安徽省“江淮十校”2019届高三4月联考数学(文科)试题及答案
安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学(文科)试题(精编含解析)

江南十校2019届高三第二次大联考数学(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位,则化简的结果为( )i 20181(1i i+-A.B.C. -1D. 1i i -【答案】C 【解析】【分析】先用复数的除法运算,化简,然后再利用的周期性求得最终化简的结果.1i 1i+-i n【详解】依题意,.故选C.()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+201820162450422i i i i 1+´+====-【点睛】本小题主要考查复数的运算,考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是是一个i n周期出现的量,以此类推.复数的除12345i i,i 1,i i,i 1,i i,==-=-== 4142434i i,i 1,i i,i 1k k k k +++==-=-=法运算,主要的思想方法是将分母转化为实数.2.已知集合,,则有( ){|1}A x x =<{|21}xB x =<A. B. C.D. {|10}A B x x Ç=-<<A B R È={}1A B x x È=A B fÇ=【答案】A 【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合A 中的范围,解指数不等式求得集合B 中的范围,再根据选项逐一判断正误.x x 【详解】由解得,故集合,由解得,故集合.故1x <11x -<<()1,1A =-0212x <=0x <(),0B =-¥,A 选项正确,D 选项错误,,故B,C 选项错误.所以选A.()1,0A B Ç=-(),1A B È=-¥【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,考查指数不等式的解法,考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边,小于在中间”,即或,.指数不等式的解法主要是化为同底()()f x a f x a >Û<-()f x a >()()f x a a f x a <Û-<<来计算.3.若,则“”是“”的( ),R a b Îa b ¹sin sin a b ¹A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】两个角不相等,正弦值可能相等,两个角的正弦值不相等,那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时,正弦值可能相等,如;如果两个角的正弦值不相等,那么sin 60sin120= 两个角必定不相等,故“”是“”的必要不充分条件.故选B.a b ¹sin sin a b ¹【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果,则是的充分条件,是的必要条件;否则,p q Þp q q p 不是的充分条件,不是的必要条件.在判断具体问题时,可以采用互推的方法,进行和p q q p p q Þ各一次,判断是否能被推出,由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断:小范围是大范q p Þ围的充分不必要条件,大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等,则为充要条件.如果没有包含关系,则为既不充分也不必要条件.4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的,则一开始输入的值为( )0x =xA.B. C. D. 151634783132【答案】A 【解析】【分析】运行程序,当时退出循环,令输出的值为零,解方程求得输入的的值.5i =x 【详解】运行程序,输入,,,判断否,,判断否,x 1i =21,2x x i =-=()221143,3x x x i =--=-=,判断否,,判断是,退出循环.依题意()243187,4x x x i =--=-=()28711615,5x x x i =--=-=可知,解得.故选A.16150x -=1516x =【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构,考查利用输出结果,推导输入的数值,属于基础题.5.在递增等比数列中,,,则( ){}n a 1510a a +=34a =19a =A. B.C.D. 19220292102【答案】D 【解析】【分析】将已知条件转化为的形式,解方程组求得的值,从而求得任意一项的值.1,a q 1,a q 【详解】由于数列为等比数列,故,由于数列是递增的数列,故解得,故41121104a a q a q ì+=ïí=ïî212,2q a ==,故选D.()91829101912222a a q q ==´=´=【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算,考查一元二次方程方程的解法,属于基础题.6.已知直线,,若,则之间的距离为( )1:360l mx y -+=2:43120l x my -+=12//l l 12,l l【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行,求得的值,再利用两平行直线间的距离公式,求得两直线的距离.m 【详解】由于两条直线平行,属于,解得,当时,两直线方程都是()()3340m m ×---×=2m =±2m =故两直线重合,不符合题意.当时,,,故两2360x y -+=2m =-1:2360l x y +-=2:2360l x y ++=.故选A.【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件,考查两条平行直线间的距离公式,属于基础题.7.已知,则( )2sin(43pa +=sin 2a =A.B. D. 1919--【答案】B 【解析】【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后,两边平方得到,化简后可得到所求的三角函数值.【详解】依题意,两边平方得,解得.)π2sin sin cos 43a a a æöç÷++=ç÷èø()141sin 229a +=1sin 29a =-【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式,考查同角三角函数的基本关系式,以及二倍角公式,属于基础题.8.如图(1)所示的是三棱台,其三视图如图(2)所示(其中正视图是直角三角形,侧视图和俯视图为直角梯形),则该三棱台的表面积为( )A.B. 52C.D. 34+34+34+【答案】B 【解析】【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积,根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积,然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高,并求得其面积.个面面积相加得到棱台的表面积.5【详解】两个直角三角形的面积之和为.左侧和底部两个梯形是全等的,面积之和1122441022´´+´´=为.,2424242+´´====,.故表面积为=18=,故选B.10241852++=【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应,考查几何体表面积的计算,主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在中,三个内角的对边分别为,且,则()ABC D ,,A B C ,,a b c cos sina b C B =B =A.B. C. D. 23p 3p 4p 6p【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式,再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简,由此求得的大小.B 【详解】由正弦定理得,即,sin sin cos sin A B C C B =()sin sin cos sin B C B C C B +=即,故,故sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=cos B B =tan B .所以选D.π6B =【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形,考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式,属于基础题.10.已知曲线,,要想由得到,下面结论正确的是( )1:sin(2)3C y x p=+2:cos C y x =2C 1C A. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位2C 6pB. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位2C 12pC. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),再向右平移个单位2C 126pD. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),再向右平移个单位2C 1212p【答案】D 【解析】【分析】先将转化为正弦函数的形式,然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换,得出正确的选项.2C 【详解】依题意,横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)得到,然πcos sin 2y x x æöç÷==+ç÷èø12πsin 22x æöç÷+ç÷èø后再向右平移个单位,得到.故选D.12pπππsin 2sin 21223x x éùæöæöêúç÷ç÷-+=+ç÷ç÷êúèøèøëû【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式,考查三角函数图像变换的知识,属于基础题.11.设为负实数且,则下列说法正确的是( ),x y 23x y =A. B.C.D. 以上都不对32y x =32y x <23x y <【答案】C 【解析】【分析】令,指数式化为对数式,用来表示,然后利用换底公式比较和的大小,由此得出23x y z ==z ,x y 2x 3y 正确选项.【详解】令,则,.由于23x y z ==2212ln log ,22log ln 2z x z x z ===3313ln log ,33log ln 3z y z y z ===为负实数,故,所以.由于,所以,所以,x y 01z <<ln 0z <66113228,39æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷èøèø113223<,所以,两边乘以得,即.故选C.11320ln 2ln 3<<112311ln 2ln 3>ln z 1123ln ln ln 2ln 3z z <23x y <【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值,考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设是定义在上的偶函数的导函数,且,当时,不等式'()f x (,0)(0,)p p -È()f x ()02f p=(0,)xp Î恒成立,若,,,则的大小关'()sin ()cos 0f x x f x x ->2()6a f p=--2()6b f p =()4c p=,,a b c 系是( )A. B.C.D. c a b <<b a c <<a c b <<b c a<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数,根据函数的奇偶性求得的奇偶性,再根据函数的导数确定()()sin f x F x x=()f x ()F x ()F x 单调性,由此比较三个数的大小.,,a b c 【详解】构造函数,由于是偶函数,故是奇函数.由于()()sin f x F x x=()f x ()F x ,故函数在上递增.由于,故当()()()2sin cos 0sin f x x f x xF x x-=¢>¢()F x ()0,πππ0,022f F æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷èøèø时,,当时,.所以,π0,2x æöç÷Îç÷èø()0F x >π,π2x æöç÷Îç÷èø()0F x <πππ60π66sin 6f a F F æöç-÷ç÷æöæöèøç÷ç÷==-=->ç÷ç÷æöèøèøç-÷ç÷èø,,根据单调性有πππ620π66sin 6f b f F æöç÷ç÷æöæöèøç÷ç÷===<ç÷ç÷èøèøπππ40π44sin 4f c F æöç÷ç÷æöæöèøç÷ç÷==<ç÷ç÷èøèø()F x.故,即,故选D.ππ46F F æöæöç÷ç÷>ç÷ç÷èøèøπππ0646F F F æöæöæöç÷ç÷ç÷->>>ç÷ç÷ç÷èøèøèøa cb >>【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性,考查构造函数法比较大小,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.如图所示,在矩形中,,沿对角线将其折成直二面角,连结,则该三ABCD 22AB AD ==AC BD 棱锥的体积为__________.D ABC-【解析】【分析】利用等面积法求得直角三角形的边上的高,也即三棱锥的高,由此计算出三棱锥的体ACD AC D ABC -积.【详解】依题意,,设直角三角形的边上的高为,根据等面积有AC =ACD AC h ,解得,故三棱锥的体积为1122AC h AD CD ××=××h 1132D ABC V AB BC h -=´´´´112132=´´´´=【点睛】本小题主要考查折叠问题,考查三棱锥体积的求法,考查等面积法求平面图形的高,属于基础图.14.设满足约束条件,则的最小值为__________.,x y 2210x y x y ì+£ïí-£ïî32z x y =-【答案】-【解析】【分析】画出约束条件对应的可行域,通过向上平移基准直线到可行域边界位置,由此求得目标函数的320x y -=最小值.【详解】画出可行域如下图所示,由图可知,当直线平移到和圆弧相切时,取得最小值,此时直线方程z 为,,即的最小值320x y z --=1z =-z 为.-【点睛】本小题主要考查线性规划的知识,考查线性型目标函数的最值的求法,属于基础题.题目所给的约束条件中,表示的是圆心为,半径为的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函()()222x a y b r -+-£(),a b r 数,由于,当直线截距最大时,取得最小值,这个在解题过程中要特别注意.32z x y =-23y x z =-z 15.已知扇形的圆心角为,半径为2,是其弧上一点,若,则OAB 090AOB Ð=C OC OA OB l m =+的最大值为__________.·l m 【答案】12【解析】【分析】以为基底,表示,这是一个正交的基底,故,再,OA OBOC ()()22222444OAOBOC l m l m +=+== 由基本不等式求得的最大值.l m ×【详解】以为坐标原点,分别为轴建立平面直角坐标系,画出图像如下图所示.由于O ,OB OA ,x y 相互垂直,以为基底,这是一个正交的基底,表示,根据图像可知,OA OB ,OA OBOC ,即,故,当且仅当()()22222444OA OBOC l m l m +=+== 221l m +=22122l m l m +×£=时,等号成立.故的最大值为.l m =l m ×12【点睛】本小题考查平面向量的基本定理,考查正交基底的应用,考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量,当这两个不共线的向量相互垂直时,为正交基.基本不等式不但要记得.a b +³22222a b a b ab æö++ç÷££ç÷èø16.已知定义在的两个函数和(是自然对数的底),若在(1,)+¥2()ef x m x=+()ln g x x =e 的解集内有且只有两个整数,则实数的范围是__________.()()1f x g x >m 【答案】121(,ln 33ln 42e e --【解析】【分析】化简不等式,变为,即左边函数在右边函数()()1f x g x ×>2e ln ln 1x m x x>-ln y m x =图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出的图像,结合图像列出不2e ln 1x y x =-2e ln 1x y x=-等式组,解不等式组求得的取值范围.m 【详解】化简不等式,得,构造函数和,()()1f x g x ×>2e ln ln 1x m x x >-()ln h x m x =2e ln 1x y x =-需要满足图像在图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.m ()ln h x m x =()2e ln 1x n x x=-,故函数在上递减,在上递增,且当时,'22e ln ln 112e x x x x æö-ç÷-=×ç÷èø()2e ln 1x n x x =-()1,e ()e,+¥e x >函数值小于零.当时,在上递增,画出图像如下图所示,由图可知0m >()ln h x mx =()1,+¥图像在图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.()ln h x m x =()2e ln 1x n x x=-当时,显然不符合题意.当时,画出图像如下图所示,由图可知,即0m =0m <()()()()()()223344h n h n h n ì>ïï>íï£ïî,解得.即的取值范围是.2eln 2ln 2122eln 3ln 3132eln 4ln 414m m m ì>-ïïïï>-íïïï£-ïî121e e ln 33ln 42m -<£-m 121e e,ln 33ln 42æùç--úçúèû【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式,考查了对数函数的图像与性质,考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的,转为两个函数的图像来研究,这是化归与转化的数学思()()1f x g x <想方法.