第24章圆导学案[人教版初三九年级] 24.2.1切线长定理
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线长定理三角形的内切圆内心》优课导学案_0
切线长定理
一、教学目标：
知识目标：1．理解切线长的概念。
2．掌握切线长定理及其应用。
能力目标：培养学生识图能力和逻辑思维能力。
情感目标：激发学生学习兴趣，培养探索精神和创新能力。
德育目标：渗透事物之间相互转化的思想，培养学生良好的学习习惯
和严谨的思维品质。
二、教学重点：切线长定理的应用。
教学难点：切线长定理的灵活应用。
突破关键：切线长定理的理解。
教学方法：观察、探究、讨论、概括等多种方法。
三、教学过程：
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，若∠APB=60°，PA=6cm，那么⊙O
是 .
探究加深：
芜湖经济技术开发区
九年级数学公开课
课题：§24.2.2直线和圆的位置关系（第三课时）
切线长定理
授课：张晓明
时间：2012年10月31日
班级：芜湖市第33中学
（安师大附中城北分校）
九（3）班。
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理教案
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。
人教版数学九年级上册第二十四章《圆》导学案(精品教学设计)
第二十四章圆24．1 圆的有关性质24. 1. 1 圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O 的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图) ,第4题图) 4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图) ,第6题图)6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC ＝10 cm ，求OD 的长．解：5 cm.点拨精讲：这里别忘了圆心O 是直径AB 的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.2 垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm__．2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm__．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为__3_cm__．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE，∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm.3．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE⊥AB 于点E.则AE ＝BE ，CE ＝DE.∴AE －CE ＝BE －DE.即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.(1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm.由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm.∴EF ＝OE ＋OF ＝22 (cm)．即AB 与CD 之间距离为22 cm.(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图②，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm.由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm.∴EF ＝OE －OF ＝8 (cm)．即AB 与CD 之间距离为8 cm.由(1)(2)知AB 与CD 之间的距离为22 cm 或8 cm.点拨精讲：分类讨论，①AB ，CD 在点O 两侧，②AB ，CD 在点O 同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.3 弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P83～84内容，回答下列问题．探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，(1)如果AB ＝CD ，那么__AB ︵＝CD ︵，__∠AOB＝∠COD __；(2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__AB ＝CD__，__∠AOB＝∠COD；(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB ＝CD__，AB ︵＝CD ︵__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO _≌_△ABO __；(2)__AD 垂直平分BC__；(3)AB ︵＝AC ︵.2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.又∵∠ACB＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠BOC＝∠AOC.,第2题图),第3题图)3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵.求证：AB ＝CD.(2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵.证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，∴DC ︵＝AB ︵，∴AB ＝CD.(2)∵AD＝BC ，∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数．解：30°.,第3题图) ,第4题图)4．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件．(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AMN＝∠CNM.∵AB ＝CD ，M ，N 为AB ，CD 中点，∴OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMA ＝∠ONC，∠OMN ＝∠ONM，∴∠OMA －∠OMN＝∠ONC－∠ONM.即∠AMN＝∠CNM.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数．