第24章圆导学案[人教版初三九年级] 24.2.1切线长定理
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线长定理三角形的内切圆内心》优课导学案_0
切线长定理
一、教学目标：
知识目标：1．理解切线长的概念。
2．掌握切线长定理及其应用。
能力目标：培养学生识图能力和逻辑思维能力。
情感目标：激发学生学习兴趣，培养探索精神和创新能力。
德育目标：渗透事物之间相互转化的思想，培养学生良好的学习习惯
和严谨的思维品质。
二、教学重点：切线长定理的应用。
教学难点：切线长定理的灵活应用。
突破关键：切线长定理的理解。
教学方法：观察、探究、讨论、概括等多种方法。
三、教学过程：
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，若∠APB=60°，PA=6cm，那么⊙O
是 .
探究加深：
芜湖经济技术开发区
九年级数学公开课
课题：§24.2.2直线和圆的位置关系（第三课时）
切线长定理
授课：张晓明
时间：2012年10月31日
班级：芜湖市第33中学
（安师大附中城北分校）
九（3）班。
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理教案
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。
人教版数学九年级上册第二十四章《圆》导学案(精品教学设计)
第二十四章圆24．1 圆的有关性质24. 1. 1 圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O 的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图) ,第4题图) 4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图) ,第6题图)6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC ＝10 cm ，求OD 的长．解：5 cm.点拨精讲：这里别忘了圆心O 是直径AB 的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.2 垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm__．2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm__．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为__3_cm__．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE，∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm.3．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE⊥AB 于点E.则AE ＝BE ，CE ＝DE.∴AE －CE ＝BE －DE.即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.(1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm.由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm.∴EF ＝OE ＋OF ＝22 (cm)．即AB 与CD 之间距离为22 cm.(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图②，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm.由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm.∴EF ＝OE －OF ＝8 (cm)．即AB 与CD 之间距离为8 cm.由(1)(2)知AB 与CD 之间的距离为22 cm 或8 cm.点拨精讲：分类讨论，①AB ，CD 在点O 两侧，②AB ，CD 在点O 同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.3 弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P83～84内容，回答下列问题．探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，(1)如果AB ＝CD ，那么__AB ︵＝CD ︵，__∠AOB＝∠COD __；(2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__AB ＝CD__，__∠AOB＝∠COD；(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB ＝CD__，AB ︵＝CD ︵__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO _≌_△ABO __；(2)__AD 垂直平分BC__；(3)AB ︵＝AC ︵.2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.又∵∠ACB＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠BOC＝∠AOC.,第2题图),第3题图)3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵.求证：AB ＝CD.(2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵.证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，∴DC ︵＝AB ︵，∴AB ＝CD.(2)∵AD＝BC ，∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数．解：30°.,第3题图) ,第4题图)4．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件．(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AMN＝∠CNM.∵AB ＝CD ，M ，N 为AB ，CD 中点，∴OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMA ＝∠ONC，∠OMN ＝∠ONM，∴∠OMA －∠OMN＝∠ONC－∠ONM.即∠AMN＝∠CNM.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数．解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，它们的延长线交⊙O 于点A ，B.(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形．理由：过点O 作OG⊥CD 于点G ，则CG ＝DG.∵CE＝DF ，∴CG －CE ＝DG －DF.∴EG ＝FG.∵OG⊥CD，∴OG 为线段EF 的垂直平分线．∴OE ＝OF ，∴△OEF 为等腰三角形．(2)证明：连接AC ，BD.由(1)知OE ＝OF ，又∵OA＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE.∵∠CEA ＝∠OEF，∠DFB ＝∠OFE，∴∠CEA ＝∠DFB.在△CEA 与△DFB 中，AE ＝BF ，∠CEA ＝∠BFD，CE ＝DF ，∴△CEA ≌△DFB ，∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦等来证弧等．3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是AO ，BO 的中点．CM⊥AB，DN⊥AB ，分别与圆交于C ，D 点．求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接AC ，OC ，OD ，BD.∵M ，N 为AO ，BO 中点，∴OM ＝ON ，AM ＝BN.∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO＝90°.在Rt △CMO 与Rt △DNO 中，OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴CM ＝DN.在Rt △AMC 和Rt △BND 中，AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND，CM ＝DN ，∴△AMC ≌△BND.∴AC ＝BD.∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：连接AC ，OC ，OD ，BD ，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.4 圆周角1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P85～87，完成下列问题．归纳：1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__．5．圆内接四边形的对角__互补__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A ＝65°，求∠D 的度数． 解：65°.,第1题图),第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，求圆周角∠BAC 的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数．解：65°.,第3题图) ,第4题图)4．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC 的中点，那么∠DAC 的度数是多少？解：29°.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图所示，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB，若∠ABO＝25°，则∠C＝__65°__．,第1题图) ,第2题图) 2．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB＝__64°__．3．如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O 于D，求BC，AD，BD的长．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∴BC＝AB2－AC2＝8 (cm)．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD.由AB为直径，知AD⊥BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD2＋BD2＝2AD2＝2BD2＝AB2，∴AD＝5 2 cm，BD＝5 2 cm.点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．如图所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD＝5 cm，则BE＝__10_cm__．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．,第1题图) ,第2题图) 2．如图所示，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝__30°__．3．OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角，∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝2∠ACB.同理∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB ＝2∠BOC，∴∠ACB ＝2∠BAC.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．4．如图，在⊙O 中，∠CBD ＝30°，∠BDC ＝20°，求∠A.解：∠A＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆周角的定义、定理及推论．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2 点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1 点和圆的位置关系1. 结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．重点：点和圆的位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．难点：反证法的证明思路．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P92～94.归纳：1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d ＞r__；点P在圆上⇔__d＝r__ ；点P在圆内⇔__d＜r__ .2.经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆；它们的圆心__在线段AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一个__圆．3．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．