导数在本题中是一个工具的作用,用于画图函数的图像.属于中档题.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在中,三内角的对边分别为,已知向量,,ABC D,,A B C ,,a b c (2sin ,cos 2)m x x =,1)n x = 函数且.()·f x m n = ()1f B =(1)求角的值;B (2)若且成等差数列,求.BA BC += ,,a b c b 【答案】(1);(2)23B p =【解析】【分析】(1)利用向量的数量积的坐标运算,以及辅助角公式,化简的表达式,利用求得的大()f x ()1f B =B 小.(2)利用等差数列的性质、余弦定理,以及向量模的运算,列方程,解方程可求得的值.b 【详解】(1) ()·cos cos2f x m n x x x ==+cos2x x +整理得:,()2sin 26f x x p æöç÷=+ç÷èø∵,()1f B =∴ ,2sin 216B p æöç÷+=ç÷èø1sin 262B p æöç÷Þ+=ç÷èø∵,∴;()0,B p Î3B p=(2)由成等差数列,得:,,,a b c 2b a c =+由余弦定理得:,222a c acb +-=由,得:,BA BC += 2212a c ac ++=三个等式联立解得:.2b =【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算,辅助角公式化简求值,考查等差中项的性质,考查余弦定理解三角形,还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列的前项和,且,等比数列的前项和,且.{}n a n n S 2n S n n =+{}n b n n T 2n n T m =+(1)求和的通项;{}n a {}n b (2)求数列的前项和.{}·n n a b n 【答案】(1) ;(2)2n a n =()*n N Î12n n b -=()121·2n n ++-【解析】【分析】(1)利用,求得数列的通项公式.同理也求得的通项公式.(2)利用错位相减求和11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-³ïîn a n b 法求得前项和.n 【详解】(1)由,2n S n n =+得:,()()22111n S n n n n -=-+-=-()122n n n a S S n n -=-=³∵符合公式, 211112a S ==+=2n a n =()*n N Î同理:由,2n n T m =+推得:,()122n n b n -=³12b m=+∵是等比数列,{}n b ∴ 11b =1m Þ=-12n n b -Þ=(2)设,是其前项和,··2n n n n c a b n ==n Q n ∵123122232·2nn Q n =´+´+´++ ∴()234121222321·2·2n n n Q n n +=´+´+´++-+ 两式相减得:2312222·2n n n Q n +-=++++- ∴()121·2n n Q n +=+-另解:∵,()()1·21·22·2n n n n c n n n +==---∴()()()21324310·21·21·20·22·21·21·22·2n nn Q n n +=--+-+-++--- ()121·2n n +=+-【点睛】本小题主要考查已知求得方法,考查错位相减求和法. 已知求得方法是利用n S n a n S n a 来求数列的通项公式.属于中档题.11,1,2n nn S n a S S n -ì=ï=í-³ïî19.已知两个定点,,动点到点的距离是它到点距离的2倍.(1,0)A -(2,0)B (,)P x y A B (1)求点的轨迹;P E (2)若过点作轨迹的切线,求此切线的方程.(1,1)C E 【答案】(1)见解析;(2)或1x =3410x y -+=【解析】【分析】(1)利用两点间的距离公式列方程,化简后可求得轨迹的方程.(2)由于轨迹是圆,故设切线方程为E E 点斜式,然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程,求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意,由此求得题目所求的切线方程,有两条.【详解】(1)设动点,则,(),P x y 2PAPB =,=化简得:()2234x y -+=所以动点的轨迹是以为圆心,以2为半径的圆;P E ()3,0(2)设是圆的切线,则有:():11l y k x -=-E ,324k Þ=当不存在时,恰好与圆切于点,k :1l x =E ()1,0综合得:切线方程为:或.1x =3410x y -+=【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程,考查圆的切线方程的求法,属于中档题.直接法求动点的轨迹方程,首先设出动点的坐标为,然后代入题目所给的已知条件中,如本题中的长度关系(),x y 式,然后化简即可得到所求点的轨迹方程,要注意验证特殊位置是否满足.20.已知函数(为常数,).3211()32a f x x x ax +=-+a a R Î(1)求函数的单调递增区间;()f x (2)若函数在上单调递减,求的取值范围.()f x (31,2)a a -a 【答案】(1)见解析;(2)12【解析】【分析】(1)对函数求导后,对分成三类,讨论函数的单调递增区间.(2)根据题目所给区间求a 1,1,1a a a >=<得的范围,根据导数求得函数的减区间,题目所给区间是这个区间的子集,由此求得的取值范围.a a【详解】(1)∵,()()()()2'11f x x a x a x x a =-++=--所以,当时,,1a =()()2'10f x x =-³递增区间为;()f x (),-¥+¥当时, 或,1a >()()()'10f x x x a =-->x a Þ>1x <∴递增区间为和;()f x (),1-¥(),a +¥当时, 或,1a <()()()'10f x x x a =-->1x Þ>x a <∴递增区间为和;()f x (),a -¥()1,+¥(2)∵, ∴,312a a -<1a <当时, ,1a <()()()'10f x x x a =--<1a x Þ<<即的递减区间为,()f x (),1a ∴ .()()31,2,1a a a -Í3121a a a ì-³ïÞí£ïî12a Þ=【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间,考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中,主要是一个工具的作用,在导数为正数的区间,函数是单调递增的,在导数为负数的区间,函数是单调递减的.本小题属于中档题.21.一幅标准的三角板如图(1)中,为直角,,为直角,,且ABC Ð060A Ð=DEF Ð045D Ð=,把与拼齐使两块三角板不共面,连结如图(2).BC DF =BC DF AE (1)若是的中点,求证:;M AC EM BC ^(2)在《九章算术》中,称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”,若图(2)中,三棱锥AB a =的体积为,则图(2)是否为鳖臑?说明理由.A BEC -314a【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】【分析】(1)取的中点,连接,通过证明直线平面,证得直线.(2)根据BC N ,MN EN BC ^MNE BC BM ^的长度,求得的长度,求得三角形的面积,利用体积公式后求得三棱锥的高为,AB ,,BC BE CE BEC a 由此证得平面,进而证得四个三角形都是直角三角形.AB ^BEC 【详解】(1)证明:设中点为,连结,BC N ,MN EN∵,,AB BC ^//MN AB ∴,MN BC ^∵,,,BE EC ^BE EC =BN CN =∴EN BC^∵,MN EN N Ç=∴平面,BC ^MNE 故;ME BC ^(2)此时三棱锥时鳖臑A BEC -∵ , AB a =BC ÞBE CE ==234BEC S a D Þ=又三棱锥的体积高,314V a =Þh a =所以平面,AB ^BEC 那么,在三棱锥中,显然是直角,A BEC -,,ABC ABE BEC ÐÐÐ∵,,平面CE BE ^CE AB ^AB EB B CE Ç=Þ^ABE也是直角CE AE Þ^AEC ÞÐ那么,该三棱锥的四个面都是直角三角形,所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明,考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式,以及线面垂直的证明,属于中档题.22.已知函数.()(1)ln 1f x a x x x =+-+(1)当时,求在处的切线方程;3a =()f x (1,(1))f (2)若在上恒成立,求实数的取值范围.()0f x >(1,)+¥a 【答案】(1);(2)550x y --=1[,)2a Î+¥【解析】【分析】(1)当时,求得切点和斜率,由此求出切线方程.(2)求出函数的导数后,对分成3a =a 三类,讨论函数的单调区间以及最值,由此求得的取值范围.110,0,22a a a £<<³a 【详解】(1) ,()()331ln 1a f x x x x =Þ=+-+()'15f Þ=∵,∴所求切线方程为,()10f =()51y x =-即所求切线方程是;550x y --=(2)()()11'ln 1ln 11a x f x a x a x x x æö+ç÷=+-=++-ç÷èø若,∵单调递减,0a £()()1'0x f x f x >Þ<Þ∵在上,,不合题意;()10f =Þ()1,+¥()0f x <若,由 ,0a >()()1'ln 1a x f x a x x +=+-()()21''a x f x x -Þ=∵单调递增,()()1''0'x f x f x >Þ>Þ由于,()'121f a =-那么,时,,102a <<()'1210f a =-<11'110a a f e a ae -æöç÷=++->ç÷èø则,101,a x e æöç÷$Îç÷èø()0'0f x =那么在上,,单调递减,()01,x ()'0f x <()f x ∵,∴在上,,不合题意;()10f =()01,x ()0f x <若,单调递增,12a ³()()1''0'x f x f x >Þ>Þ单调递增,()()()'1210'0f a f x f x =-³Þ³Þ∵,∴,,符合题意.()10f =1x >()0f x >综合上述得:.1,2a éö÷Î+¥ê÷êëø【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程,考查利用导数求解不等式恒成立问题,属于难题.。
2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学(文)试题(解析版)

2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学(文)试题一、单选题1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】先解不等式得集合A,B,再根据交集定义得结果.【详解】,,,故选.【点睛】本题考查解指数不等式、解一元二次不等式以及交集定义,考查基本求解能力,属基础题.2.已知复数满足(其中为虚数单位),则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据复数除法法则化简即可.【详解】由知:,,故选.【点睛】本题考查复数除法法则,考查基本求解能力,属基础题.3.如图所示,程序框图的输出结果是()A.B.C.D.【答案】C【解析】读懂流程图,其功能是求四项的和,计算求值即可.【详解】计算结果是:,故选.【点睛】本题考查循环结构流程图,考查基本分析求解能力,属基础题.4.已知数列满足,则的最小值为()A.B.C.8 D.9【答案】C【解析】先根据叠加法求,再利用数列单调性求最小值.【详解】由知:,,…,,相加得:,,又,所以,所以最小值为,故选. 【点睛】本题考查数列通项公式以及数列单调性,考查基本分析求解能力,属中档题.5.已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示,其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为,则该四棱锥的体积是()A.4 B.C.D.【答案】A【解析】根据三视图以及斜二测画法确定四棱锥的高以及底面面积,再根据锥体体积公式求结果.【详解】由三视图可知,该四棱锥的高是3,记斜二测画法中的等腰梯形的上底为,高为,则斜二测中等腰梯形的腰为,而积,由斜二测画法的特点知直观图中底面梯形的高为,面积,,故四棱锥的体积,故选.(也可用结论直接得出:,,)【点睛】本题考查三视图、斜二测画法以及四棱锥体积,考查基本分析求解能力,属中档题. 6.对具有线性相关关系的变量,,有一组观测数据,其回归直线方程为,且,则实数的值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】先求均值,再根据回归直线方程性质求【详解】由知:,,又回归直线一定过样本点的中心,故,.故选【点睛】本题考查回归直线方程性质,考查基本分析求解能力,属基础题.7.甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为,其中,若,就称甲乙“心有灵屏”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】先确定总事件数,再列举“心有灵犀”的事件数,最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】甲乙两人猜数字时互不影响,故各有5种可能,故基本事件是种,“心有灵犀”的情况包括:,,,,,,,,,,,,共13种,故他们“心有灵犀”概率为,故选.【点睛】本题考查古典概型概率,考查基本分析求解能力,属基础题.8.已知奇函数,(其中,)在有7个零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】先利用辅助角公式化简,再根据奇函数得,最后根据零点个数列不等式,解得结果.【详解】,且为奇函数,,,,令,得,由题意恰有7整数满足.则满足条件的整数为-3,-2,-1,0,1,2,3,故,即故选.【点睛】本题考查正弦函数性质,考查基本分析求解能力,属基础题.9.已知为坐标原点,,若点的坐标满足,则的最大值是()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】先作可行域,再化简,结合图象确定最优解,解得结果.【详解】作出不等式组对应的可行域为如图所示的,且,,,,则对于可行域内每一点,令,先求的取值范围.当点过点时,;当过点时,,,,即,故当过点时,,故选.【点睛】本题考查线性规划求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.10.当动点在正方体的棱上运动时,异面直线与所成角的取值范围()A.B.C.D.【答案】C【解析】通过平行找线线角,再根据三角形求角.【详解】设正方体棱长为1,,则,连接,,由可知,∠即为异面直线与所成角,在中,,,故,又,,又在为单调减函数,,故选.【点睛】本题考查异面直线所成角,考查基本分析求解能力,属基础题.11.已知在中,角,,所对的边分别为,,,且,点为其外接圆的圆心.已知,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】先化简得,再根据余弦定理以及基本不等式求最小值.【详解】设中点为,则,,即,由知角为锐角,故,当且仅当,即时最小,故选.【点睛】本题考查余弦定理、基本不等式以及向量数量积,考查基本分析求解能力,属中档题.12.已知函数有唯一的零点,且,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题,再结合图象确定满足的条件,解得结果.【详解】令即:,在同一坐标系中分别作出与的图象知,为增函数,而为减函数,要是交点的横坐标落在区间内,必须:,即:,故选【点睛】本题考查函数零点,考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力,属中档题.二、填空题13.若命题“,”的否定是假命题,则实数的取值范围是____.【答案】【解析】先转化为原命题为真,再根据函数最值求实数的取值范围.【详解】因为命题的否定是假命题,故原命题为真,即不等式对恒成立,又在为增函数,,即.即实数的取值范围是:.【点睛】本题考查命题否定的真假以及不等式恒成立问题,考查基本分析转化求解能力,属中档题.14.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,且不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是_____.【答案】答案:【解析】先根据函数奇偶性得函数解析式以及单调性,再根据单调性化简不等式,最后将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题,解得结果.【详解】由为奇函数,.设,,,即,故,从而,故不等式同解于,又为上的单调增函数,故,即对任意的恒成立,,即或.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题,考查基本分析转化求解能力,属中档题.15.已知椭圆的离心率为,过右焦点作倾斜角60°的直线交于,两点(A在第一象限),则________.【答案】【解析】先根据直线方程与椭圆方程解得A横坐标,再根据椭圆定义化简求值.【详解】因为离心率为,所以,设直线的方程代入椭圆方程:得:,又∵点在第一象限,故,所以【点睛】本题考查直线与椭圆交点以及椭圆定义,考查基本分析转化求解能力,属中档题. 16.在中,角,,的对边分别为,,,且,若,的面积记为,则当取得最小值时,______.【答案】【解析】先根据正弦定理化边的关系,再根据余弦定理求,最后根据基本不等式求最值,进而确定S值,解得结果.【详解】由正弦定理及得:,即:,由余弦定理可知:,,又,当且仅当时,即时,取得最小值,此时,.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式求最值,考查基本分析转化求解能力,属中档题.三、解答题17.数列中,,,其中,,,令.(1)证明:数列是等差数列,并求的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)见证明,,(2)【解析】(1)先根据向量数量积得递推关系,再根据等差数列证结论,最后根据等差数列通项公式得结果,(2)利用错位相减法求和.【详解】(1),得:,即,故数列是等差数列,且,,(2),,,①,②①-②得:,.