安徽省“江淮十校”2019届高三4月联考数学(文科)试题及答案

2019届（安徽省）“江淮十校”高三4月联考 数学（文科）一，选择题1，已知集合A={x ∈Z | -1≤x ≤2},集合B={y | y=2xπ} ,则A ∩B=12A.{-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.∅2，已知f(x)=x 3-1,设i 是虚数单位，则复数()f i i的虚部为A.-1B.1C.iD.03,若点M 在△ABC 的边AB 上，且12AM MB =u u u u r u u u r，则CM =u u u u rA.1122CA CB +u u u r u u u rB. 2CA CB -u u u r u u u rC. 1233CA CB +u u u r u u u rD. 2133CA CB +u uu r u u u r 4，双曲线C 的实轴和虚轴分别是双曲线16x 2-9y 2=144的虚轴和实轴，则C 的离心率为A.2516B.53C.54D.2595，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 12π+15 B. 13π+12 C. 18π+12 D. 21π+156，若P （x,y ）∈001304342x y x y ⎧⎪⎨⎪+≤-≤≤≤⎩≤则事件P （x,y ）∈{（x,y ）| (x-1)2+(y-1)2≤1}的概率是A.6π B.12π C. 12 D.4π7,某同学在社会实践中，为了测量一湖泊两侧A 、B 间的距离，某同学首先选定了与A 、B 不共线的一点C ，然后给出了四种测量方案（△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别记为 a 、b 、c ）：①测量A 、C 、b ②测量a 、b 、C ③测量A 、B 、a ④测量a 、b 、B 则一定能确定A 、B 间距离的所有方案的序号为 A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④8，执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：y=lnx-x 、y=tanx-x 、y=-2x 、y=-x —1，则输出的函数为A.y=lnx-xB. y=tanx-xC. y= -2xD. y=-x —19，二次函数f(x)的图像经过点（0，32），且f ’(x)= -x -1,则不等式f(10x )>0的解集为A. (-3，1)B.( -lg3 , 0)C.(11000, 1 ) D. (-∞， 0 )10，已知向量a 、b 的夹角为θ，|a+b|=2，则θ的取值范围是 A.62ππθ≤≤B.32ππθ≤≤C. 03πθ≤≤D.203πθ<<二、填空题11，已知角α的顶点在坐原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为A 04,5x⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= （用数值表示）12，某脑科研究机构对高中学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得到下表数据 X 6 8 10 12 y2356由散点图可以看出x 与y 具有线性关系，若回归直线方程为$ 2.3y bx=-$，则b $= 13，函数f(x)=e x +x(x ∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(0)=14，将正整数1,2,3，……，n,……，排成数表如图所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i 行、第j 列的数可用（i,j ）表示，则2019可表示为 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第7列 第8列 …… 第1行 1 2 3 第2行 9 8 7 6 5 4 第3行 10 11 12 13 14 15 16 17 …… ……15，函数f(x)上任意一点A （x 1,y 1）处的切线l 1，在其图像上总存在异与点A 的点B(x 2,y 2),使得在点B 处的切线l 2满足l 1// l 2，则称函数具有“自平行性”，下列有关函数f(x)的命题：①函数f(x)=sinx+1具有“自平行性” ②函数f(x)=x 3(-1≤x ≤2)具有“自平行性”③函数f(x)=()()101x e x x x m x ⎧-≠⎪⎨+>⎪⎩具有“自平行性”的充要条件为函数m=1;④ 奇函数y= f(x) (x ≠0)不一定具有“自平行性” ⑤偶函数y= f(x)具有“自平行性”其中所有叙述正确的命题的序号是三、解答题 16.（12分）已知向量m=(3sinx, sinx),n=(cosx, -sinx),且f(x)=2m ·n+2。

（I ） 求函数f(x)的最大值，并求此时x 的取值；（II ）函数f(x)图像与y 轴的交点、y 轴右侧第一个最低点、与x 轴的第二个交点分别记为P 、Q 、R ，求QP QR u u u r u u u rg 的值。

