线性代数课件-11引言

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a21x1 a22x2 a2nxn 0
am1x1 am2x2 amnxn 0
（**）
则称（**）为齐次线性方程组
• 例如
x1 2 x1
x2 x2
x3 x3
1 0
x1
5x2 4 3x2 2
x1 2x
1
x2 x
2
x3 x3
0 0
x1
5x2 0 3x2 0
解的结构 有解
唯一解 无穷多解
无解
第一章 行列式
§1·1 排列与逆序 §1·2 n阶行列式的定义 §1·3 行列式的性质 §1·4 行列式按行（列）展开 §1·5 Cramer法则
§1·1 排列与逆序
引例 解
用1、2、3三个数字，可以组成多 少个没有重复数字的三位数？
三级排列
123
132
213
400x1 180x2 100x3 100x4 3400 1x 0 1 1 0x 2 2 1 0x 8 3 0 4x 4 0 24
第四批生产 100 120 180 40 2420
解：设A、B、C、D四种产品的单位成本分别为 x1、x2、 x3、 x4,则
• 线性方程组的一般表达式：
a11x1 a12x2 a1nxn b1
（*）中的每一个方程都成为恒等式，则称 (k1,k2,kn) 为方程组（*）的一个解。
• 例如
x1
x2 2 x3 3x2 x3
0 0
（0，0，0）为一个解
（5，1，-3）为一个
解（5c, c, -3c)为一个解（c为任意常数）
解
零解
(k1,k2, kn)(0 ,0 , 0 )
非零解 (k1,k2, kn)(0 ,0 , 0)
a21x1 a22x2 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
其中
x1,x2,xn
未知量
n
未知量的个数
m
方程的个数
a ij
第i个方程第j个未知量的系数
bi
第i个方程的常数项
• 例如：a23代表第二个方程第三个未知量的系数
b4代表第四个方程的常数项
• 对线性方程组
（2）52341 逆序：52、53、54、512、1、31、41
523 471 （3）1234567 逆序：无 12345607
逆序数的计算方法:
j1j2 jn = j1 后面比j1小的数的个数
+ j2后面比j2小的数的个数 +…
+ jn-1后面比jn-1小的数的个数
【例2（补）】 求排列 nn1n232的1逆序数
产品
产量（kg)
批次 A B C D 总成本
第一批生产 300 40 20 20 1160
第二批生产 500 240 160 60 4380
第三批生产 400 180 100 100 3400
由题意可列出方程组：
300x1 40x2 20x3 20x4 1160
5x 0 10 2x 4 21 0x 6 30 6x4 0438
• n个数中不能有重复数
• 不能有大于n的数
131 4
不是 排列
n级排列的总数＝ n!个
• 例如 由1、2、3、4这四个数可构成四级排列
4级排列的总数＝4!个=24 个
213 214 421
4
3
3
• 排列的记号： j1 j2 j3…jn ——— 一个n级排列
• ｛ j1 j2 j3…jn ｝——— 所有n级排列 • 例如：｛ j1 j2 j3 ｝表示所有3级排列 当j1=2、j2=3、j3=1时，j1 j2 j3代表三级排列231 当j1=3、j2=1、j3=2时，j1 j2 j3代表三级排列312
• 逆序：
在一个排列中，如果两个数的前后位置与它们的 大小顺序相反（即排在前面的数大于排在后 面 的数），则称这两个数构成排列的一个逆序。
即 对n级排列 j1 j2 … ji… jk… jn,， 若ji＞ jk， 则称ji与 jk构成一个逆序， 记为 ji jk 。
• 例如：在三级排列312中 逆序：31 、32 在四级排列4231中 逆序：42、21、31…
引言
线性方程组：由一次方程构成的方程组称为 线性方程组。
例如
x1 2 x1
x2 x2
x3 x3
1 0
x1 5 x 2 3x2 2
4
• 方程组
x1
x 32
x3
1
2 x1 x 2 x3 0
为非线性方程组
【实例】 设在一次投料生产中能获得四种产品， 通过四次测试，每次测试的总成本如下表所示， 试求每种产品的单位成本。
解 (nn1n232)1
(n1)(n2) 21
n(n 1) 2
奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列 排列
偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列
【例3(补）】判断排列135…（2k-1）246…（2k）的奇偶性
解 1 3 ( 2 k 5 1 ) 2 4 ( 2 k ) 6
123 (k 1) k(k 1)
• 【例1】求下列排列的逆序 （1）3241 逆序：32、31、21、 41 （2）52341 逆序：52、53、54、512、1、31、41 （3）1234567 逆序：无
逆序数:
一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆
序数 。 记为 j1j2 jn
• 例如
（1）3241 逆序：32、31、21、41 32414
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
（*）
若m=n,则（*）称为n元线性方程组 若m≠n,则（*）称为m×n线性方程组
• 在线性方程组（*）中，若bi=0 i=1、2…m
即
a11x1 a12x2 a1nxn 0
2×3 线性方程组 2元线性方程组 2×3齐次线性方程组 2元齐次线性方程组
• 线性方程组的解：
对线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
（*）
若 x1,x2,xn 分别用 k1,k2,kn 代替时，
231
312
321
总数=6 （个） ＝3！（个）
•排列：由自然数1、2、3、4、…、n组成的一个有序 数组称为一个n级排列，简称为排列。
自然排列： n级排列123…n 称为自然排列。
54321 3142 214 1324
5级
4级
排
排
列
列
不是 3
排列
不是 排列
n 级排列的三要素
• 由n 个自然数组成