【点睛】本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及错位相减法求和,考查基本分析转化求解能力,属中档题.18.三棱柱中,为的中点,点在侧棱上,平面.(1)证明:是的中点;(2)设,四边形是边长为2的正方形,四边形为矩形,且,求三棱锥的体积.【答案】(1)见证明;(2)【解析】(1)取的中点,利用线面平行判定定理与性质定理、面面平行判定定理以及性质定理得,即得结果.(2)先根据线面垂直得线线垂直,再根据直角三角形得,最后根据锥体体积公式得结果.【详解】(1)证明:取的中点,连、,因为为中点,所以.平面,平面,平面.又由已知平面,且,所以平而平而.又平面,所平面.而平面,且平面平面,所以,而为的中点,所以为的中点.(2)因为为正方形,所以,又,所以,而,所以平面.连,则.设,于是,由,知,所以.即,所以【点睛】本题考查线面平行与垂直判定定理与性质定理、面面平行判定定理与性质定理以及锥体体积公式,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.19.2018年非洲猪瘟在东北三省出现,为了进行防控,某地生物医药公司派出技术人员对当地一养猪场提供技术服务,收费标准是:每天公司收取养猪场技术服务费120元,当天若需要用药的猪不超过45头,不另外收费,若需要用药的猪超过45头,超过部分每头收取药费8元.(1)设医药公司日收费为(单位:元),每天需要用药的猪的数量为(单位:头),,试写出医药公司日收取的费用关于的函数关系式;(2)若该医药公司从10月1日起对该养猪场提供技术服务,10月31日该养猪场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计,得到如下列联表.9月份10月份合计未发病4085125发病652085合计105105210根据以上列联表,判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关?附:,其中.0.0500.0100.0013.841 6.63510.828【答案】(1)(2)见解析【解析】(1)根据条件列分段函数,(2)根据公式求得,对照数据比较大小作出判断. 【详解】(1)(2)由列联表可得:,∵,所以有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.【点睛】本题考查分段函数解析式以及卡方公式,考查基本分析求解能力,属中档题.20.已知抛物线的焦点为,,是抛物线上的两个动点,且,过,两点分别作抛物线的切线,设其交点为.(1)若直线与,轴分别交于点,,且的面积为,求的值;(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)利用导数求切线斜率,再根据切线方程得点,坐标,最后根据三角形面积解得切点坐标,利用抛物线定义得结果,(2)先求P 点坐标,化简,再联立直线方程与抛物线方程,结合韦达定理代入化简即得的值.【详解】(1)设,,抛物线方程写成,,则以点为切点的抛物线的切线的方程为:,又,即,,,,故,∴,,从而.(2)由(1)知:,即:,同理,解得因为,,三点共线,易知直线斜率不存在时不成立,所以方程可设为,联立,整理得,可得,所以,又,所以,,故,所以.【点睛】本题考查导数几何意义以及直线与抛物线位置关系,考查基本分析求解能力,属中档题. 21.已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若存在,使得对任意的,成立,求实数的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)先求导数,再根据导函数符号确定单调性,(2)先确定最大值,再根据一元二次不等式恒成立列式求解.【详解】(1) ,但是:,故在为增函数,在也为增函数.(2)由(1)可知,当时,为增函数根据题意可知:对任意的恒成立.令,则当时,,令,问题转化为对任意的恒成立,由抛物线的开口向上知:即,解得故实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及不等式恒成立问题,考查基本分析求解能力,属中档题.22.在直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),把曲线横坐标缩短为原来的,纵坐标缩短为原来的一半,得到曲线,直线的普通方程是,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系;(1)求直线的极坐标方程和曲线的普通方程;(2)记射线与交于点,与交于点,求的值.【答案】(1)直线的极坐标方程:;曲线的普通方程为:(2)【解析】(1)利用化直线的直角方程为极坐标方程,先消参数得曲线的普通方程,再根据变换得结果,(2)将直角方程化为极坐标方程,再代入,解得,,即得结果.【详解】(1)将代人直线的方程,得:,化简得直线的极坐标方程:由曲线的参数方程消去参数得曲线的普通方程为:,经过伸缩变换得代入得:,即,故曲线的普通方程为:(2)由(1)将曲线的普通方程化为极坐标方程:,将代人得,将代入得:,故.【点睛】本题考查直角坐标方程化极坐标方程、参数方程化普通方程以及极坐标方程的应用,考查基本分析求解能力,属中档题.23.已知函数.(1)若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围;(2)设,且,时函数的最小值为3,求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】(1)根据绝对值定义化简不等式,解得不等式解集,再根据集合包含关系列式解得结果,(2)先根据绝对值三角不等式得,再利用基本不等式求最值. 【详解】(1)不等式同解于,即,故解集为,由题意,,.(2)故.当且仅当即取等号.故的最小值为.【点睛】本题考查解含绝对值不等式、绝对值三角不等式以及基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.。
安徽省江淮十校2019届高三上学期第一次联考数学(文)试题+Word版含解析

安徽省江淮十校2019届高三上学期第一次联考数学(文)试题:选择题。
1. 已知集合、:,集合- < .0,1,3,,则土Lh-: 'A. 1,、B.C. 0,1,'D. 1,【答案】A【解析】【分析】由题意,求得集合V- <-.:-,:■<;.,利用集合交集的运算,即可得到答案.【详解】由题意,集合:e ■- ■:■::' I 2 - <集合:m \:<,Sj,所以f门「二.故选:A.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算,其中解答中熟记集合的交集的运算方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题2. 若复数i-;.i为虚数单位是纯虚数,则实数a的值为A. 0B.C.D. 1【答案】C【解析】【分析】a卜i直接由复数代数形式的除法运算化简,然后由实部等于0且虚部不等于0列式求解实数aI十1的值.a 卜i (a + i)(1 -1) a + 1 I (1 - a)i a i I 1 - a【详解】由题意,复数为纯虚数,1 十1 〔1 十-1)2 2 2-0,解得:卞- I,故选:C.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算和复数的基本概念,其中解答中熟练应用复数的四则运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题3. 为了解户籍、性另恻生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本,其中城镇户籍与农村户籍各100人;男性120人,女性80人,绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示,其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是100%80%60%40%20%0%城诡户籍农村户籍刃性女性A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 倾向选择生育二胎的人群中,男性人数与女性人数相同D. 倾向选择不生育二胎的人群中,农村户籍人数少于城镇户籍人数【答案】C【解析】【分析】由题意,通过阅读理解、识图,将数据进行比对,通过计算可得出C选项错误.【详解】由比例图可知,是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关,倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数,倾向选择生育二胎的人员中,男性人数为人,女性人数为、人,男性人数与女性人数不相同,故C错误,故选:C.【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用,其中解答中认真审题,正确理解条形图所表达的含义是解答的关键,着重考查了阅读理解能力、识图能力,属于基础题.4. 若公比为2的等比数列的前n项和为,且,9, 成等差数列,则A. B. C. D. “ - |【答案】B【解析】【分析】运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,解方程可得首项,再由等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】由题意,公比q为2的等比数列的前n项和为,且,9, 成等差数列,可得、宀' ■, I ■ | ,解得:-,川」订「I 、I ■则10I -q 1 -2故选:B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的运用,等差数列中项性质,其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题•5. 已知函数是定义在R上的偶函数,且在V.上单调递增,则A. ■ - ■ i - :- i 2""B. i j" .- :■■:_.-C. :/ '■ :■ - I :-D. :< ■ I' - ■■【答案】C【解析】【分析】根据题意,由函数的奇偶性可得•-,祇'*;:一代,又由2 " - I-_: > . ■- J- ',结合函数的单调性分析可得答案.【详解】根据题意,函数是定义在R上的偶函数,则^ “ "丁丨;有J I- _: / -又由在上单调递增,则有'辽'■- \ --:故选:C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用,其中解答中合理利用函数的基本性质是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题(y > - 36. 已知实数x, y满足 J 」叮…的最大值是[3x-4y- 12>0A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式 •,属于基础题•解题时要准确理解题画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,确定目标函数的最优解,即可求解最值, 得到答案. 【详解】由题意,画出约束条件的可行域,如图所示: 由,解得..•:、八■经过可行域的卜-二I 时,纵截距•丄十;.最小,此时z 最大, 所以-J -■1: -"-解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.7.用24个棱长为1的小正方体组成 S 的长方体,将共顶点的某三个面涂成红色, 然后将长方体拆散开,搅拌均匀后从中任取一个小正方体,则它的涂成红色的面数为1的概率为13 11 7 1 A.B.C. D.2424244【答案】B【解析】【分析】合理分类讨论思想、得出涂成红色的面数为 1的基本事件的总数,再由古典概型概率计算公式直接求解,即可得到答案.【详解】由题意得:有三个面涂成红色的小正方体仅有一个, 有两个面涂成红色的小正方体仅有;-I 「个, 仅有一个面涂成红色的小正方体有 I 「•十.「: + :\ - ■: - I 个,还剩下';-1 1' ■■-: 1 :;:个小正方体它的六个面都没有涂色,1 1'它的涂成红色的面数为 1的概率为:=.24故选:B .意,先要判断该概率模型是不是古典概型,正确找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数,令古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.【答案】D【解析】【分析】模拟执模拟执行程序,依次写出每次循环得到的s,i的值,当•时不满足条件,退出循环,输出的值为300,得到答案.【详解】行程序,可得..- :;,:- T;, - ..,满足条件;,满足条件,「- . 1 ,. -】,满足条件,,,不满足条件,退出循环,输出的值为300.故选:D.【点睛】本题主要考查了程序框图和算法问题,其中解答中依次写出每次循环得到的s , i的值是解题的关键,属于基础题,着重考查了推理与运算能力9•将函数:H 込"十d图象上所有点向左平移个单位,再将横坐标伸长为原来的2倍纵坐6标不变,得到的图象,则下列叙述正确的是2兀5兀A. :是厂化亍的对称轴B.〔二邛是:;-•::;-的对称中心」L 一【【解析】 【分析】可采用逆向法,直接利用三角函数关系式的恒等变变换和平移变换及诱导公式的应用求出结 果. 【详解】由题意,可采用逆向法,为得到:函数 -V ■. -忙图象,只需将:-ir.'.,的横坐标缩短为原来的 二,即:2兀7U兀兀再将图象向右平移 个单位,即: .. ,所以:im I ,.66 3 3丄匚2兀7?r故: , 故选:C.【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变变换和平移变换的应用,三角函数诱导公 式的应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换和合理应用诱导公式化简是解答的关键,着 重考查了运算能力和转化能力,属于基础题型.10. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为A. I SO TLB. 144TTC. 2OO TED. 1667E【答案】A 【解析】 【分析】画出几何体的直观图,结合三视图的数据,禾U 用几何体的体积公式,即可求解,得到答案【答案】CI TL 2兀【详解】由题意可知几何体是一个底面半径和高都是 6的圆柱,挖去一个半圆锥的几何体如俯视图图:几何体的体积为:21 1 22 3故选:A.\ ■【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算,在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线•求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解•x y ,C: 的左、右焦点,点a2 b2M是的中点,且「二,讣“」,则双曲线的离心率为【解析】【分析】运用双曲线的定义和为直角三角形,则|:_二「,由离心率公式,即可求解双曲线的离心率,得到答案。
安徽省皖江名校2019届高三第四次联考数学文试题(解析版)

安徽省皖江名校2019届高三第四次联考数学文试题数学(文科)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,,则等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合A,进而可得,求解函数定义域可得集合B,利用交集求解即可.【详解】因为集合,,所以,故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算,属于基础题.2.已知为虚数单位,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算可得解.【详解】因为,故选B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,属于基础题.3.已知函数,则是()A. 奇函数,且在上是增函数B. 偶函数,且在上是增函数C. 奇函数,且在上是减函数D. 偶函数,且在上是减函数【答案】C【解析】【分析】先判断定义域是否关于原点对称,进而利用可得函数为奇函数,再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R,关于原点对称,,有,所以是奇函数,函数,显然是减函数.故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断,属于基础题.4.如图为一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图还原得四棱锥,结合四棱锥的结构特征直接求表面积即可.【详解】如图所示,此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥,2个侧面是腰长为2的等腰直角三角形,另外2个侧面是边为,,直角三角形,所以表面积为.【点睛】三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响,对简单组合体三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定组合体的形状.5.某单位为了解用电量(度)与气温之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:(度)由表中数据得线性回归方程中,预测当温度为时,用电量的度数约为()A. 64B. 66C. 68D. 70【答案】D【解析】【分析】由题意先求出回归方程,再将代入回归方程,即可求出结果.【详解】由已知,,将其代入回归方程得,故回归方程为,当时,,选D.【点睛】本题主要考查回归直线方程,由回归直线必然过样本中心即可求回归直线的方程,属于基础题型. 6.已知等比数列的前项和为,且,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式,利用基本量运算可得通项公式,进而可得前n项和,从而可得,令求解即可. 【详解】由,可得;由.两式作比可得:可得,,所以,,,所以.故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式,属于公式运用的题目,属于基础题.7.已知函数的最小正周期为,且,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简函数得,得为函数的最大值,结合函数的周期性可知时函数应取最小值,从而得解.【详解】函数(其中).易知.当,即时函数取得最大值,又函数的周期为,所以时函数应取最小值.即.故选B.【点睛】本题主要利用了两角和及二倍角公式化简三角函数,并利用三角函数的性质解题,属于中档题.8.