专题不等式与不等式组

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中考数学复习专题三-不等式和不等式组(解析版)

中考专题复习知识点1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

知识点2、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。

知识点3、不等式的解集在数轴上的表示：（1）x ＞a ：数轴上表示a 的点画成空心圆圈，表示a 的点的右边部分来表示；（2）x ＜a ：数轴上表示a 的点画成空心圆圈，表示a 的点的左边部分来表示；（3）x ≥a ：数轴上表示a 的点画成实心圆点，表示a 的点及表示a 的点的右边部分来表示；（4）x ≤a ：数轴上表示a 的点画成实心圆点，表示a 的点及表示a 的点的左边部分来表示。

在数轴上表示大于3的数的点应该是数3所对应点的右边。

画图时要注意方向（向右）和端点（不包括数3，在对应点画空心圆圈）。

如图所示：同样，如果某个不等式的解集为x ≤－2，那么它表示x 取－2左边的点画实心圆点。

如图所示：总结：在数轴上表示不等式解集的要点：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画圆点。

知识点4、不等式的性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

知识点5、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。

知识点6、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1。

通过这些步骤可以把一元一次不等式转化为x ＞a （x ≥a ）或x ＜a （x ≤a ）的形式。

知识点7、一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。

知识点8、知识点9、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组。

知识点10、解一元一次不等式组的一般步骤：先分别解不等式组中的各个不等式，然后再求出这几个不等式解集的公共部分。

不等式与不等式组知识点

不等式与不等式组知识点归纳一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5．用数轴表示不等式的解集。

二、不等式的基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变。

3．不等式两边都乘以（或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

说明：①在一元一次不等式中,不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

例:1．已知不等式3x —a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是。

2．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥->-1250x a x 无解，则a 的取值范围是。

3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0221042x x 的整数解为。

4．如果关于x 的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的值为。

5．已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x x x 的解集为2<x ，那么a 的取值范围是。

6．当x 时，代数式52+x 的值不大于零7。

若x 〈１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空)8.不等式x 27->１，的正整数解是9. 不等式x -〉10-a 的解集为x <３，则a10。

若a 〉b 〉c ，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧c x bx a x 的解集是11.若不等式组⎩⎨⎧--3212 b x a x 的解集是－１<x 〈１，则)1)(1(++b a 的值为 12.有解集２<x <３的不等式组是（写出一个即可）13.一罐饮料净重约为３００g ，罐上注有“蛋白质含量6.0 ”其中蛋白质的含量为 _____ g14。

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的解的有
5 3
，
是－32x＞1 的解的有－2，－2.5 .
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10．将下列不等式的解集在数轴上表示出来：
(1)x＜－3;
(2)x≥－1；
(3)x≠2;
(4)x＞－2.
解：
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七年级数学(下册)·人教版
第九章不等式与不等式组
9．1 不等式 9．1.1 不等式及其解集
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1．用“＞ ”或“ ＜ ”表示大小关系的式子叫做不等式，用“ ≠ ” 表示不等关系的式子也是不等式． 2．使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．
14．x 与 3 的差的 2 倍小于 x 的 2 倍与 3 的差，用不等式表示为( C )
A．2(x－3)＜x－3
B．2x－3＜2(x－3)
C．2(x－3)＜2x－3
D．2x－3＜12(x－3)
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解：(1)3x＞－2； (2)4y＋1＜5； (3)x2－2＞0； (4)2y－6≥0.
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20．若方程(m＋2)x＝2 的解为 x＝1，想一想(m－2)x＞－3 的解集是多少？试探究－1，－2,0,1,2 这五个数中的哪些数是该不等式的解．解：由题意可知：m＝0，则不等式(m－2)x＞－3 可化为－2x＞－3.可以看出其解集为 x＜32.故－1，－2,0,1 是该不等式的解．

专题07 不等式与不等式组重难点突破讲义(解析版)

专题07 不等式与不等式组重难点突破讲义【典例解析】题型一、不等式及其性质【例1】（2020·嵊州市期中）式子：①35；②450x +>；③3x =；④2x x +；⑤4x ≠-；⑥21x x +≥+．其中是不等式的有（）． A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C.【解析】解：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠-4；⑥x+2≥x+1是不等式， ∴共4个不等式．故答案为：C ．【例2-1】（2021·浙江杭州模拟）若x y >，则（） A ．22x y +C ．2222x y --<--D ．11x y -<-【答案】C.【解析】解：A ．∵x>y ，∴2x>2y ， A 不正确；B ．∵x>y ，∴x+1>y+1， B 不正确；C ．∵x>y ，∴-2x-2<-2y-2， C 正确；D ．∵x>y ，∴x-1>y-1， D 不正确；故答案为：C ．【例2-2】（2019·云南玉溪期末）已知a ＜b ，则下列不等式一定成立的是（） A ．20182018a b0， ∴20182018a b<，正确； B 、∵a-2b ，错误； C 、∵a-的解是1x <，则a 的取值范围是（） A ．0a C ．2a <D ．2a <-【答案】C.【解析】解：不等式（a -2）x ＞a -2的解集为x ＜1， ∴a -2＜0，解得：a ＜2，故答案为：C ．【例4】（2020·山西期中）李明乘车驶入地下车库时，发现车库入口处有几个标志码（如图1），其中第一个标志（如图2）表示“限高2m”．若设车的高度为x m ，则以下几个不等式中对此标志解释准确的是（）A ．2x ≥B ．2x >C ．2x ≤D ．2x <【答案】C.【例5】（2020·成武县期中）关于x 的不等式2x-a≤-1的解集为x≤1，则a 的值是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B.【解析】解：2x−a≤−1，2x≤a−1，x≤12a -， ∵x≤1， ∴12a -＝1，解得：a ＝3，故答案为：B ．【例6】（2020·哈尔滨月考）若关于x 的不等式(-1) 1m x m <-的解集为1x >，则m 的取值范围是（） A ．1m B ．1m <C ．1m ≠D ．1m =【答案】B.【解析】解：∵不等式（m-1）x ＜m-1的解集为x ＞1， ∴m-1＜0，即m ＜1，故答案为：B ．题型二、含参数类【例7-1】（2020·湖南株洲市）关于x 的不等式30x a -≤只有两个正整数解，则a 的取值范围是_______ 【答案】6≤a ＜9．【解析】解：原不等式解得x≤3a，解集中只有两个正整数解，这两个正整数解是1，2， ∴2≤3a＜3，解得：6≤a ＜9．故答案为：6≤a ＜9．【例7-2】（2020·广西南宁市期末）若关于x 的不等式2x +a ≤0只有两个正整数解，则a 的取值范围是（） A ．﹣6≤a ≤﹣4 B ．﹣6＜a ≤﹣4C ．﹣6≤a ＜﹣4D ．﹣6＜a ＜﹣4【答案】B.【解析】解：解不等式2x +a ≤0，得：x ≤﹣2a，不等式只有两个正整数解，这两个正整数解为1、2，则2≤﹣2a＜3，解得：﹣6＜a ≤﹣4，故答案为：B ．【变式7-1】（2021·北京专题练习）已知关于x 的不等式21x m x -<-的正整数解是1，2，3，则m 的取值范围是（） A ．34m < B ．34m <C ．811m <D ．811m <【答案】C.【解析】解原不等式得：13m x +<不等式的正整数解为1，2，3，∴1343m +<解得：8<m≤11 故答案为：C.【变式7-2】（2021·中山大学附属中学）若关于x 的不等式3x ＋1＜m 的正整数解是1，2，3，则整数m 的最大值是_____．【答案】13.【解析】解：解不等式3x ＋1＜m ，得13m x -<． ∵关于x 的不等式3x ＋1＜m 的正整数解是1，2，3， ∴1343m -<≤， ∴1013m <≤，∴整数m 的最大值是13．故答案为：13．【变式7-3】（2020·海淀区期中）已知关于x 的不等式2x ﹣k ＞3x 只有两个正整数解，则k的取值范围为_____．【答案】-3≤k ＜-2. 【解析】解：∵2x -k ＞3x ， ∴2x -3x ＞k ， ∴x ＜-k ，因为只有两个正整数解，则2＜-k ≤3， ∴-3≤k ＜-2，故答案为：-3≤k ＜-2．【变式7-4】若关于x 的不等式32x a +≤只有2个正整数解，则a 的取值范围为( ) A ．74a -<<- B ．74a -≤≤-C ．74a -≤<-D ．74a -<≤-【答案】D.【例8-1】（2021·陕西西安市月考）不等式组9511x x x m +<+⎧⎨>+⎩的解集是2x >，则m 的取值范围是（） A ．2m B ．1mC ．1mD ．1m <【答案】C.【解析】解：解不等式①得x>2，解不等式②得：x>m+1， ∵不等式组的解集是x>2， ∴m+1≤2 解得：m≤1，故答案为：C ．【例8-2】（2020·浙江期末）若关于x 的不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围是（）A ．2m C ．2m ≥D ．2m ≤【答案】C.【解析】解：∵不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩无解，∴m -1≥1，解得：m ≥2，故答案为：C ．【例8-3】若不等式组5300x x m -≥⎧⎨-≥⎩有实数解．则实数m 的取值范围是 ( )A ．53m ≤B ．5＜3m C ．53m ＞D ．53m ≥【答案】A.【解析】解：5300x x m -≥⎧⎨-≥⎩①②由①，得x 53≤；由②，得x ≥m ， ∵不等式组有实数解， ∴m 53≤．故答案为：A ．【例8-4】（2020·宁波市期末）若关于x 的不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m 的取值范围是（） A ．68m <+⎧⎨<⎩的解集是3x <-，则m 的取值范围是（） A ．3m ≥- B ．3m >-C ．3m ≤-D ．3m <-【答案】A.【解析】解：解不等式2x -1＞3x +2，得：x ＜-3， ∵不等式组2132x x x m->+⎧⎨<⎩的解集为x ＜-3，∴m ≥-3．故答案为：A ．【变式8-2】若关于x 的一元一次不等式组12x x m<≤⎧⎨>⎩有解，则m 的取值范围为（）A ．2m ⎩有解，∴m ＜2，故答案为：A ．【变式8-3】已知关于x 的不等式6m x <<的整数解共有3个，则m 的取值范围为_____________．【答案】2≤m ＜3.【解析】解：由题意得：符合题意的整数解为5，4，3 ∴m 不能取值3，可以取值2 ∴2≤m ＜3故答案为：2≤m ＜3．题型三、不等式组及其解法【例9】（2020·成都市锦江区月考）若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3x my m =⎧⎨=+⎩（m 为常数），方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩的解x 、y 满足3x y +>，则m 的取值范围为______．【答案】m ＞2.【解析】解：方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩，可转换为1112221(2)21(2)2a x y b x y c a x y b x y c ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++= ⎪⎪⎝⎭⎩，∵方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解集为3x my m =⎧⎨=+⎩，∴方程组1112221(2)21(2)2a x yb x yc a x y b x y c ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++= ⎪⎪⎝⎭⎩的解为：1223x y m x y m ⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩①②，由②-①得：x=2把x=2代入①得：y=m －1， ∴x+y=m+1>3， ∴m>2，故答案为：m>2．【例10】（2021·武城县四女寺镇明智中学九年级一模）不等式组1124223122x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】A.【解析】解：1124223122x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩①②，由①得：x ＞-3，由②得：x ≤1， ∴不等式组的解为：-3＜x ≤1，在数轴上表示如下：故答案为：A ．【例11】（2020·山东枣庄月考）若关于,x y 的二元一次方程组23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足 3x y +>-，求出满足条件的m 的所有正整数数值．【答案】1、2、3、4.【解析】解：由23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩①② ①+②得：3x+3y=-3m+6即x+y=-m+2>-3 ∴m<5满足条件的m 的所有正整数数值是1、2、3、4. 【例12】（2021·天津河西区）解不等式组321251x x x ≤+⎧⎨+≥-⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得________；（2）解不等式②，得________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为______．【答案】（1）1x ≤；（2）3x ≥-；（3）见解析；（4）31x -≤≤【例13】（2021·江西模拟）解不等式组：3(2)41213x x x x --≥-⎧⎪+⎨>-⎪⎩，并在数轴上表示它的解集．【答案】x ≤1．【解析】解：3(2)4?121?3x x x x --≥-⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，∵解不等式①得：x ≤1，解不等式②得：x ＜4， ∴不等式组的解集为：x ≤1，在数轴上表示不等式组的解集为：．【例14】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的一个关联方程．如一元一次方程213x -=的解是2x =，一元一次不等式组21354x x >⎧⎨-<⎩的解集是132x <<，我们就说一元一次方程213x -=是一元一次不等式组21354x x >⎧⎨-<⎩的一个关联方程．（1）在方程①310x -=，②240x -=，③(21)7x x +-=-中，不等式组52322x x x x -<-+⎧⎨->-+⎩的关联方程是；（填序号）（2）若不等式组112132x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是；（写出一个即可）（3）若方程92x x -=，132()2x x +=+都是关于x 的不等式组22x x mx m <-⎧⎨-⎩的关联方程，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）②；（2）x-1=0；（3）1≤m ＜2．【解析】解：（1）解不等式组52322x x x x -<-+⎧⎨->-+⎩得：712x <<， ∵方程①的解为13x =；方程②的解为x=2；方程③的解为：x=-2，∴不等式组的关联方程是②，故答案为：②；（2）解不等式组112132x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>-+⎩ 得：1342x <<，所以不等式组的整数解为：x=1，故答案为：x-1=0；（3）解不等式组22x x m x m<-⎧⎨-⎩ 得：2m x m <+．方程9-x=2x 的解为：x=3，方程132()2x x +=+的解为：x=2，其是关于x 的不等式组22x x m x m<-⎧⎨-⎩的关联方程， ∴m 222m 323m m <⎧⎪+≥⎪⎨<⎪⎪+≥⎩，解得：1≤m ＜2∴m 的取值范围是1≤m ＜2．题型四、实际应用【例15】（2020·安徽合肥）春节期间某商场为促销，将定价为50元/件的商品如下销售：一次性购买不超过5件按照原价销售；一次性购买超过5件则按原价的八折出售．旗旗现在有290元，则最多可购买这种商品（）件．A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B.【解析】解：设旗旗可以购买x 件商品，∵290＞250，∴旗旗购买的商品超过5件，50×0.8x≤290，解得：x≤714． ∵x 为整数，∴x 的最大值为7.故答案为：B ．【例16】（2021·合肥市期中）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧共购买10盒蛋糕，花费的金额不超过500元．若他将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（）A ．430B ．450C ．460D ．490【答案】D. 【解析】解：设阿慧购买x 盒桂圆蛋糕，则购买（10-x ）盒金枣蛋糕，则()()7040105001261075x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得：122≤x ≤133， ∵x 是整数，∴x =3，70×3+40×（10-3）=490（元）．故答案为：D ．【例17-1】（2020·河南驻马店期中）阅读以下结论：（1）若|x |＝a （a ≥0），则x ＝±a ．（2）若|x |＞a （a ＞0），则x ＞a 或x ＜﹣a ；若|x |＜a （a ＞0），则﹣a ＜x ＜a ．（3）若（x ﹣a ）（x ﹣b ）＞0（0＜a ＜b ），则x ＞b 或x ＜a ；若（x ﹣a ）（x ﹣b ）＜0（0＜a ＜b ），则a ＜x ＜b ．根据上述结论，解答下面问题：（1）解方程：|3x ﹣2|﹣4＝0．（2）解不等式：|3x ﹣2|﹣4＞0．（3）解不等式：|3x ﹣2|﹣4＜0．（4）解不等式：（x ﹣2）（x ﹣5）＞0．（5）解不等式：（2x ﹣3）（2x ﹣5）＜0．【答案】（1）x ＝2或x ＝﹣23；（2）x ＞2或x ＜﹣23；（3）﹣23＜x ＜2；（4）x ＞5或x ＜2；（5）32＜x ＜52．【解析】（1）解：|3x ﹣2|﹣4＝0，3x ﹣2＝4或3x ﹣2＝﹣4，解得x ＝2或x ＝23-；（2）解：|3x ﹣2|﹣4＞0，3x ﹣2＞4或3x ﹣2＜﹣4，解得x ＞2或x ＜23-；（3）解：|3x ﹣2|﹣4＜0，﹣4＜3x ﹣2＜4，解得23-＜x ＜2；（4）解：（x ﹣2）（x ﹣5）＞0，x ﹣5＞0或x ﹣2＜0，解得x ＞5或x ＜2；（5）解不等式：（2x ﹣3）（2x ﹣5）＜0，3＜2x ＜5，解得32＜x ＜52．【例17-2】（2020·北京通州区期末）对于一个数x ，我们用(]x 表示小于x 的最大整数，例如： (](](]2.62,34,109=-=-=．（1）填空：(]2020___________-=，(]2.4___________-=，(]0.7___________=；（2）如果,a b 都是整数，(]a 和(]b 互为相反数，求代数式224a b b -+的值；（3）如果(]3x =，求x 的取值范围．【答案】（1）-2021，-3，0；（2）4；（3）-3＜x ≤-2或3＜x ≤4.【解析】解：（1）（-2020]=-2021，（-2.4]=-3，（0.7]=0；故答案为：-2021，-3，0．（2）∵a ，b 都是整数，且（a]和（b]互为相反数，∴a-1+b-1=0，∴a+b=2，∴a 2-b 2+4b=（a-b ）（a+b ）+4b=2（a-b ）+4b=2（a+b ）=2×2=4；（3）当x ＜0时，∵|（x]|=3，∴x ＞-3，∴-3＜x≤-2；当x ＞0时，∵|（x]|=3，∴x ＞3，∴3＜x≤4．故x 的范围取值为-3＜x≤-2或3＜x≤4．【例18】（2020·四川南充期末）已知方程组2331x y k x y k +=+⎧⎨-=--⎩的解中，x 是非负数，y 是正数．（1）求k 的取值范围；（2）化简：21k k --+；（3）当k 为何整数时，不等式221x k kx +<+的解集为1x >．【答案】（1）425k -<≤；（2）-2k+1；（3）1或2.【解析】解：（1）解方程组2331x y k x y k +=+⎧⎨-=--⎩①②①＋②，得 22x k =-+ ∴12kx =-+①－②，得 254y k =+ ∴522ky =+ 已知102k x =-+，且5202ky =+>∴k 2≤且45k >- ∴425k -<≤（2）∵425k -<≤∴20k -≤且10k +＞． ∴21k k --+(2)(1)k k =---+21k =-+ 即21k k --+21k =-+；（3）∵221x k kx +<+∴221kx x k ->-∴(21)21k x k ->-∵解集为 1x >，∴210k ->． ∴12k > 结合425k -<≤ 得122k <≤．∴整数k=1或k=2．【例19】某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A ，B 两种树苗，共21棵，已知A 种树苗每棵90元，B 种树苗每棵70元．设购买A 种树苗x 棵，购买两种树苗所需费用为y 元．（1）求y 与x 的函数表达式，其中0≤x ≤21；（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意，得：y =90x +70（21﹣x ）=20x +1470，所以函数解析式为：y =20x +1470；（2）∵购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，∴21﹣x ＜x ，解得：x ＞10.5，又∵y =20x +1470，且x 取整数，∴当x =11时，y 有最小值=1690，∴使费用最省的方案是购买B 种树苗10棵，A 种树苗11棵，所需费用为1690元．【例20】（2021·河南郑州市期中）某班对期中考试进步的同学进行表彰，若购买百乐笔15支，晨光笔20支，需花费250元；若购买百乐笔10支，晨光笔25支，需花费225元．（1）求百乐笔、展光笔的单价；（2）如果再次购买百乐笔、晨光笔共35支，并且购买两种笔的总费用不超过300元，求至多购买多少支百乐笔？【答案】见解析．【解析】解：（1）设百乐笔的单价为x 元/支、展光笔的单价为y 元/支，根据题意得，15202501025225x y x y +=⎧⎨+=⎩，整理得：34502545x y x y +=⎧⎨+=⎩①② ①×2－②×3得：y=5把y=5代入①得：x=10105x y =⎧∴⎨=⎩答：百乐笔的单价为10元、展光笔的单价为5元．（2）设购买百乐笔m 支，则晨光笔（35-m ）支，由题意得：()10535300m m +-≤，解得：m ≤25，答：至多购买25支百乐笔．【例21】某学校为了增强学生体质，加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买方案．【答案】见解析．【解析】解：（1）设购买一根跳绳需要x 元，购买一个毽子需要y 元，依题意，得：25324336x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：64x y =⎧⎨=⎩．答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元；（2）设购买m 根跳绳，则购买（54−m ）个毽子，由题意，得：()645426020m m m ⎧+-≤⎨>⎩，解得：20＜m ≤22．∵m 为正整数，∴m 可以为21，22．∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．。