解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，它们的延长线交⊙O 于点A ，B.(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形．理由：过点O 作OG⊥CD 于点G ，则CG ＝DG.∵CE＝DF ，∴CG －CE ＝DG －DF.∴EG ＝FG.∵OG⊥CD，∴OG 为线段EF 的垂直平分线．∴OE ＝OF ，∴△OEF 为等腰三角形．(2)证明：连接AC ，BD.由(1)知OE ＝OF ，又∵OA＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE.∵∠CEA ＝∠OEF，∠DFB ＝∠OFE，∴∠CEA ＝∠DFB.在△CEA 与△DFB 中，AE ＝BF ，∠CEA ＝∠BFD，CE ＝DF ，∴△CEA ≌△DFB ，∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦等来证弧等．3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是AO ，BO 的中点．CM⊥AB，DN⊥AB ，分别与圆交于C ，D 点．求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接AC ，OC ，OD ，BD.∵M ，N 为AO ，BO 中点，∴OM ＝ON ，AM ＝BN.∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO＝90°.在Rt △CMO 与Rt △DNO 中，OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴CM ＝DN.在Rt △AMC 和Rt △BND 中，AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND，CM ＝DN ，∴△AMC ≌△BND.∴AC ＝BD.∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：连接AC ，OC ，OD ，BD ，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.4 圆周角1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P85～87，完成下列问题．归纳：1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__．5．圆内接四边形的对角__互补__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A ＝65°，求∠D 的度数． 解：65°.,第1题图),第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，求圆周角∠BAC 的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数．解：65°.,第3题图) ,第4题图)4．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC 的中点，那么∠DAC 的度数是多少？解：29°.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图所示，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB，若∠ABO＝25°，则∠C＝__65°__．,第1题图) ,第2题图) 2．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB＝__64°__．3．如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O 于D，求BC，AD，BD的长．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∴BC＝AB2－AC2＝8 (cm)．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD.由AB为直径，知AD⊥BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD2＋BD2＝2AD2＝2BD2＝AB2，∴AD＝5 2 cm，BD＝5 2 cm.点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．如图所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD＝5 cm，则BE＝__10_cm__．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．,第1题图) ,第2题图) 2．如图所示，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝__30°__．3．OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角，∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝2∠ACB.同理∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB ＝2∠BOC，∴∠ACB ＝2∠BAC.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．4．如图，在⊙O 中，∠CBD ＝30°，∠BDC ＝20°，求∠A.解：∠A＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆周角的定义、定理及推论．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2 点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1 点和圆的位置关系1. 结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．重点：点和圆的位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．难点：反证法的证明思路．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P92～94.归纳：1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d ＞r__；点P在圆上⇔__d＝r__ ；点P在圆内⇔__d＜r__ .2.