值.22设计企图让学生熟习定义,从中归纳出用定义解题的步骤..例3.设sin 0且tan0,确立是第几象限的角.设计企图经过定义的应用,让学生认识三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律,并从中进一步理解三角函数的看法,领会数形联合的思想 . 例4.不求值,判断以下三角函数值的符号.(1)sin(10600);(2)cos(16);(3)tan5560.5设计企图引出公式一sin(k2)sin,cos(k2)cos,tan(k2)tan,突出函数周期变化的特色,以及数形联合的思想 .5．研究发现在如下图的单位圆中,角的极点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边为OP,则有向线段MP,OM,AT,BS,OT,OS分别称为角的正弦线,余弦线,正切线,余切线,正割线和余割线.图中的正弦线MP,余弦线OM均为圆O上的弦的一段.如MP是圆O的弦上PP'的一段,OM是圆O的弦AA'上的一段.图中正切线AT,余切线BS均为圆O上的切线段.图中正割线OT,余割线OS均为圆O上的割线段.你可否据此给出三角函数名称的一种几何解说,并说明原因？B y SP T设计企图针对学生素质差别,设计有层次的思虑题,留给学生课后自主研究,αxA'OMA也为马上介绍“三角函数线”埋下伏笔.P'6．小结反省经过本节课的学习,说说你对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些领会？设计企图让学生回首所学内容,领会随意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型,它实质上就是以角为自变量,以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.领会数形联合、化归等思想方法的应用.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
任意角的三角函数教学设计
一、教学内容解析
三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型,在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念,它建立在《数学1》中函数概念的基础上,是对锐角三角函数概念的扩张.
引入锐角三角函数的概念,目的是为了研究三角形中的边角关系,定义侧重于从几何的角度,在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念,是为了研究周期变化现象,定义侧重于从代数的角度,以单位圆为工具,得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下,是数集到数集的映射.
本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课,教材中对任意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看,单位圆定义法显得更为简单直观,为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看,单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此,本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发,以数学实际应用为线索,完成任意角的三角函数的建构过程.
二、教学目标
知识与技能：理解任意角三角函数的定义,树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
过程与方法：经历单位圆定义法,培养合情猜测的能力,体会函数模型的作用.
情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程,加深对数学概念本质的理解,感悟数学概念的严谨性与科学性. 重点: 任意角三角函数的定义.
难点：任意角三角函数概念的建构过程.
三、教学流程
1．复习
通过对任意角的概念的学习,你认为它与初中角的概念有什么区别？ 设计意图 对任意角概念的理解是学习本节课的基础. 2．创设情境、引出主题
问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为0h ,它的直径为2r ,逆时针方向做匀速转动,转动一周需要360
秒,若现在你坐在座舱中,从初始位置点A 出发,求相对于地面的高度h 与时间t 的函数关系式.
师：让我们一起分析一下,在整个运动过程中,高度h 师生：开始高度h 先渐渐增高至最高点,再渐渐降低至最低点,最后回到初始位置；第二周,第三周,…,周而复始,呈现周期现象设计意图 以解决实际问题为背景,引入任意角三角函数概念,的“周期性”特点.
师：我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢？
让我们先从特殊情形入手.例如,过了20s 后,生：00sin20h h r =+.
师：你能对这个式子做一解释吗？
生：0h 表示水平位置OA 距离地面的高度,0
sin 20r 表示P 距离水平位置OA 的高度,即
0|MP|h h =+.
师：如果过了40s 呢？对上面式子做怎样修改？
师生：将0
20换成0
40,即：00sin40h h r =+.一般地,过了t 秒呢？猜想: 0sin h h r t =+ 师：这样猜想合情,但合理吗？随着摩天轮的转动,POA ∠从最初的锐角被推广到了任意角.对任意角α,
sin α该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容,任意角的三角函数.
设计意图 为引出任意角的三角函数做准备,按照从特殊到一般地策略来探究,让学生感受到接下来学习
新知识的必要性. 3．概念生成
师：当P 在水平但位置OA 上方时,0|MP|h h =+；当P 在水平位置OA 下方时,0-|MP|h h =,即：
0|MP|h h =±
与0sin h h r t =+相比较,要想两者和谐统一,必须有：sin |MP|r t =±,即：MP
sin r
t =±
. 师生小结：当点P 在圆周上运动时,POA ∠随之变化,任一个POA ∠,对应着唯一点P ,进而有唯一
||MP ,得到：MP
sin r
t =±
. 师：不过这样表述|MP|±时,还是不够简洁,M P 何时取正值,何时取负值？能否用一个量去代替MP ±,
使上述表示形式更简单？它的绝对值与M P 的长度相等,符号在OA 上方表示正的,OA 下方表示负的.