不等式与不等式组知识点归纳

第九章不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

不等号主要包括：＞、＜、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。

2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。

4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3215、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。

规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。

（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ；不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

用字母表示为：如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)；不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，的方向改变。

用字母表示为：如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式。

2023年九年级数学中考复习《不等式和不等式组》分类专题集训(附答案)

2023年九年级数学中考复习《不等式和不等式组》分类专题集训(一)不等式过关训练➢典例精讲1．如果关于x的不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣2020B．a＜﹣2020C．a＞2020D．a＜20202．已知关于x的不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集为x＜﹣，则关于x的一元一次不等式bx﹣a＞0的解集为．3．若关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式ax＞2bx+b的解集是．4．已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．若关于x的不等式7x+9＞2x+a的负整数解为﹣2，﹣1，则a的取值范围是．➢课后训练1．已知关于x的不等式（2﹣a）x＞3的解集为，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞2D．a＜22．若关于x的不等式（2m﹣n）x﹣m＞5n的解集为x＜，则关于x的不等式（m﹣n）x＞m+n的解集为（）A．x＜B．x＞C．x＞5D．x＜53．已知关于x的不等式3（a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为x＜1，则关于x的不等式ax≥4b的解集为．4．若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9B．9＜m＜12C．m＜12D．9≤m＜125．若关于x的不等式2x﹣m≥0的负整数解为﹣1，﹣2．﹣3．则m的取值范围是．(二)不等式组过关训练➢典例精讲一、两同问题1．若关于x的不等式组的解集为x≥2，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．m≤2C．m＜2D．m＝22．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤2二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≤4C．1≤a≤4D．a≥4．若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8三、整数解问题5．关于x的不等式组的解中恰有4个整数解，则a的取值范围是（）A．18≤a≤19B．18≤a＜19C．18＜a≤19D．18＜a＜196．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是．7．若关于x的不等式组的解集中至少有6个整数解，则正数a的最小值是（）A．1B．2C．D．8．（2019•沙坪坝区校级二模）若数m使关于x的一元一次不等式组至多有4个整数解，则非负整数m的值之和是（）A．6B．10C．15D．219．（2022•渝中区校级模拟）如果关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．15B．21C．28D．3610.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是．➢课后训练一、两同问题1．不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m＜3D．m≤32．若关于x的不等式组的解集是x≤a，则a的取值范围是（）二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣36B．a≤﹣36C．a≥﹣36D．a＞﹣364．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．三、整数解问题5．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3B．4C．6D．16．关于x的不等式组恰有三个整数解，那么m的取值范围为（）A．﹣1＜m≤0B．﹣1≤m＜0C．0≤m＜1D．0＜m≤17．关于x的不等式组的解集中至少有7个整数解，则整数a的最小值是（）A．4B．3C．2D．18．（2022秋•沙坪坝区校级月考）若数m使关于x的一元一次不等式组至多5个整数解，则则整数m的最大值是（）A．7B．8C．9D．109．（2022秋•渝中区校级月考）若数a使关于y的不等式组恰好有两个奇数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．7B．8C．9D．1010．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是．（三）方程与不等式组综合过关训练➢典例精讲1．（2020春•渝中区校级期末）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．5B．2C．4D．62．若数a使关于x的方程＝﹣﹣1有非负数解，且关于y的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣22B．﹣18C．11D．123．（2021秋•渝中区校级期末）整数a使得关于x，y的二元一次方程组的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（）A．9B．16C．17D．304．如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（）A．﹣2B．2C．6D．10➢课后训练1．（2022秋•九龙坡区校级月考）若整数a使关于x的方程x+2a＝1的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．5B．7C．9D．102．（2022秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥，且关于y 的方程3y﹣2＝的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（）A．2B．7C．11D．103．（2021春•沙坪坝区期末）关于x、y的方程组的解是正整数，且关于t的不等式组有解，则符合条件的整数m的值的和为．参考答案与试题解析➢典例精讲1．如果关于x的不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣2020B．a＜﹣2020C．a＞2020D．a＜2020【解答】解：∵不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集为x＜1，∴a+2020＜0，解得，a＜﹣2020，故选：B．2．已知关于x的不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集为x＜﹣，则关于x的一元一次不等式bx﹣a＞0的解集为x＜﹣．【解答】解：∵不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集是x＜﹣，∴a+3b＜0，即a＜﹣3b，∵，即8a＝﹣12b，，∵a+3b＜0，2a+3b＝0，则a＞0，b＜0，∴bx﹣a＞0的解集为x＜﹣．故答案为：x＜﹣．3．若关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式ax＞2bx+b的解集是x ＞﹣1．【解答】解：ax＜﹣bx+b，（a+b）x＜b，∵关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞，∴＝，且a+b＜0，∴a＝b＜0，∴ax＞2bx+b变为﹣bx＞b，∴x＞﹣1，故答案为x＞﹣1．4．已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：解不等式3x﹣2a＜4﹣5x得：x＜，∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，是1，2，3，∴3＜≤4，解得：10＜a≤14，∴整数a可以是11，12，13，14，共4个，故选：B．5．若关于x的不等式7x+9＞2x+a的负整数解为﹣2，﹣1，则a的取值范围是﹣6≤a＜﹣1．【解答】解：解不等式得：x＞，∵负整数解是﹣1，﹣2，∴﹣3≤＜﹣2．∴﹣6≤a＜﹣1．故答案为：﹣6≤a＜﹣1．➢课后训练1．已知关于x的不等式（2﹣a）x＞3的解集为，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞2D．a＜2【解答】解：根据题意得：2﹣a＜0，解得：a＞2．故选：C．2．若关于x的不等式（2m﹣n）x﹣m＞5n的解集为x＜，则关于x的不等式（m﹣n）x＞m+n的解集为（）A．x＜B．x＞C．x＞5D．x＜5【解答】解：不等式（2m﹣n）x﹣m＞5n，变形得：（2m﹣n）x＞5n+m，根据已知解集为x＜，得到＝，且2m﹣n＜0，即2m＜n，整理得：4m+20n＝26m﹣13n，即33n＝22m，整理得：3n＝2m，即m＝1.5n，n＜0，代入所求不等式得：0.5nx＞2.5n，解得：x＜5．故选：D．3．已知关于x的不等式3（a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为x＜1，则关于x的不等式ax≥4b的解集为x≤2．【解答】解：不等式移项得：3（a﹣b）x＞5b﹣a，由不等式的解集为x＜1，得到a﹣b＜0，且＝1，整理得：a＜b，且4a＝8b，即a＝2b，∴a＜0，则不等式ax≥4b变形得：x≤＝2，故答案为：x≤2．4．若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9B．9＜m＜12C．m＜12D．9≤m＜12【解答】解：移项，得：3x≤m，系数化为1，得：x≤，∵不等式的正整数解为1，2，3，∴3≤＜4，解得：9≤m＜12，故选：D．5．若关于x的不等式2x﹣m≥0的负整数解为﹣1，﹣2．﹣3．则m的取值范围是﹣8＜m≤﹣6．【解答】解：∵2x﹣m≥0，∴2x≥m，∴x≥，∵不等式组的负整数解为﹣1，﹣2．﹣3，∴﹣4＜≤﹣3，则﹣8＜m≤﹣6，故答案为：﹣8＜m≤﹣6．➢典例精讲一、两同问题1．若关于x的不等式组的解集为x≥2，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．m≤2C．m＜2D．m＝2【解答】解：，解x﹣m＞0，得：x＞m，解5﹣2x≤1，得：x≥2，∵不等式组的解集是x≥2，∴m＜2，故选：C．2．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤2【解答】解：解不等式组，由①可得：x＜2，由②可得：x＜a，因为关于x的不等式组的解集是x＜2，所以，a≥2，故选：A．二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≤4C．1≤a≤4D．a≥【解答】解：，解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x≤4a，又∵不等式组有解，∴4a≥1，解得：a≥，故选：D．4．若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8【解答】解：解不等式＜﹣1得：x＞8，又∵不等式组无解，∴m≤8，故选：A．三、整数解问题5．关于x的不等式组的解中恰有4个整数解，则a的取值范围是（）A．18≤a≤19B．18≤a＜19C．18＜a≤19D．18＜a＜19【解答】解：不等式组整理得：，解得：a﹣2＜x＜21，由不等式组恰有4个整数解，得到整数解为17，18，19，20，∴16≤a﹣2＜17，解得：18≤a＜19，故选：B．6．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜m+5，∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜m+5，由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为﹣1，0，1，2，∴2＜m+5≤3，∴﹣2＜m≤﹣故答案为﹣2＜m≤﹣．7．若关于x的不等式组的解集中至少有6个整数解，则正数a的最小值是（）A．1B．2C．D．【解答】解：解不等式x﹣a≤0，得：x≤a，解不等式2x+3a≥0，得：x≥﹣a，则不等式组的解集为﹣a≤x≤a，∵不等式至少有6个整数解，则a+a≥5，解得a≥2．a的最小值是2．故选：B．8．（2019•沙坪坝区校级二模）若数m使关于x的一元一次不等式组至多有4个整数解，则非负整数m的值之和是（）A．6B．10C．15D．21【解答】解：解不等式组，得﹣1＜x≤，∵至多有4个整数解，＜4，解得m＜7；∴故满足条件的所有非负整数m的值之和为0+1+2+3+4+5+6＝21，故选：D．9．（2019•渝中区校级模拟）如果关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则符合条件的所有整数m的和是（）A．15B．21C．28D．36【解答】解：解不等式组，得：﹣＜x＜，∵不等式组有且仅有2个奇数解，∴-1＜≤1，解得：0＜m≤8，所以所有满足条件的整数m的值为1，2，3，4，5，6，7，8，和为36．故选：D．10.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．【解答】解：，∵解不等式①得：x，解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为＜x≤4，∵关于x的不等式组的所有整数解的和为7，∴当时，这两个整数解一定是3和4，∴，∴7≤a＜9，当时，整数解是﹣2，﹣1，0，1，3和4，∴﹣3，∴﹣3≤a＜﹣1，∴a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．故答案为：7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．➢课后训练一、两同问题1．不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m＜3D．m≤3【解答】解：解不等式3（x+1）＞12，得：x＞3，∵不等式组的解集为x＞3，∴m≤3，故选：D．2．若关于x的不等式组的解集是x≤a，则a的取值范围是（）A．a≤2B．a＞﹣2C．a＜﹣2D．a≤﹣2【解答】解：解不等式﹣2x﹣1＞3，得：x＜﹣2，解不等式a﹣x≥0，得：x≤a，∵不等式组的解集为x≤a，∴a＜﹣2，故选：C．二、有解、无解问题3．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣36B．a≤﹣36C．a≥﹣36D．a＞﹣36【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组有解，得到a﹣1＞﹣37，解得：a＞﹣36．故选：D．4．（2020春•陇西县期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥﹣2．【解答】解：，解①得：x＞a+3，解②得：x＜1．根据题意得：a+3≥1，解得：a≥﹣2．故答案是：a≥﹣2．三、整数解问题5．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3B．4C．6D．1【解答】解：解不等式组得：＜x＜2，由关于x的不等式组恰好只有2个整数解，得﹣1≤＜0，即0≤a＜4，满足条件的整数a的值为0、1、2、3，整数a的值之和是0+1+2+3＝6，故选：C．6．关于x的不等式组恰有三个整数解，那么m的取值范围为（）A．﹣1＜m≤0B．﹣1≤m＜0C．0≤m＜1D．0＜m≤1【解答】解：，解不等式①可得x＞m，解不等式②可得x≤3，由题意可知原不等式组有解，∴原不等式组的解集为m＜x≤3，∵该不等式组恰好有三个整数解，∴整数解为1，2，3，∴0≤m＜1．故选：C．7．关于x的不等式组的解集中至少有7个整数解，则整数a的最小值是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：，解①得x≤2a，解②得x＞﹣a．则不等式组的解集是﹣a＜x≤2a．∵不等式至少有7个整数解，则2a+a＞7，解得a＞2．整数a的最小值是3．故选：B．8．（2019秋•沙坪坝区校级月考）若数m使关于x的一元一次不等式组至多5个整数解，则则整数m的最大值是（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：不等式组的解为，∵至多5个整数解，∴＜5，∴m＜，故选：B．9．（2020秋•渝中区校级月考）若数a使关于y的不等式组恰好有两个奇数解，则符合条件的所有整数a的和是（）【解答】解：不等式组整理得：，解得：＜y＜4，由不等式组有解且恰好有两个奇数解，得到奇数解为3，1，∴﹣1≤＜1，∴﹣3≤a＜5，则满足题意a的值有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5四个，则符合条件的所有整数a的和是9．故选：C．10．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．【解答】解：解不等式+3＞﹣1，得：x＞﹣4.5，∵不等式组的整数解的和为﹣7，∴不等式组的整数解为﹣4、﹣3或﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，则﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3，故答案为：﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．➢典例精讲方程与不等式综合含参问题1．（2020春•渝中区校级期末）关于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．5B．2C．4D．6【解答】解：解方程3﹣2x＝3（k﹣2）得x＝，∵方程的解为非负整数，∴≥0，即k≤3，即非负整数k＝1，3，不等式组整理得：，由不等式组无解，得到k＞﹣1，∴﹣1＜k≤3，即整数k＝0，1，2，3，当k＝0时，x＝4.5，不是整数；当x＝2时，k＝1.5，不是整数，两个k的值不符合题意，舍去；综上，k＝1，3，则符合条件的整数k的值的和为4．故选：C．2．若数a使关于x的方程＝﹣﹣1有非负数解，且关于y的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（）【解答】解：去分母得：3ax+3＝﹣14x﹣6，解得：x＝﹣，∵关于x的方程＝﹣﹣1有非负数解，∴3a+14＜0，∴a＜﹣，不等式组整理得：，解得：＜y＜4，由不等式组有解且恰好有两个偶数解，得到偶数解为2，0，∴﹣2≤＜﹣1，∴﹣7≤a＜﹣3，则满足题意a的值有﹣7，﹣6，﹣5，则符合条件的所有整数a的和是﹣18．故选：B．3．（2019秋•渝中区校级期末）整数a使得关于x，y的二元一次方程组的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（）A．9B．16C．17D．30【解答】解：解方程组得：，∵方程组的解为正整数，∴a﹣3＝1或a﹣3＝2或a﹣3＝5或a﹣3＝10，解得a＝4或a＝5或a＝8或a＝13；解不等式（2x+8）≥7，得：x≥10，解不等式x﹣a＜2，得：x＜a+2，∵不等式组无解，∴a+2≤10，即a≤8，综上，符合条件的a的值为4、5、8，则所有满足条件的a的和为17，故选：C．4．如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（）A．﹣2B．2C．6D．10【解答】解：解不等式＞0，得：x＞m，解不等式﹣x＜﹣4，得：x＞4，∵不等式组的解集为x＞4，∴m≤4，解方程组得，∵x，y均为整数，∴m＝4或m＝10或m＝2或m＝﹣4，又m≤4，∴m＝﹣4或m＝4或m＝2，则符合条件的所有整数m的和是2，故选：B．➢课后训练1．（2019秋•九龙坡区校级月考）若整数a使关于x的方程x+2a＝1的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．5B．7C．9D．10【解答】解：解方程x+2a＝1得：x＝1﹣2a，∵方程的解为负数，∴1﹣2a＜0，解得：a＞0.5，∵解不等式①得：x＜a，解不等式②得：x≥4，又∵不等式组无解，∴a≤4，∴a的取值范围是0.5＜a≤4，∴整数和为1+2+3+4＝10，故选：D．2．（2020秋•沙坪坝区校级期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥，且关于y 的方程3y﹣2＝的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（）A．2B．7C．11D．10【解答】解：解不等式≤2x，得：x≥，解不等式2x+7≤4（x+1），得：x≥，∵不等式组的解集为x≥，∴≤，解得m≤5，解方程3y﹣2＝，得：y＝，∵方程的解为非负整数，∴符合m≤5的m的值为2和5，则符合条件的所有整数m的积为10，故选：D．3．（2019春•沙坪坝区期末）关于x、y的方程组的解是正整数，且关于t的不等式组有解，则符合条件的整数m的值的和为5．【解答】解：，①﹣②得：3y＝7﹣m，解得：y＝，把y＝代入①得：x＝，由方程组的解为正整数，得到7﹣m与8+m都为3的倍数，∴m＝1，4，不等式组整理得：，即﹣1≤t≤m，由不等式组有解，得到m＝1，4，综上，符合条件的整数m的值的和为1+4＝5．故答案为：5．。

专题15：不等式与不等式组(简答题专练)(解析版)