经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆；它们的圆心__在线段AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一个__圆．3．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．任意三角形的外接圆有__一个__，而一个圆的内接三角形有__无数个__．4．用反证法证明命题的一般步骤：①反设：__假设命题结论不成立__；②归缪：__从假设出发，经过推理论证，得出矛盾__；③下结论：__由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P 与⊙O的位置关系是点__P在圆内__．2．在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是__4或6__．3．△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的度数是__62°或118°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？(用反证法证明)2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是怎样的？点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．3．如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线l 上有A，B，C三点，AD＝6，BD＝8，CD＝9，问A，B，C三点与⊙O的位置关系是怎样的？点拨精讲：垂径定理和勾股定理的综合运用．4．用反证法证明“同位角相等，两直线平行”．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的__内部__．2．已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足__0<r<5__．3．已知⊙O的半径为5，M为ON的中点，当OM＝3时，N点与⊙O的位置关系是N在⊙O的__外部__．4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求△ABC的外接圆半径．解：连接AO并延长交BC于点D，再连接OB，OC.∵AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC.∵AO＝BO＝CO，∴∠OAB＝∠OAC.又∵△ABC为等腰三角形，∴AD⊥BC，∴BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中， ∵AB ＝10，∴AD ＝AB 2－BD 2＝8.设△ABC 的外接圆半径为r.则在Rt △BOD 中，r 2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254. 即△ABC 的外接圆半径为254. 点拨精讲：这里连接AO ，要先证明AO 垂直BC ，或作AD⊥BC，要证AD 过圆心．5．如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm.(1)以点A 为圆心，4 cm 为半径作⊙A，则点B ，C ，D 与⊙A 的位置关系是怎样的？(2)若以A 点为圆心作⊙A，使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？解：(1)点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外，点D 在⊙A 上；(2)3＜r ＜5.点拨精讲：第(2)问中B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，必然是离点A 最近的点B 在圆内；至少有一点在圆外，必然是离点A 最远的点C 在圆外．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r.2．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(1)1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系及相关概念．2．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．重点：判断直线与圆的位置关系．难点：理解圆心到直线的距离．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P95～96.归纳：1．直线和圆有__两个__公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__．2．直线和圆有__一个__公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__．3．直线和圆有__零个__公共点时，直线和圆相离．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l和⊙O 相交⇔__d＜r__；直线l和⊙O相切⇔__d＝r__；直线l和⊙O相离⇔d＞r__．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，AB＝6 cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为23．已知⊙O的半径r＝3 cm，直线l和⊙O有公共点，则圆心O到直线l 的距离d的取值范围是0≤d≤3__．4．已知⊙O的半径是6，点O到直线a的距离是5，则直线a与⊙O的位置关系是__相交__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．已知⊙O的半径是3 cm，直线l上有一点P到O的距离为3 cm，试确定直线l和⊙O的位置关系．解：相交或相切．点拨精讲：这里P到O的距离等于圆的半径，而不是直线l到O的距离等于圆的半径．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是多少？解：r＝125或3＜r≤4.点拨精讲：分相切和相交两类讨论．3．在坐标平面上有两点A(5，2)，B(2，5)，以点A为圆心，以AB的长为半径作圆，试确定⊙A和x轴、y轴的位置关系．解：⊙A与x轴相交，与y轴相离．点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径作圆．①当r满足__0＜r＜125__时，⊙C与直线AB相离．②当r满足__r＝125__时，⊙C与直线AB相切．③当r满足__r＞125__时，⊙C与直线AB相交．2．已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线a的距离为3 cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相交．