任意三角形的外接圆有__一个__，而一个圆的内接三角形有__无数个__．4．用反证法证明命题的一般步骤：①反设：__假设命题结论不成立__；②归缪：__从假设出发，经过推理论证，得出矛盾__；③下结论：__由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P 与⊙O的位置关系是点__P在圆内__．2．在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是__4或6__．3．△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的度数是__62°或118°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？(用反证法证明)2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是怎样的？点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．3．如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线l 上有A，B，C三点，AD＝6，BD＝8，CD＝9，问A，B，C三点与⊙O的位置关系是怎样的？点拨精讲：垂径定理和勾股定理的综合运用．4．用反证法证明“同位角相等，两直线平行”．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的__内部__．2．已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足__0<r<5__．3．已知⊙O的半径为5，M为ON的中点，当OM＝3时，N点与⊙O的位置关系是N在⊙O的__外部__．4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求△ABC的外接圆半径．解：连接AO并延长交BC于点D，再连接OB，OC.∵AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC.∵AO＝BO＝CO，∴∠OAB＝∠OAC.又∵△ABC为等腰三角形，∴AD⊥BC，∴BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中， ∵AB ＝10，∴AD ＝AB 2－BD 2＝8.设△ABC 的外接圆半径为r.则在Rt △BOD 中，r 2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254. 即△ABC 的外接圆半径为254. 点拨精讲：这里连接AO ，要先证明AO 垂直BC ，或作AD⊥BC，要证AD 过圆心．5．如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm.(1)以点A 为圆心，4 cm 为半径作⊙A，则点B ，C ，D 与⊙A 的位置关系是怎样的？(2)若以A 点为圆心作⊙A，使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？解：(1)点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外，点D 在⊙A 上；(2)3＜r ＜5.点拨精讲：第(2)问中B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，必然是离点A 最近的点B 在圆内；至少有一点在圆外，必然是离点A 最远的点C 在圆外．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r.2．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(1)1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系及相关概念．2．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．重点：判断直线与圆的位置关系．难点：理解圆心到直线的距离．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P95～96.归纳：1．直线和圆有__两个__公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__．2．直线和圆有__一个__公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__．3．直线和圆有__零个__公共点时，直线和圆相离．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l和⊙O 相交⇔__d＜r__；直线l和⊙O相切⇔__d＝r__；直线l和⊙O相离⇔d＞r__．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，AB＝6 cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为23．已知⊙O的半径r＝3 cm，直线l和⊙O有公共点，则圆心O到直线l 的距离d的取值范围是0≤d≤3__．4．已知⊙O的半径是6，点O到直线a的距离是5，则直线a与⊙O的位置关系是__相交__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．已知⊙O的半径是3 cm，直线l上有一点P到O的距离为3 cm，试确定直线l和⊙O的位置关系．解：相交或相切．点拨精讲：这里P到O的距离等于圆的半径，而不是直线l到O的距离等于圆的半径．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是多少？解：r＝125或3＜r≤4.点拨精讲：分相切和相交两类讨论．3．在坐标平面上有两点A(5，2)，B(2，5)，以点A为圆心，以AB的长为半径作圆，试确定⊙A和x轴、y轴的位置关系．解：⊙A与x轴相交，与y轴相离．点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径作圆．①当r满足__0＜r＜125__时，⊙C与直线AB相离．②当r满足__r＝125__时，⊙C与直线AB相切．③当r满足__r＞125__时，⊙C与直线AB相交．2．已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线a的距离为3 cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相交．直线a与⊙O的公共点个数是__2个__．3．已知⊙O的直径是6 cm，圆心O到直线a的距离是4 cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相离__．4．已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且|d－3|＋(6－2r)2＝0.试判断直线与⊙O的位置关系．解：相切．5．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，d，r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，且直线l与⊙O相切，求m的值．解：m＝0或m＝－8.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．直线与圆的三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(2)1. 理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．难点：切线的判定和性质及其运用．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P97～98.归纳：1．经过__半径的外端__并且__垂直于这条半径__的直线是圆的切线．2．切线的性质有：①切线和圆只有__1个__公共点；②切线和圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心__和切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于C ，AB ＝3 cm ，PB ＝4 cm ，则BC ＝__125__cm.2．如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上一点，过点D 作⊙O 的切线AD ，BA ⊥DA 于点A ，BA 交半圆于点E ，已知BC ＝10，AD ＝4，那么直线CE与以点O 为圆心，52为半径的圆的位置关系是__相离__．3．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于点D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下面结论正确的有__①②③④__．①AD ⊥BC ； ②∠EDA＝∠B；③OA ＝12AC; ④DE 是⊙O 的切线．4．如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ，若AD ＝2，TC ＝3，则⊙O 的半径是．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，E 是BC 边上的中点，连接PE ，则PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．解：相切；证明：连接OP ，BP ，则OP ＝OB.∴∠OBP ＝∠OPB.∵AB 为直径，∴BP ⊥PC.在Rt △BCP 中，E 为斜边中点，∴PE ＝12BC ＝BE. ∴∠EBP ＝∠EPB.∴∠OBP ＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB.即∠OBE＝∠OPE.∵BE 为切线，∴AB ⊥BC.∴OP ⊥PE ，∴PE 是⊙O 的切线．2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD∥OC，连接CD.求证：(1)点E 是BD ︵的中点；(2)CD 是⊙O 的切线．证明：略．点拨精讲：(1)连接OD，要证弧等可先证弧所对的圆心角等；(2)在(1)的基础上证△ODC与△OBC全等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．教材P98的练习．2．如图，∠ACB＝60°，半径为1 cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是__cm.,第2题图) ,第3题图) 3．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P 的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P与直线CD相切．4．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10 cm，小圆半径为6 cm，则弦AB的长为__16__cm.,第4题图) ,第5题图) 5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A＝25°，则∠D＝__40°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆的切线的判定与性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(3)1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P99～100.归纳：1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的__线段长__叫做切线长．2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线的夹角，这就是切线长定理．3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C ，图中互相垂直的直线共有__3__对．,第1题图) ,第2题图)2．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝__60__度．3．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是__4__．,第3题图) ,第4题图)4．⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOF ＝120°，则∠DOE＝__146°，∠C ＝__60°__，∠A ＝__86°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB ＝12 cm ，梯形面积为120 cm 2，求CD 的长．解：20 cm.点拨精讲：这里CD ＝AD ＋BC.2．如图，已知⊙O 是Rt △ABC (∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D ，E ，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形．(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明略；(2)a ＋b －c 2. 点拨精讲：这里(2)的结论可记住作为公式来用．3．如图所示，点I 是△ABC 的内心，∠A ＝70°，求∠BIC 的度数． 解：125°.点拨精讲：若I 为内心，∠BIC ＝90°＋12∠A；若I 为外心，∠BIC ＝2∠A.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝__2__．,第1题图) ,第2题图)。
人教版数学九年级上册第24章圆《切线长定理》教学设计
-使用动态图形展示切线与圆的关系，帮助学生形成直观的认识。
