基本图像变换
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第3章 图像变换
数字图像处理的方法主要分为两大类：一类是空间域处理 法（空域法）；一类是频域法（变换域法），频域法处理 中最为关键的是变换处理，这种变换一般是线性变换，严 格可逆的，并满足一定的正交条件，因此也被称作酉变换。 在图像处理中，正交变换被广泛运用于图像特征提取、图 像增强、图像复原、图像编码等处理中。 3.1 傅立叶变换 3.2 离散余弦变换
y 0
N 1
x, v 0,1,2,, N 1
然后，沿f(x,y)的每一行进行1-D变换得到：
T (u, v) T ( x, v)h1 ( x, u)
x 0
N 1
u, v 0,1,2,, N 1
V T(x,v) 行变换 T(u,v)
Y f(x,y) 列变换
V
(0,0) (N-1) X
*
4. 旋转性
f (r, 0 ) F (, 0 )
5. 比例变换特性 af ( x, y ) aF (u, v) 1 u v f (ax, by) F( , ) | ab | a b
6. 帕斯维尔（Parseval）定理（能量保持定理）
F (u , v)
[
f ( x, y )e
j 2 ( ux vy )
dxdy dxdy dy
f ( x, y )e
j 2ux j 2vy
e
f ( x, y )e
j 2ux
dx]e
j 2vy
y {x [ f ( x, y )]}
该性质说明一次二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶 变换实现
2. 线性
[a1 f1 ( x, y) a2 f 2 ( x, y)] a1[ f1 ( x, y)] a2[ f 2 ( x, y)]
3. 共轭对称性
F (u, v) F (u,v)
3.3 Hough变换
3.4 小波变换
3.1 可分离和正交图像变换
图像变换的定义
将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一 些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的 加工，最后在转换回图像空间以得到要求的效果。这些转 换方法就被称为图像变换技术。
变换是双向的，将从图像空间像其他空间的变换称为 正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或 逆变换。
k(x,u)称为反向变换核。
2. 2-D可分离变换
T (u, v) f ( x, y)h( x, y, u, v)
x 0 y 0
N 1 N 1
u, v 0,1,2,, N 1
x, y 0,1,2,, N 1
f ( x, y) T (u, v)k ( x, y, u, v)
对连续傅立叶变换的复习
若f(x)满足狄利赫莱条件，则存在f(x)的傅立叶变换： I. 具有有限个间断点 II. 具有有限个极值点 狄利赫莱条件 III. 绝对可积 一维连续傅立叶变换
F (u)
Fra Baidu bibliotek
f ( x)e j 2ux dx
f ( x) F (u )e j 2ux du
3. 2-D可分离变换的计算
T (u, v) f ( x, y)h1 ( x, u)h2 ( y, v)
x 0 y 0
N 1 N 1
u, v 0,1,2,, N 1
首先，沿f(x,y)的每一列进行1-D变换得到：
T ( x, v) f ( x, y)h2 ( y, v)
(0,0) (N-1) X
(0,0) (N-1) U
二、正交变换
当h(x,y,u,v)是可分离和对称的函数时，公式
T (u, v) f ( x, y)h( x, y, u, v)
x 0 y 0
N 1 N 1
u, v 0,1,2,, N 1
可写为矩阵形式
其中F是N*N图像矩阵，A是N*N对称变换矩阵，其元素 为 aij h1 (i, j ) ，T是输出的TN*N AFA 变换结果。为了得到反变 换，对上式 T AFA 两边各乘一个反变换矩阵B:
u 0 v 0
N 1 N 1
h( x, y, u, v) 和 k ( x, y, u, v) 分别称为正向变换
核和反向变换核。 如果，下式成立：
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h2 ( y, v)
则称正向变换核是可分离的。如果h1 和h2的函数形 式一样，则称正向变换核是对称的。
BTB BAFAB
如果B=A-1,则：F BTB
ˆ BAFAB 如果B不等于A-1,则得到F的一个近似：F
利用矩阵形式的优点是：所得到的变换矩阵可分解 成若干个具有较少非零元素的矩阵的乘积，可减少冗余 和操作次数。 在B=A-1的基础上，如果A-1=A*,则称A为酉矩阵，相应 的变换为酉变换。如果A为实矩阵A-1=AT,则称A为正交矩 阵，相应的变换为正交变换。
令ω =2π u，则有
F ( ) f ( x)e jx dx
1 f ( x) 2
F ( )e jx dx
二维连续傅立叶变换 如果f(x,y)满足狄利赫莱条件，那么存在下面二维傅 立叶变换对：
f ( x, y)
1.可分性 5. 比例变换特性 7. 相关定理
F (u, v)
f ( x, y)e
j 2 ( ux vy)
dxdy
F (u, v)e
j 2 ( ux vy )
dudv
4. 旋转性
连续傅立叶变换的性质 2. 线性 3. 共轭对称性 6. 帕斯维尔定理（能量保持定理） 8. 卷积定理
1. 可分性
一、可分离变换
1.1-D可分离变换
N 1 x 0
T (u) f ( x)h( x, u)
u 0,1,2,, N 1
T(u)为f(x)变换，h(x,u) 称为正向变换核。同理，反变
换可以表示为：