设双曲的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析:设该双曲线方程为得点B(0,b),焦点为F(c,0),直线FB的斜率为由垂直直线的斜率之积等于-1,建立关于a、b、c的等式,变形整理为关于离心率e的方程,解之即可得到该双曲线的离心率;设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为,焦点为F(c,0),点B(0,b)是虚轴的一个端点,∴直线FB的斜率为,∵直线FB与直线互相垂直,∵双曲线的离心率e>1,∴e=,故选:D考点:双曲线的简单性质9.如图,在棱长为1的正方体中,,分别是,的中点,过直线的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中点为,可证得平面平面,即的面积即为所求,然后利用梯形的面积公式求解即可.【详解】取的中点为.易知,,所以四边形为平行四边形,所以.又和为平面的两条相交直线,所以平面平面,即的面积即为所求.由,,所以四边形为梯形,高为.所以面积为:.故选B.【点睛】本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断,面面平行性质,四棱柱的结构特征,解答本题的关键是画出截面,并分析其几何特征,属于中档题. 10.的斜边等于4,点在以为圆心,1为半径的圆上,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】结合三角形及圆的特征可得,进而利用数量积运算可得最值,从而得解.【详解】 .注意,,所以当与同向时取最大值5,反向时取小值-3.故选C.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算,考查向量的数量积运算,以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.11.圆心在曲线上,且与直线相切的面积最小的圆的方程为( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析:设此圆的圆心坐标为,则圆的半径,当且仅当时,等号成立,圆的面积最小,此时圆心坐标为,半径为,所以圆的方程为,选A.考点:圆的方程、基本不等式.12.已知函数与轴相切与点,且极大值为4,则等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知是的极值,再求导分析极值可知,从而得a,进而可求.【详解】由题意时,是的极值,所以..因为取得极值为0,极大值为4,所以当时取得极大值,解得.所以,.故选B.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的极值,属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在横线上.13.已知,,若是的充分不必要条件,则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由是的充分不必要条件,可得是的充分不必要条件,从而得且,列不等式求解即可.【详解】,,由题意是的充分不必要条件,等价于是的充分不必要条件,即,于是且,得,经检验.故答案为:.【点睛】逻辑联结词,且:全真为真,一假为假;或:一真为真,全假为假;非:真假相反.本题中是的充分不必要条件,也可以考虑逆否命题来解决.14.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的的值为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意,执行循环结构的程序框图,直到满足条件结束循环,输出结果即可.【详解】程序运行如下:,;,;,;,;,,变量的值以4为周期循环变化,当时,,时,,结束循环,输出的值为.故答案为:.【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点.解决这类问题:首先,要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构;第二,要识别运行算法框图,理解框图解决的问题;第三,按照框图的要求一步一步进行循环,直到跳出循环体输出结果,完成解答.15.设变量,,满足约束条件,则目标函数的最小值是__________.【答案】7【解析】作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)设z=F(x,y)=2x+3y,将直线l:z=2x+3y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值F(2,1)=7∴z最小值=16.已知函数在上恰有一个最大值点和最小值点,则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据条件得的范围,由条件可知右端点应该在第一个最小值后第二个最大值前,即得,解不等式即可得解.【详解】由题设,所以应该在第一个最小值后第二个最大值前,所以有,得,所以的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数图象的性质,考查学生的计算能力,属于中档题.在应用函数y=Asin(ω x +φ )的图像和性质研究函数的单调性和最值时,一般采用的是整体思想,将ω x +φ看做一个整体,地位等同于sinx中的x.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写在答题卡上的指定区域内.17.为了解中学生对交通安全知识的掌握情况,从农村中学和城镇中学各选取100名同学进行交通安全知识竞赛.下图1和图2分别是对农村中学和城镇中学参加竞赛的学生成绩按,,,分组,得到的频率分布直方图.(Ⅰ)分别估算参加这次知识竞赛的农村中学和城镇中学的平均成绩;(Ⅱ)完成下面列联表,并回答是否有的把握认为“农村中学和城镇中学的学生对交通安全知识的掌握情况有显著差异”?附:临界值表:【答案】(Ⅰ)农村中学的竞赛平均成绩56,城镇中学的竞赛平均成绩60;(Ⅱ)见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和即可得平均值;(Ⅱ)根据已知数据完成列联表,再利用公式计算出观测值,再查表下结论即可.【详解】(Ⅰ)农村中学的竞赛平均成绩,城镇中学的竞赛平均成绩.(Ⅱ),有的把握认为“农村中学和城镇中学的学生对交通安全知识的掌握情况有显著差异”【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时,易出错,应注意区分这三者.在频率分布直方图中:(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18.如图,在梯形中,,,,四边形是正方形,且,点在线段上.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当平面时,求四棱锥的体积.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)分析梯形的角度可得,即得,又,从而得证;(Ⅱ)设对角线,交于点,连接,易得四边形是平行四边形,得,由梯形面积公式可得底面积,高为,利用椎体的体积公式即可得解.【详解】(Ⅰ)由题设易得,所以,,,(第2问用)因此,又,和为平面内两条相交直线,所以平面(Ⅱ)设对角线,交于点,连接,则由平面可得,进而四边形是平行四边形,所以.四棱锥的底面积是.由(Ⅰ)知四棱锥的高是所以体积.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明及线面平行的性质,还有椎体的体积公式,考查一定的空间想象力,属于中档题.19.已知数列的前项的和,是等差数列,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)令,求数列的前项和.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)由及时,可得,再由是等差数列,利用基本量运算求解即可;(Ⅱ)由,利用错位相减法求和即可.【详解】(Ⅰ),时,,也符合此式,所以.又,,可得,,所以(Ⅱ),所以,所以,错位相减得,所以【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等.20.如图,是的外角平分线,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,,求的长.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)由角平分线及互补的关系可得,可得,从而得解;(Ⅱ)在和中,分别用余弦定理表示和,再利用,解方程即可得解.【详解】(Ⅰ)由题设,,所以(Ⅱ)在中,由余弦定理,在中,又,所以,进而.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的灵活应用,需要对图形的几何特征进行分析,需要一定的能力,属于中档题.21.已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过,.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率;(Ⅱ)四边形的四个顶点都在椭圆上,且对角线,过原点,若,求证:四边形的面积为定值,并求出此定值.【答案】(Ⅰ)标准方程,离心率(Ⅱ)详见解析【解析】【分析】(Ⅰ)先设椭圆方程,再由题意,列方程组求解即可;(Ⅱ)先设的方程为,联立直线与曲线方程,由根与系数关系,结合题意表示出,即可求出的关系式,进而由面积公式可求出结果.【详解】(I)设椭圆的方程为,则所以椭圆的标准方程,所以,离心率(Ⅱ)证明:不妨设点、位于轴的上方,则直线的斜率存在,设的方程为,,.联立,得,则,. ①由,得. ②由①、②,得. ③设原点到直线的距离为,,④由③、④,得,故四边形的面积为定值,且定值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程,以及椭圆的简单性质,通常情况下,需要联立直线与曲线方程,结合根与系数的关系来求解,属于中档试题.22.已知函数在处的切线方程.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)证明:当时.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题设,运算求解即可;(Ⅱ)令,,通过求两次导数分析函数单调性可得存在在唯一的使得,当或者时,单调递增,当时,单调递减,进而有,从而得证.【详解】(Ⅰ),由题设(Ⅱ)实际上是证明时,的图象在切线的上方.令,,则,,所以在上单调递减,在上单调递增;在唯一的极小值.注意到,,而,所以,所以;又因为在上单调递减,所以存在在唯一的使得;因此当或者时,,当时,;所以当或者时,单调递增,当时,单调递减;由于,所以,当且仅当时等号成立;所以时,不等式成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。
安徽省1号卷A10联盟2019届高三下学期4月联考数学(文科)试题+答案+详解

A10联盟2019届高三下学期4月联考数学(文科)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.请在答题卷上作答.第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题分别给出四个选项,只有一个选项符合题意)1.设集合1124xA x N⎧⎫⎪⎪⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪≤⎪⎩⎭,{1,2,3,4}B =,则A B ⋂=( ). A .{1} B .∅ C .{3,4} D .{2,3,4} 2.已知复数z 满足(12)26i z i -=+(i 是虚数单位),则复数z 的虚部为( ). A .2 B .2- C .2i D .4-3.某小学六年级一班学生期末测试数学成绩统计如下图所示,则该班学生测试成绩的中位数为( ).A .77.5B .76.5C .77D .764.过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作其实轴的垂线l ,若l 与双曲线C 及其渐近线在第一象限分别交于点A ,B ,且2FB FA =u u u r u u u r,则该双曲线的离心率为( ).ABCD5.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它由四个全等的直角三角形围成,其中3sin 5BAC ∠=,现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍,得到如图2的数学风车,岩在该数学风车内随机取一点,则该点恰好取自“赵爽弦图”外面(图中阴影部分)的概率为( ).A .2543 B .1843C .2549D .24496.已知函数()2||101()x x f x x e+=⋅,则函数()f x 的图象大致为( ).A .B .C .D .7.运行如图所示的程序框图,若输入S 的值为2019,则输出S 的值为( ).A .1441-B .441-C .431-D .440-8.已知某几何体的三视图如图所示,则图中点A 、B 在该几何体中对应的两点间的距离等于( ).A. B. C. D.9.已知函数224,1()log (1),1x x m x f x x x ⎧++≤-=⎨+>-⎩,若函数()()1g x f x =+有三个零点,则实数m 的取值范围是( ).A .(2,)+∞B .(2,3]C .[2,3)D .(1,3) 10.记函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将函数()f x 的图象向右移动512π个单位后,得到函数()g x 的图象.现有如下命题:1p :函数()g x 的图象关于直线12x π=对称;2p :函数()g x 在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增;3p :函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-.则下列命题是真命题的为( ).A .12p p ∨B .()13p p ∨⌝C .()33p p ⌝∧D .12p p ∧11.已知三棱锥D ABC -的体积为6,在ABC V 中,2AB =,4AC =,60BAC ︒∠=,且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是AD 的中点,则球O 的表面积等于( ). A .323π B .643πC .43πD .42π 12.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ',若()()f x f x '<,则不等式4(2)(34)x e f x e f x ⋅<⋅-的解集是( ).A .(,2)-∞B .(2,)+∞C .(4,)+∞D .(,4)-∞第Ⅱ卷 非选择题(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.若实数x ,y 满足约束条件0129x y x x y ≥⎧⎪≥+⎨⎪+≤⎩,则3z x y =+的最大值是________.14.在四边形ABCD 中,AD BC =u u u r u u u r ,(2,4)AB =u u u r ,(3,5)BD =--u u u r ,则AC u u u r 在AB u u u r上的投影为________.15.已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,2)(0)P a a >到焦点F 的距离为3,过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于M 、N 两点,点P 到直线l 的距离为d ,当d 取得最大值时,PMN V 的面积等于________.16.已知在ABC V 中,线段AC 的垂直平分线与线段AB 的垂直平分线交于点P ,若230AP CB BA ++=u u u r u u u r u u u r ,则sin A 的值为________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足26a =,()*1nn na n n N a a +=∈-.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18.(本小题满分12分)如图,已知111ABC A B C -是直三棱柱,AC BC ⊥,11AC BC CC ===,点D 为1AA 的中点,点E 在AC 上,且DE ∥平面1A BC .(Ⅰ)求证:平面11A BC ⊥平面11A B C ; (Ⅱ)求三棱锥11E A B C -的体积. 19.(本小题满分12分)某教师将寒假期间该校所有学生阅读小说的时间统计如下图所示,并统计了部分学生阅读小说的类型,得到的数据如下表所示:(Ⅰ)是否有99.9%把握认为“性别”与“阅读小说的类型”有关?(Ⅱ)求学生阅读小说时间的众数和平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅲ)若按照分层抽样的方法从阅读时间在[16,18)、[18,20]的学生中随机抽取6人,再从这6人中随机挑选2人介绍选取小说类型的缘由,求所挑选的2人阅读时间都在[16,18)的概率.附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++.20.(本小题满分12分)已知椭圆22:13x C y +=,斜率为l 的直线l 与椭圆C 交于()11,A x y ,()22,B x y 两点,且12x x >. (Ⅰ)若A ,B 两点不关于原点对称,点D 为线段AB 的中点,求直线OD 的斜率; (Ⅱ)若存在点()03,E y ,使得45EBA AEB ︒∠=∠=,求直线AB 的方程. 21.(本小题满分12分)已知函数2()ln f x x x x λ=+,R λ∈.(Ⅰ)若1λ=-,求曲线()f x 在点(1,(1)) f 处的切线方程;(Ⅱ)若关于x 的不等式()f x λ≤在[1,)+∞上恒成立,求实数λ的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意:只能做选定的题目,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数分程 已知在极坐标系中,曲线1Ccos 04m πθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.以极点为原点,极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,曲线2C的参数方程为1x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数).