-利用信息技术手段，制作互层次的学生设计不同难度的练习和任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
-设计探究活动，鼓励学生提出假设，通过实际操作验证假设。
-组织小组讨论，培养学生的合作意识和交流能力。
2.逻辑推理：运用几何知识和逻辑推理方法证明切线长定理。
-引导学生运用已学的几何知识，如圆的性质、直角三角形的性质等，进行逻辑推理。
-培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3.应用与实践：将切线长定理应用于解决实际问题，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将利用学生的生活经验和已有知识，激发他们对新知识的兴趣和好奇心。首先，我会提出一个问题：“在日常生活中，你们有没有见过或听说过道路或铁路在接近圆形交叉路口时，为什么会设计成曲线而非直线呢？”通过这个问题，引导学生思考圆与直线的关系，从而自然过渡到切线的概念。
-注意：要求学生在解题过程中注重逻辑推理的严密性和步骤的完整性。
2.实践应用题：选择一个生活中的实际问题，如道路设计、园林规划等，运用切线长定理进行解决，并将解题过程和结果写成小报告。通过这项作业，学生可以更好地理解数学与实际生活的联系，提高解决实际问题的能力。
-提示：鼓励学生使用图形和图表来辅助说明解题思路，使报告更加清晰易懂。
1.切线与半径的垂直关系：通过动态演示切线与半径的垂直关系，引导学生观察和思考，从而得出切线与半径垂直的结论。
2.切线长定理的证明：利用直角三角形的性质，分步骤引导学生完成切线长定理的证明。在此过程中，强调每一步的逻辑推理和几何依据。
九年级数学上册第二十四章24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.4圆的切线长性质备课资料教案新
九年级数学上册第二十四章24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.4 圆的切线长性质备课资料教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十四章24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.4 圆的切线长性质备课资料教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二十四章 24。
2。
4圆的切线长性质知识点1：切线长与切线长定理切线长：经过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段的长，叫做该点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,该点与圆心的连线平分两条切线的夹角.关键提醒:(1）切线与切线长是两个不同的概念，切线是直线,不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量;(2)切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据。
知识点2：三角形的内切圆与内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三条角平分线的交点.关键提醒:(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，因此三角形的内心到三角形三边的距离相等;（2)“切”是说明三角形的边与圆的关系,而“内”是三角形与圆的相对位置,因此我们可以说这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形有唯一的内切圆，而圆有无数个外切三角形；(3）我们一定要从文字、图形、性质和实际意义上区别三角形的“外心"“内心"“内切圆”和“外接圆"等概念，以免混淆.一般情况下,三角形的内心、外心是两个不同的点,但等边三角形的内心、外心重合为一点.任意一个三角形的内心都在三角形内,而外心则不一定.考点1：利用切线长定理解决问题【例1】如图，过半径为150px的☉O外一点P，引圆的切线PA、PB,连接PO交☉O于点F,过点F作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.若PO=250px，∠APB=74°。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线的概念切线的判定和性质》优质课导学案_1
《圆的切线判定定理应用》教学设计教材分析1、教材所处的地位和作用切线的判定是九年级上册第二十四章“圆”中的内容之一，是在学完直线和圆三种位置关系概念的基础上进一步研究直线和圆相切的特性，是“圆”这一章的重点之一，是学习圆的切线长和切线长定理等知识的基础。
2、教学内容“切线的判定和性质”共两个课时，为了突出本节课的重点、突破难点，而是依据学生认知特点，将切线的判定方法作为单独一课时，这样的设计即是对前面所学的“直线与圆相切的判定方法”的复习，又是对后面学习综合运用两个定理，合理选择两种方法判定切线作了铺垫，让教学呈现一个循序渐进、温过知新的过程。
本节课主要有三部分内容：（1）切线的判定定理回顾（2）切线的判定定理的应用（3）总结切线的两种判定方法。
教学重点是切线的判定定理及其应用。
教学难点是切线判定定理中所阐述的圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视一。
教学对象分析在学习本节内容之前学生已经掌握了圆的切线的定义，直线和圆的三种位置关系和一种直线与圆相切的判定方法（用d=r）。
在学习用d=r来判定直线与圆相切的内容时曾为本节内容打过伏笔，设置过悬念，所以学生对本节内容的学习充满期待的。
教学三维目标：知识与能力：1、回顾圆的切线判定定理。
2、知道判定切线常用的方法有两种，初步掌握方法的选择并能数学问题。
过程与方法：运用圆的切线的判定定理解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力。
情感态度与价值观：1、通过运用圆的切线的判定定理解决数学问题活动，拓宽解题思路，从而使学生能够灵活应用所学知识解决问题。
2、借此形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点对待生活。
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法。
教学难点：切线判定定理中所阐述的圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径．教学过程：一、复习提问学生回顾圆判定定理的内容：经过半径的在圆上的端点且垂直于半 径的直线是圆的切线。
人教版九年级数学第24章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置的关系切线长定理讲义
人教版九年级数学第24章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置的关系切线长定理讲义合作探究探究点1 直线与圆的三种位置关系及实际应用知识讲解(1)直线和圆的三种位置关系:①相离:一条直线和圆没有公共点.②相切: 一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.③相交:一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线. (2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.直线l和⊙O相交r⇔；d<直线l和⊙O相切r⇔；d=直线l和⊙O相离r⇔.d>注意要判断一条直线与圆的位置关系有两种方法:一看直线与圆的公共点的个数;二看圆心到直线的距离d与圆的半径之间的关系.⊙O 的位置关系是________________.答案 相交或相离点拨 方程02092=+-x x的两根为5,421==x x ， 5,4==∴r d 或4,5==r d .当5,4==r d 时，r d <，直线l 为⊙O 相交；当4,5==r d 时，r d >，直线l 为⊙O 相离.探究点2 切线的判定定理知识讲解（1）定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出圆与直线公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线. 典型剖析例2 如下图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，OB BD =，点C 在圆上，30=∠CAB ，直线DC 是⊙O 的切线吗？为什么？解析 运用切线的判定方法，连接OC ，说明.90 =∠OCD答案 如图，连接.,CB OCAB 是⊙O 的直径，且30=∠CAB ， 即BOC ∆为等边三角形，.60 =∠=∠OBC OCB又,,BD CB OB BD =∴=CD OC ⊥∴.根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线可知直线DC 是⊙O 的切线. 规律总结若已知一直线经过圆上某一点，那么连接这点和圆心，说明该直线与半径垂直即可判定该直线与圆相切.类题突破2 如下图，O 为BAC ∠平分线上一点，ABOD ⊥于D 、O 为圆心、OD 为半径作⊙O .求证：⊙O 与AC 相切.答案 如图，过O 作AC OE ⊥于E .又O 为BAC ∠平分线上一点，AB OD ⊥,OE OD =∴,即点O 到AC 的距离等于⊙O 的半径. ∴⊙O 与AC 相切.点拨如果不知直线与圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径，从而证明直线为圆的切线.这是证明切线的另一种情形.要证⊙O与AC相切，只需证明点O到AC的距离等于半径OD即可.探究点3 切线的性质定理知识讲解(1)切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的性质可总结如下:如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是:a.直线过圆心;b.直线过切点;c.直线与圆的切线垂直.典例剖析例3 如下图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D,求证:AC 平分DAB.解析 CD 是⊙O 的切线，连接OC ，则CD OC ⊥,再结合CD AD ⊥,问题即可解决.答案 如图，连接OC .CD 是⊙O 的切线,又CD AD ⊥，.21,//∠=∠∴∴AD OC32∠=∠∴,即AC 平分DAB ∠.类题突破3 如图，PB PA 、是⊙O 的两条切线，B A 、是切点，连接AB ，与直线PO 交于M ,请你根据圆的对称性，写出PAB ∆中的三个正确的结论. 结论（1）：_______________________________________________________________;结论（2）：_______________________________________________________________;结论（3）：_______________________________________________________________;答案 （1）PAB ∆是等腰三角形 （2）PAB ∆是轴对称图形（3）PO平分PAB∠（4）PM垂直平分线段AB等（只写三个即可）点拨根据切线定理和等腰三角形“三线合一”的性质，即可得到结论.探究点4 切线长定理知识讲解圆的切线长:①定义:经过圆外--点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.②定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，③注意:切线长不是切线的长度，圆的切线是直线，无法度量长度.典例剖析例4 如下图所示，PBPA、是⊙O的切线，EF切⊙O于点C,交PA于点E，交PB于点F，若cm=,试求PA8∆的周长.PEF解析 过圆外一点引圆的两条切线很容易得出CF BF EC AE ==,,求PEF ∆的周长也就转化为求PB PA +的长.答案 根据切线长定理PB PA FC FB EC EA ===,,,所以PEF ∆的周长为).(16822cm PA FB PF EA PE FC PF EC PE EF PF PE =⨯==+++=+++=++ 类题突破4 如图所示，四边形ABCD 的边DA CD BC AB 、、、和⊙O 分别相切于点P N M L 、、、. 求证：.BC AD CD AB +=+答案 因为DA CD BC AB 、、、都与⊙O 相切，P N M L 、、、是切点，所以.,,,MC NC DP DN MB LB AP AL ====所以MCMB DP AP MC DP MB AP NC DN LB AL +++=+++=+++,即.BC AD CD AB +=+点拨 直接利用切线长定理，得出LM LB AL AP MC NC DN DP ====,,,，进而得出结论. 探究点5 三角形的内切圆知识讲解与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点.注意 任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形.典例剖析例5 如图所示，已知ABC ∆的内心为点O , 110=∠BOC ,求A ∠的大小.解析 此例容易混淆了内心和外心的概念，把点O 当成了ABC ∆的外心,要注意把内心和外心这两个概念区分开来:三角形的内心是三角形的内切圆的圆心，它是三角形三个内角的平分线的交点，三角形的外心是三角形的外接圆的圆心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点。
人教版九年级数学上册第24章_24.2.2《直线和圆的位置关系》第3_课时导学案