专题15：不等式与不等式组（简答题专练）一、解答题1．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A 、B 两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A 、B 两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【答案】（1）A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元；（2）超市最多采购A 种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元；（3）在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当a ＝36时，采购A 种型号的电风扇36台，B 种型号的电风扇14台；当a ＝37时，采购A 种型号的电风扇37台，B 种型号的电风扇13台．【分析】（1）设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，列二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（50﹣a ）台，利用超市准备用不多于7500元，列不等式160a +120（50﹣a ）≤7500，解不等式可得答案；（3）由超市销售完这50台电风扇实现利润超过1850元，列不等式（200﹣160）a +（150﹣120）（50﹣a ）＞1850，结合（2）问，得到a 的范围，由a 为非负整数，从而可得答案．【解答】解：（1）设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，依题意得：341200561900x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，①5⨯-②3⨯得：2300,y =150,y ∴=把150y =代入①得：200,x =解得：200150x y =⎧⎨=⎩，答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（50﹣a ）台．依题意得：160a +120（50﹣a ）≤7500，401500,a ∴≤解得：a ≤1372．因为：a 为非负整数，所以：a 的最大整数值是37.答：超市最多采购A 种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．（3）根据题意得：（200﹣160）a +（150﹣120）（50﹣a ）＞1850， 10a ∴＞350，解得：a ＞35， ∵a ≤1372， 35∴＜a 1372≤,a 为非负整数，36a =或37.a =∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当a ＝36时，采购A 种型号的电风扇36台，B 种型号的电风扇14台；当a ＝37时，采购A 种型号的电风扇37台，B 种型号的电风扇13台．【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一元一次不等式组的应用的方案问题，掌握以上知识是解题的关键．2．解不等式组1(1)1212x x ⎧-≤⎪⎨⎪-⎩＜并写出该不等式组的所有整数解.【答案】解集是－1<x≤3;整数解是0，1，2，3【分析】分别解出每个不等式的解集，确定不等式组的解集,然后在解集中确定所有整数解即可. 【解答】解不等式1(1)12x -≤得：x≤3 解不等式12x -＜得：x ＞-1 所以不等式组的解集是－1<x≤3.大于－1而小于或等于3的所有整数有0，1，2，3， ∴该不等式组的所有整数解为0，1，2，3.【点评】本题考查了解不等式组，解决本题的关键是先计算出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集.3．（1）解不等式413x x -> （2）解不等式组()()315121531123x x x x ⎧-+-⎪⎨-+-⎪⎩【答案】(1)1x >; (2)13x ≥. 【分析】（1）移项、合并同类项即可；（2）分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大即可确定不等式组的解集. 【解答】解：（1）移项得：431x x ->合并同类项得：1x >（2）()()315121531123x x x x ⎧-+-⎪⎨-+-⎪⎩①②解不等式①得3x ≥-，解不等式②得13x ≥, 不等式组的解集为: 13x ≥【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握解不等式的基本步骤是解决此题的关键.在利用不等式的性质同乘或除时，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变.在确定不等式组的解集时需注意：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 4．若关于x 的方程2x 3m 2m 4x 4-=-+的解不小于7183m--，求m 的最小值. 【答案】14-【分析】首先求解关于x的方程2x−3m＝2m−4x＋4，即可求得x的值，根据方程的解的解不小于7183m--，即可得到关于m的不等式，即可求得m的范围，从而求解．【解答】由54 232446546mx m m x x m x+ -=-+=+=，得，即.根据题意，得5471683m m+-≥-，解得14m,≥-所以m的最小值为1 4 -.【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．5．我们用[a]表示不大于a的最大整数,例如:[2.5]＝2,[3]＝3,[－2.5]＝－3;用＜a＞表示大于a的最小整数,例如:＜2.5＞=3,＜4.5＞=5,＜－1.5＞=－1.解决下列问题.（1）[－4.5]＝_____ ;＜3.5＞=________;（2）若[x]＝2,则x的取值范围是________;若＜y＞=－1，则y的取值范围是_______ .（3）若[]21 3x x=-，则x为_________.（4）已知x、y满足方程组[][]32336x yx y⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩＜＞＜＞，求x、y的取值范围.【答案】（1）-5; 4，（2）2≤x＜3；-2≤y＜-1,；（3）x=-3（4）x，y的取值分别为-1≤x＜0,2≤y＜3. 【分析】（1）根据新定义与不等式的性质即可求解；（2）根据[a]表示不大于a的最大整数与＜a＞表示大于a的最小整数与不等式的性质求解；（3）根据[]21 3x x=-得到关于x的方程即可求解；（4）先求出[x]、＜y＞的值，再根据新定义即可求解. 【解答】（1）依题意得[－4.5]＝-5;＜3.5＞=4，（2）∵[x]＝2,则x的取值范围是2≤x＜3；∵＜y＞=－1，则y的取值范围是-2≤y＜-1,；（3）∵[x]≤x,[]21 3x x=-化为213x x=-，解得x=-3，符合题意，故x=-3（4）∵[][]323326x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩＜＞＜＞，解得[]13x y ⎧=-⎨=⎩＜＞ ∴x ，y 的取值分别为-1≤x ＜0,2≤y ＜3.【点评】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是熟知不等式的性质. 6．求不等式()()2130x x -+>的解集。

专题14：不等式与不等式组(填空题专练)(解析版)

专题14：不等式与不等式组（填空题专练）一、填空题1．若a ＜b ，则-5a______-5b(填“＞”“＜”或“=”)．【答案】＞【解析】试题解析：∵a ＜b ，∴-5a ＞-5b ；2．不等式2x+4>0的解集是________．【答案】x>-2【解析】根据一元一次不等式的解法，移项得2x ＞-4，系数化为1，可得x ＞-2.故答案为x ＞-2.3．若不等式()33a x a -≤-的解集在数轴上表示如图所示，则a 的取值范围是__________．【答案】3a <【分析】不等式两边同时除以3a -即可求解不等式，根据不等式的性质可以得到3a -一定小于0，据此即可求解．【解答】由题意得30a -<，解得：3a <，故答案为：3a <．【点评】本题考查了解一元一次不等式，解答此题一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．4．若不等式组 x m 1,x 2m 1>+⎧⎨<-⎩ 无解，则 m 的取值范围是___________．【答案】m≤2【分析】先解不等式，再根据不等式无解判断求解即可；【解答】由不等式组x m 1,x 2m 1>+⎧⎨<-⎩无解可得121m m +≥-，解得：2m ≤．故答案是2m ≤．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组的，准确理解计算是解题的关键．5．若a b <，则2ac ______________2bc .【答案】≤【分析】根据不等式的性质得出大小.【解答】∵c 2≥0, a<b ，∴ac 2 ≤bc 2.故答案是：≤.【点评】考查了不等式的性质，解题关键是熟记并利用了不等式的性质.6．如果2m ，m ，1﹣m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么m 的取值范围是________．【答案】m ＜0【分析】如果2m ，m ，1-m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，即已知2m ＜m ，m ＜1-m ，2m ＜1-m ，即可解得m 的范围．【解答】根据题意得：2m ＜m ，m ＜1-m ，2m ＜1-m ，解得：m ＜0，m ＜12，m ＜13， ∴m 的取值范围是m ＜0．故答案为m ＜0．7．不等式4x ﹣6≥7x ﹣12的非负整数解为________________.【答案】0，1，2【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．【解答】解：移项得：4x －7x ≥－12+6，合并同类项得：－3x ≥－6；化系数为1得： x ≤2；因而不等式的非负整数解是：0，1，2．【点评】正确解不等式，求出解集是解决本题的关键．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．8．不等式组5234x x -≤-⎧⎨-<⎩的解集是______________. 【答案】-1＜x≤3【解析】分析：分别解不等式，找出解集的公共部分即可.详解：解不等式①，得 3x ≤；解不等式②，得1x >-；原不等式组的解集为13x -<≤．故答案为13x -<≤．点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.9．已知关于x 的不等式23x a ->-的解集如图所示则a 的值为____________．【答案】1【分析】求出不等式的解集并与图示作比较，可以求得a 的值．【解答】解：解2x −a>−3可得32a x ->，又由图示可知1x >-，两相比较可得312a -=-，解得： 1a =．故答案为1．【点评】本题考查不等式的解集，熟练掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解题关键．10．如果|1|1x x +=+，|32|32x x +=--，那么x 的取值范围是________．【答案】213x -≤≤- 【分析】根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0，建立不等式组求解．【解答】∵|1|1x x +=+，|32|32x x +=--∴10320x x +≥⎧⎨+≤⎩解得213x -≤≤- 故答案为：213x -≤≤-．【点评】本题考查绝对值与不等式组，熟练掌握绝对值的性质建立不等式组是解题的关键．11．方程组431,65x y kx y-=+⎧⎨+=⎩的解x、y满足条件0＜3x－7y＜1，则k的取值范围______．【答案】43＜k＜53【分析】将两个等式相减，可得3x－7y＝3k－4，再根据0＜3x－7y＜1即可解出k的范围.【解答】43165x y kx y-=+⎧⎨+=⎩①，②，①－②，得3x－7y＝3k－4，则0＜3k－4＜1，解得43＜k＜53，故答案是43＜k＜53.【点评】此题主要考察二元一次方程组与不等式的综合，熟知二元一次方程组的解法是解题的关键.12．当y_____，时，代数式324y-的值至少为1.【答案】≤－1 2【分析】根据“至少”的含义是“大于或等于”列夫等式求解即可. 【解答】由题意得32 4y-≥1，解之得y≤－1 2 .故答案为≤－1 2 .【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解答本题的关键.13．不等式12x＞－3的解集是______.【答案】x>-6【解析】不等式左右两边同时除以12可得：x＞－6.故答案为x＞－6.点睛：掌握不等式的性质.14．若关于x 的不等式组121x m x m ≤+⎧⎨-⎩＞无解，则m 的取值范围是________ 【答案】m≥2 【解析】试题解析：由于不等式组121x m x m ≤+⎧⎨-⎩＞无解，所以2m-1≥m+1，解得：m≥2.故答案为m≥2. 15．不等式组2x x a >⎧⎨<⎩无解，则a 的取值范围是_____．【答案】a ≤2【分析】根据不等式组2x x a >⎧⎨<⎩无解，可得出a≤2，即可得出答案．【解答】∵不等式组2x x a >⎧⎨<⎩无解， ∴a 的取值范围是a≤2；故答案为a≤2．【点评】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．16．关于x 的不等式30x a -≤只有两个正整数解，则a 的取值范围是_______【答案】6≤a ＜9．【分析】解不等式得x≤3a ，由于只有两个正整数解，即1，2，故可判断3a 的取值范围，求出a 的取值范围．【解答】原不等式解得x≤3a ， ∵解集中只有两个正整数解，则这两个正整数解是1，2，∴2≤3a ＜3，解得6≤a ＜9．故答案为6≤a ＜9．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．17．不等式442xx->-的最小整数解为_____．【答案】5．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小整数解即可．【解答】442xx ->-，x-4＞8-2x，3x＞12，x＞4，故不等式442xx->-的最小整数解为5．故答案为5．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．18．把m 个练习本分给n 个学生，如果每人分3本，那么余80本；如果每人分5本，那么最后一个同学有练习本但不足5本，n的值为________.【答案】41或42【分析】不足5本说明最后一个人分的本数应在0和5之间，但不包括5．【解答】由题意可得m=3n+80，0<m-5(n-1)<5，解得40<n<42.5，因为n为整数，所以n值为41或42，故答案为：41或42．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组．19．不等式3x﹣2≥4（x﹣1）的所有非负整数解的和为__．【答案】3.【解析】试题解析：3x﹣2≥4（x﹣1），3x﹣2≥4x﹣4，x ≤2，所以不等式的非负整数解为0，1，2，0+1+2=3，【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的非负整数解的应用，解此题的关键是能求出不等式的非负整数解，难度适中．20．某商贩卖出两双皮鞋，相比进价，一双盈利30%，另一双亏本10%，两双共卖出200元．商贩在这次销售中要有盈利，则亏本的那双皮鞋的进价必须低于_________元【答案】150【分析】设亏本的那双皮鞋的进价为x 元，则亏本的那双皮鞋的售价为（1-10%）x 元，盈利的那双皮鞋的售价为[200-（1-10%）x]元，盈利的那双皮鞋的进价为200(110%)130%x --+元，根据商贩在这次销售中要有盈利，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：设亏本的那双皮鞋的进价为x 元，则亏本的那双皮鞋的售价为（1-10%）x 元，盈利的那双皮鞋的售价为[200-（1-10%）x]元，盈利的那双皮鞋的进价为200(110%)130%x --+元，依题意，得：（1-10%）x-x+[200-（1-10%）x]200(110%)130%x ---+＞0，解得：x ＜150．故答案为：150．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 21．若关于x 的方程3(4)25x a +=+的解大于关于x 的方程(41)(34)43a x a x +-=的解，则a 的取值范围为________．【答案】718a > 【分析】先求出两个方程的解，然后解关于a 的一元一次不等式，即可得到答案.【解答】解：解方程3(4)25x a +=+，得：273a x -=，解方程(41)(34)43a x a x +-=，得：163x a =-．由题意得：271633a a ->-．解得：718a >．故答案为：718a >. 【点评】本题考查的是解一元一次方程和解一元一次不等式，根据题意列出关于x 的不等式是解答此题的关键．22．用“>”或“<”填空：（1）如果1a b>，0b >，那么a ________b ；（2）如果1a b<，0b >，那么a ____b ；（3）如果1a b <，0b <，那么a ____b ；（4）当a b >，b ____0时，或者0a <，b ___0时，有0ab >．【答案】> < > > <【分析】（1）根据不等式的性质2进行分析；（2）根据不等式的性质2进行分析；（3）根据不等式的性质3进行分析；（4）根据不等式的性质2和3进行分析；【解答】解：（1）因为1a b >，0b >，在不等式两边同时乘以b ，不等号方向不变，得a ＞b ，故答案是：＞；（2）因为1a b <，0b >，在不等式两边同时乘以b ，不等号方向不变，得a ＜b ，故答案是：＜；（3）因为1a b<，0b <，在不等式两边同时乘以b ，不等号方向改变，得a ＞b ，故答案是：＞；（4）当a b >，b ＞0时，a ＞0，在不等式b ＞0两边同时乘以a ，不等式方向不变，即0ab >；当0a <，b ＜0时，在不等式b ＜0两边同时乘以a ，不等式方向改变，即0ab >．故答案是：＞；＜.【点评】本题考查了不等式的性质2和3：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．要特别注意性质（3），很容易出错.23．若不等式组01x a x a -⎧⎨-⎩-的解集中的任何一个x 的值均不在2≤x ≤5的范围内，则a 的取值范围为________．【答案】a ≤1或a ≥5 【分析】解不等式组01x a x a ->⎧⎨-<⎩，求出x 的范围，根据任何一个x 的值均不在2≤x≤5范围内列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：不等式组01x a x a ->⎧⎨-<⎩的解集为：a ＜x ＜a+1， ∵任何一个x 的值均不在2≤x≤5范围内，∴x ＜2或x ＞5，∴a+1≤2或a≥5，解得，a≤1或a≥5，∴a 的取值范围是：a≤1或a≥5，故答案为：a≤1或a≥5．【点评】本题考查的是不等式的解集的确定，根据不等式的解法正确解出不等式是解题的关键，根据题意列出新的不等式是本题的重点．24．已知不等式3x -0a ≤的正整数解恰是1，2，3，4，那么a 的取值范围是_________________.【答案】1215a ≤<【分析】用含a 的式子表示出不等式的解集，由不等式的正整数解，得到x 的范围，再根据x 与a 的关系列不等式(组)求解.【解答】因为3x －a ≤0，所以x ≤3a ，因为原不等式的正整数解恰是1，2，3，4，即4353a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得12≤x ＜15. 故答案为12≤x ＜15.【点评】由不等式(组)的整数解确定所含字母的取值范围的解法是：①解不等式(组)，用字母系数表示出解集；②由不等式(组)的整数解确定不等式(组)的解集；③综合①②列出关于字母系数的不等式(注意是否可取等于)求解.25．一次测验共出5道题，做对一题得一分，已知26人的平均分不少于4.8分，最低的得3分，至少有3人得4分，则得5分的有______ 人．【答案】22【解析】解：设得5分的人数为x 人，得3分的人数为y 人．则可得326531226 4.8x y x y ++=⎧⎨++>⨯⎩，解得：x ＞21.9． ∵一共26人，最低的得3分，至少有3人得4分，∴得5分最多22人，即x ≤22．∴21.9＜x ≤22且x 为整数，所以x =22．故得5分的人数应为22人．故答案为22．点睛：此题考查不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．解题过程中一定要符合题目的意思，以事实为依据．26．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x ＋2y≤8，它的正整数解有________个．【答案】12【分析】先把y 作为常数，解不等式得82x y ，根据x ，y 是正整数，得820y，求出y 的正整数值，再分情况进行讨论即可．【解答】解：28x y ，82x y ， x ，y 是正整数， 820y ，解得04y <<，即y 只能取1，2，3，当1y =时，06x <，正整数解为：11x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=⎩，41x y =⎧⎨=⎩，51x y =⎧⎨=⎩，61x y =⎧⎨=⎩，当2y =时，04x ，正整数解为：12x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩，32x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，当3y =时，02x <，正整数解为：13x y =⎧⎨=⎩，23x y =⎧⎨=⎩；综上，它的正整数解有12个．故答案为：12．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出y 的整数值是本题的关键．27．关于x 的不等式()321a x -<的解集是132x a >-，则a 的取值范围是_____．【答案】32a > 【分析】分析可知符合不等式性质3，320a -<，解出a 即可. 【解答】解：()321a x -<的解集是132x a >-， 320a ∴-<，解得32a >．故答案为32a >．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．28．关于x 的不等式组23284a x x a ->⎧⎨+>⎩的解集中每一个值均不在18x ≤≤的范围内，则a 的取值范围是____________．【答案】6a ≥或2a ≤【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：23284a x x a ->⎧⎨+>⎩①②∵解不等式①得23x a <-，解不等式②得24x a >-，∴不等式组的解集是2423a x a -<<-．∵关于x 的不等式组23284a x x a ->⎧⎨+>⎩的解集中每一个值均不在18x ≤≤的范围内， ∴248a -≥或231a -≤，解得6a ≥或2a ≤．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集和已知得出关于a 的不等式组是解此题的关键．注意理解：解集中每一个值均不在18x ≤≤的范围内的意义.29．如果关于x 的不等式组3020x a x b -≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有1,2,那么适合这个不等式组的整数a ,b 组成的有序数对(),a b 共有_______个；如果关于x 的不等式组px d f qx e g +>⎧⎨+<⎩(其中p ,q 为正整数)的整数解仅有()1212,,,n n c c c c c c <<<,那么适合这个不等式组的整数d ,e 组成的有序数对(),d e 共有______个.(请用含p 、q 的代数式表示)【答案】6 pq【分析】（1）求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知得出b 232≤<，a 013<≤，求出a b 的值，即可求出答案；（2）求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知得出111f d c c p --<，1n n g e c c q-<+，即11f pc d p f pc -<+-，n n g qc q e g qc --<-；结合p ，q 为正整数，d ，e 为整数可知整数d 的可能取值有p 个，整数e 的可能取值有q 个，即可求解．【解答】解：（1）解不等式组3020x a x b -≥⎧⎨-≤⎩，得不等式组的解集为：32a b x ， ∵关于x 的不等式组3020x a x b -≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有1，2， ∴b 232≤<，a 013<≤，∴4≤b ＜6，0＜a≤3，即b 的值可以是4或5，a 的值是1或2或3，∴适合这个不等式组的整数a ，b 组成的有序数对（a ，b ）可能是（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），∴适合这个不等式组的整数a ，b 组成的有序数对（a ，b ）共6个；（2）解不等式组px d f qx e g+>⎧⎨+<⎩(其中p ,q 为正整数)，解得：f d g e x p q--<<， ∵不等式组px d f qx e g +>⎧⎨+<⎩（其中p ，q 为正整数）的整数解仅有c 1，c 2，…，c n （c 1＜c 2＜…＜c n ）， ∴111f d c c p --<，1n n g e c c q-<+， ∴11f pc d p f pc -<+-，n n g qc q e g qc --<-，∵p ，q 为正整数∴整数d 的可能取值有p 个，整数e 的可能取值有q 个，∴适合这个不等式组的整数d ，e 组成的有序数对（d ，e ）共有pq 个；故答案为：6；pq ．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 30．一年一度的“八中之星”校园民谣大赛是每年八中艺术节的重要活动之一，吸引了众多才华横溢的八中同学参赛.该比赛裁判小组由若干人组成，每名裁判员给选手的最高分不超过10分.今年大赛一名选手演唱后的得分情况是：全体裁判员所给分数的平均分是9.84分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分.那么，所有裁判员所给分数中的最低分最少可以是________分.【答案】9.36【分析】设裁判员有x 名，根据全体裁判员所给分数的平均分是9.84分可得总分为9.84x ，如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.82分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.9分，可求出最高分的代数式从而列出不等式，得到最高分就能求出最低分．【解答】设裁判员有x 名，那么总分为9.84x ；去掉最高分后的总分为9.82（x-1），由此可知最高分为9.84x-9.82（x-1）=0.02x+9.82；去掉最低分后的总分为9.9（x-1），由此可知最低分为9.84x-9.9（x-1）=9.9-0.06x．因为最高分不超过10，所以0.02x+9.82≤10，即0.02x≤0.18，所以x≤9．当x取7时，最低分有最小值,则最低分为9.9－0.06x=9.9-0.54=9.36．故答案是：9.36.【点评】考查理解题意的能力，关键是表示出最高分的代数式，列出不等式求出最高分，然后求出最低分，根据平均分求出人数．31．若关于x的不等式组1423xxx m+⎧-≥⎪⎨⎪>⎩的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范围是_____．【答案】-5≤m＜-4.【解析】【分析】先求出不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得和为-9即可得出答案.【解答】解：1423xxx m+⎧-≥⎪⎨⎪>⎩①②解不等式①得：x≤-2，∴m＜x≤-2又∵不等式组的所有整数解得和为-9，∴-4+（-3）+（-2）=-9∴-5≤m＜-4；故答案为：-5≤m＜-4.【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，是一道较为抽象的题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，临界数-5的取舍是易错的地方，要借助数轴做出正确的取舍.32．关于x的不等式组211x ax-≥⎧⎨-≤⎩只有4个整数解,则a的取值范围是_____．【答案】-3＜a≤-2【解析】【分析】先求不等式组211x ax-≥⎧⎨-≤⎩得解集，然后根据整数解的情况，确定a的范围.【解答】解：解不等式组211x ax-≥⎧⎨-≤⎩得：a≤x≤1组4个整数解为：1，0，-1,-2,所以-3＜a≤-2故答案为：-3＜a≤-2【点评】本题考查了不等式组的解法和根据整数解确定参数，其中解不等式组是解答本题的关键.33．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即已知n为正整数，如果n－12≤x＜n＋12，那么<x>＝n．例如：<0>＝<0.48>＝0，<0.64>＝<1.493>＝1，<2>＝2，<3.5>＝<4.12>＝4，…则满足方程<x>＝1x 1.62+的非负实数x的值为____.【答案】2.8【解析】【分析】设12x+1.6=k，k为非负整数，则x=2k-3.2，根据定义得到共有k的不等式，即可求出k的取值范围，由k为非负整数确定k的值进而确定x的值即可.【解答】设12x+1.6=k，k为非负整数，则x=2k-3.2，由<2k-3.2>=k可得：k-12≤2k-3.2<k+12(k≥0)解得：2.7≤k<3.7，∵k为非负整数，∴k=3，∴x=2×3-3.2=2.8.故答案为：2.8【点评】考查了一元一次不等式的应用，理解定义，列出不等式得出k的取值范围是解题关键.34．若关于x，y的方程组3133x y kx y+=+⎧⎨+=⎩的解为x，y，且－2＜k＜4，则x－y的取值范围是__．【答案】－2＜x－y＜1【解析】根据题意可知：3133x y kx y+=+⎧⎨+=⎩①②，①-②可得2x-2y=k-2，然后由-2＜k＜4，根据不等式的基本性质可得-4＜k-2＜2，所以可得x-y的取值范围为-2＜x-y＜1. 故答案为：－2＜x－y＜1.35．若关于x，y的二元一次方程组32225x y mx y m-=+⎧⎨+=-⎩中x的值为正数，y的值为负数，则m的取值范围为____________.【答案】83＜m＜19【解析】将m看做已知数求出方程组32225x y mx y m-=+⎧⎨+=-⎩的解表示出x=387m-与y=197m-，根据x为正数，y为负数列出不等式组387197mm-⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＞＜，求出不等式组的解集即可确定出m的范围83＜m＜19．故答案为：83＜m＜19.点睛：此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

