杆的扭转定理和公式

圆截面杆的扭转之公保含烟创作

外力与内力|| 圆杆扭转切应力与强度条件|| 圆杆扭转变形与刚度条件|| 圆杆的非弹性扭转

杆件扭转的受力特点是在垂直于其轴线的平面内作用有力偶（图2·2-1a），其变形特点是在任意两个截面绕轴线发作相对转动.轴类构件常有扭转变形发作.作用在传动轴上的外力偶矩m通常是依据轴所传递的功率N和转速n(r/min)来计算.

当N的单元为千瓦（kW）时

当N的单元为马力（HP）时

扭转时的内力为扭矩T，用截面法求得.画出的内力图称为扭矩图（或T图），如图2·2-1b所示

图2·2-1 圆杆的扭转

当应力不超越资料的剪切比例极限rp时，某横截面上任意C点（图2·2-2）的切应力公式为

式中T——C 点所在横截面上的扭矩

p——C点至圆心的间隔

Lp——横截面对圆心的极惯性矩，见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质.

图2·2-2 切应力散布

圆杆横截面上的切应力r沿半径呈线性散布，其方向垂直于半径（图2·3-2）.模截面上的最年夜切应力在圆周各点上，其计算公式为

等截面杆的最年夜切应力发作在Tmax截面（危险截面）的圆周各点（危险点）上.其强度条件为

式中，[τ]为许用扭转切应力，与许用拉应力[σ]的关系为：[τ]=（0.5～0.6）[σ] (塑性资料)或[τ]=（0.5～0.6）[σ]（脆性资料）

在比弹性范围内，圆杆在扭矩T作用下，相中为L的两截面间相对扭转角为

或

式中G——资料的切变模量

单元扭转角公式为

或

式中GLp——抗扭刚度

圆杆上与杆轴间隔为p外（图2·2-2）的切应变r为

圆杆概略处的最年夜切应酿成

式中,r——圆杆的半径

等截面圆杆的最年夜单元扭转角，发作在Tmax一段内，其刚度条件为

式中,[θ]为圆杆的许用单元扭转角（°）/m

讨论圆杆扭转时切应力超越资料的比例极限并进入塑性状态的情况.关于加工硬化资料，如果资料的应力-应变图为已知（图2·3-3a），则杆中任一点处的切应力r就可以确定.位于横截面边缘处应酿成rmax，其相应的切应力rmax可以从应力-应变图求得.整个横截面上切应力的（图2·3-3b）与应力-应变图的形状相同.

使圆杆发作单元扭转角所必需的扭矩T，可依据静力学方程求得（见图2·2-3b）为

图2·2-3 圆杆的非弹性扭转

将式(2-2-10)代入式(2-2-13)得

式中Rmax=rθ

依据式（2·2-14），可以失掉T与θ的关系曲线，依据该曲线，可以确定对给定T值的θ和Tmax.

如果圆杆的资料具有明显的屈服极限rs，则可使应力-应变图理想化，如图2·2-4a所示，此资料弹塑性资料.此时，只要杆中最年夜应变小于rs 时，杆就属于弹性的.当横截面边缘处的应变超越rs 时，横截面上的应力散布如图2·2-4b所示，此图标明屈服开端于边缘，当应变增年夜时，屈服区例向里边开展.如果资料的屈服极限为rs ，弹塑性鸿沟为PS =C 时，则扭矩为

图2·2-4 理想弹塑性资料杆的扭转

式中d——圆杆的直径

当整个横截面都面到屈服时，其应力将接近平均散布，如图2·3-4c所示，相应的扭矩为杆的塑性极限扭矩，其值为

当扭矩到达此值时，扭矩不再增加而杆将持续变形

杆中最初开端屈服时的弹性极限扭矩T s ，由式（2·2-3）得

比拟式（2-2-16）和式（2-2-17），可得塑性极限扭矩与弹性极限扭矩之比为

由此可知，杆中开端屈服后，只要扭矩增年夜三分之一，就将使杆到达极限承载能力.

非圆截面杆的抟转与薄膜比拟

等直杆扭转时的应力与变形|| 薄膜比拟|| 非弹性扭转杆

非圆截面杆扭转时，其横截面将发作曲.横截面可以自由翘曲的扭转，称为自由扭转.此时，由于各截面的翘曲水平相同，故横截面收只在切而没有正奕力.例如，图2·2-5所示的工钢薄壁杆件，在两端作用一对扭转偶矩，杆的两个翼缘将相对转动，但翼缘的轴线仍为直线，不发作弯曲变形，也不发作正.

图2·2-5 自由扭转

若由于约束或受力条件的限制，造成杆件各截面的翘曲水平分歧时，则横截面上除有切应力外还有正应力.这种情况称为约束扭转.例如，图2·2-6a，所示的工字钢杆，一端固定，另一端作用扭转力偶矩.在固定端截面为平面，不能翘曲，但它限制了相邻截面的翘曲，离固定越远，翘曲受到的限制也越小，到自由端酿成了可以自由翘曲.由于相邻两截面的翘曲分歧，则引起这两个截面间纵向纤维长度的改动，于是横截面上发作正应力.又如图2·2-6b抽示两端简支工字钢杆，在跨度中点截面上作用一个扭转力偶矩.两端铰支座不允许端截面绕杆轴旋转，但可自由翘曲.由于对称，跨度中点截面应坚持为平面，离中点截面越远，翘曲越年夜.关于象工字钢、槽钢等薄壁杆件，在约束扭转时，横截面上的正应力往往很年夜我行我素厍以思索.但关于一些袂体杆件，如截面为矩形、椭圆形等杆件，因约束扭转而引起的正应力数值很小，可疏忽不计.

图2·2-6 约束扭转

具有任意形状的无限长等截面直杆，在绕扭转时，在与Z轴正交的截面上，要发作切应力rxz 和rxz （图2·2-7）.为了确定应力和变形，设应力函数φ （X，Y），使其满足下列各式，即

φs=C1（对单联域截面，可取C1＝0）

式中C、C1——常数

φs——沿截面周边上的φ值

AI——多联域时各孔的面积，单联域时，AI=0

切应力和应力函数的关系为

等直杆扭转时最年夜切应力为

单元长度扭转角为

式中，Jk 、Wk为截面抗几何特性，见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质.

图2·2-7 等值杆的扭转

关于任意实体截面（拜会表2-2-2 任意实心截面的Jk公式），最年夜切应力位于或十分接近于最年夜内切圆与鸿沟的切点之一（除非在鸿沟的其他点上有引起很高局部应力的锋利凹角），以及位于鸿沟曲率代数值为最小的点上.关于凸面，鸿沟曲率为正：关于凹面，鸿沟曲率为负（图2·2-8）.最年夜切应力可近似地用下式计算，即

图2·2-8 任意实体截面

式中的C分下列两种情形求得：

(1)在曲率为正（截面鸿沟是直或凸的）的点上

式中D——最年夜内切圆直径

r——该点上的鸿沟曲率半径（此时为正）

A——截面面积

(2)在曲率为负（截面鸿沟是凹的）的点上

式中，ψ为鸿沟切线绕过凹部时所转过的角度，（见图2-2-8），其单元为弧度（这里的r为负）而D、r