(Ⅰ)求曲线1C 的直角坐标方程以及曲线2C 的极坐标方程;(Ⅱ)若曲线1C ,2C 交于M ,N 两点,且(0,)A m ,||||2AM AN ⋅=,求m 的值. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()|1||2|f x x x a =+++,a R ∈. (Ⅰ)当0a =时,求不等式()5f x ≤的解集;(Ⅱ)若()2f x ≥对于x R ∀∈恒成立,求a 的取值范围.1号卷·A10联盟2019届高三下学期4月联考数学(文科)参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.D 由题意得,{|2}A x N x =∈≥,故{2,3,4}A B ⋂=,故选D . 2.A 由题意得,(26)(12)2461222(12)(12)5i i i i z i i i ++++-===-+-+,则复数z 的虚部为2,故选A .3.B 由茎叶图知,共有30个数据,将数据按照从小到大排列之后,第15个数为76,第16个数为77,则所求中位数为76.5,故选B .4.A 设(,0)(0)F c c >,则2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,bc B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又2FB FA =u u u r u u u r ,则22bc b a a =,2c b ==,化简得2a =,则离心率3c e a ==.故选A . 5.D 在Rt ABC V 中,3sin 5BAC ∠=,不妨设3BC =,则5AB =,4AC =,则阴影部分的面积为1443242⨯⨯⨯=,数学风车的面积为224549+=,∴所求概率2449P =.故选D . 6.A 由题意得,函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞,关于原点对称,且()22||10110()1()()x xx x f x f x x e x e -⎡⎤+-+⎣⎦-==-=--⋅⋅r,故函数()f x 为奇函数,则函数()f x 的图象关于原点对称,排除B ;因为20(1)0f e =>,排除C ;又552(5)2f e=<,排除D ;故选A . 7.B 第一次循环,201932016S =-=,3n =;第二次循环,3201631989S =-=,5n =;第三次循环,5198931746S =-=,7n =;第四次循环,717463441S =-=-,9n =;此时0S n +<0,则输出的S 的值为441-,故选B .8.C 作出该几何体的直观图如图所示,点A 和点B 在几何体中对应的位置如图所示,则||AB ==C .9.C 令()0g x =,故()1f x =-,故当1x ≤-时,函数2()4f x x x m =++的图象与直线1y =-有两个交点,结合图象可知(2)41(1)31f m f m -=-<-⎧⎨-=-≥-⎩,解得23m ≤<,故选C .10.C 由题意得,552()2cos 22cos 22sin 2126636g x f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;将12x π=代入()g x ,得012g π⎛⎫=⎪⎝⎭,故命题1p 为假命题;函数()g x 在35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先减后增,故命题2p 为假命题;当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,∴()[1,2]g x ∈-,故命题3p 为真命题.综上,12p p ∨、()13p p ∨⌝、12p p ∧为假命题,()23p p ⌝∧为真命题,故选C .11.C 在ABC V中,由余弦定理得BC =222AB BC AC +=,∴ABC V 是直角三角形.设三棱锥D ABC -的高为h ,则112632V h =⨯⨯⨯=6,解得h =.取AC 边的中点为1O ,连接1OO ,则1OO ⊥平面ABC,且122h OO ==,则R OA ====,∴球O 的表面积2443S R ππ==,故选C .12.D 由题意得,()()0f x f x '-<,即2()()0x x x e f x e f x e '-<,∴()0x f x e '⎡⎤<⎢⎥⎣⎦,故函数()()x f x g x e =在R 上单调递减.∵4(2)(34)x e f x e f x ⋅<⋅-,∴234(2)(34)x x f x f x e e--<,即(2)(34)g x g x <-,∴234x x >-,解得4x <,故选D .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.353作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,其中(0,9)A ,(0,1)B ,811,33C ⎛⎫⎪⎝⎭.作直线:30l x y +=,平移直线l ,当其经过点811,33C ⎛⎫⎪⎝⎭时,z 取得最大值,∴max353z =.14.5由AD BC =u u u r u u u r得四边形ABCD 是平行四边形, 且(2,4)(3,5)(1,1)AD AB BD =+=+--=--u u u r u u u r u u u r, 则(2,4)(1,1)(1,3)AC AB AD =+=+--=u u u r u u u r u u u r,∴AC u u u r 在AB u u u r上的投影为||cos 5||AB AC AC AB θ⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r . 15.54 由题意得,232p+=,解得2p =,则抛物线C 的方程为24x y =.则点P的坐标为,当d 取得最大值时,PF l ⊥,∵4PF k =,∴直线l的斜率k =-,则直线l的方程为1y =-+,联立241x y y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩,得240x +-=,∴12x x +=-,124x x =-,∴12||36MN x =-=,∴11||||3635422PMN S MN PF =⋅=⨯⨯=V . 16由题意得,点P 为ABC V 的外心.不妨设ABC V 外接圆的半径2R =,因为230AP CB BA ++=u u u r u u u r u u u r,故2AC AP AB BP =-=u u u r u u u r u u u r u u u r ①,故112AC BP ==.取AC 的中点M ,则PM AC ⊥,如图所示,且B 与A 位于直线PM 同侧,∵AC PB ∥, ∴1cos cos 4MC BPC PCM PC ∠=-∠=-=-;在BPC V 中,由余弦定理得,BC ==在ABC V 中,由正弦定理得sin 2BC BAC R ∠==. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分) (Ⅰ)∵26a =,()*1nn na n n N a a +=∈-,∴13a =且1(1)n n a n a +=+,即11n n a n a n++=; 2分 由累乘法得12111121123121n n n n n a a a n n a a a na n a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯==--……, 则数列{}n a 是等差数列,其通项公式为3n a n =. 5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2(33)3322n n n n nS +⋅+==, 则122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 8分∴21111121211322313133n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭…. 12分 18.(本小题满分12分)(Ⅰ)由题意得,四边形11BCC B 是正方形,∴11B C BC ⊥,又AC BC ⊥,∴1111AC B C ⊥. 1分在直三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥平面111A B C ,11A C ⊂平面111A B C ,∴111AC CC ⊥, 2分又1111CC C B C ⋂=,111,CC C B ⊂平面11BCC B ,∴11A C ⊥平面11BCC B .又1B C ⊂平面11BCC B ,∴111AC B C ⊥. 4分∵1111AC BC C ⋂=,111,AC BC ⊂平面11A BC ,∴1B C ⊥平面11A BC , 6分又1B C ⊂平面11A B C ,∴平面11A BC ⊥平面11A B C . 7分(Ⅱ)∵D 是1AA 的中点,点E 在AC 上,∴DE ⊂平面11ACC A ,∵DE ∥平面1A BC ,平面11ACC A ⋂平面11A BC AC =,∴1DE AC ∥, ∴E 为AC 的中点. 10分 ∴11111111111111332212E A B C B EA C A CE V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=V . 12分 19.(本小题满分12分)(Ⅰ)由题意得,完善列联表如下表所示:∴22200(80703020)50.50510.82811090100100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 3分 ∴有99.9%的把握认为“性别”与“阅读小说的类型”有关. 4分(Ⅱ)由题意得,所求众数为15; 5分所求平均数为110.16130.24150.3170.2 1.76 3.12 4.5 3.4 1.914.6190.81⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++==. 8分(Ⅲ)由题意得,抽取的6人阅读时间在[16,18)的有4人,记为A ,B ,C ,D ,阅读时间在[18,20)的有2人,记为a ,b ,则从6人中挑选2人,所有的情况共15种,它们是:(,)A B ,(,)A C ,(,)A D ,(,)A a ,(,)A b ,(,)B C ,(,)B D ,(,)B a ,(,)B b ,(,)C D ,(,)C a ,(,)C b ,(,)D a ,(,)D b ,(,)a b . 其中满足条件的有6种,故所求概率62155P ==. 12分 20.(本小题满分12分) (Ⅰ)由题意得,221122221313x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 两式相减得,()()()()1212121203x x x x y y y y -++-+=, 2分 故21122112113AB y y x x k x x y y -+==-⋅=-+, 3分 则12121212012302OD y y y y k x x x x +-+===-++-. 5分 (Ⅱ)设直线AB 的方程为y x m =+, 联立2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得2246330x mx m ++-=,令223648480m m ∆=-+>,解得22m -<<. ∴1232x x m +=-,()212314x x m =-. 7分 在ABE V 中,45EBA AEB ︒∠=∠=,且直线l 的倾斜角也为45︒,∴BE x ∥轴. 8分过点A 作BE 的垂线,则垂足F 为线段BE 的中点.设点F 的坐标为(),F F x y ,则2132F x x x +==. 9分 由方程组()12212213231432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩,化简得2210m m ++=,解得1m =-. 11分 而1(2,2)m =-∈-,则直线AB 的方程为1y x =-. 12分21.(本小题满分12分)(Ⅰ)当1 λ=-时,2()ln f x x x x =-,则()ln 12f x x x '=+-,故(1)1f '=-,又(1)1f =-,故所求切线方程为(1)1(1)y x --=-⋅-,即0x y +=. 4分(Ⅱ)由题意得,2ln x x x λλ+≤在[1,)+∞上恒成立.设函数()2()ln 1g x x x x λ=+-,则()ln 12g x x x λ'=++,故对任意[1,)x ∈+∞,不等式()0(1)g x g ≤=恒成立. ①当()0g x '≤,即ln 12x xλ+≤-恒成立时,函数()g x 在[1,)+∞上单调递减. 设ln 1()x r x x +=,则2ln ()0x r x x -'=≤, ∴max ()(1)1r x r ==,即12λ≤-,解得12λ≤-,符合题意; 8分 ②当0λ≥时,()0g x '≥恒成立,此时函数()g x 在[1,)+∞上单调递增.则不等式()(1)0g x g ≥=对任意[1,)x ∈+∞恒成立,不符合题意; 9分 ③当102λ-<<时,设()()ln 12q x g x x x λ'==++,则1()2q x xλ'=+, 令()0q x '=,解得112x λ=->. 当11,2x λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0q x '>,此时()q x 单调递增,∴()(1)120q x q λ>=+>, 故当11,2x λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,函数()g x 单调递增,∴当11,2x λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0g x >成立,不符合题意. 11分 综上所述,实数λ的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 12分 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程cos 04m πθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,∴(cos sin )0m ρθρθ-+=,1分 则曲线1C 的直角坐标方程为0x y m -+=.∵22(1)2x y -+=,∴22210x y x +--=,则曲线2C 的极坐标方程为22cos 10ρρθ--=. 5分(Ⅱ)设曲线1C的参数方程为22x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),代入22210x y x +--=中,整理得2210t t m +-+-=,7分 22460m m ∆=--+>,解得31m -<<.设M ,N 对应的参数分别为1t ,2t ,则2121t t m ⋅=-,8分 由t 的几何意义得,212||||12AM AN t t m ⋅=⋅=-=,9分解得m =又31m -<<,∴m = 10分23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲(Ⅰ)当0a =时,()|1||2|5f x x x =++≤,则1315x x <-⎧⎨--≤⎩或1015x x -≤≤⎧⎨-+≤⎩或0315x x >⎧⎨+≤⎩,2分分别解得21x -≤<-或10x -≤≤或403x <≤,∴不等式()5f x ≤的解集为42,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 5分 (Ⅱ)方法一:()|1||2||1|122a a f x x x a x x =+++≥+++-…, 当且仅当2a x =-时取等号, 8分 ∴min ()122a f x =-≥,解得2a ≤-或6a ≥, 即a 的取值范围是(,2][6,)-∞-⋃+∞. 10分方法二:当2a <时,31,1()|1||2|1,1231,2x a x a f x x x a x a x a x a x ⎧⎪---<-⎪⎪=+++=-+--≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩, 则函数在,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减,在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增, ∴min ()1222a a f x f ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭,解得2a ≤-; 7分 当2a =时,()3|1|f x x =+,最小值是0,不符合题意; 8分当2a >时,31,2()|1||2|1,1231,1a x a x a f x x x a x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+++=+--≤≤-⎨⎪++>-⎪⎪⎩. 则函数在,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减,在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增, 此时min ()1222a a f x f ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭,解得6a ≥. 9分 综上所述,a 的取值范围是(,2][6,)-∞-⋃+∞. 10分。
2019届安徽省江南十校高三上学期第二次联考数学(文科)试题(word版)