f ( x) T (u)k ( x, u)
u 0
N 1
x 0,1,2,, N 1
数字图像处理的方法主要分为两大类：一类是空间域处理 法（空域法）；一类是频域法（变换域法），频域法处理 中最为关键的是变换处理，这种变换一般是线性变换，严 格可逆的，并满足一定的正交条件，因此也被称作酉变换。 在图像处理中，正交变换被广泛运用于图像特征提取、图 像增强、图像复原、图像编码等处理中。 3.1 傅立叶变换 3.2 离散余弦变换
y 0
N 1
x, v 0,1,2,, N 1
然后，沿f(x,y)的每一行进行1-D变换得到：
T (u, v) T ( x, v)h1 ( x, u)
x 0
N 1
u, v 0,1,2,, N 1
V T(x,v) 行变换 T(u,v)
Y f(x,y) 列变换
V
(0,0) (N-1) X
*
4. 旋转性
f (r, 0 ) F (, 0 )
5. 比例变换特性 af ( x, y ) aF (u, v) 1 u v f (ax, by) F( , ) | ab | a b
6. 帕斯维尔（Parseval）定理（能量保持定理）
F (u , v)
[
f ( x, y )e
j 2 ( ux vy )
dxdy dxdy dy
f ( x, y )e
j 2ux j 2vy
e
f ( x, y )e
j 2ux
dx]e
j 2vy
y {x [ f ( x, y )]}
该性质说明一次二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶 变换实现
2. 线性
[a1 f1 ( x, y) a2 f 2 ( x, y)] a1[ f1 ( x, y)] a2[ f 2 ( x, y)]
3. 共轭对称性
F (u, v) F (u,v)
3.3 Hough变换
3.4 小波变换
3.1 可分离和正交图像变换
图像变换的定义
将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一 些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的 加工，最后在转换回图像空间以得到要求的效果。这些转 换方法就被称为图像变换技术。
变换是双向的，将从图像空间像其他空间的变换称为 正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或 逆变换。
k(x,u)称为反向变换核。
2. 2-D可分离变换
T (u, v) f ( x, y)h( x, y, u, v)
x 0 y 0
N 1 N 1
u, v 0,1,2,, N 1
x, y 0,1,2,, N 1
f ( x, y) T (u, v)k ( x, y, u, v)
对连续傅立叶变换的复习
若f(x)满足狄利赫莱条件，则存在f(x)的傅立叶变换： I. 具有有限个间断点 II. 具有有限个极值点 狄利赫莱条件 III. 绝对可积 一维连续傅立叶变换
F (u)
Fra Baidu bibliotek
f ( x)e j 2ux dx
f ( x) F (u )e j 2ux du
3. 2-D可分离变换的计算
T (u, v) f ( x, y)h1 ( x, u)h2 ( y, v)
x 0 y 0
N 1 N 1
u, v 0,1,2,, N 1
首先，沿f(x,y)的每一列进行1-D变换得到：
T ( x, v) f ( x, y)h2 ( y, v)
(0,0) (N-1) X
(0,0) (N-1) U
二、正交变换
当h(x,y,u,v)是可分离和对称的函数时，公式
T (u, v) f ( x, y)h( x, y, u, v)
x 0 y 0
N 1 N 1
u, v 0,1,2,, N 1
可写为矩阵形式
其中F是N*N图像矩阵，A是N*N对称变换矩阵，其元素 为 aij h1 (i, j ) ，T是输出的TN*N AFA 变换结果。为了得到反变 换，对上式 T AFA 两边各乘一个反变换矩阵B:
u 0 v 0
N 1 N 1
h( x, y, u, v) 和 k ( x, y, u, v) 分别称为正向变换
核和反向变换核。 如果，下式成立：
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h2 ( y, v)
则称正向变换核是可分离的。如果h1 和h2的函数形 式一样，则称正向变换核是对称的。
BTB BAFAB
如果B=A-1,则：F BTB
ˆ BAFAB 如果B不等于A-1,则得到F的一个近似：F
利用矩阵形式的优点是：所得到的变换矩阵可分解 成若干个具有较少非零元素的矩阵的乘积，可减少冗余 和操作次数。 在B=A-1的基础上，如果A-1=A*,则称A为酉矩阵，相应 的变换为酉变换。如果A为实矩阵A-1=AT,则称A为正交矩 阵，相应的变换为正交变换。
令ω =2π u，则有
F ( ) f ( x)e jx dx
1 f ( x) 2
F ( )e jx dx
二维连续傅立叶变换 如果f(x,y)满足狄利赫莱条件，那么存在下面二维傅 立叶变换对：
f ( x, y)
1.可分性 5. 比例变换特性 7. 相关定理
F (u, v)
f ( x, y)e
j 2 ( ux vy)
dxdy
F (u, v)e
j 2 ( ux vy )
dudv
4. 旋转性
连续傅立叶变换的性质 2. 线性 3. 共轭对称性 6. 帕斯维尔定理（能量保持定理） 8. 卷积定理
1. 可分性
一、可分离变换
1.1-D可分离变换
N 1 x 0
T (u) f ( x)h( x, u)
u 0,1,2,, N 1
T(u)为f(x)变换，h(x,u) 称为正向变换核。同理，反变
换可以表示为：
f ( x) T (u)k ( x, u)
u 0
N 1
x 0,1,2,, N 1