见《导学测评》P40第3课时1.知道切线长的概念,三角形的内切圆、内心的概念.2.探索切线长定理,并会利用切线长定理解决问题.3.会画出三角形的内切圆,会利用三角形内心的性质解题.4.重点:切线长定理及其应用;三角形的内心及其性质.知识点切线长及其定理阅读教材本课时“思考”前面的内容,解决下列问题.1.如右图,过☉O外一点P,可以作☉O的两条切线,这点到切点之间的线段长,叫做这点到圆的切线长.在图中,点P到☉O的切线长就是线段PA、PB的长.2.在上图中,沿OP折叠,可以发现PA与PB重合,∠APO与∠BPO重合,于是,有PA= PB,∠APO= ∠BPO.★3.试完成下面的证明:连接OA、OB,∵PA、PB是☉O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,又OA=OB,OP= OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP,∴PA=PB,∠APO= ∠BPO.【归纳总结】切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【讨论】切线和切线长有什么不同?切线是直线,不能度量;切线长是线段,可以度量.【预习自测】如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是(B)A.4B.8C.4D.8知识梳理三角形的内切圆阅读教材本课时“思考”至结束,解决下列问题.1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.半径是三条角平分线的交点到三边的距离.2.三角形内切圆的作法:先作三角形的两条内角平分线,以交点为圆心,以圆心到三角形一边的距离为半径作圆,所得的圆即为三角形的内切圆.3.试填写下表:内容外接圆内切圆圆心O的名称△ABC的外心△ABC的内心△ABC的名称☉O的内接三角形☉O的外切三角形圆心O的确定三角形两边垂直平分线的交点三角形两条角平分线的交点“心”的性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三条边的距离相等【预习自测】正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为(B)A.2B.2C.D.3互动探究1:如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于E点,过C点作☉O的切线交AB的延长线于M点,连接MD.下列结论:①CE=DE;②=;③MD为☉O的切线;④MC=MD.其中正确结论的个数是(D)A.1个B.2个C.3个D.4个互动探究2:已知三角形的三边分别为5、12、13,则这个三角形的内切圆半径是2.【方法归纳交流】在直角三角形中,两条直角边为a、b,斜边为c,则该直角三角形内切圆的半径r= .互动探究3:如右图,直尺、三角尺都和圆O相切,AB=8 cm,求圆O的直径.解:如图,连接OA,OB,依题意可知△OAB为直角三角形,且∠AOB=30°,∵AB=8 cm,∴OA=16 cm,∵OB2+AB2=OA2 ,∴OB=8cm,∴圆O的直径为16cm.互动探究4:见教材本课时“练习”第2题.解:设内心为O,连接AO,BO,CO.∵三角形的内切圆半径为r,S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC,∴S△ABC=AB·r+BC·r+AC·r=r(AB+BC+AC)=lr.[变式训练]已知直角三角形的直角边为a、b,斜边为c,直角三角形的内切圆半径为r,你能求出直角三角形内切圆半径r的公式吗?解:根据三角形面积=三角形的周长与三角形内切圆半径乘积的一半,ab=(a+b+c)r,所以r=.。
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是初中数学的重要内容，旨在让学生理解和掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，为后续学习解析几何打下基础。
本节内容涉及直线与圆的位置关系，通过研究切线与圆的切点，引导学生探究切线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本概念有所了解。
但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理等概念，学生可能较为抽象，不易理解。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，采用生动形象的教学手段，引导学生理解和掌握切线的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，能够运用这些知识解决一些简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的探究能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。
2.教学难点：切线性质定理的理解和应用。
五. 说教学方法与手段本节课采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等环节，自主探究切线的性质。
同时，运用多媒体课件、几何画板等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习直线和圆的相关知识，引出本节课的内容——切线的判定和性质定理、切线长定理。
2.自主探究：让学生通过观察、操作，猜想切线的性质，然后进行验证。
在此过程中，引导学生发现切线的判定方法和性质定理。
3.讲解与演示：教师对切线的判定方法和性质定理进行讲解，并用多媒体课件和几何画板进行演示，帮助学生加深理解。
4.练习与拓展：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，并进行拓展训练。
第24章圆-《切线长定理》教案
4.实际案例：引入实际生活中与切线长定理相关的例子，如建筑设计、道路规划等。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观和空间想象能力，通过切线长定理的理解和应用，提升对圆的性质和图形关系的认识；
2.发展学生的逻辑思维和推理能力，通过切线长定理的证明过程，学会运用数学语言和符号进行严谨的ห้องสมุดไป่ตู้证；
(3)提供典型例题，如给定圆的半径和圆外一点，求解切线长度，或给定切线长度和圆外一点，求解圆的半径。
2.教学难点
-几何图形的构建和想象：对于一些空间想象能力较弱的学生，构建切线和圆的关系可能会是一个难点。
-证明过程的逻辑推理：切线长定理的证明涉及到多个几何概念和逻辑推理，学生可能难以理解。
-实际问题的数学建模：将切线长定理应用于解决实际问题时，学生可能不知道如何将现实问题转化为数学模型。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对切线长定理的概念和应用表现出较大的兴趣。通过引入日常生活中的实例，他们能够更好地理解抽象的几何定理。然而，我也注意到在教学中存在一些需要改进的地方。
首先，学生在理解切线长定理的证明过程中，对相似三角形的运用仍存在困难。在今后的教学中，我应更加注重引导学生逐步推导和解释证明步骤，使他们真正理解几何原理。此外，可以适当增加一些变式题目，让学生在不同情境下运用相似三角形的性质，提高他们的灵活运用能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
新人教版九年级数学上册导学案：24.2.1切线长定理
优质文档新人教版九年级数学上册导学案：24.2.1切线长定理课题24.2.1切线长定理课型探究课课时1（提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。
如何找到这个圆心呢？）．并得出结论：与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条的交点，叫做三角形的内心。
四、反馈提升[来源学科网]例1：如图△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm,求AF,BD,CE的长.五、达标测评1、如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是内心，求∠AOC的度数。
[来源:学#科#网Z#X#X#K]2、△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积。
（提示：设内心为O，连接OA,OB,OC）总结与反思[来源学科网ZXXK]学法指导栏学习目标[来源学科网ZXXK]1．知道切线长的概念[来源:学科网ZXXK]2．理解切线长定理3．三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用学习重点知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念学习难点熟练掌握它的应用教师“复备栏”或学生“笔记栏”学习过程：一、情景引入或知识回顾知识准备三角形的外心：角平分线的性质定理：角平分线的判定定理：二、自主学习问题1：如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线po将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有说明关系？由探究得出结论：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的如上图，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP, OB⊥BP.又OA=OB, OP=OP,在Rt△AOP和Rt△BOP中∴Rt△AOP≌Rt△BOP（）∴PA=PB, ∠OPA=∠OPB.（）由此得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的 .三、问题探究如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？PAOPABOEDFOACBOB CA。
人教版九年级数学第24章《圆》24.(2-4)导学案
ADEFCMBAODCBABA24.2.1点和圆的位置关系【自主学习】（一）复习巩固：1．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若AB=4cm，AC=3cm，则BC= .2．下列命题：①直径所对的角是900 ；②直角所对的弦是直径；③相等的圆周角所对的弧相等；④对同一弦的两个圆周角相等.正确的有（）A. 0个 B. 1个 C.2个 D.3个（二）新知导学1．过不在同一直线上的三个点确定圆.2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫圆的三角形.【合作探究】1.要将如图所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤).【自我检测】一、填空题:1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_____.2.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________.3.△ABC的三边为设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_____.4.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等.5.已知⊙O的直径为2,则⊙O的内接正三角形的边长为_______.6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.二、选择题:7.下列条件,可以画出圆的是( )A.已知圆心B.已知半径;C.已知不在同一直线上的三点D.已知直径8.三角形的外心是( )A.三条中线的交点;B.三条边的中垂线的交点;C.三条高的交点;D.三条角平分线的交点9.下列命题不正确的是( )A.三点确定一个圆B.三角形的外接圆有且只有一个C.经过一点有无数个圆D.经过两点有无数个圆10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形;C.锐角三角形D.等边三角形11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( )A.腰长B.倍; C.倍 D.腰上的高12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )A.1个或3个B.3个或4个C.1个或3个或4个D.1个或2个或3个或4个三、解答题:13.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).14.如图,已知△ABC的一个外角∠CAM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E.(1)判断△FBC的形状,并说明理由.(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.15．如图,在钝角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(AD<DC),⊙O为△ABC的外接圆,如果BD的长为6,求△ABC的外接圆⊙O的面积.16．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥BC，垂足为D，若OD=1，求∠BAC的度数．（注意：分类讨论）24.2.2直线和圆的位置关系（1）新知导学1．直线与圆的位置关系①定义：直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相交，这条直线叫做圆的 线. 直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的 线.这个公 共点叫做 点.直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相离. 1． 直线与圆的位置关系的性质与判定设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，那么 直线与圆相交⇔ ； 直线与圆相切⇔ ； 直线与圆相离⇔ . 【合作探究】1．