fxd1-2无阻尼单摆

02 sin

0
非线性方程
式中角频率：
0 g / l
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
数学表达式
线性化处理
d 2
dt2
02 sin

0
sin x x x3 x5 x7 3! 5! 7!
忽略3次以上的高次项
得线性方程
sin x x
d 2
dt2
02
C e* i0t 1
C2*ei0t
C1ei0t
C2ei0t
C1 C2*; C2 C1*
将 C1,C2 写成指数形式C1 (P / 2)ei ,C2 (P / 2)ei 后得：
(t) (P / 2)(ei(0t ) e ) i(0t ) P cos(0t )
看看实验结果：

0
5
10
20
T/T0 1.0000 1.0005 1.0019 1.0077
30 1.0174
45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
1.2.2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 dt 2
02 sin

E
2 dt 2
K V E
右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过
程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 0，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
cos

E
2 dt
左边第一项是单摆动能 K，
左边第二项是势能 V
右边积分常数E是单摆总能
势能曲线是余弦函数
V ( ) cos
1.2.3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
单摆完整相图
1.坐标原点[ 0， 0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合轨道； 2.平衡点[ 0]为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线； 3.从[ 0 ]到[ 0 ]或相反的连线为分界线
量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。
同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0
的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
1.2.2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
单摆周期周期与摆角无关？来自T0 2 /0 2 l g ? T
最后得：
0T / 4
0
d
0 2 sin2 0 / 2 sin2 / 2 1/2
T

T0
1


1
2

s
in2
2
0
2

1 2

3
2

s
in
4
4
0
2


1.2.2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点
在倒立点附近，取对铅垂的偏角f表示摆角，f
代入单摆方程
d 2 dt2
02 sin

0
得方程
d 2f dt 2
02
s in f

0
利用 sin x x 得方程
d 2f dt2
2f

0
积分得双曲方程：
1

df
2


1
2f 2

E
2 dt 2
当E＝0时有
1.2 第二节 无阻尼单摆
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 1.2.2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 1.2.3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
数学表达式
由牛顿第二定律：
d 2
ml dt2
F
mg sin
d 2
dt2

g l
sin

0
d 2
dt2

0
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
数学表达式
令 et
代入方程得特征方程： 2 02 0
特征根：
1,2 i0
得通解为： (t) C1ei0t C2ei0t
式中 C1,C2为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 C1,C2 必
须满足条件：

0
乘以 d / dt 后积分

d
dt
2


E

202
cos
其中 E 202 cos0
积分
d
dt
0[2(cos
cos0 )]1/ 2
0t
d [2(cos cos0 )]1/2
设t = 0时， 0 ，周期为 T，在 t T / 4时应有 0 ，故有：
在分界线内的轨线是闭合回线， 单摆作周期振动。分界线以外
单摆能量E 超过势能曲线的极
大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动。
1.2.3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
相图横坐标θ是以2为周期的， 摆角 是同一个倒立位置，
把相图上G点与G‘点重迭一起 时，就把相平面卷缩成一个柱 面。所有相轨线都将呈现在柱 面上。因此，平面上的相轨线 是柱面上的相轨线的展开图。
df f
dt
这是在[ f 0，f 0 ]处的双曲线的渐近线，
这点称为双曲奇点，也称鞍点。
相图上这点为 [ , 0]的点。
1.2.3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
势能曲线
• 基本方程
d 2 dt2
02 sin

0
若取 0 1后积分得
1

d
2

1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
相图
相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用
相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时
刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的
运动轨迹称为轨线。
能量方程
1

d
2


1
2
该式是振幅为P，角频率为 0 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频 率只与摆线 l 的长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。
1.2.1 小角度无阻尼单摆 椭圆点
相图
使
0 1
得：
d 2
dt2

0
一次积分后：
1

d
2


1
2

E
2 dt 2
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两个变量，则方 程是一个圆周方程，圆的半径为 E ，振动过程是一个代表点沿圆周转 动。