江南十校2019届高三第二次大联考数学(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位,则化简20181()1i i+-的结果为( ) A. i B. i - C. -1 D. 1【答案】C2.已知集合{|1}A x x =<,{|21}x B x =<,则有( )A. {|10}A B x x ?-<<B. A BR ? C. {}1A B x x ? D. A B f ? 【答案】A3.若,R a b Î,则“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的0x =,则一开始输入的x 值为( )A. 1516B. 34C. 78D. 3132【答案】A5.在递增等比数列{}n a 中,1510a a +=,34a =,则19a =( )A. 192B. 202C. 92D. 1026.已知直线1:360l mx y -+=,2:43120l x my -+=,若12//l l ,则12,l l 之间的距离为( )【答案】A7.已知2sin()43p a +=,则sin 2a =( )A. 19B. 19-C. 9D. 9- 【答案】B8.如图(1)所示的是三棱台,其三视图如图(2)所示(其中正视图是直角三角形,侧视图和俯视图为直角梯形),则该三棱台的表面积为( )A. 34+34+34+【答案】B9.在ABC D 中,三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos sin a b C B =,则B =( ) A. 23p B. 3p C. 4p D. 6p 【答案】D 10.已知曲线1:sin(2)3C y x p=+,2:cos C y x =,要想由2C 得到1C ,下面结论正确的是( )A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移6p 个单位 B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移12p 个单位 C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍(纵坐标不变),再向右平移6p 个单位 D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍(纵坐标不变),再向右平移12p 个单位 【答案】D11.设,x y 为负实数且23x y =,则下列说法正确的是( )A. 32y x =B. 32y x <C. 23x y <D. 以上都不对【答案】C12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)p p -?上的偶函数()f x 的导函数,且()02f p=,当(0,)x p Î时,不等式'()sin ()cos 0f x x f x x ->恒成立,若2()6a f p =--,2()6b f p =,()4c p ,则,,a b c 的大小关系是( ) A. c a b << B. b a c << C. a c b << D. b c a <<【答案】D二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.如图所示,在矩形ABCD 中,22AB AD ==,沿对角线AC 将其折成直二面角,连结BD ,则该三棱锥D ABC -的体积为__________.【答案】1514.设,x y 满足约束条件2210x y x y ì+?ïí-?ïî,则32z x y =-的最小值为__________.【答案】15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB?,半径为2,C 是其弧上一点,若OC OA OB l m =+,则·l m 的最大值为__________. 【答案】1216.已知定义在(1,)+?的两个函数2()e f x m x =+和()ln g x x =(e 是自然对数的底),若在()()1f x g x >的解集内有且只有两个整数,则实数m 的范围是__________. 【答案】121(,]ln 33ln 42e e -- 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在ABC D 中,三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知向量(2sin ,cos 2)m x x =,(3cos ,1)n x =,函数()?f x m n =且()1f B =.(1)求角B 的值;(2)若23BA BC +=且,,a b c 成等差数列,求b .【答案】(1)3B p =;(2)2 【解析】【分析】(1)利用向量的数量积的坐标运算,以及辅助角公式,化简()f x 的表达式,利用()1f B =求得B 的大小.(2)利用等差数列的性质、余弦定理,以及向量模的运算,列方程,解方程可求得b 的值.【详解】(1)()·23sin cos cos2f x m n x x x ==+ cos2x x +整理得:()2sin 26f x x p 骣琪=+琪桫, ∵()1f B =, ∴2sin 216B p 骣琪+=琪桫 1sin 262B p 骣琪?=琪桫, ∵()0,B p Î,∴3B p =; (2)由,,a b c 成等差数列,得:2b a c =+, 由余弦定理得:222a c ac b +-=, 由23BA BC +=,得:2212a c ac ++=,三个等式联立解得:2b =.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算,辅助角公式化简求值,考查等差中项的性质,考查余弦定理解三角形,还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列{}n a 的前n 项和n S ,且2n S n n =+,等比数列{}n b 的前n 项和n T ,且2n n T m =+.(1)求{}n a 和{}n b 的通项;(2)求数列{}·n n a b 的前n 项和.【答案】(1)2n a n = ()*n N Î;12n n b -=(2)()121?2n n ++-【解析】【分析】(1)利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî,求得数列n a 的通项公式.同理也求得n b 的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得前n 项和.【详解】(1)由2n S n n =+,得:()()22111n S n n n n -=-+-=-,()122n n n a S S n n -=-=?∵211112a S ==+=符合公式,2n a n = ()*n N Î同理:由2n n T m =+,推得:()122n n b n -=?,12b m =+∵{}n b 是等比数列,∴11b = 1m ?- 12n n b -?(2)设··2n n n n c a b n ==,n Q 是其前n 项和,∵123122232?2n n Q n =???+ ∴()234121222321?2?2n n n Q n n +=???+-+两式相减得:2312222?2n n n Q n +-=++++- ∴()121?2n n Q n +=+- 另解:∵()()1·21?22?2n n n n c n n n +==---,∴()()()21324310?21?21?20?22?21?21?22?2n n n Q n n +=--+-+-++---()121?2n n +=+-【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a 得方法,考查错位相减求和法. 已知n S 求n a 得方法是利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî来求数列的通项公式.属于中档题. 19.已知两个定点(1,0)A -,(2,0)B ,动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍.(1)求P 点的轨迹E ;(2)若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线,求此切线的方程.【答案】(1)见解析;(2)1x =或3410x y -+=【解析】【分析】(1)利用两点间的距离公式列方程,化简后可求得轨迹E 的方程.(2)由于轨迹E 是圆,故设切线方程为点斜式,然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程,求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意,由此求得题目所求的切线方程,有两条.【详解】(1)设动点(),P x y ,则2PA PB =,= 化简得:()2234x y -+=所以动点P 的轨迹E 是以()3,0为圆心,以2为半径的圆;(2)设():11l y k x -=-是圆E 的切线,则有:324k =?, 当k 不存在时,:1l x =恰好与圆E 切于()1,0点,综合得:切线方程为:1x =或3410x y -+=.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程,考查圆的切线方程的求法,属于中档题.直接法求动点的轨迹方程,首先设出动点的坐标为(),x y ,然后代入题目所给的已知条件中,如本题中的长度关系式,然后化简即可得到所求点的轨迹方程,要注意验证特殊位置是否满足.20.已知函数3211()32a f x x x ax +=-+(a 为常数,a R Î). (1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若函数()f x 在(31,2)a a -上单调递减,求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2)12【解析】【分析】(1)对函数求导后,对a 分成1,1,1a a a >=<三类,讨论函数的单调递增区间.(2)根据题目所给区间求得a 的范围,根据导数求得函数的减区间,题目所给区间是这个区间的子集,由此求得a 的取值范围.【详解】(1)∵()()()()2'11f x x a x a x x a =-++=--, 所以,当1a =时,()()2'10f x x =-?,()f x 递增区间为(),-??; 当1a >时,()()()'10f x x x a =--> x a ?或1x <, ∴()f x 递增区间为(),1-?和(),a +?; 当1a <时,()()()'10f x x x a =--> 1x ?或x a <, ∴()f x 递增区间为(),a -?和()1,+?; (2)∵312a a -<, ∴1a <,当1a <时,()()()'10f x x x a =--< 1a x ?<, 即()f x 的递减区间为(),1a , ∴()()31,2,1a a a -? 3121a a a ì-?ïÞí£ïî 12a ?. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间,考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中,主要是一个工具的作用,在导数为正数的区间,函数是单调递增的,在导数为负数的区间,函数是单调递减的.本小题属于中档题.21.一幅标准的三角板如图(1)中,ABC Ð为直角,060A ?,DEF Ð为直角,045D ?,且B C D F =,把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面,连结AE 如图(2).(1)若M 是AC 的中点,求证:EM BC ^;(2)在《九章算术》中,称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”,若图(2)中A B a =,三棱锥A BEC -的体积为314a ,则图(2)是否为鳖臑?说明理由.【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】【分析】(1)取BC 的中点N ,连接,MN EN ,通过证明直线BC ^平面MNE ,证得直线BC BM ^.(2)根据AB 的长度,求得,,BC BE CE 的长度,求得三角形BEC 的面积,利用体积公式后求得三棱锥的高为a ,由此证得AB ^平面BEC ,进而证得四个三角形都是直角三角形.【详解】(1)证明:设BC 中点为N ,连结,MN EN ,∵AB BC ^,//MN AB ,∴MN BC ^,∵BE EC ^,BE EC =,BN CN =,∴EN BC ^∵MN EN N ?,∴BC ^平面MNE ,故ME BC ^;(2)此时三棱锥A BEC -时鳖臑∵AB a = BC?,BE CE == 234BEC S a D ? 又三棱锥的体积314V a =?高h a =, 所以AB ^平面BEC ,那么,在三棱锥A BEC -中,,,ABC ABE BEC 行?显然是直角,∵CE BE ^,CE AB ^,AB EB B CE ?轣平面ABECE AE 轣 AEC 扌也是直角那么,该三棱锥的四个面都是直角三角形,所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明,考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式,以及线面垂直的证明,属于中档题.22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x =+-+.(1)当3a =时,求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程;(2)若()0f x >在(1,)+?上恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)550x y --=;(2)1[,)2a ??【解析】【分析】(1)当3a =时,求得切点和斜率,由此求出切线方程.(2)求出函数的导数后,对a 分成110,0,22a a a ?<?三类,讨论函数的单调区间以及最值,由此求得a 的取值范围. 【详解】(1)()()331ln 1a f x x x x =?+-+ ()'15f ?,∵()10f =,∴所求切线方程为()51y x =-,即所求切线方程是550x y --=; (2)()()11'ln 1ln 11a x f x a x a x x x 骣+琪=+-=++-琪桫 若0a £,∵()()1'0x f x f x >??单调递减,∵()10f =?在()1,+?上,()0f x <,不合题意;若0a >,由()()1'ln 1a x f x a x x +=+- ()()21''a x f x x -?, ∵()()1''0'x f x f x >??单调递增,由于()'121f a =-, 那么,102a <<时,()'1210f a =-<, 11'110a a f e a ae -骣琪=++->琪桫则101,a x e 骣琪$?琪桫,()0'0f x =那么在()01,x 上,()'0f x <,()f x 单调递减,∵()10f =,∴在()01,x 上,()0f x <,不合题意; 若12a ³,()()1''0'x f x f x >??单调递增,()()()'1210'0f a f x f x =-侈侈单调递增, ∵()10f =,∴1x >,()0f x >,符合题意. 综合上述得:1,2a 轹÷??ê÷ê滕.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程,考查利用导数求解不等式恒成立问题,属于难题.- 11 -。
安徽江淮十校2019高考数学(文)第一次联考试题(解析版)

安徽省江淮十校2019届高三上学期第一次联考数学(文)试题一:选择题。
1.已知集合,集合0,1,3,,则A. 1,B.C. 0,1,D. 1,【答案】A【解析】【分析】由题意,求得集合,利用集合交集的运算,即可得到答案.【详解】由题意,集合集合,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算,其中解答中熟记集合的交集的运算方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2.若复数i为虚数单位是纯虚数,则实数a的值为A. 0B.C.D. 1【答案】C【解析】【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简,然后由实部等于0且虚部不等于0列式求解实数a的值.【详解】由题意,复数为纯虚数,,解得:,故选:C.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算和复数的基本概念,其中解答中熟练应用复数的四则运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.3.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本,其中城镇户籍与农村户籍各100人;男性120人,女性80人,绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示,其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 倾向选择生育二胎的人群中,男性人数与女性人数相同D. 倾向选择不生育二胎的人群中,农村户籍人数少于城镇户籍人数【答案】C【解析】【分析】由题意,通过阅读理解、识图,将数据进行比对,通过计算可得出C选项错误.【详解】由比例图可知,是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关,倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数,倾向选择生育二胎的人员中,男性人数为人,女性人数为人,男性人数与女性人数不相同,故C错误,故选:C.【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用,其中解答中认真审题,正确理解条形图所表达的含义是解答的关键,着重考查了阅读理解能力、识图能力,属于基础题.4.若公比为2的等比数列的前n项和为,且,9,成等差数列,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,解方程可得首项,再由等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】由题意,公比q为2的等比数列的前n项和为,且,9,成等差数列,可得,解得,则.故选:B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的运用,等差数列中项性质,其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.5.已知函数是定义在R上的偶函数,且在上单调递增,则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意,由函数的奇偶性可得,,又由,结合函数的单调性分析可得答案.【详解】根据题意,函数是定义在R上的偶函数,则,,有,又由在上单调递增,则有;故选:C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用,其中解答中合理利用函数的基本性质是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.6.已知实数x,y满足,则的最大值是A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,确定目标函数的最优解,即可求解最值,得到答案.【详解】由题意,画出约束条件的可行域,如图所示:由,解得.经过可行域的时,纵截距最小,此时z最大,所以.故选:D.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.7.