在△ABC 中，∠A=450，AC=4,以C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 有交点，试确定r 的范围.【自我检测】 一、选择题1．命题：“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）A.经过半径的外端点的直线是圆的切线.B.垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线.C.垂直于半径的直线是圆的切线.D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2．如图，AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A ＝500，点P 是圆上异于B 、C 的一个动点，则∠BPC 的度数是（ ）A.650B.1150C.650或1150D.1300或5003.已知正三角形的边长为6，则该三角形外接圆的半径为（ ）A.4.如图，BC 是⊙O 直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于A ，如果PAOB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 150B.300C.450D.605.如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、C ，∠B ＝300，直线BD 与⊙O 切于点D ，则∠ADB 的度数是（ ）A.1500B.1350C.1200D.1006.在平面直角坐标系中，以点（2,1）为圆心，1为半径的圆，必与（ ）A. x 轴相交B. y 轴相交C. x 轴相切D. y 轴相切7.如图，⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为︒30，切线CD 与AB 的延长线交于点D ，若⊙O 的半径为3，则CD 的长为（ ）A.6 B.36 C. 3 D.33二、填空题8.如图，已知直线CD 与⊙O 相切于点C ，AB 为直径，若∠BCD ＝40°，则∠ABC 的大小等于_____. 9.如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA=，∠APO=30°，则⊙O 的半径长为_______． 10.如图，图同第7题，AB 是⊙O 的直径，BD ＝OB ，∠CAB ＝300.，写出三个正确结论（除AO ＝OB ＝BD 外）：①____________________；②____________________；③____________________. 11.已知∠AOB ＝300，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，2cm 为半径作⊙M. 当OM ＝_______cm 时，⊙M 与OA 相切(如图).12.如图，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点G ，连结AD ，并过 点D 作DE ⊥AC ，垂足为E. 根据以上条件写出三个正确的结论（除AB ＝AC ，AO ＝BO ， ABC ＝ ∠ABC 外）是：(1) ___________________；(2) ___________________；(3) __________________三、解答题13.如图，∠PAQ 是直角，⊙O 与AP 相切于点T ，与AQ 交于B 、C 两点. （1）BT 是否平分∠OBA ？说明你的理由；（2） 若已知AT ＝4，弦BC ＝6，试求⊙O 的半径R.14．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC. (1) 求证：△BAD ∽△CED ； (2) 求证：DE 是⊙O 的切线.B24.2.2直线和圆的位置关系（2）新知导学1．切线的判定定理：经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线. 2．切线的性质定理：圆的切线 于经过切点的 .3．与三角形各边都 的圆叫做三角形的 圆， 圆的 叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 三角形. 【合作探究】1. 如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9， 求⊙O 的半径.2.已知锐角△ABC ，作△ABC 的内切圆.【自我检测】 一、选择题1.如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论错误的是（ ） A. ∠1=∠2 B.PA ＝PB C.AB ⊥OP D.2PA PC PO =⨯2.如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D 、E 、F ，若∠B ＝500，∠C ＝600，连结OE 、OF 、DE 、DF ， 则∠EDF 等于（ ）A.450B.550C.650D.7003.边长分别为3、4、5的三角形的内切圆与外接圆半径之比为（ ） A.1:5 B.2:5 C.3:5 D.4:54.如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B. 如果OP ＝4，PA =AOB 等于（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°5.如图，已知⊙O 过边长为正2的方形ABCD 的顶点A 、B ，且与CD 边相切，则圆的半径为（ ）A ．34 B ．45 C ．25D ．16.如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝900，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，CD ＝1，则⊙O 的半径等于（ ）A.45B.54C.34D.561题图 2题图 4题图二填空题7. 直角三角形有两条边是2，则其内切圆的半径是__________. 8.正三角形的内切圆半径等于外接圆半径的__________倍. 9.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC ＝200，则∠P的大小是___度.10.等边三角形ABC 的内切圆面积为9π，则△ABC 的周长为_________.11.已知三角形的三边分别为3、4、5，则这个三角形的内切圆半径是.12.三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是 . 三、解答题：13.已知如图,过圆O 外一点B 作圆O 的切线BM, M 为切点.BO 交圆O 于点A,过点A 作BO 的垂线,交BM 于点P.BO=3,圆O 半径为1.求MP 的长14.如图，AB 是半圆O 的直径，点M 是半径OA 的中点，点P ，点Q 在半圆O 上运动，且总保持PQ ＝PO ，过点Q 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点C. (1) 当∠PQA ＝600时，请你对△QCP 的形状做出猜想，并给予证明； (2) 当QP ⊥AB 时，△QCP 的形状是__________三角形；(3) 由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P 在线段AM 上运动到任何位置时， △QCP 一定是_________三角形.15.已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x . ⑴ 如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵ 如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．P 图（2）F 24.2.3 圆和圆的位置关系（一）复习巩固：1圆的切线的性质定理： . 2．圆的切线的判定定理： . 3.三角形的内心是它的 圆的圆心，它是三角形 的交点.4．内心到三角形 的距离相等，到三角形三边距离相等的点是 . 5．已知三角形的面积为12，周长为24，则内切圆的半径为 . （二）新知导学圆与圆的五种位置关系的性质与判定如果两圆的半径为R 、r ，圆心距为d ，那么 两圆外离⇔ ； 两圆外切⇔ ； 两圆相交⇔ ； 两圆内切⇔ ； 两圆内含⇔ . （位置关系） （数量关系） 【合作探究】1.已知两圆相切，一个圆的半径为5，圆心距d=2，求另一个圆的半径.2.半径为1、2、3的三个圆两两外切，求这三个圆的圆心的连线构成的三角形的面积.【自我检测】 一、填空题:1.已知两圆半径分别为8、6,若两圆内切,则圆心距为______;若两圆外切,则圆心距为___.2.已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x 2-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是______. 3.圆心都在y 轴上的两圆⊙O 1、⊙O 2，⊙O 1的半径为5,⊙O 2的半径为1,O 1 的坐标为(0,-1), O 2的坐标为(0,3),则两圆⊙O 1与⊙O 2的位置关系是________.4.⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点,且⊙O 1经过点O 2,若∠AO 1B=90°,那么∠AO 2B 的度数是__.5.矩形ABCD 中,AB=5,BC=12,如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切,点D 在⊙C 内, 点B 在⊙C 外, 那么圆A 的半径r 的取值范围是__________.6.两圆半径长分别是R 和r(R>r),圆心距为d,若关于x 的方程x 2-2rx+(R-d)2=0 有相等的两实数 根,则两圆的位置关系是_________. 二、选择题7.⊙O 的半径为2,点P 是⊙O 外一点,OP 的长为3,那么以P 为圆心,且与⊙O 相切的圆的半径 一定是( ) A.1或5 B.1 C.5 D.1或48.直径为6和10的两上圆相外切,则其圆心距为( ) A.16 B.8 C.4 D.29.如图1,在以O为圆心的两个圆中,大圆的半径为5,小圆的半径为3, 则与小圆相切的大圆的 弦长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10(1) (2) (3)10.⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3两两外切,且半径分别为2cm,3cm,10cm,则△O 1O 2O 3 的形状是( ) A.锐角三角形 B.等腰直角三角形; C.钝角三角形 D.直角三角形11.如图2,⊙O 1和⊙O 2内切,它们的半径分别为3和1,过O 1作⊙O 2的切线,切点为A,则O 1A 的长为12.半径为1cm 和2cm 的两个圆外切,那么与这两个圆都相切且半径为3cm 的圆的个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个13.如图3,⊙O 的半径为r,⊙O 1、⊙O 2的半径均为r 1,⊙O 1与⊙O 内切,沿⊙O 内侧滚动m 圈后回 到原来的位置,⊙O 2与⊙O 外切并沿⊙O 外侧滚动n 圈后回到原来的位置,则m 、n 的大小关系 是( ) A. m>n B. m=n C. m<n D.与r,r 1的值有关 三、解答题14.若两圆的圆心距d 满足等式│d -4│=3,且两圆的半径是方程x 2-7x+12=0 的两个根,试判断这两圆的位置关系.15.某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上, 向内放入两个半径为5cm 的钢球,测得上面一个钢球顶部高DC=16cm(钢管的轴截面如图所示), 求钢管的内直径AD 的长.16.如图,⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点,点O 1在⊙O 2上,两圆的连心线交⊙O 1于E 、D,交⊙O 2于F,交AB 于C,请根据图中所给的已知条件(不再标注其他字母, 不再添加任何辅助线),写出两个线段之间的关系式.24.3正多边形和圆（一）复习巩固1. 等边三角形的边、角各有什么性质？ .2. 正方形的边、角各有什么性质？ . （二）新知导学1.各边 ，各角 的多边形是正多边形.2.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做 ，外接圆的半径叫做 ， 内切圆的半径做 ．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都 ．正多边形 每一边所对的外接圆的圆心角叫做 ．正n 边形的每个中心角都等于 ．3.正多边形都是 对称图形，正n 边形有 条对称轴；正 数边形是中心对 称图形，对称中心就是正多边形的 ，正 数边形既是中心对称图形，又是轴对 称图形.【合作探究】1.问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形.思考：如何作正三角形、正十二边形？【自我检测】1．正方形ABCD 的外接圆圆心O 叫做正方形ABCD 的______．2．正方形ABCD 的内切圆⊙O 的半径OE 叫做正方形ABCD 的______．3．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．4．正n 边形的一个外角度数与它的______角的度数相等． 5．设一直角三角形的面积为8㎝2，两直角边长分别为x ㎝和y ㎝. （1）写出y(㎝)和x(㎝)之间的函数关系式 （2）画出这个函数关系所对应的图象 （3）根据图象，回答下列问题： ① 当x =2㎝时，y 等于多少？② x 为何值时，这个直角三角形是等腰直角三角形？6．已知三角形的两边长分别是方程0232=+-x x 的两根，第三边的长是方程03522=+-x x 的根，求这个三角形的周长.7．如图，PA 和PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，作直径AC ，并延长交PB 于点D ．