人教版七年级数学下册《不等式的性质》不等式与不等式组PPT优秀课件

第九章不等式与不等式组
不等式的性质
学习目标
1.(课标)探索不等式的基本性质. 2.掌握不等式的三个性质并且能正确应用. 3.理解解不等式的概念. 4.(课标)能解数字系数的一元一次不等式.
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1 文字语言:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变 . 符号语言:如果a＞b,那么a±c ＞ b±c.
4.(人教7下P119)用不等式表示下列语句并写出解集,并在数轴上表示解集: (1)x的3倍大于或等于1; (2)x与3的和不小于3; (3)y与1的差不大于0;
(4)y 的1小于或等于－2.
4
(1)3x≥1,即 x≥1
3
(3)y－1≤0,即 y≤1
数轴略.
(2)x＋3≥3,即 x≥0 (4)1y≤－2,即 y≤－8
★.(新题速递)(人教7下P121改编)根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法: 若a－b＞0,则a＞b;若a－b＝0,则a＝b; 若a－b＜0,则a＜b.反之也成立. 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”. 请运用这种方法尝试解决下面的问题: 比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小. 解:∵4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝b2＋3＞0, ∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
数轴略.
(2)6x＜5x－1;
x＜－1
(4)1－1x≥x－2.
3
x≤9
4
8.【例4】(创新题)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是( D )
A.P＞R＞S＞Q C.S＞P＞Q＞R
B.Q＞S＞P＞R D.S＞P＞R＞Q

不等式与不等式组

不等式与不等式组引言：不等式是数学中一种重要的表达式，它可以描述数值之间的大小关系。

而不等式组则是多个不等式的集合，通过不等式组可以更准确地描述多个数值之间的关系。

本文将介绍不等式的基本概念、解不等式的方法以及解不等式组的方法，并通过实例进行详细说明。

一、不等式的基本概念1.1 不等式的定义不等式是数学中一种比较两个数值大小关系的表达式。

常见的不等式符号包括大于（>）、小于(<)、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

1.2 不等式的性质不等式有以下基本性质：（1）任意数与自身的不等关系是等式关系，即a = a；（2）如果a > b，那么b < a；（3）如果a > b，且b > c，则a > c（传递性质）；（4）两个不等式可以通过加法、减法、乘法和除法进行运算，运算的结果仍然是不等式。

二、解不等式的方法解不等式的方法主要有图解法、试值法和换元法。

下面将对这三种方法进行详细介绍。

2.1 图解法图解法是通过将不等式转化为图形进行分析和求解的方法。

以一元不等式为例，画出数轴并标出关键点，再根据不等式的符号来判断解的范围，从而得到不等式的解集。

2.2 试值法试值法是通过选择一些特定的数值，代入不等式进行验证，找出满足不等式的数值范围，进而得到不等式的解集。

2.3 换元法换元法是通过引入新的变量，将原不等式转化为一个更简单的形式进行求解。

常用的换元方法有代换法、平方取非负法等。

三、解不等式组的方法不等式组是由多个不等式组成的集合，解不等式组需要判断每一个不等式的解集并进行求交集的操作。

下面介绍两种解不等式组的方法。

3.1 图解法图解法也适用于解不等式组。

以二元不等式组为例，将每个不等式转化为平面直角坐标系上的图形，并找出所有满足条件的交集区域，便得到了整个不等式组的解集。

3.2 代入法代入法是通过将不等式组的某个解代入原不等式组进行验证，从而找出满足全部不等式的解集。

不等式与不等式组备战2023年中考数学考点微专题

考向2.5 不等式与不等式组例 1、（2021·山东济南·中考真题）解不等式组：3(1)25,32,2x x x x -≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②并写出它的所有整数解．解：3(1)25,32,2x x x x -≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩①② 解不等式①得：2x ≥- 解不等式②得：1x <∴不等式组的解集为：21x它的所有整数解为：2,1,0--解一元一次不等式组步骤： 1、标序号：每个不等式写上序号； 2、解每一个不等式解集；3、把每一个不等式的解集标在数轴上；4、在数轴上画出解集公共部分；5、写出解集。

例 2、（2021·四川泸州·中考真题）关于x 的不等式组23023x x a 恰好有2个整数解，则实数a 的取值范围是_________．解：23023xx a ①② 解①得32x >，解②得32x a <+，不等式组的解集是3322xa ．∵不等式组只有2个整数解，∴整数解是2，3．则3324a , ∴102a <≤ 故答案是：102a <≤例 3、（2021·湖北荆州·中考真题）若关于x 的方程21322x m x x x+-+=--的解是正数，则m 的取值范围为_____________．解：由21322x m x x x +-+=--，得：72m x +=且x ≠2， ∵关于x 的方程21322x m x x x+-+=--的解是正数， ∴702m +>且722m +≠，解得：m ＞-7且m ≠-3，故答案是：m ＞-7且m ≠-3．解一元一次不等式（组）注意点： 6、去分母时不要漏乘；7、系数化为1时，如果系数是负数，不等号方向要变向；3求解集时画数轴求公共部分是最佳选择；充分利用数形结合思想。

中考真题）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400 件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A 、B 两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A 类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B 类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．（1）该工艺厂购买A 类原木根数可以有哪些？（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A 、B 两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？解：（1）设工艺厂购买A 类原木x 根， B 类原木（150-x ）根由题意可得42(150)40026(150)680x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，可解得5055x ≤≤， ∵x 为整数，∴50x =，51，52，53，54，55．答：该工艺厂购买A 类原木根数可以是：50、51、52、53、54、55．（2）设获得利润为y 元，由题意，()()50421508026150y x x x x =+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即22087000y x =-+． ∵2200-<，∴y 随x 的增大而减小，∴50x =时，y 取得最大值76000．∴购买A 类原木根数50根，购买B 类原木根数100根，取得最大值76000元．利用不等式解应用题的关键：审题，找出建立不等关系的关键词（如不大于、不小于、低于、高于等等），从而建立不等关系；中考应用题往与函数相结合，充分利用增减性求最值；一、单选题1．（2021·贵州铜仁·中考真题）不等式组930725x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在以下数轴表示中正确的是（） A ．B ．C ．D ．2．（2021·广西河池·中考真题）一个关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A ．x ＞1B ．x≥1C ．x ＞3D ．x≥33．（2021·山东日照·中考真题）若不等式组643x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是3x >，则m 的取值范围是（） A ．3m >B ．3m ≥C ．3m ≤D ．3m <4．（2021·贵州遵义·中考真题）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x 支签字笔，则下列不等关系正确的是（） A ．5×2+2x ≥30B ．5×2+2x ≤30C ．2×2+2x ≥30D ．2×2+5x ≤305．（2021·山东淄博·中考真题）设m =，则（） A ．01m <-D ．2a >-7．（2021·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是（） A ．4m ≥-B ．4m ≥-且3m ≠-C ．4m >-D ．4m >-且3m ≠-8．（2021·内蒙古·中考真题）定义新运算“⊗”，规定：2a b a b ⊗=-．若关于x 的不等式3x m ⊗>的解集为1x >-，则m 的值是（）A ．1-B ．2-C ．1D ．2二、填空题9．（2021·辽宁丹东·中考真题）不等式组213x x m -<⎧⎨>⎩无解，则m 的取值范围_________．10．（2021·黑龙江·中考真题）关于x 的一元一次不等式组20345x a x ->⎧⎨-<⎩有解，则a 的取值范围是______．11．（2021·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，若点()1,52P m m --在第二象限，则整数m 的值为_________．12．（2021·陕西·中考真题）若()11,A y ，()23,B y 是反比例函数2112m y m x -⎛⎫=< ⎪⎝⎭图象上的两点，则1y 、2y 的大小关系是1y ______2y （填“>”、“=”或“<”）13．（2021·浙江丽水·中考真题）有意义，则x 可取的一个数是__________．三、解答题 14．（2021·江苏南京·中考真题）解不等式()1213x +-≤，并在数轴上表示解集．15．（2021·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：3x ﹣22x -＝0；（2）解不等式组：311442x x x x -≥+⎧⎨+<-⎩．16．（2021·贵州毕节·中考真题）x 取哪些正整数值时，不等式()5231x x +>-与213136x x -+≤都成立?17．（2021·辽宁本溪·中考真题）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元．（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？18．（2021·湖北武汉·中考真题）解不等式组214101x x x x ≥-⎧⎨+>+⎩①②请按下列步骤完成解答．（1）解不等式①，得_____________；（2）解不等式②，得_____________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（3）原不等式组的解集是_____________．19．（2021·福建·中考真题）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？一、单选题1．（2021·台湾·模拟预测）美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券．若每盒饼干的售价为x 元，每个蛋糕的售价为150元，则x 的范围为下列何者？（） A ．5060x ≤－3B ．a ≥3C ．a <－3D ．a ≤33．（2021·福建省福州屏东中学二模）喜迎建党100周年，某校举行党史知识竞赛，共30道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于85分得奖，那么得奖至少应选对的题数是（） A ．23B ．24C ．25D ．264．（2021·重庆·西南大学附中模拟预测）若关于x 的二次函数21y x ax =-+，当2x -≤时，y 随着x 的增大而减小，且关于x 的分式方程11222ax x x -=+--有正数解，那么所有满足条件的整数a 的值有（） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个5．（2021·重庆八中二模）若数a 使关于x 的不等式组3124(2)53x x x a -≤-⎧⎨-<⎩有且仅有4个整数解，且使关于y 的分式方程31222y a y y++--＝1有正整数解，则满足条件的a 的个数是（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题6．（2021·山东莱芜·一模）若关于x 的分式方程244m xx x-=--的解为非负数，则m 的取值范围是__________．7．（2021·黑龙江佳木斯·二模）若关于x 的不等式组38124x x a -≥⎧⎨-<⎩有且只有3个整数解，则a的取值范围为_____ ．8．（2021·山东诸城·二模）在实数范围内规定新运算“”，规则是：2a b a b =-，若不等式3x k ≥△的解集在数轴上如图表示，则k 的值是______．9．（2021·河南永城·二模）不等式组10,26x x x +≥⎧⎨-<-⎩的解集为_____________．10．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知关于x的不等式组()()32121232x a xx x⎧-≥-⎪⎨-≤-⎪⎩有5个整数解，则a的取值范围是___________．三、解答题11．（2021·福建·厦门市湖滨中学二模）解不等式组：53 4352 xx x+>⎧⎪-⎨≥⎪⎩12．（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）毕业考试结束后，班主任罗老师预购进甲乙两种奖品奖励学生，若购进甲种奖品3件和乙种奖品2件共需要40元；若购进甲种奖品2件和乙种奖品3件共需要55元．（1）求购进甲、乙两种奖品每件分别需要多少元？（2）班主任罗老师决定购进甲、乙两种奖品共20件，且用于购买这20件奖品的资金不超过160元，则最多能购进乙种奖品多少件？13．（2021·重庆·字水中学一模）全面奔小康，关键在农村，经济林是振兴农村经济，实现小康目标的重要途径．在读农林经济学的大学生林可利用知识优势，鼓励家人大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，主打种植大樱桃和小樱桃，今年风调雨顺，大樱桃和小樱桃双双增产．（1）林可家今年大樱桃和小樱桃共2400千克，其中大樱桃的产量不超过小樱桃产量的5倍，求今年林可家收获小樱桃至少多少千克？（2）林可家把今年收获的两种樱桃的一部分运往市场销售，已知他家去年大樱桃的市场销售量为1000千克，销售均价为30元/千克，今年大樱桃的市场销售量比去年减少了23 m%（0m≠），销售均价与去年相同，他家去年小樱桃的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年小樱桃的市场销售量比去年增加了2m%，销售均价也比去年提高了2m%，结果林可家今年运往市场销售的这两种樱桃的销售总金额与他家去年销售这两种樱桃的市场销售总金额相同，求m的值．一、单选题1．（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．14k >-B ．14k <C ．14k >-且0k ≠D ．14k <0k ≠ 2．（2021·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y+-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（） A ．5B ．8C ．12D ．153．（2021·福建·中考真题）二次函数()220y ax ax c a =-+>的图象过1234()()3,,1,,2(),,)4,(A y B y C y D y --四个点，下列说法一定正确的是（）A ．若120y y >，则340y y >B ．若140y y >，则230y y >C ．若240y y <，则130y y <D ．若340y y <，则120y y <4．（2021·广西来宾·中考真题）定义一种运算：,,a a b a b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，则不等式(21)(2)3x x +*->的解集是（） A ．1x >或13x 或1x <-D ．13x >或1x <-5．（2021·四川遂宁·中考真题）不等式组20112x x ->⎧⎪⎨-≥-⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题6．（2021·四川遂宁·中考真题）已知关于x ，y 的二元一次方程组235423x y ax y a +=⎧⎨+=+⎩满足0x y ->，则a 的取值范围是____．7．（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，1,12a a --在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a 的取值范围为______8．（2021·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的不等式组32125x x a -≥⎧⎨-<⎩，有且只有2个整数解，则a 的取值范围是__________．9．（2021·青海·中考真题）已知点()25,62A m m --在第四象限，则m 的取值范围是______． 10．（2021·湖南常德·中考真题）刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中16为红珠，14为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有_________个．11．（2021·黑龙江绥化·中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元．学校准备购买,A B 两种奖品共20个，且A 种奖品的数量不小于B 种奖品数量的25，则在购买方案中最少费用是_____元．三、解答题12．（2021·江苏宿迁·中考真题）解不等式组105212x x x -<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，并写出满足不等式组的所有整数解．13．（2021·四川成都·下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A 型和10个B 型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A 型点位比一个B 型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B 型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A 型、B 型点位共5个，试问至少需要增设几个A 型点位才能当日处理完所有生活垃圾？14．（2021·四川广元·中考真题）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的23．学校有哪几种购买方案？（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？1．B【分析】分别解不等式，然后将解集表示出来即可求解．解：由题意可知：930725x x ->⎧⎨-≤⎩①②，解①得：3x <，解②得：1≥x ，故不等式组的解集为：13x ≤<，故选：B ．【点拨】本题考查不等式组的解法，属于基础题，计算过程中细心即可求解． 2．C试题解析：一个关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是x ＞3．故选C ．考点：在数轴上表示不等式的解集． 3．C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：解不等式643x x +<-，得：3x >，x m >且不等式组的解集为3x >，3m ∴，故选：C ．【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4．D【分析】设小明还能买x 支签字笔，则小明购物的总数为22+5x ⨯元，再列不等式即可. 解：设小明还能买x 支签字笔，则：22530,x ⨯+≤故选：.D【点拨】本题考查的是一元一次不等式的应用，确定购物的总金额不大于所带钱的数额这个不等关系是解题的关键.5．A【分析】根据无理数的估算可直接进行求解．解：∵459，∴23<<，∴112<，∴12<<1；故选A ．【点拨】本题主要考查无理数的估算及一元一次不等式的性质，熟练掌握无理数的估算及一元一次不等式的性质是解题的关键．6．D【分析】首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a 的不等式，即可求解．解：解不等式231x --≥得，2x -≤，解不等式1142x a --≥得， 22x a ，∵该不等式组无实数解，∴222a ，解得：2a >-，故选：D ．【点拨】本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”．7．B【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．解：由关于x 的分式方程3121m x +=-可得：42m x +=，且12x ≠， ∵方程的解为非负数， ∴402m +≥，且4122m +≠，解得：4m ≥-且3m ≠-，故选B ．【点拨】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．8．B【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为1x >-，所以与化简所求解集相同，可得出等式231m +=-，即可求得m ．解：由2a b a b ⊗=-，∴23x m x m =->，得：23x m >+，∵3x m >解集为1x >-，∴231m +=-∴2m =-，故选：B ．【点拨】题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式．9．2m ≥【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可．解：213x x m -<⎧⎨>⎩①② 解不等式①得：2x <由②式知：x m >∵不等式组无解∴2m ≥故答案为：2m ≥【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m 的不等式是解题的关键．10．6a <【分析】先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解．解：由关于x 的一元一次不等式组20345x a x ->⎧⎨-<⎩可得：32a x <<， ∵不等式组有解， ∴32a <，解得：6a <；故答案为6a <．【点拨】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．11．2【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．解：由题意得：10520m m -<⎧⎨->⎩，解得：512m <<， ∴整数m 的值为2，故答案为：2．【点拨】记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．12．<【分析】先根据不等式的性质判断2-10m <，再根据反比例函数的增减性判断即可．解：∵12m < ∴1222m <⨯ 即2-10m <∴反比例函数图像每一个象限内，y 随x 的增大而增大∵1<3∴1y <2y故答案为：<．【点拨】本题考查反比例函数的增减性、不等式的性质、熟练掌握反比例函数的性质是关键．13．如4等（答案不唯一，3x ≥）【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．解：∵式子3x -有意义，∴x ﹣3≥0，∴x ≥3，∴x 可取x ≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，3x ≥．【点拨】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．14．2x ≤，数轴上表示解集见解析【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤，直接求解即可．解：()1213x +-≤去括号：1223x +-≤移项：2312x ≤-+合并同类项：24x ≤化系数为1：2x ≤解集表示在数轴上：【点拨】本题考查了一元一次不等式的解法，数轴上表示不等式的解集的方法，一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法相似，注意最后一步化系数为1的时候，不等号是否要改变方向；正确的计算和在数轴上表示出解集是解题关键．15．（1）x ＝6；（2）x ＞2【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．解：（1）3x ﹣22x -＝0 去分母得：3（x ﹣2）﹣2x ＝0，去括号得：3x ﹣6﹣2x ＝0，解得：x ＝6，检验：把x ＝6代入得：x （x ﹣2）＝24≠0，∴分式方程的解为x ＝6；（2）311?442?x x x x -≥+⎧⎨+<-⎩①②，由①得：x ≥1，由②得：x ＞2，则不等式组的解集为x ＞2．【点拨】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法以及不等式组的解法是解本题的关键．16．1、2、3【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出满足条件的x 的整数．解：解不等式()5231x x +>-得：5233x x +>-52x >- 解不等式213136x x -+≤得： 2(21)31x x -≤+4231x x -≤+3x ≤ ∴532x -<≤ ∴符合条件的正整数值有1、2、【点拨】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17．（1）每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）最多能购买手绘纪念册10本．【分析】（1）设每本手绘纪念册x 元，每本图片纪念册y 元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买手绘纪念册a 本，则购买图片纪念册()40a -本，根据题意列出不等式，求解不等式即可．解：（1）设每本手绘纪念册x 元，每本图片纪念册y 元，根据题意可得：413552225x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3525x y =⎧⎨=⎩，答：每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）设购买手绘纪念册a 本，则购买图片纪念册()40a -本，根据题意可得：()3525401100a a +-≤，解得10a ≤，∴最多能购买手绘纪念册10本．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．18．（1）1x ≥-；（2）3x >-；（3）见解析；（4）1x ≥-【分析】（1）根据不等式的基本性质解不等式；（2）根据不等式的基本性质解不等式；（3）在数轴上表示解集；（4）根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：（1）21x x ≥-21x x -≥-1x ≥-（2）4101x x +>+4110x x ->-39x >-3x >-（3）如下图所示（4）取1x ≥-和3x >-的公共部分，即1x ≥-．【点拨】本题主要考查解一元一次不等式组．根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．19．（1）该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱；（2）该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元【分析】（1）设该公司当月零售农产品x 箱，批发农产品y 箱，利用卖出100箱这种农产品共获利润4600元列方程组，然后解方程组即可；（2）设该公司零售农产品m 箱，获得总利润w 元，利用利润的意义得到7040(1000)3040000w m m m =+-=+，再根据该公司零售的数量不能多于总数量的30%可确定m 的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．解：（1）设该公司当月零售农产品x 箱，批发农产品y 箱．依题意，得70404600,100,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得20,80.x y =⎧⎨=⎩所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱．（2）设该公司零售农产品m 箱，获得总利润w 元．则批发农产品的数量为(1000)m -箱， ∵该公司零售的数量不能多于总数量的30%∴300m ≤依题意，得7040(1000)3040000,300w m m m m =+-=+≤．因为300>，所以w 随着m 的增大而增大，所以300m =时，取得最大值49000元，此时1000700m -=．所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元．【点拨】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题；也考查了二元一次方程组．1．B【分析】首先根据题意可知，拿到3张摸彩卷的意思即是消费金额大于等于300小于400，拿到4张摸彩卷的意思即是消费金额大于等于400小于500，根据题意列出不等式组，解不等式组即可．【详解】解：美美拿到3张彩卷说明消费金额达到了300，但是不足400，小仪拿到了4张彩卷说明消费金额达到了400，但是不足500，因此可得，30054004005150500x x ≤<⎧⎨≤+<⎩，解得，6070x ≤<，故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，确定消费金额与彩卷数量的不等关系是解题的关键． 2．C【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集确定a 的取值范围即可．【详解】解：对于不等式组30223x a x x -≥⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②，解①得：x ≥3，解②得：x ≤6+a ，∵该不等式组无解，∴6+a ＜3，∴a ＜﹣3，故选：C ．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，会根据解集正确得出a 的取值范围是解答的关键．3．C【分析】设选对x 道题，则不选或错选(30)x -道题，列出42(30)85x x --≥，求解取整数即可．【详解】解：设选对x 道题，则不选或错选(30)x -道题，依题意得：42(30)85x x --≥，解得：1456x ≥， x 只能取整数，∴要得奖至少应选对25道题，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式进行求解． 4．B 【分析】先解分式方程求出22x a=-，关于x 的分式方程有正数解满足2﹣a ＞0利用二次函数21y x ax =-+，当x ≤﹣2时，y 随x 的增大而减小，求出对称轴x ＝﹣-2a ≥﹣2，求出a 的范围﹣4≤a ＜2，且a ≠1即可．【详解】解：∵11222ax x x --=-- ∴1+1﹣a x ＝2（2﹣x ）∴（2﹣a）x＝2∴22xa =-关于x的分式方程有正数解∴22a-＞0∴2﹣a＞0∴a＜2但该分式方程当x＝2时显然是增根，故当a＝1时不符合题意，舍去．∵二次函数21y x ax=-+，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小∴其对称轴x＝﹣-2a≥﹣2∴a≥﹣4∴﹣4≤a＜2，且a≠1符合条件的整数a的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个故选B．【点睛】本题考查分式方程的解法，抛物线的增减性，不等式的解法，掌握分式方程的解法，抛物线的性质，会求抛物线的对称轴，会利用分式方程的解为正数构造不等式，结合函数的增减性解决问题．5．B【分析】不等式组变形后，a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有整数解，确定出满足条件a的值．【详解】解：解不等式组3124(2) 53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩，解得：435xax≥-⎧⎪+⎨<⎪⎩，∵不等式组3124(2)53x xx a-≤-⎧⎨-<⎩有且仅有4个整数解，∴﹣1＜35a+≤0，∴﹣8＜a≤﹣3．解分式方程31222y ay y++--＝1，得y＝102a+，∵y＝102a+≠2为整数，∴a≠﹣6，∴所有满足条件的只有﹣4，故选：B．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．6．8m≥-且4m≠-【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．【详解】解：方程两边都乘以（x﹣4）得：m+x＝2（x﹣4），解得：x＝m+8．∵x﹣4≠0，∴m+8﹣4≠0，∴m≠﹣4；∵分式方程的解为非负数，∴m+8≥0，∴m≥﹣8．故答案为：m≥﹣8且m≠﹣4．【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．7．68a<≤【分析】先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可．【详解】解：解不等式381x-≥得：x≥3，解不等式2x﹣a＜4得：x＜42a +∴不等式组的解集为：3≤x＜42a+，∵不等式组38124xx a-≥⎧⎨-<⎩有且只有3个整数解，∴三个整数解为：3，4，5，∴5＜42a +≤6，解得：6＜a ≤8，故答案为：6＜a ≤8．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数求出关于a 的不等式组．8．-5【分析】先根据运算法则变形不等式，然后再进行计算即可．【详解】解：3x k ≥△2x-k≥3 x≥32k + ∵x≥-1 ∴32k +=-1，解得k=-5．故填-5．【点睛】本题考查了在教轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式等知识点，区分在表示解集时 “空心”和“实心”是解答本题的关键．9．﹣1≤x ＜2【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可求解．【详解】解：1026x x x +≥⎧⎨-<-⎩①②，解①得x ≥﹣1，解②得x ＜2．故不等式组的解集是﹣1≤x ＜2．故答案为：﹣1≤x ＜2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．10．103a -<≤ 【分析】解两个不等式得到不等式组的解集为3a -2≤x ≤2，则可确定不等式组的整数解为2，。