直线a与⊙O的公共点个数是__2个__．3．已知⊙O的直径是6 cm，圆心O到直线a的距离是4 cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相离__．4．已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且|d－3|＋(6－2r)2＝0.试判断直线与⊙O的位置关系．解：相切．5．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，d，r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，且直线l与⊙O相切，求m的值．解：m＝0或m＝－8.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．直线与圆的三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(2)1. 理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．难点：切线的判定和性质及其运用．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P97～98.归纳：1．经过__半径的外端__并且__垂直于这条半径__的直线是圆的切线．2．切线的性质有：①切线和圆只有__1个__公共点；②切线和圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心__和切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于C ，AB ＝3 cm ，PB ＝4 cm ，则BC ＝__125__cm.2．如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上一点，过点D 作⊙O 的切线AD ，BA ⊥DA 于点A ，BA 交半圆于点E ，已知BC ＝10，AD ＝4，那么直线CE与以点O 为圆心，52为半径的圆的位置关系是__相离__．3．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于点D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下面结论正确的有__①②③④__．①AD ⊥BC ； ②∠EDA＝∠B；③OA ＝12AC; ④DE 是⊙O 的切线．4．如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ，若AD ＝2，TC ＝3，则⊙O 的半径是．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，E 是BC 边上的中点，连接PE ，则PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．解：相切；证明：连接OP ，BP ，则OP ＝OB.∴∠OBP ＝∠OPB.∵AB 为直径，∴BP ⊥PC.在Rt △BCP 中，E 为斜边中点，∴PE ＝12BC ＝BE. ∴∠EBP ＝∠EPB.∴∠OBP ＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB.即∠OBE＝∠OPE.∵BE 为切线，∴AB ⊥BC.∴OP ⊥PE ，∴PE 是⊙O 的切线．2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD∥OC，连接CD.求证：(1)点E 是BD ︵的中点；(2)CD 是⊙O 的切线．证明：略．点拨精讲：(1)连接OD，要证弧等可先证弧所对的圆心角等；(2)在(1)的基础上证△ODC与△OBC全等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．教材P98的练习．2．如图，∠ACB＝60°，半径为1 cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是__cm.,第2题图) ,第3题图) 3．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P 的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P与直线CD相切．4．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10 cm，小圆半径为6 cm，则弦AB的长为__16__cm.,第4题图) ,第5题图) 5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A＝25°，则∠D＝__40°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆的切线的判定与性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2.2 直线和圆的位置关系(3)1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P99～100.归纳：1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的__线段长__叫做切线长．2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线的夹角，这就是切线长定理．3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C ，图中互相垂直的直线共有__3__对．,第1题图) ,第2题图)2．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝__60__度．3．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是__4__．,第3题图) ,第4题图)4．⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOF ＝120°，则∠DOE＝__146°，∠C ＝__60°__，∠A ＝__86°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB ＝12 cm ，梯形面积为120 cm 2，求CD 的长．解：20 cm.点拨精讲：这里CD ＝AD ＋BC.2．如图，已知⊙O 是Rt △ABC (∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D ，E ，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形．(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明略；(2)a ＋b －c 2. 点拨精讲：这里(2)的结论可记住作为公式来用．3．如图所示，点I 是△ABC 的内心，∠A ＝70°，求∠BIC 的度数． 解：125°.点拨精讲：若I 为内心，∠BIC ＝90°＋12∠A；若I 为外心，∠BIC ＝2∠A.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝__2__．,第1题图) ,第2题图)。