连结OP ，CB ． （1）求证：OP ∥CB ；（2）若PA ＝12，DB ：DC ＝2：1，求⊙O 的半径．8.如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D. (1)求直线AB 的解析式; (2)若S 梯形OBCD求点C 的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似. 若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.9.如示意图，小华家（点A 处）和公路（ ）之间竖立着一块35m 长且平行于公路的巨型广告牌（DE ）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC ．一辆以60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s ，已知广告牌和公路的距离是40m ，求小华家岛公路的距离（精确到1m ）．24.4.1弧长及扇形面积（一）复习巩固：1．圆与圆的五种位置关系： 、 、 、 、 . 2.已知两圆的半径分别3cm 和2cm ，若两圆没有公共点，则圆心距d 的取值范围为（ ） A. d ＞5或d ＜1 B. d ＞5 C. d ＜1 D.1＜d ＜5 （二）新知导学 1.弧长计算公式在半径为R 的圆中，n 0的圆心角所对的弧长l 的计算公式为： l= 2.扇形面积计算公式①定义： 叫做扇形.②在半径为R 的圆中，圆心角为n 0的扇形面积的计算公式为：S 扇形=由弧长l= 和S 扇形= 可得扇形面积计算的另一个公式为： S 扇形= 【合作探究】 1．已知：扇形的弧长为29πcm ，面积为9π cm 2，求扇形弧所对的圆心角．2． 已知：AC 是半圆的直径，BC 与半圆切于C ，AB 交半圆于D ，BC ＝3 cm BD求半圆的面积．【自我检测】 一、选择题1.如果以扇形的半径为直径作一个圆，这个圆的面积恰好与已知扇形的面积相等，则已知扇形的中心角为（ ）A.60°B.90°C.120°D.150° 2.如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为4cm ，那么圆柱的侧面积为（ ）A.24πcm 2B.36πcm 2C.12πcm 2D.48πcm 2 3.圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm ，则圆锥侧面展开图的面积是（ ） A.254πcm 2 B.30πcm 2 C.24πcm 2 D.15πcm 24.如果正四边形的边心距为2，那么这个正四边形的外接圆的半径等于（ ）D.5.圆的外切正六边形边长与它的内接正六边形边长的比为（ ） A.:3 B. 2:3 C.3:3 D.:26.圆的半径为3cm ，圆内接正三角形一边所对的弧长为（ ） A.2πcm 或4πcm B.2πcm C.4πcm D.6πcm7.在半径为12cm 的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ） A.24πcm B.12πcm C.10πcm D.5πcm8.如图， 设AB=1cm ，，则长为（ ）A. B. C. D.9.圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则其侧面展开图中，扇形的圆心角是（ ） A.144° B.150° C.288° D.120° 二、计算题10.如图，已知菱形ABCD 中，AC ，BD 交于O 点，AC＝，BD=2cm ，分别以 A ，C 为圆心，OA 长为半径作弧，交菱形四边于E ，F ，G ，H 四点．求阴影部分的面积．11．已知△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，⊙O 内切于△ABC ．求△ABC 在⊙O 外部的面积．12．已知等腰梯形ABCD 有一个内切圆O ．若AB=CD=6cm ，BC=2AD ，求圆O 的面积．13.如图，ACBD 为夹在环形的两条半径之间的一部分，弧AD 的长为πcm ，弧CB 的长为2πcm ，AC ＝4cm ，求这个图形的面积．14．已知如图，P 是半径为R 的⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，∠APB=60°．求：夹在劣弧AB 及PA ，PB 之间的阴影部分的面积．15．已知扇形OAB 的面积为S ，∠AOB=60°．求扇形OAB 的内切圆的面积．三、证明16．如图，已知同心⊙O 中，外圆的面积是内圆面积的2倍，外圆的弦AB ，CD 均与内圆相切，且AB ∥CD ．EFGH 是内圆的内接正方形．求该圆环介于AB ，CD 间的面积等于正方形EFGH 的面积．17．已知直角三角形斜边上的高将原三角形分成两个直角三角形．求证这两个三角形的内切圆的面积的和等于原三角形的内切圆面积．18．已知如图7-391，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆上两点，且弧AC ＝弧CD ＝弧DB ，求证由弦AC 及弧CD 所围成的图形面积等于半圆面积的三分之一19．若分别以线段CD 的两个端点为圆心，CD 长为半径的⊙C ，⊙D 相交于A ，B ．求证分别以AB ，CD 为直径的两个圆的面积之和与⊙C 的面积相等．20．求证圆心角为60°的扇形的内切圆的面积，等于扇形面积的三分之二．21．已知如图7-392，扇形OAB 中，OA ⊥OB ，分别以OA ，OB 为直径向形内作半圆，两圆弧交于C ，求证由弧AC ，弧BC ，弧AB 所围图形的面积与由弧OMC 和弧ONC 所围图形面积相等．C BA24.4.2圆锥的侧面积和全面积【自主学习】（一）复习巩固：1.弧长的计算公式： .2．扇形面积的计算公式： .3．已知扇形的面积为4cm 2，弧长为4cm ，求扇形的半径. （二）新知导学1．圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是一个 . 圆锥的母线就是扇形的 . 圆锥底面圆的周长就是扇形的 . 2．如果圆锥的母线长为l ，底面的半径为r ，那么 S 侧= ， S 全= . 【合作探究】1．已知圆锥的母线长6 cm ；底面半径为 3 cm ，求圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．2．已知：一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36°的扇形，扇形面积为10 cm 2．求这圆锥的表面积． 【自我检测】 一、选择题1．已知圆锥的高为5，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ）A ．25π B ．2π C ．5π D ．6π2．圆锥的高为3cm , 母线长为5cm , 则它的表面积是（ ）cm2． A ．20p B ．36p C ．16p D ．28p3．已知圆锥的底面半径为3 , 母线长为12 , 那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为（ ） A ．180° B ．120° C ．90° D ．135°4．如果圆锥的高与底面直径相等 , 则底面面积与侧面积之比为（ ） A ．1∶5 B ．2∶5 C ．∶ D ．2∶35．边长为a 的等边三角形 , 绕它一边上的高所在直线旋转180° , 所得几何体的表面积为（ ）A ．243a B ．243a π C ．243a π D ．π2a6．若底面直径为6cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°,则这个圆锥的高是（ ）cm ． A ．8 B ．91 C ．6 D ．47．在一个边长为4cm 正方形里作一个扇形(如图所示) , 再将这个扇形剪下 卷成一个圆锥的侧面 , 则这个圆锥的高为（ ）cm ．A ．253B ．15C ．7D ．138．用圆心角为120° , 半径为6cm 的扇形围成圆锥的侧面 , 则这个圆锥的高为（ ） A ．4 B ．42 C ．22 D ．329．△ABC 中 , AB=6cm , ∠A=30° , ∠B=15° , 则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的表面积为（ ）cm2． A ．（18+92）π B ．18+92C ．（36+182）πD ．36+18210．圆锥的母线长为10cm , 底面半径为3cm , 那么圆锥的侧面积为（ ）cm2． A ．30 B ．30p C ．60p D ．15p11．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m ，母线长3 m ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（ ）A ．6 m2B ．6πm2C ．12 m2D ．12πm212．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为（ ）A ．aB ．a33C ．a3 D ．a2313．一个圆锥的高为310cm ，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是（ ）A ．200πcm2B ．300πcm2C ．400πcm2D ．360πcm214．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm ，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ）A ．80cmB ．100cmC ．40cmD ．5cm二、填空题15．已知圆锥的母线长是10cm ，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径 是 cm ．16．已知圆锥的底面半径是2cm ，母线长是5cm ，则它的侧面积是 ．17．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是 ． 18．一个扇形，半径为30cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ．19．一个扇形，半径为30cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为 ． 三、解答题20．一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则它的侧面展开图扇形的圆心角是多少？21．如图，一个圆柱的底面半径为40 cm ，高为60 cm ，从中挖去一个以圆柱上底为底、下底圆心为顶点的圆锥，得到一个几何体，求其全面积．22．已知：一个圆锥的侧面积与表面积的比为2∶3．求这圆锥的锥角．23．已知：一个圆锥的底半径 r=10cm ，过轴的截面的顶角为60°．求它的侧面展开图的圆心角的度数及侧面积．24．已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为 20 cm ，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底半径和高．。
人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计
人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》是九年级数学中的一个重要知识点。
切线长定理是指：圆的切线长等于半径的长度。
这个定理在几何学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力有重要作用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的相关概念和性质有所了解。
但是，对于切线长定理的证明和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解切线长定理的证明过程，并通过例题让学生掌握切线长定理的应用。
三. 教学目标1.让学生理解切线长定理的定义和证明过程。
2.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明过程。
2.切线长定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过探究问题来理解切线长定理。
2.使用多媒体课件，直观展示切线长定理的证明过程。
3.通过例题和练习题，让学生巩固切线长定理的应用。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.练习题和测试题。
3.黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些与圆和切线有关的图片，引发学生的兴趣。
然后提出问题：“圆的切线长和半径有什么关系？”让学生思考。
2.呈现（10分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。
首先，解释切线的概念，然后说明切线与半径的关系，最后证明切线长等于半径的长度。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试证明一个圆的切线长等于半径的长度。
每组派代表进行讲解，老师点评并给予指导。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
题目包括判断题、选择题和解答题，涵盖切线长定理的证明和应用。
5.拓展（10分钟）让学生思考：切线长定理在实际生活中有哪些应用？可以举例说明。
鼓励学生发表自己的观点和想法。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行简要回顾，强调切线长定理的定义和证明过程，以及其在实际问题中的应用。
人教版九上数学第24章 圆 24.2.2 课时3 切线长定理教案+学案
