专题不等式与不等式组

复习精品讲义

第九章不等式与不等式组

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本章学习重难点

【本章重点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质.会解简单的一元一次不等式,能在数轴上表示出不等式的解集,会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.能够根据具体问题中的不等关系,列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的问题.

【本章难点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集,会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并用数轴确定解集.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题．

中考透视

本章内容在中考中所占比重较大,直接考查不等式的基本性质.一元一次不等式(组)的解法,在数轴上表示不等式(组)的解集;间接考查将不等式(组)应用于二次根式、绝对值的化简与求值讨论、一元二次方程根的情况及求函数自变量的取值范围.以填空、选择形式为主,计算题形式也不少,其中应用不等式知识进行方案设计及比赛分析题目难度较大,不易得分．

知识网络结构图

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1 不等式（组）的实际应用

【专题解读】利用不等式（组）解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤类似，所不同的是，前者需寻求的不等关系往往不止一个，而后者只需找出一个不等关系即可. 在列不等式(组)时,审题是基础,根据不等关系列出不等式组是关键.解出不等式组的解集后,要养成检验不等式的解集是否合理,是否符合实际情况的习惯.即审题→设一个未知数→找出题中所有的数量关系,列出不等式组→解不等式组→检验.

例1 、年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张,B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,在购票费不超过5000元的情况下,购买A,B两种船票共15张,要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半.若设购买A种船票x张,请你解答下列问题.

(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程.

(2)根据计算判断哪种购票方案更省钱.

解: (1)由题意知购买B种船票(15-x)张.

根据题意,得

15

,

2 600120(15

)5000.

x

x

x x

-

⎧

≥

⎪

⎨

⎪+-≤

⎩

解得

20

5.

3

x

≤≤

因为x为正整数,所以满足条件的x为5或6.

所以共有两种购票方案.

方案一:购买A种票5张,B种票10张.

方案二:购买A种票6张,B种票9张.

(2)方案一的购票费用为600×5+120×10=4200(元);

方案二的购票费用为600×6+120×9=4680(元).

因为4500元<4680元,所以方案一更省钱.

【解题策略】运用不等式知识解决实际问题,关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言.

二、规律方法专题

专题2 求一元一次不等式（组）的特殊值

【专题解读】在此类问题中，一般给出一个一元一次不等式（组），然后在解集的范围内限制取值，解决的方法通常是先求出不等式（组）的解集，再由题意求出符合条件的数值.

例2 求不等式

121

23

x x

+-

≥

的非负整数解.

分析先解不等式,求出x的取值范围,在x的取值范围内找出非负整数解,求非负整数解时注意不要漏解.

解:解不等式

121

23

x x

+-

≥

,得x≤5.

所以不等式的非负整数解是5,4,3,2,1,0.

【解题策略】此题不能忽略0的答案.

专题3 一元一次不等式(组)中求参数的技巧

【专题解读】由已知不等式(组)的解集或整数解来确定选定系数的值或待定系数的取值范围,常用的方法是先用解不等式(组)的方法解出含待定系数的不等式(组)的解集,再代入已给出的条件中,即可求出待定系数的值.

例3 已知关于x的不等式组

0,

245

x b

x

-≤

⎧

⎨

-≥

⎩的整数解共有3个,则b的取值范围是______.

分析化简不等式组,得

,

4.5.

x b

x

≤

⎧

⎨

≥

⎩如图9-59所示,将其表示在数轴上,其整数解有3个,即为x=5,6,7.由图可知7≤b<8.故填7≤b<8.

例4 已知关于x的不等式(2-a)x>3的解集为

3

2

x

a

-

<

-,则a的取值范围是( )

A.a>0

B.a>2

C.a<0

D.a<2

分析分析题中不等式解集的特点,结合不等式的性质3,可知2-a<0,即a>2.故选B.

三、思想方法专题

专题4 数形结合思想

【专题解读】在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给出解答.解决此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有形思数，顺利解决问题.

例5 关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图9-60所示，则a的取值是（）

A．0 B．-3 C．-2 D．-1

分析由图9-60可以看出，不等式的解集为x≤-1，而由不等式2x-a≤-1，解

得x≤

1

2

a-

,所以

1

2

a-

=-1，解这个方程，得a=-1.故选D.

专题5 分类讨论思想

【专题解读】在利用不等式(组)解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨.

例6某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.

(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;

(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助学校选出最省钱的一种租车方案.

分析本题考查利用不等式组设计方案并做出决策的问题.根据题中的不等关系可列出不等式组,解不等式组求出x的取值,从而解答本题.

解:(1)设租用甲种汽车x辆,则租用乙种汽车(8-x)辆.

根据题意得

4030(8)290,

1020(8)100,

x x

x x

+-≥

⎧

⎨

+-≥

⎩解得5≤x≤6.

因为x为整数,所以x=5或x=6.

故有两种租车方案,方案一:租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.

方案二、租用甲种汽车6辆、乙种汽车2辆.

（2）方案一的费用：5×2000+3×1800=15400（元）.

方案二的费用:6×2000+2×1800=15600(元).

因为15400元<15600元,所以方案一最省钱.

答:第一种租车方案更节省费用,即租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.

【解题策略】解答设计方案的问题时,要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求,不能把数学问题与实际问题相混淆.

2011中考真题精选

一、选择题

1. 若a＞b，则（）