人教版数学九年级上册第24章圆《切线长定理》教学设计
-使用动态图形展示切线与圆的关系，帮助学生形成直观的认识。
-利用信息技术手段，制作互层次的学生设计不同难度的练习和任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
-设计探究活动，鼓励学生提出假设，通过实际操作验证假设。
-组织小组讨论，培养学生的合作意识和交流能力。
2.逻辑推理：运用几何知识和逻辑推理方法证明切线长定理。
-引导学生运用已学的几何知识，如圆的性质、直角三角形的性质等，进行逻辑推理。
-培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3.应用与实践：将切线长定理应用于解决实际问题，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将利用学生的生活经验和已有知识，激发他们对新知识的兴趣和好奇心。首先，我会提出一个问题：“在日常生活中，你们有没有见过或听说过道路或铁路在接近圆形交叉路口时，为什么会设计成曲线而非直线呢？”通过这个问题，引导学生思考圆与直线的关系，从而自然过渡到切线的概念。
-注意：要求学生在解题过程中注重逻辑推理的严密性和步骤的完整性。
2.实践应用题：选择一个生活中的实际问题，如道路设计、园林规划等，运用切线长定理进行解决，并将解题过程和结果写成小报告。通过这项作业，学生可以更好地理解数学与实际生活的联系，提高解决实际问题的能力。
-提示：鼓励学生使用图形和图表来辅助说明解题思路，使报告更加清晰易懂。
1.切线与半径的垂直关系：通过动态演示切线与半径的垂直关系，引导学生观察和思考，从而得出切线与半径垂直的结论。
2.切线长定理的证明：利用直角三角形的性质，分步骤引导学生完成切线长定理的证明。在此过程中，强调每一步的逻辑推理和几何依据。
九年级数学上册第二十四章24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.4圆的切线长性质备课资料教案新
九年级数学上册第二十四章24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.4 圆的切线长性质备课资料教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十四章24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.4 圆的切线长性质备课资料教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学上册第二十四章24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.4 圆的切线长性质备课资料教案（新版）新人教版的全部内容。
第二十四章 24。
2。
4圆的切线长性质知识点1：切线长与切线长定理切线长：经过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段的长，叫做该点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,该点与圆心的连线平分两条切线的夹角.关键提醒:(1）切线与切线长是两个不同的概念，切线是直线,不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量;(2)切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据。
知识点2：三角形的内切圆与内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三条角平分线的交点.关键提醒:(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，因此三角形的内心到三角形三边的距离相等;（2)“切”是说明三角形的边与圆的关系,而“内”是三角形与圆的相对位置,因此我们可以说这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形有唯一的内切圆，而圆有无数个外切三角形；(3）我们一定要从文字、图形、性质和实际意义上区别三角形的“外心"“内心"“内切圆”和“外接圆"等概念，以免混淆.一般情况下,三角形的内心、外心是两个不同的点,但等边三角形的内心、外心重合为一点.任意一个三角形的内心都在三角形内,而外心则不一定.考点1：利用切线长定理解决问题【例1】如图，过半径为150px的☉O外一点P，引圆的切线PA、PB,连接PO交☉O于点F,过点F作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.若PO=250px，∠APB=74°。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线的概念切线的判定和性质》优质课导学案_1
《圆的切线判定定理应用》教学设计教材分析1、教材所处的地位和作用切线的判定是九年级上册第二十四章“圆”中的内容之一，是在学完直线和圆三种位置关系概念的基础上进一步研究直线和圆相切的特性，是“圆”这一章的重点之一，是学习圆的切线长和切线长定理等知识的基础。
2、教学内容“切线的判定和性质”共两个课时，为了突出本节课的重点、突破难点，而是依据学生认知特点，将切线的判定方法作为单独一课时，这样的设计即是对前面所学的“直线与圆相切的判定方法”的复习，又是对后面学习综合运用两个定理，合理选择两种方法判定切线作了铺垫，让教学呈现一个循序渐进、温过知新的过程。
本节课主要有三部分内容：（1）切线的判定定理回顾（2）切线的判定定理的应用（3）总结切线的两种判定方法。
教学重点是切线的判定定理及其应用。
教学难点是切线判定定理中所阐述的圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视一。
教学对象分析在学习本节内容之前学生已经掌握了圆的切线的定义，直线和圆的三种位置关系和一种直线与圆相切的判定方法（用d=r）。
在学习用d=r来判定直线与圆相切的内容时曾为本节内容打过伏笔，设置过悬念，所以学生对本节内容的学习充满期待的。
教学三维目标：知识与能力：1、回顾圆的切线判定定理。
2、知道判定切线常用的方法有两种，初步掌握方法的选择并能数学问题。