专题08不等式与不等式组【解析版】

专题08不等式与不等式组一．选择题（共8小题）1．（2022•娄底）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D。

【分析】先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项．【解析】，解①，得x≤2，解②，得x＞﹣1．所以原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．故符合条件的选项是C．故选：C．2．（2022•嘉兴）不等式3x+1＜2x的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解不等式的方法可以解答本题．【解析】3x+1＜2x，移项，得：3x﹣2x＜﹣1，合并同类项，得：x＜﹣1，其解集在数轴上表示如下：，故选：B．【点评】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．3．（2022•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．【解析】，解①得x≥﹣1，解②得x＜3．则表示为：故选：A．【点评】本题考查了不等式组的解法以及用数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．4．（2022•株洲）不等式4x﹣1＜0的解集是（）A．x＞4B．x＜4C．x＞D．x＜【分析】根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1解不等式即可．【解析】∵4x﹣1＜0，∴4x＜1，∴x＜．故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1是解题的关键．5．（2022•武威）不等式3x﹣2＞4的解集是（）A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即可得出答案．【解析】3x﹣2＞4，移项得：3x＞4+2，合并同类项得：3x＞6，系数化为1得：x＞2．故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1是解题的关键．6．（2022•宿迁）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解析】A、∵x＜y，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．7．（2022•滨州）把不等式组中每个不等式的解集在一条数轴上表示出来，正确的为（）A．B．C．D．【分析】先解出不等式组中的每一个不等式的解集，然后即可写出不等式组的解集，再在数轴上表示出每一个不等式的解集即可．【解析】解不等式x﹣3＜2x x＞﹣3，解不等式，得x≤5，故原不等式组的解集是﹣3＜x≤5，其解集在数轴上表示如下：故选：C．【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法，会在数轴上表示不等式组的解集．8．（2022•邵阳）关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，根据解集有且只有三个整数解，确定出a的范围即可．【解析】，由①得：x＞1，由②得：x＜a，解得：1＜x＜a，∵不等式组有且仅有三个整数解，即2，3，4，∴4＜a≤5，∴a的最大值是5，故选：C．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．二．多选题（共1小题）（多选）9．（2022•湘潭）若a＞b，则下列四个选项中一定成立的是（）A．a+2＞b+2B．﹣3a＞﹣3b C．＞D．a﹣1＜b﹣1【解析】A．a+2＞b+2，∵a＞b，∴a+2＞b+2，故A选项符合题意；B．﹣3a＞﹣3b，∵a＞b，∴﹣3a＜﹣3b，故B选项不符合题意；C．＞，∵a＞b，∴＞，故C选项符合题意；D．a﹣1＜b﹣1，∵a＞b，∴a﹣1＞b﹣1，故D选项不符合题意；故选：AC．【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．三．填空题（共4小题）10．（2022•绍兴）关于x的不等式3x﹣2＞x的解集是　x＞1　．【分析】根据解一元一次不等式步骤即可解得答案．【解析】∵3x﹣2＞x，∴3x﹣x＞2，即2x＞2，解得x＞1，故答案为：x＞1．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤．11．（2022•安徽）不等式≥1的解集为　x≥5　．【分析】先去分母、再移项即可．【解析】≥1，x﹣3≥2，x≥3+2，x≥5．故答案为：x≥5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式是解答本题的关键．12．（2022•丽水）不等式3x＞2x+4的解集是　x＞4　．【分析】先移项，再合并同类项即可．【解析】3x＞2x+4，3x﹣2x＞4，x＞4，故答案为：x＞4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．13．（2022•达州）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　2≤a＜3　．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【解析】，解不等式①得：x＞a﹣2，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为：a﹣2＜x≤3，∵恰有3个整数解，∴0≤a﹣2＜1，∴2≤a＜3，故答案为：2≤a＜3．【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同理的答案．四．解答题（共19小题）14．（2022•武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答．（1）解不等式①，得　x≥﹣3　；（2）解不等式②，得　x＜1　；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集是　﹣3≤x＜1　．【分析】分别解这两个不等式，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．【解析】（1）解不等式①，得：x≥﹣3；（2）解不等式②，得：x＜1；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：（4）原不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．故答案为：（1）x≥﹣3；（2）x＜1；（4）﹣3≤x＜1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键．15．（2022•常德）解不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解析】由5x﹣1＞3x﹣4，得：x＞﹣，由﹣≤﹣x，得：x≤1，则不等式组的解集为﹣＜x≤1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．（2022•乐山）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解：解不等式①，得　x＞﹣2　．解不等式②，得　x≤3　．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为　﹣2＜x≤3　．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解析】解不等式①，得x＞﹣2．解不等式②，得x≤3．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为﹣2＜x≤3，故答案为：x＞﹣2，x≤3，﹣2＜x≤3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17．（2022•陕西）解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解析】由x+2＞﹣1，得：x＞﹣3，由x﹣5≤3（x﹣1），得：x≥﹣则不等式组的解集为x≥﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（2022•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得　x≥﹣1　；（Ⅱ）解不等式②，得　x≤2　；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣1≤x≤2　．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解析】（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤2，故答案为：x≥﹣1，x≤2，﹣1≤x≤2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（2022•宁波）（1）计算：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）．（2）解不等式组：．【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式展开，合并同类项即可得出答案；（2）分别解这两个不等式，根据不等式解集的规律即可得出答案．【解析】（1）原式＝x2﹣1+2x﹣x2＝2x﹣1；（2），解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x≥﹣2，∴原不等式组的解集为：x＞3．【点评】本题考查了整式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．20．（2022•怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【解析】，解不等式①，得：x＞2，解不等式②，得：x≤3，∴原不等式组的解集是2＜x≤3，其解集在数轴上表示如下：．【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．21．（2022•湖州）解一元一次不等式组．【分析】分别解这两个一元一次不等式，然后根据求不等式组解集的规律即可得出答案．【解析】解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x＜1，∴原不等式组的解集为x＜1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．22．（2022•扬州）解不等式组并求出它的所有整数解的和．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后即可求得该不等式组所有整数解的和．【解析】，解不等式①，得：x≥﹣2，解不等式②，得：x＜4，∴原不等式组的解集是﹣2≤x＜4，∴该不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，∵﹣2+（﹣1）+0+1+2+3＝3，∴该不等式组所有整数解的和是3．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．23．（2022•温州）（1）计算：+（﹣3）2+3﹣2﹣|﹣|．（2）解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在数轴上．【分析】（1）根据算术平方根、有理数的乘方、负整数指数幂和绝对值可以解答本题；（2）先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可．【解析】（1）+（﹣3）2+3﹣2﹣|﹣|＝3+9+﹣＝12；（2）9x﹣2≤7x+3，移项，得：9x﹣7x≤3+2，合并同类项，得：2x≤5，系数化为1，得：x≤2.5，其解集在数轴上表示如下：．【点评】本题考查实数的运算、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确实数运算的运算法则和解一元一次不等式的方法．24．（2022•江西）（1）计算：|﹣2|+﹣20；（2）解不等式组：．【分析】（1）根据绝对值的性质，算术平方根的意义，零指数幂的意义解答即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解析】（1）原式＝2+2﹣1，＝3．（2）解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x＜3．【点评】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．25．（2022•连云港）解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】去分母、移项、合并同类项可得其解集．【解析】去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，移项，得：4x﹣3x＞﹣1+2，合并同类项，得：x＞1，将不等式解集表示在数轴上如下：．【点评】此题考查了解一元一次不等式的基本能力，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．26．（2022•舟山）（1）计算：﹣（﹣1）0．（2）解不等式：x+8＜4x﹣1．【分析】（1）根据立方根和零指数幂可以解答本题；（2）根据解一元一次不等式的方法可以解答本题．【解析】（1）﹣（﹣1）0＝2﹣1＝1；（2）x+8＜4x﹣1移项及合并同类项，得：﹣3x＜﹣9，系数化为1，得：x＞3．【点评】本题考查解一元一次不等式、实数的运算，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．27．（2022•金华）解不等式：2（3x﹣2）＞x+1．【分析】利用解不等式的方法解答即可．【解析】去括号得：6x﹣4＞x+1，移项得：6x﹣x＞4+1，合并同类项得：5x＞5，∴x＞1．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．28．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【分析】先求出不等式的解集，求出不等式组的解集即可．【解析】由不等式3x＜6，解得：x＜2，由不等式5x+4＞3x+2，解得：1，∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，∴在数轴上表示不等式组的解集为：【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．29．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．【解析】（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，由题意可得：，解得，答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，∴，解得30≤x≤33，∵x为整数，∴x的值可为30，31，32，33，∴共有四种购买方案，方案一：采购篮球3020个；方案二：采购篮球31个，采购足球19个；方案三：采购篮球32个，采购足球18个；方案四：采购篮球33个，采购足球17个．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．30．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？【分析】（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，利用总价＝单价×数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【解析】（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，依题意得：，解得：．答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元．（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，依题意得：，解得：20≤m≤30．设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m）＝﹣10m+2000．∵﹣10＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．31．（2022•邵阳）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？【分析】（1）设购进“冰墩墩”摆件x个，“冰墩墩”挂件y个，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合购进“冰墩墩”摆件和挂件共100个且共花费了11400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进“冰墩墩”挂件m个，则购进“冰墩墩”摆件（180﹣m）个，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量（购进数量），即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解析】（1）设购进“冰墩墩”摆件x个，“冰墩墩”挂件y个，依题意得：，解得：．答：购进“冰墩墩”摆件80个，“冰墩墩”挂件100个．（2）设购进“冰墩墩”挂件m个，则购进“冰墩墩”摆件（180﹣m）个，依题意得：（60﹣50）m+（100﹣80）（180﹣m）≥2900，解得：m≤70．答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．32．（2022•宿迁）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为　300　元；乙超市的购物金额为　240　元；（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？【分析】（1）利用总价＝单价×数量，可求出购买30件这种文化用品所需原价，再结合两超市给出的优惠方案，即可求出在两家超市的购物金额；（2）设购买x件这种文化用品，当0＜x≤40时，在甲超市的购物金额为10x元，在乙超市的购物金额为8x元，显然在乙超市支付的费用较少；当x＞40时，在甲超市的购物金额为（6x+160）元，在乙超市的购物金额为8x元，分6x+160＞8x，6x+160＝8x及6x+160＜8x三种情况，可求出x的取值范围或x的值，综上，即可得出结论．【解析】（1）∵10×30＝300（元），300＜400，∴在甲超市的购物金额为300元，在乙超市的购物金额为300×0.8＝240（元）．故答案为：300；240．（2）设购买x件这种文化用品．当0＜x≤40时，在甲超市的购物金额为10x元，在乙超市的购物金额为0.8×10x＝8x（元），∵10x＞8x，∴选择乙超市支付的费用较少；当x＞40时，在甲超市的购物金额为400+0.6（10x﹣400）＝（6x+160）（元），在乙超市的购物金额为0.8×10x＝8x（元），若6x+160＞8x，则x＜80；若6x+160＝8x，则x＝80；若6x+160＜8x，则x＞80．综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据两超市给出的优惠方案，用含x的代数式表示出在两家超市的购物金额是解题的关键．。