人教版九年级数学（上）第24章 圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系课时3切线长定理教案【教学目标】知识与技能1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题；2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．过程与方法1．利用圆的轴对称性帮助探索切线长的特征；2．结合求三角形内面积最大的圆的问题，给出了三角形的内切圆和内心的概念；3．类比思想、数形结合、方程思想的运用．情感、态度与价值观通过操作、实验、发现、证明等数学活动，探索数学结论，激发学生学习数学的兴趣．【教学重点】切线长定理及其运用．【教学难点】1．切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题；2．内切圆、内心的概念及运用.【教学过程设计】一、情境导入新农村建设中，赵村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究知识点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长例1 如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若P A 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以P A＝PB，因为⊙O的切线EF分别交P A、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝(PE＋EC)＋(CF＋PF)＝P A＋PB＝2＋2＝4.【类型二】利用切线长定理求角的大小例2如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OP A的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠P AO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OP A＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用例3为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得P A＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ 为⊙O的切线，∴AO为∠P AQ的平分线，即∠P AO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠P AO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠P AO＝∠QAO＝60°.在Rt△OP A中，P A＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.知识点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径例4 如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33.方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长例5 如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C.三、教学小结教师引导学生总结本节所学知识：1.圆的切线长概念: ____________________________________2.切线长定理: ________________________________________3.三角形的内切圆及内心的概念: ________________________【板书设计】24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系课时3 切线长定理1.运用切线长定理求三角形的周长2.运用切线长定理求角的大小3.切线长定理的实际应用题4.三角形的内切圆【课堂检测】1．什么叫切线长?注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是______，不能度量；切线长是______的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线的概念切线的判定和性质》优质课导学案_0
教学内容：直线与圆的位置关系第2课时切线的判定教学设计【教材分析】本节内容选自九上册第二十四章《圆》24.2《直线和圆的位置关系》的第二课时《切线的判定和性质》.本课时内容是在学习了直线与圆的位置关系的基础上，进一步探究直线和圆相切的条件，并为探究切线长定理而作准备的，它在圆的学习中起着承上启下的作用，在整个初中几何学习中起着桥梁和纽带的作用.因此，它是几何学习中必不可少的知识工具.针对《课程标准》要求和我所教学生的实际水平，本着因材施教的教学原则，我对教材内容略作了调整.当探究出判定后，为了提高学生将所学的知识应用于实际，特增加了例1和例2，让学生总结出“证明一条直线是圆的切线时，常常添加辅助线的两种方法”，总结例1主要是连半径、证垂直；例2主要是作垂直、证半径.帮助学生进一步深化理解切线的判定，达到学以致用.【目标和目标解析】1、目标（1）理解切线的判定定理.（2）会用切线的判定定理解决简单的问题.（3）通过判定定理的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力.（4）通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性.2、目标解析达成目标（1）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径.达成目标（2）的标志是：能运用切线的判定定理解决简单的问题，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法.达成目标（3）和（4）的标志是：学生通过动手操作发现并能用语言陈述切线的判定定理，用符号语言书写证明过程.三、教法与学法分析：教法上：充分发挥学生的主观能动性.本课注重直观，注重动手，注重探索能力的培养，并且九年级学生经过两年多的学习，已经积累了动手操作，探究问题的经验，也具备了这种探究问题及合作交流的能力.因此，根据本节课的内容和学生的认知水平，以学生自主学习为主，引导学生自主探究，教师赋予合理的评价，激发学生的学习兴趣，调动学生课堂积极性.学法上：为了充分体现《课程标准》的要求，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，探索新知的能力，要充分体现学生的主体地位.为此，在本课的学习过程中学生主要使用探究式的学习方法.根据平面几何的特点，尽量让学生在动口说、动脑想、动手操作中获得更多的参与机会，从中学会分析、解决问题的方法.本节是定理的教学，我认为要指导学生做好如下两方面的工作：（1）学习定理一定要注重对基本图形的把握，理解和灵活运用定理是证题的基础，这正是学生感到困难的地方.从几何定理的特征出发，要解决这个难题，就要下功夫把定理内容和相应的基本图形建立起联系，使定理在头脑中灵活展现出来.（2）常见的辅助线一定要了解，本节添加辅助线的关键在于“已知条件中是否明确了直线和圆的公共点.”如果无公共点就作垂线证d=r，有公共点的话，连半径证垂直，即“有点连线证垂直，无点做垂线证d=r.”【教学重难点】教学重点：发现并证明切线的判定定理，能简单运用判定定理进行证明.教学难点：圆的切线证明问题中辅助线的添加方法.【教学准备】教师课前制作的多媒体课件.【教学过程】一、知识回顾1、圆与直线有哪几种位置关系？2、判断直线与圆相切有哪几种方法？我们发现可以用切线的定义来判定一条直线是不是圆的切线，使用起来很不方便.有没有其它方法呢？这节课我们学习切线的判定.设计意图：一是概括了旧知识，引出新知识，温故而知新，使学生能够知道新知识和旧知识之间的联系.二是使学生明确本节课要讲述的内容，以激发起学生的求知欲望.板书课题：切线的判定二、探索新知思考 如图，在⊙O 中，经过半径OA 的外端点A ，作直线l ⊥OA ，直线l 和⊙O 有什么位置关系？引导学生分析：因为直线l ⊥OA ，所以圆心O 到直线l 的距离等于OA ，而OA 正好是圆O 的半径，根据“当圆心到直线的距离等于该圆的半径时，直线就是圆的一条切线”可知直线l 是圆O 的切线 . 切线的判定定理：经过半径的外端（点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （分析两个条件及几何语言的书写）定理的数学语言表达：∵OA 是⊙O 的半径 ，l ⊥OA ∴ l 是⊙O 的切线 .设计意图： 培养学生归纳及语言表达能力；使学生准确掌握定理的内涵及外延；使学生树立几何学习应当关注：文字语言、图形语言、符号语言.练一练：判断下列说法是否正确.（多媒体显示）（1）过半径外端的直线是圆的切线．（ ）（2）与半径垂直的直线是圆的切线．（ ）（3）过半径的端点且与半径垂直的直线是圆的切线.（ ）（学生判断、操作后，教师用多媒体演示下列反例）显然，图(1)中直线l 经过半径外端，但不与半径垂直；图（2）、（3）中直线l 与半径垂直，但不经过半径外端.在亲身体验的基础上，让学生归纳出：只满足其中一个条件的直线不是圆的切线；因此利用切线的判定定理时，两个条件是缺一不可的；把定理中的“半径”改为“直径”结论也成立.提问：判断一条直线是圆的切线，共有几种方法？（学生讨论后，请学生代表陈述，再用多媒体显示）方法1：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.方法2：与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.方法3：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.其中方法1是切线的定义；方法2和方法3本质相同，只是表达形式不同，可根据问题的特点选择适当的判定方法.设计意图：巩固概念，让学生说理由，巩固对定理两个条件的认识，使学生掌握概念的本质，特别是树立切线的判定定理的基本图形，为下一环节的简单证明作铺垫.AB三、例题精讲例1：已知如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA ＝CB ． 求证：直线AB 是⊙O 的切线．引导学生分组讨论得出：本题已知直线AB 与⊙O 有一个公共点C ，要证明AB 是⊙O 的切线，只需连接这个公共点AC 与圆心O ，得到半径OC,再证明半径OC 与直线AB 垂直即可.（学生口述证明过程）例2：如图，在△AOB 中，OA ＝OB ＝10㎝,∠AOB=120°，以O 为圆心、5㎝为半径的⊙O 与OA 、OB 相交．求证：AB 是⊙O 的切线．引导学生分组讨论得出：需要添加辅助线OC ⊥AB 于点C.再证明点O 到直线AB 的距离OC 等于圆O 的半径即可.设计意图：例1是使学生掌握用若直线过圆上某一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证这条半径与直线垂直.即：已知公共点，连半径证垂直. 例2是使学生掌握若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的半径长.即：未知公共点，作垂线证半径.这种题型后面会给出练习.学生讨论1、例1与例2证明上有什么不同？学生归纳：1、当直线与圆有明确的公共点时，应连接圆心和公共点，即得到“半径”，再证明“直线与半径垂直”.简称为“连半径，证垂直”.2、当直线与圆没有明确的公共点时，应过圆心作直线的垂线段，再证明“垂线段等于半径”.简称为“作垂直，证半径”.设计意图: 在这一环节，教师要尽可能地让学生自主总结与交流，然后适当地予以点评和补充.四、课堂练习B（学生在规定的时间内独立完成.有困难的学生举手示意，教师给予指导，时间一到，多媒体显示正确答案，同学间交叉批改，并反馈信息）1、已知，如图，AB=AT ,∠T=45°，以AB 为直径作⊙O ．求证：AT 是⊙O 的切线．2、如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PE ⊥AC 于点E ．求证：PE 是⊙O 的切线．五、归纳小结1. 判定切线的方法有哪些？判定一条直线是圆的切线的三种方法：（1）根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线．（2）根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．（3）根据切线的判定定理来判定．2. 证明切线时常用的辅助线方法有哪些？（1）当直线与圆有明确的公共点时，应连接圆心和公共点，即得到“半径”，再证明“直线与半径垂直”.简称为“连半径，证垂直”.（2）当直线与圆没有明确的公共点时，应过圆心作直线的垂线段，再证明“垂线段等于半径”.简称为“作垂直，证半径”.六、布置作业1、如图1，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 直径，∠CAE=∠B ．求证：AE 是⊙O 的切线．2、如图2， A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线，如果∠AOB=120°,那么当∠CAB 的度数等于______时，AC 才能与⊙O 的相切.3、已知点O 为∠BAC 平分线上一点，OD ⊥AB 于点D ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O ．求证：AC 是⊙O 的切线．4、习题：教材第101页第4题，第5题七、板书设计24.2.2切线的判定1、判定定理例1 例2文字语言符号语言图形语言2、辅助线作法（1）有交点，连半径，证垂直.（2）无交点，作垂直，证半径.【设计意图】学生对知识点的掌握清晰明了，两个例题既规范学生的解题格式，又加强学生对辅助线的作法的理解.。
人教版九年级数学上册第24章《 圆：切线长定理》
第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
第二十四章 圆
切线长定理
下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系.如图， 过圆外一点P有两条直线PA,B分别与⊙O相切.经过圆外一点 的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切 线长.