用24个棱长为1的小正方体组成的长方体,将共顶点的某三个面涂成红色,然后将长方体拆散开,搅拌均匀后从中任取一个小正方体,则它的涂成红色的面数为1的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】合理分类讨论思想、得出涂成红色的面数为1的基本事件的总数,再由古典概型概率计算公式直接求解,即可得到答案.【详解】由题意得:有三个面涂成红色的小正方体仅有一个,有两个面涂成红色的小正方体仅有个,仅有一个面涂成红色的小正方体有个,还剩下个小正方体它的六个面都没有涂色,它的涂成红色的面数为1的概率为.故选:B.【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.,属于基础题.解题时要准确理解题意,先要判断该概率模型是不是古典概型,正确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数,令古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是A. 225B. 75C. 275D. 300【答案】D【解析】【分析】模拟执模拟执行程序,依次写出每次循环得到的s,i的值,当时不满足条件,退出循环,输出的值为300,得到答案.【详解】行程序,可得,,,满足条件,,,满足条件,,,满足条件,,,不满足条件,退出循环,输出的值为300.故选:D.【点睛】本题主要考查了程序框图和算法问题,其中解答中依次写出每次循环得到的s,i的值是解题的关键,属于基础题,着重考查了推理与运算能力.9.将函数图象上所有点向左平移个单位,再将横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变,得到的图象,则下列叙述正确的是A. 是的对称轴B. 是的对称中心C. D.【答案】C【解析】【分析】可采用逆向法,直接利用三角函数关系式的恒等变变换和平移变换及诱导公式的应用求出结果.【详解】由题意,可采用逆向法,为得到:函数图象,只需将,的横坐标缩短为原来的,即:,再将图象向右平移个单位,即:,所以:,故:,故选:C.【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变变换和平移变换的应用,三角函数诱导公式的应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换和合理应用诱导公式化简是解答的关键,着重考查了运算能力和转化能力,属于基础题型.10.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图,结合三视图的数据,利用几何体的体积公式,即可求解,得到答案.【详解】由题意可知几何体是一个底面半径和高都是6的圆柱,挖去一个半圆锥的几何体如图:几何体的体积为:.故选:A.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算,在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解.11.设,分别为双曲线C:的左、右焦点,点P为双曲线右支上一点,M是的中点,且,,则双曲线的离心率为A. 5B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】运用双曲线的定义和为直角三角形,则,由离心率公式,即可求解双曲线的离心率,得到答案。
安徽省江南十校2019届高三冲刺联考(二模)试题数学(文)Word版含解析

2019年“江南十校”高三学生冲刺联考(二模)文科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,第I 卷第1至第2页,第II 卷第3至 第4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中座位号与本人座位号是否一致,务必在答題卡规定的地方填写考场/座位号、姓名、班级。
2.答第I 卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5亳米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰,作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚,必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
. 第1卷(选择题共60分)―、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合 A= {1<|x x },B = {2|-≥x x },则C R (A∩B )=A. {2<|-x x }B. {1|≥x x }C. {1x 2<|≥-或x x }D. {x >>2|或-≤x x }2.设i i z 2332+-=,复数2+z 位于复平面 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 3. 执行如图所示的程序框图,输出的S 的值为A.2B. 25C. 290941D. 1029 4. 已知抛物线方程为2ax y =,它的准线方程为81-=y ,则a 的值为 A. 21- B. 21 C.-2 D.25. 已知圆台上、下两底面与侧囿都与球相切,它的侧面积为π16,则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为A. π4B. π6C. π8D. π106. 已知: 31log ,)31(,411ln 11e e c b a ===,则 a ,b ,c 的大小关系为 A. c > a > b B. c > b > a C.b > a > c D.a > b > c7. 在平行四边形ABCD 中,E 为BC 的中点,点F 在CD 上, 且DF=2FCC ,连接AE 、BF 交于G 点,则=DGA.AD AB 7154- B. AD AB 7476- C. AD AB 7275- D. AD AB 7173- 8. 已知函数)(3cos 33sin )(R x x x x f ∈+=,曲线)(x f 与直线3=y 的交点中,相邻交点的距离最小值与最大值分别为A. 54,3ππB. 65,6ππC. 95,9ππD. 125,12ππ9.△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足B B A AC bc a c b cos sin 3cos sin 3sin 2)2(,33)(3)1(222=-+=+,则角C 为 A. 6π B. 65π C. 3π D. 32π 10. 如图所示,正方形ABCD 的边长为1,等腰直角△SAD 绕其直角边AD转动,另一直角边SD 与正方形一边DC 成θ角(0018<90θ≤),则异面直钱SA 与DB 所成角的取值范围为A. ]2,0(πB. ]6,0(πC. ]3,0(πD. ]2,6[ππ 11.已知双曲线方程12222=-by a x (a>0,b>0,a ≠b), A ,B 是它的两条渐近线上的点,△OAB 为直角三角形,则A ,B 两点横坐标的绝对值之比为A. ab b a 或 B. ||2222b a b a -+ C. 2222||b a b a +- D. ||2222b a b a -+或2222||b a b a +-12. 已知函数x x e e x f -+=4)(,则A.)(x f 在(-∞,2)单调递增,在(2, +∞)单调递减B.)(x f 在(-∞,2)单调递减,在(2, +∞)单调递增C.函数)(x f 的图象不关于直线2=x 对称D.函数)(x f 的图象关于点(2,0)对称(在此卷上答题无效)绝密★启用前2019年“江南十校”高三学生冲剌联考(二模)文科数学第Ⅱ卷(非选择题共90分)考生注意事项:请用0.3毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
安徽省江淮十校2019届高三上学期第一次联考数学(文)试题(含详细答案)

江淮十校2019届高三第一次联考数学(文科)第I卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|x∈N,x<5},集合N={-1,0,1,3,5},则M∩N= ( )A.{0,1,3}B.{1,3}C.{1,0,1,3}D.{1,1,3}2.若复数(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则a等于( )A.lB.0C.-2D.-13.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本,其中城镇户籍与农村户籍各100人;男性120人,女性80人,绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是( )A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别有关C.倾向选择生育二胎的人群中,男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的人群中,农村户籍人数少于城镇户籍人数4.若公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n,且a2,9,a5成等差数列,则S10=A.2x45-1B.45-1C.2x46-1D.46-15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则A.f(-3)< f(- log313) <f(20.6) B.f(-3)< f(20.6)< f(-log313)C.f(20.6)<f(-log313)<f(-3) D.f(20.6)<f(-3)< f(log313)6.已知实数x,y满足,则z=2x-y+2的最大值是A.2B.3C.4D.57.用24个棱长为1的小正方体组成2x3x4的长方体,将共顶点的某三个面涂成红色,然后将长方体拆散开,搅拌均匀后从中任取一个小正方体,则它的涂成红色的面数为1的概率为( )A.B.C.D.8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )A.225 B.75 C.275 D.3009.将函数f(x)=sin()图象上所有点向左平移个单位,再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到y= sinx的图象,则下列叙述正确的是( )A.是y=f(x)的对称轴B.(,0)是y=f(x)的对称中心C. D.10. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为A.180πB.144πC.200πD.166π11.设F1,F2分别为双曲线C:(a >0,b>0)的左、右焦点,点P为双曲线右支上一点,M是PF2的中点,且OM⊥PF2,3PF1=4PF2,则双曲线的离心率为( )A.5B. C.D.412.若对x l,x2∈(m,+∞),且x l <x2,都有,则m的最小值是注:(e为自然对数的底数,即e=2. 71828…)A.B.e C. l D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.若tanα= 3,α∈(0, ),则cos(α-)= .14.已知平面向量=(2m -1,1),= (-1,3m -2) ,且,则15.若圆C:x2+y2 +2x-4y +3 =0关于直线2ax+by+6 =0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是16.如图所示,点A,B,C在以点O为球心的球面上,已知AB =3,BC=,C =4,且点O到三角形ABC所在平面的距离为,则该球的表面积为三、解答题:本大题共6小题,共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)设数列{a n}的前n和为S n,已知a1 =1,a n+1=2S n+1,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n-n-1}的前n和T n.18.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2ccosC+ bcosA+ acosB=0.(1)求角C的大小;(2)若c=3,A=,求△ABC的面积.19.(本小题满分12分)下表为2014年至2017年某企业的线下销售额(单位:万元),其中年份代码x=年份- 2013.(1)已知y与x具有线性相关关系,求),关于x的线性回归方程,并预测2018年该企业的线下销售额;(2)随着网络购物的飞速发展,不少顾客对该企业的线下销售额持续增长表示怀疑,某调查机构为了解顾客对该企业的线下销售额持续增长的看法,随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种),其中对该企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人,能否在犯错误的概率不超过0. 025的前提下认为对该企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关?参考公式与数据:附:对于一组数据(x l,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),求回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为20.(本小题满分12分)已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD =2,AD=,AB =1,如图1所示,将△ABD沿BD折起到△PBD的位置,如图2所示,(1)当平面PBD⊥平面PBC时,求三棱锥P-BCD的体积;(2)求证:BD⊥PC.21.(本小题满分12分)已知椭圆C:(a>b>0)的焦距为2,以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,),椭圆的右顶点为A.(1)求椭圆C的方程;(2)过点D(2,-2)的直线l与椭圆C相交于两个不同的交点P,Q,记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值?并证明你的结论.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2 +xlnx(a为常数,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.71828 …).(1)若函数f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=(2e+2)x-e2 -e,k∈z且对任意x>1都成立,求k的最大值,。
2019届安徽省1号卷A10联盟高三下学期4月联考数学(文)试题(解析版)

2019 届安徽省 1 号卷·A10 联盟高三下学期 4 月联考数学(文)试题一、单选题1.设集合,,则()A .B.C. D .【答案】 D【解析】求解出集合,根据交集定义求得结果.【详解】由题意得,故本题正确选项:【点睛】本题考查集合运算中的交集运算,属于基础题.2.已知复数满足(是虚数单位),则复数的虚部为()A . 2B. -2C. 4 D . -4【答案】 A【解析】根据复数的除法运算得到,从而根据复数的概念得到虚部.【详解】由题意得:则复数的虚部为本题正确选项:【点睛】本题考查复数的概念以及复数运算中的除法运算,属于基础题.3.某小学六年级一班学生期末测试数学成绩统计如图所示,则该班学生测试成绩的中位数为()【答案】 B【解析】将个数据按从小到大顺序排列,可知中位数为第和第个数的平均数,由此可求得结果.【详解】由茎叶图知,共有个数据将数据从小到大排列之后,第个数为,第个数为则所求中位数为本题正确选项:【点睛】本题考查中位数的求解,属于基础题.4.过双曲线的右焦点作其实轴的垂线,若与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于,且,则该双曲线的离心率为()A .B.C. D .【答案】 A【解析】假设右焦点坐标,代入双曲线和渐近线方程求得坐标;根据得到的关系,再利用得到关系,从而求得离心率.【详解】由双曲线方程可知其渐近线为:设,则又,则则,化简得则离心率本题正确选项:【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题,关键是能够利用向量的关系得到关于的齐次方程,从而求得离心率.5.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它由四个全等的直角三角形围成,其数学风车,若在该数学风车内随机取一点,则该点恰好取自“赵爽弦图”外面(图中阴影部分)的概率为()A .B.C. D .【答案】 D【解析】根据正弦值求得直角三角形各边长,然后分别求解出阴影部分面积和数学风车面积,利用几何概型面积型的公式求得结果.【详解】在中,不妨设,则,则阴影部分的面积为;数学风车的面积为所求概率本题正确选项:【点睛】本题考查几何概型中面积型问题的求解,属于基础题.6.已知函数,则函数的图象大致为()A .B.C .D.【答案】 A【解析】根据奇偶性排除选项,再利用特殊值的方式,排除和,从而得到结果.函数的定义域为又,故函数为奇函数则函数的图象关于原点对称,排除因为,排除又,排除本题正确选项:【点睛】本题考查具体函数的图象的判断,对于此类问题通常采用排除法来解决,排除顺序通常为:奇偶性、特殊值、单调性.7.运行如图所示的程序框图,若输入的值为2019,则输出的值为()A . -1441B. -441C. -431 D . -440【答案】 B【解析】根据程序框图运行程序,直到时输出结果,可得.【详解】第一次循环:,;第二次循环:,;第三次循环:,;第四次循环:,;此时,则输出的的值为本题正确选项:【点睛】本题考查计算循环结构的程序框图的输出结果问题,属于常规题型.8.已知某几何体的三视图如图所示,则图中点、在该几何体中对应的两点间的距离A .B.C. D .【答案】 C【解析】由三视图还原几何体,从而根据垂直关系利用勾股定理求得结果.【详解】作出该几何体的直观图如下图,且点和点在几何体中对应的位置如图:则本题正确选项:【点睛】本题考查立体几何中两点间距离的求解,关键是能够通过三视图准确还原几何体,属于基础题 .9.已知函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围是()A .B.C. D .【答案】 C【解析】原题等价于有三个解;由解析式可知时有一个解,则可将问题变为当时,函数的图象与直线有两个交点;根据图象得到满足题意的不等式组,求解得到结果.【详解】令,则当时,由可得:,即,为一个零点故当时,函数的图象与直线有两个交点即可可得:,解得本题正确选项:【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围问题,关键是能够通过等价转化,将问题变为函数与平行于轴的直线的交点个数问题,进而通过数形结合的方式求解得到结果. 