不等式与不等式组(压轴题综合测试卷)(人教版)(原卷版)

专题9.4 不等式与不等式组（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）若不等式2x+53−1≤2−x 的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3(x ﹣1)+5＞5x +2(m +x)成立，则m 的取值范围是（） A ．m >−35B ．m <−15C ．m <−35D ．m >−152．（2023春·福建泉州·七年级晋江市第一中学校考期中）若关于x 的不等式mx - n ＞0的解集是x <15，则关于x 的不等式(m +n)x >n −m 的解集是（） A ．x >−23B ．x <−23C ．x <23D ．x >233．（2022秋·八年级课时练习）已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是（）． A ．a ＞-1B ．a ＝1C ．a≥1D ．非上述答案4．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x 的不等式组{3a −2x ≥02a +3x >0 恰有3个整数解，则a 的取值范围是（） A ．23≤a ≤32B ．43≤a ≤32C ．43<a <32D ．43≤a <325．（2023春·江苏·七年级期末）关于x 的不等式组{a −x >32x +8>4a有解且每一个x 的值均不在−2≤x ≤6的范围中，则a 的取值范围是（） A ．a <1B ．a ≤1C ．1<a ≤5D ．a ≥56．（2022春·山西运城·八年级统考期末）若不等式组{2x −a <1x −2b >3的解为−3<x <1，则(a +1)(b −1)值为（） A ．−6B ．7C ．−8D ．97．（2023春·四川资阳·七年级四川省安岳中学校考期中）若整数a 使关于x 的不等式组{x+13≤2x+59x−a2>x−a+13至少有1个整数解，且使关于x ，y 的方程组{ax +2y =−4x +y =4的解为正整数，那么所有满足条件的a 值之和为( )A ．﹣17B ．﹣16C ．﹣14D ．﹣128．（2022春·重庆渝北·八年级校联考阶段练习）如果关于x 的不等式组{x−43−x <−4x −m >0的解集为x >4，且整数m 使得关于x ，y 的二元一次方程组{mx +y =83x +y =1的解为整数（x ，y 均为整数），则不符合条件的整数m的有（） A ．-4B ．2C ．4D ．109．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于x 的一元一次不等式组{−2x+3m4≥2x2x +7≤4(x +1)有解，且最多有3个整数解，且关于y 的方程3y −2=2m−3(8−y)2的解为非负整数，则符合条件的所有整数m 的和为（） A ．23B ．26C ．29D ．3910．（2022春·重庆綦江·七年级统考期末）如果关于x 、y 的方程组{3x +2y =m +12x +y =m −1 中x >y ，且关于x 的不等式组{x−12<1+x35x +2≥x +m 有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（） A ．8 B ．9C ．10D ．11评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞，即：当n 为非负整数时，如n ﹣12≤x ＜n +12，则＜x ＞＝n ．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x ＞＝97x ，则x ＝_____． 12．（2023春·江苏·七年级专题练习）若不等式|x −2|+|x +3|+|x −1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是________．13．（2023春·全国·七年级专题练习）若6a =3b +12=2c ，且b ≥0，c ≤9，设t =2a +b −c ，则t 的取值范围为______．14．（2022春·重庆南川·八年级统考期中）某公司急需生产一批不超过10000套的工装服（一套工装服含领带、衬衣、裙子各一件）该公司计划将员工分为甲、乙、丙三个组，分别生产领带、衬衣、裙子，他们于某天零时同时开工，每天24小时轮班连续工作（假设每小时工作效率相同），若干天后的零时甲完成任务，再几天后（不少于一天）的中午12时乙完成任务，再过几天（不少于一天）后的8时丙完成了任务，已知三个组每天完成的任务分别是500件，400件，300件，则该公司甲组完成任务工作了______天．15．（2023春·江苏·七年级专题练习）将长为4，宽为a （a 大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图①所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n 次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n =3时，a 的值为 ___________．评卷人得分三．解答题（本大题共9小题，满分55分）16．（4分）（2023春·全国·七年级专题练习）解下列不等式：（1）解不等式6x ﹣4＞5(x ﹣1)+3；（2）解不等式1-0.1x+10.4>1-0.15x 0.5，并把不等式的解在数轴上表示出来．17．（8分）（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）根据要求解不等式或答题（1）{2x +5≤3(x +2)1−2x 3+15>0 ；（2）若关于x 的不等式组{2x <3(x −3)+13x+24>x +a有四个整数解，则a 的取值范围是？（3）mx +1>2x +n ；（4）2|x +1|−|x |>3|2−x |．18．（6分）（2022秋·全国·七年级专题练习）已知2x−13−1≥x −5−3x 2，求|x −1|−|x +3|的最大值和最小值．19．（6分）（2022·安徽·九年级专题练习）某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．（1）若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？20．（6分）（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，数轴上两点A 、B 对应的数分别是－1，1，点P 是线段AB 上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q ，满足|PQ |＝2，那么我们把这样的点Q 表示的数称为连动数，特别地，当点Q 表示的数是整数时我们称为连动整数．（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有；（直接写出结果）（2）若k 使得方程组{3x +2y =k +14x +3y =k −1中的x ，y 均为连动数，求k 所有可能的取值；（3）若关于x 的不等式组{2x−63>x −3x+32≤x −a的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a 的取值范围．21．（6分）（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．问题：在关于x ，y 的二元一次方程组{x −y =2x +y =a中，x ＞1，y ＜0，求a 的取值范围．分析：在关于x 、y 的二元一次方程组中，用a 的代数式表示x ，y ，然后根据x ＞1，y ＜0列出关于a 的不等式组即可求得a 的取值范围．解：由{x −y =2x +y =a 解得{x =a+22y =a−22又因为x ＞1，y ＜0所以{a+22>1a−22<0解得a 的取值范围是．因为x +y ＝a ，所以a 的取值范围就是x +y 的取值范围．（2）请你按照上述方法，完成下列问题：①已知x ﹣y ＝4，且x ＞3，y ＜1，求x +y 的取值范围；①已知a ﹣b ＝m ，在关于x ，y 的二元一次方程组{2x −y =−1x +2y =5a −8中，x ＜0，y ＞0，请直接写出a +b 的取值范围．22．（6分）（2023春·江苏·七年级专题练习）我们把关于x 的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； ①{2x −4=05x −2＜3；①{x−53=2−3−x 2x+32−1＜3−x 4．（2）若关于x 的组合{5x +15=03x−a2＞a 是“有缘组合”，求a 的取值范围；（3）若关于x 的组合{5a−x2−3=2x −3a x−a 2+1≤x +a是“无缘组合”；求a 的取值范围．23．（6分）（2022春·四川资阳·七年级校考期中）使方程（组）与不等式（组）同时成立的末知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例：已知方程2x−3=1与不等式x+3>0，当x=2时2x−3=2×2−3=1，x+3=2+3=5>0同时成立，则称“x=2”是方程2x−3=1与不等式x+3>0的“理想解”．（1）已知①x−12>32，①2(x+3)<4，①x−12<3，试判断方程2x+3=1的解是否为它与它们中某个不等式的“理想解”；（2）若{x=x0y=y0是方程x−2y=4与不等式{x>3y<1的“理想解”，求x0+2y0的取值范围；（3）当实数a、b、c满足a<b<c且a+b+c=0时，x=m恒为方程ax=c与不等式组{x−1≥t+s4x−4≤2t+s 的“理想解”，求t、s的取值范围．24．（7分）（2022春·江苏南通·七年级校考期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组{x−1>1x−2<3的解集为2<x<5，不难发现x=4在2<x<5的范围内，所以方程x−1=3是不等式组{x−1>1x−2<3的“相依方程”．（1）在方程①6(x+2)−(x+4)=23；①9x−3=0；①2x−3=0中，不等式组{2x−1>x+13(x−2)−x≤4的“相依方程”是________；（填序号）（2）若关于x的方程3x−k=6是不等式组{3x+12>xx−1 2≥2x+13−1的“相依方程”，求k的取值范围；（3）若关于x的方程x−3m2=−2是关于x的不等式组{x+1>mx−m≤2m+1的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．。

初一数学不等式与不等式组30道典型题(含答案和解析及相关考点)

初一数学不等式与不等式组30道典型题(含答案和解析）1、在式子 -3＜0,x ≥2,x=a,x 2-2x,x ≠3,x+1＞y 中,是不等式的有( ）．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个答案：C.解析：式子 -3＜0,x ≥2,x ≠3,x+1＞y 这四个是不等式.考点：方程与不等式——不等式与不等式组——不等式的基础——不等式的定义.2、下列结论正确的有 (填序号）.①如果a ＞b,c ＜d,那么a-c ＞b-d. ②如果a ＞b,那么ab ＞1.③如果a ＞b,那么1a ＜1b.④如果a c2＜bc2,那么a ＜b.答案：①④.解析：①∵c ＜d,∴-c ＞-d,∵a ＞b,∴a-c ＞b-d, 故①正确.②当b ＜0时,ab ＜1, 故②错.③若a=2,b= -1,满足a ＞b,但1a ＞1b , 故③错. ④∵ac2＜bc 2,∴c 2＞0,∴a ＜b.考点：方程与不等式——不等式与不等式组——不等式的基础——不等式的性质.3、若0＜m ＜1,m ,m 2,1m的大小关系是( ）.A. m ＜m 2＜1m B. m 2＜m ＜1m C. 1m ＜m ＜m 2D. 1m ＜m 2＜m答案：B.解析：可用特殊值.考点：方程与不等式——不等式与不等式组——不等式的基础——不等式的性质.4、若a ＜b,则下列各式中一定成立的是( ）．A.a-1＜b-1B. a 3＞b3 C.-a ＜-b D.ac ＜bc 答案：A.解析：根据不等式的性质可得：不等式两边加(或减）同一个数(或式子）,不等号的方不变.A. a-1＜b-1,故A 选项是正确的.B.a ＞b,不成立,故B 选项是错误的.C. a ＞-b,不一定成立,故选项是错误的.D. C 的值不确定,故D 选项是错误的.考点:方程与不等式——不等式与不等式组——不等式的基础——不等式的性质.5、下列式子中,是一元一次不等式的有( ）．①x 2+x ＜1 ②1x +2＞0 ③x-3＞y+4 ④2x+3＜8 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：A.解析：①不是,因为它的未知数的最高次数是2．②不是,因为不等式的左边是1x +2,它不是整式．③不是,因为不等式中含有两个未知数．④是,因为它符合一元一次不等式定义中的三个条件．故答案为A.考点：方程与不等式——不等式与不等式组——一元一次不等式的定义.6、如果(m+1）x ＞2是一元一次不等式,则m = . 答案：1. 解析：∵(m+1）x∣m ∣＞2是一元一次不等式.∴m+1≠0.︱m ︱=1,解得：m=1.考点：数——有理数——绝对值——方程与不等式——不等式与不等式组——一元一次不等式的定义.7、解不等式3-4(2x-3）≥3(3-2x）,并把它的解集在数轴上表示出来．答案：原不等式的解集为x≤3．画图见解析．解析：去括号,得3-8x+12≥9-6x.移项,得-8x+6x≥9-3-12.合并同类项,得-2x≥-6.系数化1 ,得x≤3.把它的解集在数轴上表示为：考点：方程与不等式——不等式与不等式组——在数轴上表示不等式的解集——解一元一次不等式.8、当a＜3时,不等式ax≥3x+7的解集是．.答案：x≤7a−3解析：ax≥3x+7.ax-3x≥7.(a-3）x≥7.∵a＜3.∴a-3＜0..∴x≤7a−3考点：方程与不等式-不等式与不等式组-含参不等式(组）-解含参不等式.(x-5)-1＞x+m的解集为x＜2,则m的值为．9、已知不等式12答案：-4.5.解析：1(x-5)-1＞x+m.212x-52-1-x ＞m.-12x ＞m+72. x ＜-2m-7. ∵解集为x ＜2. 则-2m-7=2. m=-4.5．考点：方程与不等式——不等式与不等式组——含参不等式(组）——已知解集反求参数.10、若不等式4x-a ＜0只有三个正整数解,则的取值范围．答案：12＜a ≤16.解析：:将4x-a ＜0变形为x ＜a4.不等式只有三个正整数解.即x 的正整数解为1,2,3,所以3＜a4≤4,解得a 的取值范围为12＜a ≤16．考点:方程与不等式——不等式与不等式组——一元一次不等式的整数解.11、若关于x 的不等式mx-n ＞0的解集是x ＜15,则关于x 的不等式(m+n ）x ＞n-m 的解集是( ）.A. x ＜-23B. x ＞-23C. x ＜23D. x ＞23答案：A.解析：∵不等式mx-n ＞0的解集是x ＜15.∴m ＜0且n m= 15.∴m=5n,n ＜0.∴不等式(m+n ）x ＞n-m 可整理为6nx ＞-4n 的解集是x ＜-23.考点：方程与不等式——不等式与不等式组——解一元一次不等式.12、若方程3(x+1）-m = 3m-5x 的解是负数,则的取值范围是( ）．A. m ＜34 B. m ＞34 C. m ＜−34 D. m ＞−34答案：A.解析：3(x+1）-m = 3m-5x.3x+5x = 3m+m-3. 8x = 4m-3. ∵解是负数. ∴8x ＜0. ∴4m-3＜0. m ＜34.考点:方程与不等式—一元一次方程—含字母参数的一元一次方程—含参一元一次方程.不等式与不等式组—一元一次不等式的应用.13、若关于x ,y 的二元一次方程组 {3x +y =1+ax +3y =3的解满足x+y ＜2,则a 的取值范围是 . 答案：a ＜4.解析：将二元一次方程组两个等式相加,得4x+4y=a+4,即x+y=a+44.∵x+y ＜2. ∴a+44＜2.∴a ＜4.考点：方程与不等式——二元一次方程组——含字母参数的二元一次方程组.14、关于x,y 的二元一次方程组{3x −y =ax −3y =5−4a的解满足x ＜y,则a 的取值范围是( ）.A. a ＞35B. a ＜13C. a ＜53D. a ＞53答案：D. 解析：解法一：解不等式组得{x =7a−58y =13a−158.∵x ＜y.∴7a−58＜13a−158.解得a ＞53．解法二：两式相加得4(x-y ）=5-3a. ∵x ＜y. ∴x-y ＜0. ∴5-3a ＜0. ∴a ＞53.考点：方程与不等式——不等式与不等式组——解一元一次不等式组.15、解不等式2x−13-5x+12≥1,并把它的解集在数轴上表示出来．答案：不等式的解集为x ≤-1,在数轴上表示如图所示：解析：去分母,得2(2x-1）-3(5x+1）≥6.去括号,得4x-2-15-3≥6. 移项合并同类项,得-11x ≥11. 系数化为1,得x ≤-1.∴此不等式的解集为x ≤-1,在数轴上表示如图所示：考点：方程与不等式——不等式与不等式组——在数轴上表示不等式的解集——解一元一次不等式.16、解不等式12(x+1）≤23x-1,并把它的解集表示在数轴上,再写出它的最小整数解．答案：最小整数解为x=9. 解析：12(x+1）≤23x-1.3(x+1）≤4x-6.3x+3≤4x-6.3x-4x≤-6-3.-x≤-9.x≥9.将它的解集表示在数轴上:∴它的最小整数解为x=9.考点:方程与不等式——不等式与不等式组——解一元一次不等式.17、若m＞6,则(6-m）x＜m-6的解集为．答案：x＞-1.解析：∵m＞6.∴(6-m）x＜m-6.∴x＞-1．考点：方程与不等式——不等式与不等式组——含参不等式(组）——解含参不等式. 18、关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示,则a的值是( ）．A.4B.3C.2D.1答案：B.解析：解不等式2x-a≤-1得,x≤a−1,根据数轴可知x≤1.2=1,即a=3．∴a−12考点:方程与不等式——不等式与不等式组——在数轴上表示不等式的解集——解一元一次不等式.19、已知a、b为常数,若ax+b＞0的解集是x＜1,则bx-a＜0的解集是( ）．4A.x ＞-4B.x ＜-4C.x ＞4D.x ＜4 答案：B.解析：∵ax+b ＞0的解集x ＜14.∴x ＜-ba . 则-ba = 14. ∴a ＜0. 又∵a=-4b. ∴b ＞0. ∴bx-a ＜0. ∴bx+4b ＜0. ∴x+4＜0. ∴x ＜-4．考点：方程与不等式——不等式与不等式组——含参不等式(组）——解含参不等式.20、已知方程组{2x +3y =3m +72x +y =4m +1的解满足x+y ＞0,求m 的取值范围．答案：m ＞-87.解析：{2x +3y =3m +7①2x +y =4m +1 ②.解：①+②得. 4x+4y=7m+8. 4(x+y)=7m+8. x+y=7m+84.∵x+y ＞0. ∴7m+84＞0.∴7m+8＞0. ∴7m ＞-8. ∴m ＞-87．考点:方程与不等式——二元一次方程组——含字母参数的二元一次方程组.不等式与不等式组——一元一次不等式的应用.21、解不等式组{2(x +8）≤10−4(x −3）x+12−4x+16＜1,并写出该不等式组的整数解．答案：-4＜x ≤1,整数解有-3,-2,-1,0,1. 解析：{2(x +8）≤10−4(x −3）①x+12−4x+16＜1 ②. 由①得：x ≤1. 由②得：x ＞-4. ∴-4＜x ≤1.整数解有-3,-2,-1,0,1.考点：方程与不等式——不等式与不等式组——解一元一次不等式组.22、解不等式组：{7(x −5）+2(x +1)＞−152x+13−3x−12＜0答案：x ＞2.解析：{7(x −5）+2(x +1)＞−15①2x+13−3x−12＜0②. 解①得：x ＞2. 解②得：x ＞1. ∴x ＞2．考点：方程与不等式——不等式与不等式组——解一元一次不等式组.23、解不等式组：{2(x +1)＞5x −7x+103＞2x 答案：x ＜2.解析：解不等式2(x+1)＞5x-7得.2x+2＞5x-7. 3x ＜9.x ＜3. 解不等式x+103＞2x 得.x+10＞6x. 5x ＜10. x ＜2.∴原不等式的解集为x ＜2．考点：方程与不等式——不等式与不等式组——解一元一次不等式组.24、不等式组{x +9＜5x +1x ＞m +1的解集是x ＞2,则m 的取值范围是．答案：m ≤1.解析：由不等式组可得{x ＞2x ＞m +1,其解集为x ＞2,则m+1≤2,m ≤1.考点：方程与不等式——不等式与不等式组——解一元一次不等式组.25、若关于x 的不等式组{x −2＜5x −a ＞0无解,则的取值范围是．答案：a ≥7.解析：解不等式组得{x ＜7x ＞a,由不等式组无解可知a ≥7.考点：方程与不等式——不等式与不等式组——解一元一次不等式组.26、已知关于x 的不等式组{x −a ≥b 2x −a ＜2b +1的解集为3≤x ＜5,则ba 的值为．答案：-2.解析：:由x-a ≥b 得x ≥a+b.由2x-a ＜2b+1得x ＜a+2b+12.∵解集为3≤x ＜5. ∴{a +b =3a+2b+12=5.解b=6,a=-3.∴ba = 6−3= -2.考点：方程与不等式——不等式与不等式组——解一元一次不等式组.27、已知方程组{x+y=m+3x−y=3m−1的解是一对正数,试化简∣2m+1∣+∣2-m∣．答案:化简得：m+3.解析：{x+y=m+3①x−y=3m−1②.①+②：2x=4m+2.x=2m+1.①-②：2y=-2m+4.y=-m+2.∵方程组的解是一对正数.∴{x＞0 y＞0.∴{2m+1＞0−m+1＞0.解得：-12＜m＜2.∴∣2m+1∣+∣2-m∣.=2m+1+2-m.=m+3．考点：数——有理数——绝对值化简——已知范围化简绝对值.方程与不等式——二元一次方程组——含字母参数的二元一次方程组——含参方程组解的分类讨论.不等式与不等式组——含参不等式(组）——方程根的取值范围.28、若关于x的不等式组{x−m＜07−2x≤1的整数解有且只有4个,则m的取值范围是( ）．A.6＜m ＜7B.6≤m ＜7C.6≤m ≤7D.6＜m ≤7 答案：D解析:{x −m ＜07−2x ≤1.由x-m ＜0得：x ＜m . 有7-2x ≤1得：x ≥3. ∴不等式的解集为：3≤x ＜m .∴不等式的整数解为：3 、4 、5 、6 . ∴m 的取值范围是6＜m ≤7.考点:方程与不等式——不等式与不等式组——解一元一次不等式组——一元一次不等式组的整数解.29、对x,y 定义一种新运算T,规定：T(x,y ）= ax+by2x+y (其中a 、b 均为非零常数）,这里等式右边是通常的四则运算,例如：T(0,1）= a×0+b×12×0+1 = b ．(1）已知T(1,-1）= -2,T(4,2）= 1.① 求 a,b 的值.② 若关于m 的不等式组{T(2m,5−4m ）≤4T(m,3−2m ）＞p恰好有3个整数解,求实数p 的取值范围.(2）若T(x,y ）=T(y,x ）对任意实数x,y 都成立(这里T(x,y ）和T(y,x ）均有意义）,则a,b 应满足怎样的关系式？答案： (1） ① a=1,b=3 .② -2≤p ＜−13 . (2） a=2b .解析： (1）① 根据题意得：T(1,-1）=a−b 2−1=-2,即a-b=-2.T(4,2）=4a+2b 8+2=1,即2a+b=5.解得： a=1,b=3.② 根据题意得：{2m+(5−4m ）4m+(5−4m ）≤4 ①m+3(3−2m ）2m+3−2m＞p ②.由①得：m ≥−12. 由②得：m ＜−9−3p 5.∴不等式组的解集为−12≤m ＜−9−3p 5.∵不等式组恰好有3个整数解,即m=0,1,2. ∴2＜9−3p 5≤3.解得： -2≤p ＜-13.(2）由T(x,y ）=T(y,x ）,得到ax+by 2x+y = ay+bx2y+x .整理得：(x 2-y 2）(2b-a ）=0.∵T(x,y ）=T(y,x ）对任意实数x,y 都成立. ∴2b-a=0,即 a=2b.考点：式——探究规律——定义新运算.方程与不等式——不等式与不等式组——解一元一次不等式组.30、如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．(1）在方程① 3x-1=0,② 23x+1=0,③ x-(3x+1)=-5中,不等式组{−x +2＞x −53x −1＞−x +2的关联方程是．(填序号）（2）若不等式组{x −12＜11+x ＞−3x +2的一个关联方程的根是整数,则这个关联方程可以是 (写出一个即可）.(3）若方程3-x=2x,3+x=2(x+12）都是关于x 的不等式组{x ＜2x −m x −2≤m的关联方程,直接写出m 的取值范围．答案： (1） ③.(2）2x-1=1.(3）m 的取值范围为0≤m ＜1 .解析： (1）解不等式组{−x +2＞x −53x −1＞−x +2.解−x +2＞x −5得x ＜312. 解3x −1＞−x +2得x ＞34. ∴不等式的解为34＜x ＜312.解方程① 3x-1=0得x=13,② 23x+1=0得x=-32 ,③ x-(3x+1)=-5得x=2. 根据一元一次方程的根是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. ∴关联方程为③． (2）解不等式{x −12＜11+x ＞−3x +2.解x −12＜1,得x ＜112. 解1+x ＞−3x +2,得x ＞14. ∴不等式得解集为14＜x ＜112.∵关联方程的根是整数,∴方程的根为1. ∵2x-1=1的方程的解为1. ∴2x-1=1满足.答案不唯一,只要解为1一元一次方程即可. (3）解方程3-x=2x,得x=1.解方程3+x=2(x+12）,得x=2.∵方程3-x=2x,3+x=2(x+12）,都是关于x 的不等式组{x ＜2x −m x −2≤m的关联方程.∴满足{1＜2×1−m 1−2≤m ,即-1＜m ＜1.且{2＜2×2−m 2−2≤m ,即0≤m ＜2.∴m 的取值范围为0≤m ＜2.考点：方程与不等式——一元一次方程——一元一次方程的解.不等式与不等式组——解一元一次不等式组.。