过程与方法：运用圆的切线的判定定理解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力。
情感态度与价值观：1、通过运用圆的切线的判定定理解决数学问题活动，拓宽解题思路，从而使学生能够灵活应用所学知识解决问题。
2、借此形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点对待生活。
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法。
教学难点：切线判定定理中所阐述的圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径．教学过程：一、复习提问学生回顾圆判定定理的内容：经过半径的在圆上的端点且垂直于半 径的直线是圆的切线。
人教版九年级数学第24章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置的关系切线长定理讲义
人教版九年级数学第24章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置的关系切线长定理讲义合作探究探究点1 直线与圆的三种位置关系及实际应用知识讲解(1)直线和圆的三种位置关系:①相离:一条直线和圆没有公共点.②相切: 一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.③相交:一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线. (2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.直线l和⊙O相交r⇔；d<直线l和⊙O相切r⇔；d=直线l和⊙O相离r⇔.d>注意要判断一条直线与圆的位置关系有两种方法:一看直线与圆的公共点的个数;二看圆心到直线的距离d与圆的半径之间的关系.⊙O 的位置关系是________________.答案 相交或相离点拨 方程02092=+-x x的两根为5,421==x x ， 5,4==∴r d 或4,5==r d .当5,4==r d 时，r d <，直线l 为⊙O 相交；当4,5==r d 时，r d >，直线l 为⊙O 相离.探究点2 切线的判定定理知识讲解（1）定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出圆与直线公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线. 典型剖析例2 如下图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，OB BD =，点C 在圆上，30=∠CAB ，直线DC 是⊙O 的切线吗？为什么？解析 运用切线的判定方法，连接OC ，说明.90 =∠OCD答案 如图，连接.,CB OCAB 是⊙O 的直径，且30=∠CAB ， 即BOC ∆为等边三角形，.60 =∠=∠OBC OCB又,,BD CB OB BD =∴=CD OC ⊥∴.根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线可知直线DC 是⊙O 的切线. 规律总结若已知一直线经过圆上某一点，那么连接这点和圆心，说明该直线与半径垂直即可判定该直线与圆相切.类题突破2 如下图，O 为BAC ∠平分线上一点，ABOD ⊥于D 、O 为圆心、OD 为半径作⊙O .求证：⊙O 与AC 相切.答案 如图，过O 作AC OE ⊥于E .又O 为BAC ∠平分线上一点，AB OD ⊥,OE OD =∴,即点O 到AC 的距离等于⊙O 的半径. ∴⊙O 与AC 相切.点拨如果不知直线与圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径，从而证明直线为圆的切线.这是证明切线的另一种情形.要证⊙O与AC相切，只需证明点O到AC的距离等于半径OD即可.探究点3 切线的性质定理知识讲解(1)切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的性质可总结如下:如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是:a.直线过圆心;b.直线过切点;c.直线与圆的切线垂直.典例剖析例3 如下图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D,求证:AC 平分DAB.解析 CD 是⊙O 的切线，连接OC ，则CD OC ⊥,再结合CD AD ⊥,问题即可解决.答案 如图，连接OC .CD 是⊙O 的切线,又CD AD ⊥，.21,//∠=∠∴∴AD OC32∠=∠∴,即AC 平分DAB ∠.类题突破3 如图，PB PA 、是⊙O 的两条切线，B A 、是切点，连接AB ，与直线PO 交于M ,请你根据圆的对称性，写出PAB ∆中的三个正确的结论. 结论（1）：_______________________________________________________________;结论（2）：_______________________________________________________________;结论（3）：_______________________________________________________________;答案 （1）PAB ∆是等腰三角形 （2）PAB ∆是轴对称图形（3）PO平分PAB∠（4）PM垂直平分线段AB等（只写三个即可）点拨根据切线定理和等腰三角形“三线合一”的性质，即可得到结论.探究点4 切线长定理知识讲解圆的切线长:①定义:经过圆外--点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.②定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，③注意:切线长不是切线的长度，圆的切线是直线，无法度量长度.典例剖析例4 如下图所示，PBPA、是⊙O的切线，EF切⊙O于点C,交PA于点E，交PB于点F，若cm=,试求PA8∆的周长.PEF解析 过圆外一点引圆的两条切线很容易得出CF BF EC AE ==,,求PEF ∆的周长也就转化为求PB PA +的长.答案 根据切线长定理PB PA FC FB EC EA ===,,,所以PEF ∆的周长为).(16822cm PA FB PF EA PE FC PF EC PE EF PF PE =⨯==+++=+++=++ 类题突破4 如图所示，四边形ABCD 的边DA CD BC AB 、、、和⊙O 分别相切于点P N M L 、、、. 求证：.BC AD CD AB +=+答案 因为DA CD BC AB 、、、都与⊙O 相切，P N M L 、、、是切点，所以.,,,MC NC DP DN MB LB AP AL ====所以MCMB DP AP MC DP MB AP NC DN LB AL +++=+++=+++,即.BC AD CD AB +=+点拨 直接利用切线长定理，得出LM LB AL AP MC NC DN DP ====,,,，进而得出结论. 探究点5 三角形的内切圆知识讲解与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点.注意 任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形.典例剖析例5 如图所示，已知ABC ∆的内心为点O , 110=∠BOC ,求A ∠的大小.解析 此例容易混淆了内心和外心的概念，把点O 当成了ABC ∆的外心,要注意把内心和外心这两个概念区分开来:三角形的内心是三角形的内切圆的圆心，它是三角形三个内角的平分线的交点，三角形的外心是三角形的外接圆的圆心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点。