}{n n k g17，(12分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1 =3，且a 1，a 2，a 4成等比数列. （I ）求{a n }的通项公式；(II)数列{n k a }是以a 1为首项，3为公比的等比数列，求数列}{n n k g 的前n 项和S n18，（12分）某校在寒假放假之前举行主题为“珍惜生命，安全出行”的“交通与安全”知识宣传与竞赛活动，为了了解本次活动举办效果，从全校学生的答卷中抽取了部分学生的答卷成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容积为n）进行统计。

按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100),的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60), ……, [90,100)的数据）。

（I）求n、x、y的值，并根据频率分布的直观图估计这次竞赛的平均成绩；（II）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加市团委举办的宣传演讲活动，求所抽取的2同学来自不同组的频率。

19，（13分）如图，四棱锥S—ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N。

（I）求证：SB//平面ACM；（II）求证：直线SC⊥平面AMN;（III）求几何体MANCD的体积。

20.（13分）已知函数f(x)=e x-mx-n(m、n∈R)（I）若函数f(x)在x=0处的切线过点（1,0），求m+n的值；（II）当n=0时，讨论函数f(x)在区间[-1，∞）的单调性，并求最值。

21，（13分）已知椭圆E：22221x ya b+=（a>b>0）的一焦点F在抛物线y2=4x 的准线上，且点M（1，22-22-）在椭圆上（I）求椭圆E的方程；（II）过直线x= -2上一点P作椭圆E的切线，切点为Q，证明：PF⊥QF。