专题05 不等式与不等式组专题详解(解析版)

专题05 不等式与不等式组专题详解专题05 不等式与不等式组专题详解 (1)9.1 不等式 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 不等式及其解集 (3)知识点2 不等式的基本性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 不等式的概念 (5)题型2 根据数量关系列不等式 (5)题型3不等式的解（集） (6)题型4 不等式性质的运用 (6)题型5 实际问题与不等式 (7)三、难点题型 (8)题型1 不等式性质的综合应用 (8)题型2 用作差法比较大小 (9)9.2 一元一次不等式 (10)知识框架 (10)一、基础知识点 (10)知识点1 一元一次不等式的解法 (10)知识点2 列不等式解应用题 (11)二、典型题型 (13)题型1 一元一次不等式的判定 (13)题型2 解一元一次不等式 (13)题型3 列不等式，求取值范围 (14)题型4 一元一次不等式的应用 (14)三、难点题型 (16)题型1 含参数的不等式 (16)题型2 不等式的整数解 (16)题型3 方程与不等式 (17)题型4 含绝对值的不等式 (18)9.3 一元一次不等式组 (19)知识框架 (19)一、基础知识点 (19)知识点1 一元一次不等式组及解集的定义 (19)知识点2 一元一次不等式组解集的确定及解法 (19)知识点3 双向不等式及解法 (21)二、典型题型 (23)题型1 一元一次不等式组的判定 (23)题型2 一元一次不等式组的解集 (23)题型3 解一元一次不等式组 (24)题型4 一元一次不等式组的应用 (25)一、用不等式组解决实际问题 (25)二、方案设计 (26)三、最值问题 (27)三、难点题型 (29)题型1 由不等式组确定字母的取值 (29)题型2 不等式组中的数学思想 (30)一、整体思想 (30)二、数形结合 (31)三、分类讨论 (31)题型3 不等式的应用 (32)题型4 不等式的综合 (33)9.1 不等式知识框架{基础知识点{不等式及其解集不等式的基本性质典型题型{ 不等式的概念根据数量关系列不等式不等式的解（集）不等式性质的运用实际问题与不等式难点题型{不等式性质的综合应用作差法比较大小一、基础知识点知识点1 不等式及其解集1）不等式：用不等符号表示不等关系的式子。

第9章《不等式与不等式组》核心专题一点通B-有答案

，解得
1≤x≤
8 3
.
因此 x 为正整数，所表 x＝1，2. 故有 2 种方案：
方案 1：购买甲型设备 1 套，乙型设备 9 套；
方案 2：购买甲型设备 2 套，乙型设备 8 套.
方案 1 的费用：7＋9×1＝16(万元)；
方案 2 的费用：2×7＋8×1＝22(万元)；
∵16＜22，∴方案 1(甲 1 套，乙 9 套)较省钱.
依题意，得：
14 x 15x
10 y 6 y
，解得
x 16 y 234
.
答：老师有 16 人，学生有 234 人.
(2) 8 辆；
3
提示：设租车
a
辆，则
35a≥234
2a≤16
16
，解得
7
1 7
≤a≤8，取
a＝8.
(3)设甲型车租 m 辆，则乙型车租(8－m)辆，
依题意，得：
35m 30(8 m)≥234 16 400m 320(8 m)≤3000
3＜x
1
，①
并判断－
5 是否是不等式组的解.
2x 1＞x 2 ②
【答案】解不等式①，得 x＜－2；解不等式②，得 x＞－3；
∴不等式组的解集为－3＜x＜－2. ∵－3＜－ 5 ＜－2，∴－ 5 是不等式组的一个解.
13.
已知不等式组
23(23x(x81)＜1)2＞x38
x
4
1
① ，
②
(1)求此不等式组的整数解； (2)若上述整数解满足方程 ax＋6＝x－2a，求 a 的值.
x 4 y 7m 2
【答案】两方程相加，得 3(x＋y)＝－3m－3，即 x＋y＝－m－1，由题意得－m－1＞－3，解得 m＜2. ∵m 是非负整数，∴m＝0 或 1.

初中数学解不等式与不等式组精选计算题专题训练含答案

初中数学解不等式与不等式组精选计算题专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、计算题（共30题）1、解不等式3x＋2＞2 （x－1），并将解集在数轴上表示出来：2、解不等式，并把它的解集表示在数轴上。

3、解不等式并把解集在数轴上表示出来：4、解不等式：≥70.5、解不等式< 0，并把它的解集表示在数轴上．6、解不等式：5x-3＜1-3x7、解不等式：2（x＋）－1≤－x＋9．8、（1）解不等式：x－1＜0，并把它的解集在数轴上表示出来；解不等式：5x12≤2(4x-3)10、解不等式：11、解不等式：，并在数轴上表示解集.12、解不等式：，并在数轴上表示解集.13、－1＜＋．14、解不等式，并将解集在数轴上表示出来．15、解不等式≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．16、解不等式：，并求它的非负整数解．17、解不等式：18、解不等式19、 2(2x－3)＜5(x－1)．20、 10－3(x＋6)≤1．21、22、23、24、解不等式，并把解集表示在数轴上。

25、解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．26、(2) 解不等式:27、解不等式，并把解集在数轴上表示出来。

28、解不等式10-4（x-3）＜2（x-１），并把它的解集在数轴上表示出来。

29、解不等式并将解集在数轴上表示出来．.30、解下列不等式，并把解集表示在数轴上============参考答案============一、计算题1、解：原不等式可化为：3x＋2>2x－2.解得x>－4，∴原不等式的解集为x>－4.在数轴上表示如下：2、解：去分母，得去括号，得移项、合并同类项，得两边都除以－1，得这个不等式的解集在数轴上表示如下：3、，图略4、解：≥，≥，∴≥．5、 x>在数轴上表示略。

6、解：移项得 5x+3x＜1+3，合并同类项得 8x＜4，两边同除以8得x＜7、解：去括号得 2x＋1－1≤－x＋9，移项、合并同类项得3x≤9，两边都除以3得x≤3.8、解：（1）去分母，移项，得x＜3．这个不等式的解集在数轴上表示如下：解：5x-12≤8x-6-3x≤6x≥-210、解：x-3≥2x-4-x≥-1X≤111、解：３x－x＞22x＞2x＞1．12、解：３x－x＞22x＞2x＞1．13、y ＞．14、解：15、解：2（2x－1）－3（5x＋1）≤6.4x－2－15x－3≤6.4x－15x≤6＋2＋3.－11x≤11.x≥－1.这个不等式的解集在数轴上表示如下:16、解:………………………1分………………………2分………………………4分它的非负整数解为0，1，2. ………………………6分17、解：将不等式两边都减去11+2，得，两边都除以5得，18、．19、x＞－1，解集表示为20、x≥－3，解集表示为21、y≤3，解集表示为22、y＜5．23、x＜9．24、解：去分母，得：25(x－2) －10 ＜8（1 + x）去括号，移项，合并，得：17x＜68系数化为1，得：x ＜4则原不等式的解集为：x＜4这个不等式的解集在数轴上表示如图：25、解：去括号，得．移项，得．合并，得．系数化为1，得．不等式的解集在数轴上表示如下：26、 x<－327、解：28、解得x＞429、解：（2分）（1分）∴原不等式的解集为．（1分）30、x≥-8。

25.中考数学专题不等式与不等式组数学母题题源系列(解析版)