人教版九年级数学上册第24章_24.2.2《直线和圆的位置关系》第3_课时导学案
见《导学测评》P40第3课时1.知道切线长的概念,三角形的内切圆、内心的概念.2.探索切线长定理,并会利用切线长定理解决问题.3.会画出三角形的内切圆,会利用三角形内心的性质解题.4.重点:切线长定理及其应用;三角形的内心及其性质.知识点切线长及其定理阅读教材本课时“思考”前面的内容,解决下列问题.1.如右图,过☉O外一点P,可以作☉O的两条切线,这点到切点之间的线段长,叫做这点到圆的切线长.在图中,点P到☉O的切线长就是线段PA、PB的长.2.在上图中,沿OP折叠,可以发现PA与PB重合,∠APO与∠BPO重合,于是,有PA= PB,∠APO= ∠BPO.★3.试完成下面的证明:连接OA、OB,∵PA、PB是☉O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,又OA=OB,OP= OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP,∴PA=PB,∠APO= ∠BPO.【归纳总结】切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【讨论】切线和切线长有什么不同?切线是直线,不能度量;切线长是线段,可以度量.【预习自测】如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是(B)A.4B.8C.4D.8知识梳理三角形的内切圆阅读教材本课时“思考”至结束,解决下列问题.1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.半径是三条角平分线的交点到三边的距离.2.三角形内切圆的作法:先作三角形的两条内角平分线,以交点为圆心,以圆心到三角形一边的距离为半径作圆,所得的圆即为三角形的内切圆.3.试填写下表:内容外接圆内切圆圆心O的名称△ABC的外心△ABC的内心△ABC的名称☉O的内接三角形☉O的外切三角形圆心O的确定三角形两边垂直平分线的交点三角形两条角平分线的交点“心”的性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三条边的距离相等【预习自测】正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为(B)A.2B.2C.D.3互动探究1:如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于E点,过C点作☉O的切线交AB的延长线于M点,连接MD.下列结论:①CE=DE;②=;③MD为☉O的切线;④MC=MD.其中正确结论的个数是(D)A.1个B.2个C.3个D.4个互动探究2:已知三角形的三边分别为5、12、13,则这个三角形的内切圆半径是2.【方法归纳交流】在直角三角形中,两条直角边为a、b,斜边为c,则该直角三角形内切圆的半径r= .互动探究3:如右图,直尺、三角尺都和圆O相切,AB=8 cm,求圆O的直径.解:如图,连接OA,OB,依题意可知△OAB为直角三角形,且∠AOB=30°,∵AB=8 cm,∴OA=16 cm,∵OB2+AB2=OA2 ,∴OB=8cm,∴圆O的直径为16cm.互动探究4:见教材本课时“练习”第2题.解:设内心为O,连接AO,BO,CO.∵三角形的内切圆半径为r,S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC,∴S△ABC=AB·r+BC·r+AC·r=r(AB+BC+AC)=lr.[变式训练]已知直角三角形的直角边为a、b,斜边为c,直角三角形的内切圆半径为r,你能求出直角三角形内切圆半径r的公式吗?解:根据三角形面积=三角形的周长与三角形内切圆半径乘积的一半,ab=(a+b+c)r,所以r=.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
马家砭中学导学稿
学法指导自主、合作、探究
三角形的外心：
角平分线的性质定理：
角平分线的判定定理：
切线的性质定理：
切线的判定定理：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（）
OPB.（）
从圆外一点可以引圆的两条，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的 .
B A
C E
D O
F
（提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。
如何找到这个圆心呢？）．
并得出结论：
与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的内心。
三、课堂练习：
例1：如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D,E,F,且AB=9cm ，BC=14cm ，CA=13cm,
求AF,BD,CE 的长.
例2．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．
四、小结
1、你还需要老师为你解决那些问题？
________________________________________________________
2、你对同学还有那些温馨的提示？
_________________________________________________
五、课后巩固
1、如图，△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O 是内心，求∠AOC 的度数。
2、△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积。
（提示：设内心为O ，连接OA,OB,OC ）
主备教师：韩伟 备课组长签字：________ 教研组长签字：_________
E
D F O A C
B O B
C A。