第二十四章 圆
如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB,OP=OP. ∴Rt△AOP≌Rt△BOP. ∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
【例3】如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC
＝80°，则∠BOC的度数为( A )
A．130°
B．100°
C．50°
D．65°
分析：由题意知BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC＋∠OCB＝ 1 (∠ABC＋∠ACB)＝ 1 ×(180°－
2
2
80°)＝50°，∴∠BOC＝180°－50°＝130°.
第二十四章 圆
1.下列说法正确的是( C ) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
2.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为 A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( D )
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
第二十四章 圆
【例2】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点 D,E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF,BD,CE的长.
解：设AF=x，则AE=x. CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9.
人教版数学九年级上册24.2.2切线的性质与判定(教案)
一、教学内容
人教版数学九年级上册24.2.2切线的性质与判定：
1.理解并掌握切线的定义；
2.掌握切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线为圆的切线；
3.掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；
4.学会运用切线的性质解决有关切线长度、角度等问题；
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现同学们对切线的性质与判定这一章节的内容兴趣浓厚，这让我感到很欣慰。在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功吸引了学生的注意力，激发了他们的学习兴趣。但在后续的教学中，我也注意到一些需要改进的地方。
在理论介绍环节，我发现部分学生对切线定义的理解还不够深入，对切线判定定理的掌握也不够牢固。在接下来的教学中，我需要更加注重对基础概念的讲解，通过生动的例子和实际操作，帮助学生更好地理解切线的定义和判定定理。
-切线的性质：理解并掌握圆的切线垂直于过切点的半径，以及切线与圆的相切关系。
-实际问题中的应用：学会将切线的性质和判定定理应用于解决直线与圆的位置关系问题。
举例解释：
(1)通过图形演示和实际操作，让学生理解切线的定义，强调切线与圆只有一个交点。
(2)通过具体例题，如给定一个圆和一点，让学生画出经过该点且为圆的切线，从而加深对切线判定定理的理解。
(3)通过分析切线与过切点的半径的垂直关系，让学生明白切线的性质，并能够应用这一性质解决相关问题。
2.教学难点
-切线判定定理的理解：学生可能难以理解为什么经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
-切线性质的应用：学生在应用切线性质解决实际问题时，可能不知道如何建立数学模型和运用相关定理。
-解决实际问题时图形分析能力：学生在面对复杂的图形时，可能难以识别切线与圆的关系。
第24章圆导学案[人教版初三九年级] 24.2.1圆的切线判定
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OC A B马家砭中学导学稿科 目 数学 课题 24.2.1圆的切线判定授 课 时 间 10.28设计人 韩伟课型新授班 级九年级姓 名学 习 目 标1．理解并掌握切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．理解并掌握切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径学法指导 自主、合作、探究一、自主先学活动1、已知直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，连接0A ，你发现了什么？结论：____________________________综合以上三条切线的性质，可总结为：一条直线若满足①过圆心，②__________，③垂直于切线这三条中的任意两条，就必然满足第三条。
活动2、画⊙O 及半径OA ，画一条直线l 过半径OA 的外端点，且垂直于OA 。
你发现直线l 与⊙O 有怎样的位置关系？为什么？_____________________________________________经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是____________________．二、自学新知『例1（P95例1）直线AB 经过⊙O 上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB 是⊙O 的切线.___. 提示：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，（2）过这点的半径垂直于直线．小结：辅助线：有点连圆心，证垂直『例2.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系， 并证明你的结论OA.OAlCABCE OD小结：辅助线：无点做垂线，证相等三、课堂练习：小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴墙面量得MA 的长,即可求出墙的直径,请你利用下图,说明她这样做的道理.四、小结1、你还需要老师为你解决那些问题？________________________________________________________ 2、你对同学还有那些温馨的提示？_________________________________________________五、课后巩固1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT ＝45°，AT ＝AB ． 求证：AT 是⊙O 的切线．2、 如图，AB 是⊙O 的直径，直线L1,L2是⊙O 的切线，A 、B 是切点，L1,L2有怎样的位置关系？证明你的结论。
九年级数学上册 第24章 第42课时《圆》切线长定理导学案(无答案)(新版)新人教版
切线长定理学习目标1、理解切线长定理、三角形内心的性质。
2、能利用切线长定理、三角形内心的性质进行简单的计算与证明。
（重、难点）学生自主活动材料一.前置性自学1、自学内容：课本96-98页，把不明白的问题记录下来以便与老师、同学交流。
2、自学检测：（1）已知：如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点。
写出三个以上正确结论:_____________________________________________________________________________________。
（2）如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）A．112.5° B．112° C．125° D．55°（3）已知：如图，在△ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，则AF=_________、BD=______________、CE=________________．二.小组反馈1、若⊙O的切线长和半径相等，则两条切线所夹角的度数为（）A.30°B.４5°C.60° D．９0°2、若AB、AC分别切⊙O于B、C，延长OB到D使BD＝OB，连AD，∠DAC＝78°，则∠ADO＝（）A.56°B.3９°C.6４°D.78°3、如图：AB、AC切⊙O于B、C，BC交OA于D，则图中的直角三角形共有（）A.3B.4C.5D.64、在三角形内，与三角形三条边距离相等的点，是这个三角形的（）A.三条中线的交点，B.三条角平分线的交点，C.三条高的交点，D.三边的垂直平分线的交点。
三合作探究5、△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠FDE与∠A的关系是（）A. ∠FDE=21∠A B. ∠FDE+21∠A=180° C. ∠FDE+21∠A=90° D. 无法确定6、已知⊙O的半径是4cm，点P和圆心O的距离为8cm，经过点P作⊙O的两条切线，则两条切线夹角为______度．7、作一个半径为2 cm的圆，使它与已知60°角的两边都相切，则圆心到角的顶点的距离是__________；8、如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于E，F，G，H．（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，AB=DC，⊙O直径6cm，AB=8cm求：梯形面积．第（1）题图第（2）题图第（3）题图第3题图四.展示交流9、如图，Rt△ABC中，AB=8，AC=6，∠A=90°，⊙O分别切AC，BC，AB于D，E，F，（1）求Rt△ABC的内切圆半径。
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马家砭中学导学稿
学法指导自主、合作、探究
三角形的外心：
角平分线的性质定理：
角平分线的判定定理：
切线的性质定理：
切线的判定定理：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（）
OPB.（）
从圆外一点可以引圆的两条，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的 .
B A
C E
D O
F
（提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。
如何找到这个圆心呢？）．
并得出结论：
与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的内心。
三、课堂练习：
例1：如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D,E,F,且AB=9cm ，BC=14cm ，CA=13cm,
求AF,BD,CE 的长.
例2．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．
四、小结
1、你还需要老师为你解决那些问题？
________________________________________________________
2、你对同学还有那些温馨的提示？
_________________________________________________
五、课后巩固
1、如图，△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O 是内心，求∠AOC 的度数。
2、△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积。
（提示：设内心为O ，连接OA,OB,OC ）
主备教师：韩伟 备课组长签字：________ 教研组长签字：_________
E
D F O A C
B O B
C A。