文科数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 答案 A B DC C A A BD C二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.题号 11 12 131415答案7250.7 1()37,17①③④⒖【答案】①③④.【解析】函数()f x 具有“自平行性”，即对定义域内的任意自变量1x ，总存在21x x ≠，使得()()21f x f x ''=.对于①，()cos f x x '=，满足条件，故①正确；对于②，()2()312f x x x '=-≤≤，对任意(]11,2x ∈，不存在21x x ≠，使得()()21f x f x ''=成立，故②错误；对于③，当0x <时，()()0,1x f x e '=∈，而x m >时，()21()10,1f x x '=-∈，则22110,111,x x ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩解得1x <-（舍去）或1x >，则1m =，故③正确；对于④，()()0f x x x =≠不符合定义，故④正确；对于⑤，同④，其导函数为奇函数，故⑤不正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.⒗（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()()22223sin cos 2sin 23sin 21cos22f x x x x x x =⋅+=-+=--+m n3sin2cos21x x =++2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，……………………………………………………………………4分故当2262x k πππ+=+，即()6x k k Z ππ=+∈时，()max 3f x =； ……………………………………6分（Ⅱ）由()02f =，知()0,2P . 由32262x k πππ+=+，得()23x k k Z ππ=+∈，此时()1f x =-，则2,13Q π⎛⎫- ⎪⎝⎭.………………………8分 而由2266x k πππ+=-，得()6x k k Z ππ=-+∈，则()516x k π==，故5,06R π⎛⎫⎪⎝⎭，……………………10分 从而2,33QP π⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u r，,16QR π⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，因此22313369QP QR πππ⋅=-⨯+⨯=-+uu u r uu u r . ………………………12分 ⒘（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设的公差为d ，由题意，1224a a a =，即()()21113a d a a d +=+………………………2分于是10()d a d =－因为0d ≠，且13a =，所以3d =. …………………………………………………4分 故 3n a n =. ……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3nk n a k =，……………………………………………………………6分又数列{}nk a 是以1a 为首项，3为公比的等比数列，则1333nk n n a -=⨯=， ………7分所以33n n k =，即13n n k -=. ………………………………………………………8分因此01211323333n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ①则()12313132333133n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ② ……………………………………………10分 由①-②得211311213333331322n n nn n n S n n n --⎛⎫-=++++-⨯=-⨯=--- ⎪-⎝⎭L因此()1121344n n S n =+-. ……………………………………………………………………12分⒙（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可知，8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，………………………2分0.10.0040.0100.0160.040.030x =----=， …………………………………………………3分平均分约为550.16650.30750.40850.10950.0470.6X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………5分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90)有5人，分别记为,,,,a b c d e ，分数在[90，100)有2人，分别记为F ，G ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：()()()()()()()()()()a b a c a d a e a F a G b c b d b e b F ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，()()()()()()()()()(),()b G c d c e c F c G d e d F d G e F e G F G ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21个等可能基本事件；……………………………………………………………………………………9分 其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a ，F)，(a ，G)，(b ，F)，(b ，G)，(c ，F)，(c ，G)，(d ，F)，(d ，G)，(e ，F)，(e ，G)，共10个，……11分 所以抽取的2名同学来自不同组的概率1021P =.……………………………………………………12分⒚（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ． ABCD Q 是正方形，∴ E 是BD 的中点．M Q 是SD 的中点，∴ME 是△DSB 的中位线． ∴//ME SB ． 2分又∵ME ⊂平面ACM ，SB ⊄平面ACM ， ∴SB //平面ACM ． 4分 （Ⅱ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ …………………………6分 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.SDC ∴.SC AM ⊥ …………………………………………………8分由已知SC AN ⊥，∴SC ⊥平面AMN . …………………………………………………9分 解：（Ⅲ）,,,M D C N ∈平面ACD ，几何体MANCD 为四棱锥A MNCD -.由（Ⅱ）知AM 为点A 到平面MNCD 的距离. ……………………………………………………10分 因为2SA AB ==，则22SD =，23SC =， 2AM SM ==.因为SC⊥平面AMN ，则MN SC ⊥，故26sin 2323MN SM MSN =⋅∠=⨯=，2623233SN ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此1162352=22222333MNCD S ⨯⨯-⨯⨯=四边形，……………………………………………………12分则135210239A MNCD V -=⨯⨯=. ……………………………………………………13分⒛（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意，得()x f x e m '=-， …………………………………………………1分 所以函数()f x 在0x =处的切线斜率1k m =-， …………………………………………………2分 又(0)1f n =-，所以函数()f x 在0x =处的切线方程(1)(1)y n m x --=-， ………………………4分 将点(1,0)代入，得2m n +=. …………………………………………………6分 （Ⅱ）当0n =时，函数()x f x e mx =-的定义域为R ，()x f x e m '=-.因为1x ≥-，所以1x e e≥. ①当1m e ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在[)1,-+∞上单调递增，从而min 1()(1)f x f m e=-=+，无最大值； …………………………………………………9分 ②当1m e>时，由()0x f x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞，当[)1,ln x m ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以函数()f x 在[)1,-+∞上有最小值为(ln )ln f m m m m =-，无最大值. …………………………12分 综上知：当1m e≤时，函数()f x 在[)1,-+∞上单调递增，有最小值1(1)f m e-=+，无最大值； 当1m e >时，函数()f x 在[)1,ln m -上单调递减，在(ln ,)m +∞上单调递增，有最小值为(ln )ln f m m m m =-，无最大值. …………………………………………………13分21. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）抛物线24y x =的准线为1x =-，则()1,0F -，即1c =.……………………………………2分又点21,2M ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，则()2211121a a +=-，解得22a =， ……………………………………4分 故求椭圆E 的方程为2212x y +=.………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）设()02,P y -、()11,Q x y .依题意可知切线PQ 的斜率存在，设为k ，则PQ ：y kx m =+，并代入到2212x y +=中，整理得：()()222214210kx mkx m +++-=………………………………………………………………………8分因此()()22221682110m k k m ∆=-+-=，即2221m k =+.……………………………………………9分从而12221mk x k =-+，212222121mk m y m k k =-+=++，则222,2121mk m Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；…………………………10分 又02y k m =-+，则()2,2P k m --+，()2221,2,1,2121mk m k m P k Q k F F ⎛⎫---⎪++⎭=⎝=uu u ruuu r.…………………11分 由于()222222110212121m k m P mk m k F F k k Q =-⋅--=-=+++uu u r uuu r ，故PF QF ⊥uu u r uuu r ，即PF QF ⊥.………………13分。