【母题来源一】【2019•河北】语句“x 的18与x 的和不超过5”可以表示为 A ．8x+x ≤5B ．8x +x ≥5C ．85x +≤5 D ．8x +x =5【答案】A【解析】“x 的18与x 的和不超过5”用不等式表示为18x +x ≤5．故选A ．【母题来源二】【2019·广安】若m n >，下列不等式不一定成立的是A ．33m n +>+B ．33m n -<-C ．33m n>D ．22m n >【答案】D【解析】A 、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A 错误； B 、不等式的两边都乘以-3，不等号的方向改变，故B 错误； C 、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C 错误； D 、如2223m n m n m n ==-><，，，，故D 正确，故选D ．【母题来源三】【2019•宁波】不等式32xx ->的解为 A ．1x D ．1x >-【答案】A 【解析】32xx ->，3-x >2x ，3>3x ，x <1，故选A ．【母题来源四】【2019·宿迁】不等式12x -≤的非负整数解有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】12x -≤，解得：3x ≤，则不等式12x -≤的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选D ．【母题来源五】【2019•株洲】若a 为有理数，且2-a 的值大于1，则a 的取值范围为__________．专题05 不等式与不等式组【答案】a <1且a 为有理数【解析】根据题意知2-a >1，解得a <1，故答案为：a <1且a 为有理数．【母题来源六】【2019•荆州】对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为（x ），即当n 为非负整数时，若n -0.5≤x <n +0.5，则（x ）=n ．如（1.34）=1，（4.86）=5．若（0.5x -1）=6，则实数x 的取值范围是__________．【答案】13≤x <15【解析】依题意得：6-0.5≤0.5x -1<6+0.5，解得13≤x <15．故答案为：13≤x <15．【母题来源七】【2019·滨州】已知点3()2P a a --，关于原点对称的点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是 A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】∵点3()2P a a --，关于原点对称的点在第四象限， ∴点3()2P a a --，在第二象限， ∴3020a a -<⎧⎨->⎩，解得：2a <．则a 的取值范围在数轴上表示正确的是：．故选C ．【母题来源八】【2019•淄博】解不等式5132x x -+>-．【解析】将不等式5132x x -+>-，两边同乘以2得，x -5+2>2x -6，解得x <3．【命题意图】这类试题主要考查不等式的概念、不等式的基本性质、列不等式、求一元一次不等式的整数解、把一元一次不等式的解集在数轴上表示、与不等式有关的新定义等．【方法总结】1．不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．2．解一元一次不等式的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．3．一元一次不等式的整数解是指在不等式的解集中的整数．整数解通常是为了满足实际问题的需求提出的．【母题来源九】【2019•山西】不等式组13224x x ->⎧⎨-<⎩的解集是A ．x >4B ．x >-1C ．-1<x <4D ．x <-1【答案】A【解析】13224x x ->⎧⎨-<⎩①②，由①得：x >4，由②得：x >-1，不等式组的解集为：x >4，故选A ．【母题来源十】【2019•云南】若关于x 的不等式组2(1)20x a x ->⎧⎨-<⎩的解集是x >a ，则a 的取值范围是A ．a <2B ．a ≤2C ．a >2D ．a ≥2【答案】D【解析】解关于x 的不等式组2(1)20x a x ->⎧⎨-<⎩，解得2x x a >⎧⎨>⎩，∴a ≥2，故选D ．【母题来源十一】【2019·威海】解不等式组3422133x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是 A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解不等式①得：1x ≤-，解不等式②得：5x <，将两不等式解集表示在数轴上如下：故选D ．【母题来源十二】【2019·聊城】若不等式组11324x xx m+⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则m 的取值范围为A ．2m ≤B ．2m <C ．2m ≥D ．2m >【答案】A 【解析】解不等式1132x x+<--，得：x >8， ∵不等式组无解，∴4m ≤8，解得m ≤2，故选A ．【母题来源十三】【2019·德州】不等式组523(1)131722x x x x +>-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的所有非负整数解的和是A ．10B ．7C ．6D ．0【答案】A【解析】523(1)131722x x x x +>-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩①②，解不等式①得： 2.5x >-，解不等式②得：4x ≤， ∴不等式组的解集为： 2.54x -<≤，∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4， ∴不等式组的所有非负整数解的和是0123410++++=，故选A ．【母题来源十四】【2019•鄂州】若关于x 、y 的二元一次方程组34355x y m x y -=+⎧⎨+=⎩的解满足x +y ≤0，则m 的取值范围是__________．【答案】m ≤-2【解析】34355x y m x y -=+⎧⎨+=⎩①②，①+②得2x +2y =4m +8，则x +y =2m +4，根据题意得2m +4≤0，解得m ≤-2．故答案为：m ≤-2．【母题来源十五】【2019•北京】解不等式组： 4(1)273x x x x -<+⎧⎪+⎨>⎪⎩．【解析】4(1)273x x x x -<+⎧⎪⎨+>⎪⎩①②，解①得：x <2，解②得x <72，则不等式组的解集为2<x <72．【母题来源十六】【2019•江西】解不等式组： 2(1)7122x x x x +>⎧⎪⎨+-≥⎪⎩并在数轴上表示它的解集．【解析】2(1)7122x x x x +>⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①②，解①得：x >-2，解②得：x ≤-1，故不等式组的解为：-2<x ≤-1，在数轴上表示出不等式组的解集为：．【命题意图】这类试题主要考查一元一次不等式的解法、一元一次不等式的解集在数轴上表示、一元一次不等式的整数解等．【方法总结】1．一元一次不等式组的解法先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．2．解一元一次不等式组的解集口诀：同大取大，同小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．3．求一元一次不等式组的整数解，一般先求出不等式组的解集，再根据题目的要求，找出在不等式组的解集内的整数解．【母题来源十七】【2019•常德】小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x （元）所在的范围为 A ．10<x <12B ．12<x <15C ．10<x <15D ．11<x <14【答案】B【解析】根据题意可得：151210x x x ≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，可得：12≤x ≤15，∴12<x <15，故选B ．【母题来源十八】【2019•绥化】小明去商店购买A 、B 两种玩具，共用了10元钱，A 种玩具每件1元，B 种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A 种玩具的数量多于B 种玩具的数量．则小明的购买方案有 A ．5种B ．4种C ．3种D ．2种【答案】C【解析】设小明购买了A 种玩具x 件，则购买的B 种玩具为102x-件，根据题意得，11012102x xxx ≥⎧⎪-⎪≥⎪⎨⎪-⎪>⎪⎩，解得，1≤x <313，∵x 为整数，∴x =1或2或3，∴有3种购买方案．故选C ．【母题来源十九】【2019•重庆】某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为 A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【解析】设要答对x道．10x+（-5）×（20-x）>120，10x-100+5x>120，15x>220，解得：x>443，根据x必须为整数，故x取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．故选C．【母题来源二十】【2019·无锡】某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解析】设原计划m天完成，开工x天后3人外出培训，则有15am=2160，得到am=144，由题意得15ax+12（a+2）（m-x）<2160，即：ax+4am+8m-8x<720，∵am=144，∴将其代入得：ax+576+8m-8x<720，即：ax+8m-8x<144，∴ax+8m-8x<am，∴8（m-x）<a（m-x），∵m>x，∴m-x>0，∴a>8，∴a至少为9，故选B．【母题来源二十一】【2019•哈尔滨】寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元．（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？【解析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：3598 83158 x yx y+=⎧⎨+=⎩，∴1610 xy=⎧⎨=⎩，∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40-z）副，根据题意得：16z+10（40-z）≤550，∴z≤25，∴最多可以购买25副围棋．【命题意图】列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、二元一次方程组、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．【方法总结】列不等式（组）解应用题的基本步骤如下： 1．审题； 2．设未知数； 3．列不等式（组）； 4．解不等式（组）； 5．检验并写出答案．1．【浙江省杭州市下城区2019届九年级二模数学试卷】若x >y ，a <1，则 A ．x >y +1B ．x +1>y +aC ．ax >ayD ．x -2>y -1【答案】B【解析】由x >y ，a <1得：x >y ，1>a ，∴x +1>y +a ．故选B ．【名师点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．2．【广西北部湾中等学校2019届九年级中考数学模拟试题】若a -bC ．33a b< D ．a 2-b ，成立； C 、由a <b ，可得33a b<，成立； D 、当a =-5，b =1时，不等式a 2⎩的解集是A ．23x -<≤B ．23x -≤<C ．3x ≥D ．2x <-【答案】A【解析】3020x x ①②-≤⎧⎨+>⎩解不等式①得x ≤3，解不等式②得x >-2，所以，不等式组的解集是23x -<≤，故选A ．【名师点睛】求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被两条不等式解集的区域都覆盖的部分．4．【辽宁省盘锦市双台子区2019届九年级下学期第二次联考数学试题】不等式组3213x x >-⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是 A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】3213x x >-⎧⎨-≤⎩①②，解不等式①得，x >-3，解不等式②得，x ≤2，故选C ．【名师点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键在于掌握运算法则． 5．【2019年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学三模试卷】不等式组12314x x -<⎧⎨+≤⎩的整数解的个数是A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C【解析】12314xx-<⎧⎨+≤⎩①②，解①得x>-1，解②得x≤3，则不等式的解集是-1<x≤3．则整数解为0，1，2，3共有4个．故选C．【名师点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．6．【2019年福建省泉州市惠安县中考数学一模试卷】不等式2x-3>-5的解集在数轴上表示正确的是A．B．C．D．【答案】C【解析】2x-3>-5，2x>-5+3，2x>-2，x>-1，在数轴上表示为：，故选C．【名师点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．7．【2019年广东省汕头市澄海区中考数学一模试卷】不等式5x-2>3（x+1）的最小整数解为A．3 B．2 C．1 D．-2【答案】A【解析】5x-2>3（x+1），去括号得：5x-2>3x+3，移项、合并同类项得：2x >5系数化为1得：x>52，∴不等式5x-2>3（x+1）的最小整数解是3，故选A．【名师点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解．解答此题要先求出不等式的解集，再确定最小整数解．解不等式要用到不等式的性质．8．【2019年广西桂林市中考数学二模试卷】已知点P（3-3a，1-2a）在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是A．B．C．D．【答案】C【解析】∵点P（3-3a，1-2a）在第四象限，∴330 120aa->⎧⎨-<⎩①②，解不等式①得：a<1，解不等式②得：a>12．∴a的取值范围为12<a<1．故选C．【名师点睛】此题考查了象限及点的坐标的有关性质、在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组，需要综合掌握其性质．9．【2019年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷】关于x的不等式（1-m）x<m-1的解集为x>-1，那么m的取值范围为A．m>1 B．m<1 C．m<-1 D．m>-1【答案】A【解析】∵关于x的不等式（1-m）x<m-1的解集为x>-1，∴1-m<0，解得：m>1，故选A．【名师点睛】本题考查不等式的基本性质，能得出关于m的不等式是解此题的关键．10．【2019年山东省潍坊市中考数学一模试卷】已知关于x的不等式组3()2(1)21232x a xx x-≥-⎧⎪-⎨≤-⎪⎩有5个整数解，则a的取值范围是A．-3<a≤-2 B．-13<a≤0C．-3<a≤0-2 D．-13≤a<0【答案】B【解析】由不等式①，得x≥3a-2，由不等式②，得x≤2，∴3a-2≤x≤2，∵5个整数解，∴x=2，1，0，-1，-2，∴-3<3a-2≤-2，∴-13<a≤0，故选B．【名师点睛】本题考查了不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．11．【山东省菏泽市定陶县2019年中考数学三模试卷】对于任意实数m、n，定义一种新运算m※n=mn-m-n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2※6=2×6-2-6+3=7．请根据上述定义解决问题：若a<4※x<8，且解集中有2个整数解，则a的取值范围是A．-1<a≤2B．-1≤a<2 C．-4≤a<-1 D．-4<a≤-1【答案】B【解析】根据题意得4434438x x ax x--+>⎧⎨--+<⎩①②，解不等式①，得：13ax+ >，解不等式②，得：x<3，则不等式组的解集为13a+<x<3，∵不等式组的解集中有2个整数解，∴0≤13a+<1，解得-1≤a<2，故选B．【名师点睛】本题考查的是新定义和一元一次不等式的整数解，正确理解新定义、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．12．【2019年安徽省淮北市濉溪县中考数学二模试卷】不等式-13x+1≤-5的解集是__________．【答案】x≥18【解析】移项得：-13x≤-5-1，合并同类项得：-13x≤-6，系数化为1得：x≥18，即不等式-13x+1≤-5的解集为：x≥18，故答案为：x≥18．【名师点睛】本题考查了解一元一次不等式，正确掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．13．【黑龙江省哈尔滨市平房区2019届中考第三次模拟考试数学试题】不等式组23112xx-<⎧⎨-≤⎩的正整数解为__________．【答案】1【解析】23112xx-<⎧⎨-≤⎩①②，解得：x<2，解得：x≥-1，故不等式解集为：-1≤x<2，正整数解为1，故答案为：1．【名师点睛】此题考查解不等式组和不等式的整数解，解题关键在于得出不等式的解．14．【2019年山西省百校联考中考数学模拟试卷（二）】为了美化环境，培养中学生爱国主义情操，团省委组织部分中学的团员去西山植树，某校团委领到一批树苗，若每人植4棵，还剩37棵，若每人植6棵，最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有__________棵．【答案】121【解析】设共x人植树，则这批树苗共有（4x+37）棵，依题意，得：4376(1) 4376(1)3x xx x+>-⎧⎨+<-+⎩，解得：20<x <432． ∵x 为正整数， ∴x =21， ∴4x +37=121．故答案为：121．【名师点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．15．【2019年广东省佛山市顺德区中考数学三模试卷】解不等式：2723x x--<．【解析】去分母得：3（x -2）<2（7-x ），去括号得：3x -6<14-2x ，移项合并得：5x <20，系数化1，得：x <4．【名师点睛】此题考查了一元一次不等式的解法．注意解不等式依据不等式的基本性质，特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．去分母的过程中注意不能漏乘没有分母的项．16．【2019年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷】解不等式组：273(1)423133x x x x -<-⎧⎪⎨+<-⎪⎩，并将解集表示在数轴上．【解析】解不等式2x -7<3（x -1），得：x >-4，解不等式43x +3<1-23x ，得：x <-1，则不等式组的解集为-4<x <-1，将解集表示在数轴上如下：【名师点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17．【2019年江苏省盐城市建湖县中考数学二模试卷】解不等式221123xx +-+，并把它的解集在数轴上表示出来：【解析】去分母得3（2+x ）≤2（2x -1）+6，去括号得6+3x ≤4x -2+6，移项得3x -4x ≤-2+6-6，合并得-x ≤-2，系数化为1得，x ≥2，用数轴表示为：【名师点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．18．【天津市滨海新区2019届中考一模数学试题】解不等式组533(1)134622x x x x +>-⎧⎪⎨+≤-⎪⎩①②，请结合题意填空，完成本题的解答，I ．解不等式①，得__________； II ．解不等式②，得__________；III ．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：IV ．原不等式组的解集为__________．【解析】（Ⅰ）5x +3>3（x -1），去括号得：5x +3>3x -3，移项得：2x >-6，解得：x >-3．故答案为：x >-3．（Ⅱ）12x +4≤6-32x ，移项得：2x ≤2，解得x ≤1．故答案为：x ≤1．（Ⅲ）不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：（IV ）由数轴可得①和②的解集的公共解集为-3<x ≤1， ∴原不等式组的解集为-3<x ≤1，故答案为：-3<x ≤1．【名师点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．19．【2019年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学三模试卷】在运动会前夕，光明中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买6个篮球和8个足球共花费1700元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元．（1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元；（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过1150元，则最多可购买多少个？【解析】（1）设购买一个篮球需x 元，购买一个足球需y 元，根据题意可得：50681700x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得：150100x y =⎧⎨=⎩，答：购买一个篮球，一个足球各需150元，100元．（2）设购买a 个篮球，根据题意可得：0.9×150a +0.85×100（10-a ）≤1150，解得：a ≤6，答；最多可购买6个篮球．【名师点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据总费用作为不等关系列出不等式求解．20．【河南省南召县2019年九年级春期第二次模拟考试数学试题】某校九年级组织有奖知识竞赛，派小明去购买A 、B 两种品牌的钢笔作为奖品．已知一支A 品牌钢笔的价格比一支B 品牌钢笔的价格多5元，且买100元A 品牌钢笔与买50元B 品牌钢笔数目相同．（1）求A 、B 两种品牌钢笔的单价分别为多少元？（2）根据活动的设奖情况，决定购买A 、B 两种品牌的钢笔共100支，如果设购买A 品牌钢笔的数量为n 支，购买这两种品牌的钢笔共花费y 元． ①直接写出y （元）关于n （支）的函数关系式； ②如果所购买A 品牌钢笔的数量不少于B 品牌钢笔数量的13，请你帮助小明计算如何购买，才能使所花费的钱最少？此时花费是多少？【解析】（1）设一支B 品牌钢笔的价格为x 元，则一支A 品牌钢笔的价格为（5+x ）元，100505x x=+，解得，x =5，经检验，x =5是原方程的解，当x =5时，x +5=10，答：一支A 、B 品牌的钢笔价格分别为10元和5元．（2）①∵购买A 、B 两种品牌的钢笔共100支，购买A 品牌钢笔的数量为n 支， ∴购买B 品牌钢笔的数量为（100-n ）支， ∴y =10n +（100-n ）×5=5n +500，即y （元）关于n （支）的函数关系式y =5n +500． ②由题意可得， n 1(100)3n ≥-，解得，n ≥25， ∵y =5n +500中，5>0， ∴y 随n 的增大而增大，∴当n =25时，y 取得最小值，此时，100-n =75，y =625．答：购买A 品牌钢笔25支，B 品牌钢笔75支，花钱最少．此时的花费为625元．【名师点睛】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．。

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复习精品讲义第九章不等式与不等式组．本章学习重难点【本章重点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质.会解简单的一元一次不等式,能在数轴上表示出不等式的解集,会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.能够根据具体问题中的不等关系,列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的问题.【本章难点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集,会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并用数轴确定解集.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题．中考透视本章内容在中考中所占比重较大,直接考查不等式的基本性质.一元一次不等式(组)的解法,在数轴上表示不等式(组)的解集;间接考查将不等式(组)应用于二次根式、绝对值的化简与求值讨论、一元二次方程根的情况及求函数自变量的取值范围.以填空、选择形式为主,计算题形式也不少,其中应用不等式知识进行方案设计及比赛分析题目难度较大,不易得分．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 不等式（组）的实际应用【专题解读】利用不等式（组）解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤类似，所不同的是，前者需寻求的不等关系往往不止一个，而后者只需找出一个不等关系即可. 在列不等式(组)时,审题是基础,根据不等关系列出不等式组是关键.解出不等式组的解集后,要养成检验不等式的解集是否合理,是否符合实际情况的习惯.即审题→设一个未知数→找出题中所有的数量关系,列出不等式组→解不等式组→检验.例1 、年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张,B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,在购票费不超过5000元的情况下,购买A,B两种船票共15张,要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半.若设购买A种船票x张,请你解答下列问题.(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程.(2)根据计算判断哪种购票方案更省钱.解: (1)由题意知购买B种船票(15-x)张.根据题意,得15,2 600120(15)5000.xxx x-⎧≥⎪⎨⎪+-≤⎩解得205.3x≤≤因为x为正整数,所以满足条件的x为5或6.所以共有两种购票方案.方案一:购买A种票5张,B种票10张.方案二:购买A种票6张,B种票9张.(2)方案一的购票费用为600×5+120×10=4200(元);方案二的购票费用为600×6+120×9=4680(元).因为4500元<4680元,所以方案一更省钱.【解题策略】运用不等式知识解决实际问题,关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言.二、规律方法专题专题2 求一元一次不等式（组）的特殊值【专题解读】在此类问题中，一般给出一个一元一次不等式（组），然后在解集的范围内限制取值，解决的方法通常是先求出不等式（组）的解集，再由题意求出符合条件的数值.例2 求不等式12123x x+-≥的非负整数解.分析先解不等式,求出x的取值范围,在x的取值范围内找出非负整数解,求非负整数解时注意不要漏解.解:解不等式12123x x+-≥,得x≤5.所以不等式的非负整数解是5,4,3,2,1,0.【解题策略】此题不能忽略0的答案.专题3 一元一次不等式(组)中求参数的技巧【专题解读】由已知不等式(组)的解集或整数解来确定选定系数的值或待定系数的取值范围,常用的方法是先用解不等式(组)的方法解出含待定系数的不等式(组)的解集,再代入已给出的条件中,即可求出待定系数的值.例3 已知关于x的不等式组0,245x bx-≤⎧⎨-≥⎩的整数解共有3个,则b的取值范围是______.分析化简不等式组,得,4.5.x bx≤⎧⎨≥⎩如图9-59所示,将其表示在数轴上,其整数解有3个,即为x=5,6,7.由图可知7≤b<8.故填7≤b<8.例4 已知关于x的不等式(2-a)x>3的解集为32xa-<-,则a的取值范围是( )A.a>0B.a>2C.a<0D.a<2分析分析题中不等式解集的特点,结合不等式的性质3,可知2-a<0,即a>2.故选B.三、思想方法专题专题4 数形结合思想【专题解读】在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给出解答.解决此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有形思数，顺利解决问题.例5 关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图9-60所示，则a的取值是（）A．0 B．-3 C．-2 D．-1分析由图9-60可以看出，不等式的解集为x≤-1，而由不等式2x-a≤-1，解得x≤12a-,所以12a-=-1，解这个方程，得a=-1.故选D.专题5 分类讨论思想【专题解读】在利用不等式(组)解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨.例6某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助学校选出最省钱的一种租车方案.分析本题考查利用不等式组设计方案并做出决策的问题.根据题中的不等关系可列出不等式组,解不等式组求出x的取值,从而解答本题.解:(1)设租用甲种汽车x辆,则租用乙种汽车(8-x)辆.根据题意得4030(8)290,1020(8)100,x xx x+-≥⎧⎨+-≥⎩解得5≤x≤6.因为x为整数,所以x=5或x=6.故有两种租车方案,方案一:租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.方案二、租用甲种汽车6辆、乙种汽车2辆.（2）方案一的费用：5×2000+3×1800=15400（元）.方案二的费用:6×2000+2×1800=15600(元).因为15400元<15600元,所以方案一最省钱.答:第一种租车方案更节省费用,即租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.【解题策略】解答设计方案的问题时,要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求,不能把数学问题与实际问题相混淆.2011中考真题精选一、选择题1. 若a＞b，则（）A ．a ＞﹣bB ．a ＜﹣bC ．﹣2a ＞﹣2bD ．﹣2a ＜﹣2b 考点：不等式的性质。

专题：应用题。

分析：由于a 、b 的取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，若能直接利用不等式性质的就用不等式性质．解答：解：由于a 、b 的取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明， A 、例如a=0，b=﹣1，a ＜﹣b ，故此选项错误， B 、例如a=1，b=0，a ＞﹣b ，故此选项错误，C 、利用不等式性质3，同乘以﹣2，不等号改变，则有﹣2a ＜﹣2b ，故此选项错误，D 、利用不等式性质3，同乘以﹣2，不等号改变，则有﹣2a ＜﹣2b ，故此选项正确，故选D ．点评：本题主要考查了不等式的基本性质，比较简单． 2. 不等式8﹣2x ＞0的解集在数轴上表示正确的是（） A. B.C.D.考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式. 专题：计算题.分析：先根据不等式的基本性质求出此不等式的解集，在数轴上表示出来，再找出符合条件的选项即可．解答：解：移项得，﹣2x ＞﹣8，系数化为1得，x ＜4．在数轴上表示为：故选C ．点评：本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时要注意实心圆点与空心圆点的区别．3. 若不等式2x ＜4的解都能使关于x 的一次不等式（a ﹣1）x ＜a+5成立，则a 的取值范围是（）A ．1＜a≤7B ．a≤7C ．a ＜1或a≥7D ．a=7 考点：解一元一次不等式组；不等式的性质。

专题：计算题。

分析：求出不等式2x ＜4的解，求出不等式（a ﹣1）x ＜a+5的x ，得到当a ﹣1＞0时， 15-+a a ≥2，求出即可．解答：解：解不等式2x ＜4得：x ＜2，∴当a ﹣1＞0时，x<15-+a a ， ∴15-+a a ≥2，∴1＜a≤7．故选A ．点评：本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a 的不等式是解此题的关键．4. 如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（） A 、a+c ＞b+c B 、c-a ＞c-b C 、ac ＞bc D 、考点：不等式的性质．专题：计算题．分析：根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一个个筛选即可得到答案．解答：解：A ，∵a ＞b ，∴a+c ＞b+c ，故此选项正确； B ，∵a ＞b ， ∴-a ＜-b ， ∴-a+c ＜-b+c ，故此选项错误； C ，∵a ＞b ，c ＜0， ∴ac ＜bc ，故此选项错误； D ，，∵a ＞b ，c ＜0， ∴ ＜，故此选项错误；故选：A ．点评：此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关5. 下列不等式变形正确的是（）A ．由a b >，得ac bc >B ．由a b >，得－2a ＞－2bC ．由a b >，得a b ->-D ．由a b >，得22a b -<-考点：不等式的性质．分析：根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案．解答：解：A ．由a ＞b ，得ac ＞bc ，当c ＜0，不等号的方向改变．故此选项错误； B ．由a ＞b ，得－2a ＜－2b ，不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变，故此选项正确；C ．由a ＞b ，得－a ＞－b ，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；故此选项错误；D ．由a ＞b ，得a －2＜b －2，不等式两边同时减去一个数，不等号方向不改变，故此选项错误．故选B ．点评：此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6.解不等式﹣51x ﹣3＞2，得其解的范围为何（）A 、x ＜﹣25B 、x ＞﹣25C 、x ＜5D 、x ＞5 考点：解一元一次不等式。