生:引入直角坐标系,用点P 的纵坐标y 来替代||MP 或-||MP .
设计意图 让学生感受到任意角三角函数定义中,坐标系的引入是自然的,有必要的.
师：接下来,我们把角α放在平面直角坐标系中,以原点为圆心,半径为r 做圆,与角α的终边交于点P ,
假设点P 坐标为(,)x y ,利用我们刚才对上述问题的分析,这里,sin =y r
α. 师：当α是锐角时,此规定与初中规定是否吻合？ 生：吻合,利用初中对锐角三角函数定义,|MP|
sin =
|OP|
α,|MP|即y ,|OP|即r .
师：三角函数只有这一个吗？ 生：还有余弦,正切.
师：你能仿照正弦给出它们的类似定义吗？ 生：cos x r α=
,tan y x
α= 师：从高中函数定义来看,他们是真正意义上的函数吗？
生：是的,任意给定角α,其终边唯一确定,终边与圆的交点P 就唯一确定,比值随之唯一确定.
师：比值会随着点P 在终边上的变化而变化吗？ 生：不会,由相似三角形知识,比值是唯一确定的.
师：很好,任意给定α→唯一确定比值.那如果α是任意角呢,我们不妨 假设此时α终边落在第二象限,终边与圆的交点仍然是P ,坐标为(,)x y ,
显然,我们已经不能把α放在一个锐角三角形内,但是我们同样可以发现,唯一确定,
其与圆的交点P 唯一确定,仍然符合函数的定义. 师：这种比值形式能进一步简化吗？ 生：另=1r ,则sin =y α,cos x α=,tan y x
α= 师：此时点P 具有什么特点？ 生：点P 即是角终边与单位圆的交点. 师：它们是函数吗？
生：是的,当α给定时,点P 即定,函数值唯一确定. 师：既然是函数,则有三要素,它们的定义域是什么？
生：sin y α=,cos y α=的定义域均为R ,tan y α=的定义域是{|k +
,k Z}2
π
ααπ≠∈
师：很好,我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.其实,我们可以发现,任意角的三角函数是
以角作为自变量,以坐标或者坐标的比值为函数值的函数,即从角的集合到实数集的一种对应关系.
设计意图 这里采用概念同化的学习方式,让学生理解定义的合理性,理解概念的背景和生成过程.
4．概念运用
例1.（口算）求下列三角函数值：
(1)0
sin 270; (2)cos3π; (3)3tan()4
π-.
变式：若已知cos 1θ=-,你能写出θ的一个角吗？ 例2.角α的终边经过点1(,2P ,求它的三角函数值. 设计意图 让学生熟悉定义,从中概括出用定义解题的步骤.. 例3.设sin 0θ<且tan 0θ>,确定θ是第几象限的角.
设计意图 通过定义的应用,让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律,并从中进一步理解三角函数的概念,体会数形结合的思想. 例4.不求值,判断下列三角函数值的符号. (1) 0
sin(1060)-; (2) 16
cos()5
π; (3)0tan556. 设计意图 引出公式一
sin(2)sin k απα+⋅=,cos(2)cos k απα+⋅=,tan(2)tan k απα+⋅=,突出函数周期变
化的特点,以及数形结合的思想. 5．探究发现
在如图所示的单位圆中,角α的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边为OP ,则有向线段
,,,,,MP OM AT BS OT OS 分别称为角α的正弦线,余弦线,正切线,余切线,正割线和余割
线.图中的
正弦线M P ,余弦线OM 均为圆O 上的弦的一段.如M P 是圆O 的弦上'
PP 的一段,OM 是圆O 的弦'AA
上的一段.图中正切线AT ,余切线BS 均为圆O 上的切线段.图中正割线OT ,余割线OS 均为圆O 上的割
线段.你能否据此给出三角函数名称的一种几何解释,并说明理由？
设计意图 针对学生素质差异,设计有层次的思考题,留给学生课后自主探究, 也为即将介绍“三角函数线”埋下伏笔. 6．小结反思
通过本节课的学习,谈谈你对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些体会？ 设计意图 让学生回顾所学内容,体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型,它实质上就是以
角为自变量,以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等
思想方法的
应用.。