1.3.2函数的奇偶性教案

1.3.2函数的奇偶性

勐腊县第一中学：杨升

一、教学目标：

1.知识与技能：

（1）理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、

归纳问题的能力．

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数

学思想．

2.过程与方法：

从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力，进一步领会数形结合和分类的思想方法。

3.情感态度价值观：

通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.

二．重点难点

重点：函数的奇偶性及其几何意义．

难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．

三、教材分析及教学方法

本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．

值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数

1

)(2

3

--

=x x f x

x 既不是奇函

数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．

四、教学过程

（1）情景导入

同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪

些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：双鱼图、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y 轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y 轴对称的函数展开研究）．

（2）探究新知

(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

图1

(2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？

表1

x －3 －2 －1 0 1 2 3 f (x )＝x 2

表2

x －3 －2 －1 0 1 2 3 f (x )＝|x |

(3)请给出偶函数的定义． (4)偶函数的图象有什么特征？ (5)函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]是偶函数吗？ (6)偶函数的定义域有什么特征？ (7)观察函数f (x )＝x 和f (x )＝1

x 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？

讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y 轴对称． (2)

表1

x －3 －2 －1 0 1 2 3 f (x )＝x 2

9

4

1 0

1

4

9

表2

x －3 －2 －1 0 1 2 3 f (x )＝|x |

3

2

1

1

2

3

这两个函数的解析式都满足：

f (－3)＝f (3)；f (－2)＝f (2)；f (－1)＝f (1)．

可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x ，都有f (－x )＝f (x )．

(3)一般地，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．

(4)偶函数的图象关于y 轴对称． (5)不是偶函数． (6)偶函数的定义域关于原点对称．

(7)一般地，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点

对称．

（3）例题讲解

例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 4；(2)f (x )＝x 5； (3)f (x )＝x ＋1x ；(4)f (x )＝1

x 2.

解：(1)函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝(－x )4＝x 4＝f (x )， 所以函数f (x )＝x 4是偶函数．

(2)函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝(－x )5＝－x 5＝－f (x )， 所以函数f (x )＝x 5是奇函数．

(3)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－x ＋1－x

＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝x ＋1

x 是奇函数．

(4)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝

1

(－x )2＝1x 2＝f (x )，所以函数f (x )＝1

x 2是偶函数．

主要考查函数的奇偶性．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x ，其相反数－x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；

③作出相应结论：若f (－x )＝f (x )或f (－x )－f (x )＝0，则f (x )是偶函数； 若f (－x )＝－f (x )或f (－x )＋f (x )＝0，则f (x )是奇函数．