10.记函数,将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象 ,现有如下命题::函数的图象关于直线对称;:函数在区间上单调递增;:函数在区间上的值域为.则下列命题是真命题的为()A .B.C. D .【答案】 C【解析】通过图象变换得到,分别求解出对称轴、单调性和值域,判断出三个命题的真假性;再通过复合命题的真假性判断原则得到结果.【详解】由题意得,将代入,得,可知不是对称轴,故命题为假命题当时,,则函数在上先减后增,故命题为假命题;当时,,所以,故命题为真命题综上,、、为假命题,为真命题本题正确选项:根据正弦型函数的对称性、单调性、值域求解方法判断出各个命题的真假性.11.已知三棱锥的体积为 6,在中,,,,且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点,则球的表面积等于()A .B.C. D .【答案】 C【解析】余弦定理求得,根据勾股定理可知为直角三角形;根据三棱锥体积求得三棱锥的高;由球的性质可知球心与中点连线垂直于底面,且长度为;从而可求得外接球半径,进而根据球的表面积公式求得结果.【详解】在中,由余弦定理得是直角三角形设三棱锥的高为则三棱锥体积,解得取边的中点为,则为外接圆圆心连接,则平面,如下图所示:则则球的表面积本题正确选项:【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题,关键是能够通过球的性质:球心与截面圆圆心连线垂直12.定义在上的函数的导函数为,若,则不等式的解集是()A .B.C. D .【答案】 D【解析】根据构造出,从而得到在上单调递减;将所求不等式转化为,根据单调性可得,求解得到结果.【详解】由题意得:,即故函数在上单调递减,即即,解得本题正确选项:【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式的问题,关键是能够将不等式转化为同一函数不同函数值的比较,构造出函数,求导得到所构造函数的单调性,利用单调性将函数值的比较变为自变量的比较 .二、填空题13.已知实数满足,则的最大值为__________.【答案】【解析】根据不等式组画出平面区域;将问题转化为直线在轴截距最大的问题,通过图象可知经过点时最大,代入坐标求得结果.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示:由题意可得:作直线,平移直线,当其经过点,在轴截距最大;此时取得最大值本题正确结果:【点睛】本题考查线性规划求解最值问题,关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值问题,属于常规题型 .14.在四边形中,,,则在上的投影为__________ .【答案】【解析】根据向量的坐标运算求解出,再利用在方向上的投影公式求解出结果.【详解】由得四边形是平行四边形且则在上的投影为本题正确结果:【点睛】本题考查在方向上的投影问题,关键是能够通过坐标运算求得向量,再利用在方向上的投影等于求得结果 .线与抛物线相交于、两点,点到直线的距离为,当取得最大值时,的面积等于 __________.【答案】 54【解析】根据抛物线焦半径公式得到抛物线方程;根据抛物线性质可知当时,最大,从而可求得的方程;联立直线和抛物线方程,根据弦长公式求解出,进而得到所求面积 .【详解】根据到焦点距离为可得:,解得则抛物线的方程为,则点的坐标为,当时,点到直线距离最大直线的斜率则直线的方程为联立得,本题正确结果:【点睛】本题考查抛物线中三角形面积的求解问题,关键是能够分析出最大时的位置关系,熟练运用弦长公式求解出所需的长度,从而求得面积.16.已知在中,线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点,若,则的值为 __________ .【答案】【解析】由已知可知为的外心,设外接圆半径,根据向量线性运算可得到:;取中点,利用可求得;利用余弦定理求得;再根据正弦定理求得结果.由题意得,点为的外心设外接圆的半径因为,故即取的中点,则,且与位于直线同侧,如图所示:在中,由余弦定理得:在中,由正弦定理得本题正确结果:【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题,关键是能够通过向量的线性运算得到平行关系和长度关系,根据边的比例关系求得所需的余弦值.三、解答题17.已知数列满足,.( 1)求数列的通项公式;( 2)设为数列的前项和,求数列的前项和.【答案】( 1)(2).【解析】( 1)根据可得,利用累乘法可求得;(2)由的通项公式可知数列为等差数列,利用等差数列求和公式求得,得到;再利用裂项相消法求得.【详解】( 1),且,即由累乘法得则数列是首项为,公差为的等差数列,通项公式为(2)由( 1)知,则【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式、裂项相消法求解数列的前项和的问题;关键是能够根据递推关系确定采用累乘法求解通项;根据的形式确定裂项的方式,属于常规题型 .18.如图,已知是直三棱柱,,,点为的中点,点在上,且平面.( 1)求证:平面平面;( 2)求三棱锥的体积 .【答案】( 1)见解析(2)【解析】( 1)根据正方形特点得;再根据线面垂直的性质证得;从而可证得平面;根据面面垂直的判定定理得到结论;( 2)根据线面平行的性质可得,可知为中点;通过体积桥即求得结果 .【详解】( 1)由题意得,四边形是正方形又在直三棱柱中,平面,平面又,平面平面又平面,平面平面又平面平面平面( 2)是的中点,点在上平面平面,平面平面为的中点【点睛】本题考查面面垂直的证明、三棱锥体积的求解问题,其中还涉及到线面平行的性质、线面垂直的判定及性质等定理的应用;解决三棱锥体积问题的常用方法是采用体积桥的方式,使得三棱锥的高易于求解.19.某教师将寒假期间该校所有学生阅读小说的时间统计如下图所示,并统计了部分学生阅读小说的类型,得到的数据如下表所示:男生女生阅读武侠小说8030阅读都市小说2070( 1)是否有99.9% 的把握认为“性别”与“阅读小说的类型”有关?( 2)求学生阅读小说时间的众数和平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表);( 3)若按照分层抽样的方法从阅读时间在、的学生中随机抽取 6 人,再从这 6 人中随机挑选 2 人介绍选取小说类型的缘由,求所挑选的 2 人阅读时间都在的概率 .附:,.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】( 1)见解析( 2)众数为15,平均数为(3).【解析】( 1)通过公式计算求得,对比临界值表可得结果;(2)众数为最高矩形横坐标的中点;平均数为每个矩形横坐标中点与对应矩形面积乘积的总和,求解得到结果;( 3)根据分层抽样可确定抽取的人阅读时间在的有人;阅读时间在的有人,列举出所有的情况和符合题意的情况,根据古典概型公式求得结果.【详解】( 1)由题意得,完善列联表如下:男生女生总计阅读武侠小说阅读都市小说总计有的把握认为“性别”与“阅读小说的类型”有关( 2)由题意得,所求众数为;所求平均数为( 3)由题意得,抽取的人阅读时间在的有人,记为;阅读时间在的有人,记为则从人中挑选人,所有的情况共种,它们是:,其中满足条件的有种:故所求概率【点睛】本题考查独立性检验、根据频率分布直方图估计总体的数据特征、分层抽样与古典概型问题的求解,属于常规题型 .20.已知椭圆,斜率为 1 的直线与椭圆交于两点,且.(1)若两点不关于原点对称,点为线段的中点,求直线的斜率;(2)若存在点,使得,求直线的方程 .【答案】( 1)(2).【解析】( 1)根据点差法求出,根据与的关系求得结果;(2)假设直线方程,与椭圆方程得到韦达定理的形式,根据判别式得到的范围;由角度关系可得轴,进而可得,与韦达定理形式联立可得关于的方程,求解得到结果.【详解】(1)由题意得两式相减得故则( 2)设直线的方程为联立,得令,解得:,在中,,且直线的倾斜角也为轴过点作的垂线,则垂足为线段的中点设点的坐标为,则由方程组,化简得,解得而,满足题意则直线的方程为【点睛】本题考查点差法的应用、直线与椭圆的综合应用问题;点差法主要用于中点弦和弦中点的问题,体现直线斜率和中点之间的关系;直线与椭圆的综合问题通常采用直线与椭圆方程联立,得到韦达定理的形式,再根据已知条件中的等量关系构造方程求得结果. 21.已知函数,.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围 .【答案】( 1)(2).【解析】( 1)根据解析式求得切点,利用导数求得切线斜率,从而可求得切线方程;(2)将问题转化为在上恒成立;当单调递减时满足题意,即恒成立即可,从而可求得;当时,单调递增,不符合题意;当时,可证得在上单调递增,不满足题意;综合三种情况可得.【详解】( 1)当时,,则故,又故所求切线方程为,即( 2)由题意得,在上恒成立设函数,则故对任意,不等式恒成立①当,即恒成立时,函数在上单调递减设,则,即,解得,符合题意;②当时,恒成立,此时函数在上单调递增则不等式对任意恒成立,不符合题意;③当时,设,则令,解得当时,,此时单调递增故当时,函数单调递增当时,成立,不符合题意 .综上所述,实数的取值范围为【点睛】本题考查利用导数求解切线方程、利用导数研究恒成立问题;解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为通过函数单调性求解参数范围的问题,利用导函数的符号,通过分离变量的方式求得参数的取值范围,对于学生转化与化归思想的应用要求较高.22.已知在极坐标系中,曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴所直线为轴建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为(为参数).( 1)求曲线的直角坐标方程以及曲线的极坐标方程;( 2)若曲线交于两点,且,,求的值 .【答案】( 1);;( 2)【解析】( 1)根据,化简得到结果;( 2)写出的参数方程,代入的直角坐标方程中,根据的几何意义可构造关于的方程,求解得到结果 .【详解】( 1)则曲线的直角坐标方程为则曲线的极坐标方程为( 2)由( 1)得曲线的参数方程为(为参数)代入中,整理得,解得设对应的参数分别为,则由的几何意义得,解得又【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、直线参数方程几何意义求解距离之积的问题,易错点是在利用距离之积求解参数时,忽略了参数的取值范围,造成求解错误.23.已知函数,.( 1)当时,求不等式的解集;( 2)若对于恒成立,求的取值范围 .【答案】( 1)( 2).【解析】( 1)分别在,和上得到不等式,求解得到结果;( 2)方法一:通过放缩和绝对值三角不等式得到:,则有,进而求得的范围;方法二:分别在,和的情况下得到函数的解析式;在每一段上都有,从而构造出不等式,求解得到结果.【详解】( 1)当时,则或或分别解得或或不等式的解集为(2)方法一:当且仅当时取等号,解得或即的取值范围是方法二:当时,则函数在上单调递减,在上单调递增,解得;当时,,最小值是,不符合题意;当时,则函数在上单调递减,在上单调递增,,解得.综上所述,的取值范围是【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用不等式中的恒成立求解参数范围的问题;解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为最值与参数的关系;要注意分类讨论的思想在求解绝对值不等式问题中的应用.。
2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学(文)试题(解析版)(2021年整理精品文档)

2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学(文)试题(解析版)(可编辑修改word版)编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学(文)试题(解析版)(可编辑修改word版))的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学(文)试题(解析版)(可编辑修改word版)的全部内容。
2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学(文)试题一、单选题1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】先解不等式得集合A,B,再根据交集定义得结果。
【详解】,,,故选.【点睛】本题考查解指数不等式、解一元二次不等式以及交集定义,考查基本求解能力,属基础题。
2.已知复数满足(其中为虚数单位),则( )A.B.C.D.【答案】B【解析】根据复数除法法则化简即可.【详解】由知:,,故选。
【点睛】本题考查复数除法法则,考查基本求解能力,属基础题。
3.如图所示,程序框图的输出结果是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】读懂流程图,其功能是求四项的和,计算求值即可。
【详解】计算结果是:,故选。
【点睛】本题考查循环结构流程图,考查基本分析求解能力,属基础题.4.已知数列满足,则的最小值为()A.B.C.8 D.9【答案】C【解析】先根据叠加法求,再利用数列单调性求最小值.【详解】由知:,,…,,相加得:,,又,所以,所以最小值为,故选.【点睛】本题考查数列通项公式以及数列单调性,考查基本分析求解能力,属中档题。
5.已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示,其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为,则该四棱锥的体积是( )A.4 B.C.D.【答案】A【解析】根据三视图以及斜二测画法确定四棱锥的高以及底面面积,再根据锥体体积公式求结果.【详解】由三视图可知,该四棱锥的高是3,记斜二测画法中的等腰梯形的上底为,高为,则斜二测中等腰梯形的腰为,而积,由斜二测画法的特点知直观图中底面梯形的高为,面积,,故四棱锥的体积,故选。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2019届(安徽省)“江淮十校”高三4月联考 数学(文科)一,选择题1,已知集合A={x ∈Z | -1≤x ≤2},集合B={y | y=2xπ} ,则A ∩B=12A.{-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.∅2,已知f(x)=x 3-1,设i 是虚数单位,则复数()f i i的虚部为A.-1B.1C.iD.03,若点M 在△ABC 的边AB 上,且12AM MB =u u u u r u u u r,则CM =u u u u rA.1122CA CB +u u u r u u u rB. 2CA CB -u u u r u u u rC. 1233CA CB +u u u r u u u rD. 2133CA CB +u uu r u u u r 4,双曲线C 的实轴和虚轴分别是双曲线16x 2-9y 2=144的虚轴和实轴,则C 的离心率为A.2516B.53C.54D.2595,某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 12π+15 B. 13π+12 C. 18π+12 D. 21π+156,若P (x,y )∈001304342x y x y ⎧⎪⎨⎪+≤-≤≤≤⎩≤则事件P (x,y )∈{(x,y )| (x-1)2+(y-1)2≤1}的概率是A.6π B.12π C. 12 D.4π7,某同学在社会实践中,为了测量一湖泊两侧A 、B 间的距离,某同学首先选定了与A 、B 不共线的一点C ,然后给出了四种测量方案(△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别记为 a 、b 、c ):①测量A 、C 、b ②测量a 、b 、C ③测量A 、B 、a ④测量a 、b 、B 则一定能确定A 、B 间距离的所有方案的序号为 A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④8,执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数:y=lnx-x 、y=tanx-x 、y=-2x 、y=-x —1,则输出的函数为A.y=lnx-xB. y=tanx-xC. y= -2xD. y=-x —19,二次函数f(x)的图像经过点(0,32),且f ’(x)= -x -1,则不等式f(10x )>0的解集为A. (-3,1)B.( -lg3 , 0)C.(11000, 1 ) D. (-∞, 0 )10,已知向量a 、b 的夹角为θ,|a+b|=2,则θ的取值范围是 A.62ππθ≤≤B.32ππθ≤≤C. 03πθ≤≤D.203πθ<<二、填空题11,已知角α的顶点在坐原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆的交点为A 04,5x⎛⎫ ⎪⎝⎭,则sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= (用数值表示)12,某脑科研究机构对高中学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析,得到下表数据 X 6 8 10 12 y2356由散点图可以看出x 与y 具有线性关系,若回归直线方程为$ 2.3y bx=-$,则b $= 13,函数f(x)=e x +x(x ∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和,则g(0)=14,将正整数1,2,3,……,n,……,排成数表如图所示,即第一行3个数,第二行6个数,且后一行比前一行多3个数,若第i 行、第j 列的数可用(i,j )表示,则2019可表示为 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第7列 第8列 …… 第1行 1 2 3 第2行 9 8 7 6 5 4 第3行 10 11 12 13 14 15 16 17 …… ……15,函数f(x)上任意一点A (x 1,y 1)处的切线l 1,在其图像上总存在异与点A 的点B(x 2,y 2),使得在点B 处的切线l 2满足l 1// l 2,则称函数具有“自平行性”,下列有关函数f(x)的命题:①函数f(x)=sinx+1具有“自平行性” ②函数f(x)=x 3(-1≤x ≤2)具有“自平行性”③函数f(x)=()()101x e x x x m x ⎧-≠⎪⎨+>⎪⎩具有“自平行性”的充要条件为函数m=1;④ 奇函数y= f(x) (x ≠0)不一定具有“自平行性” ⑤偶函数y= f(x)具有“自平行性”其中所有叙述正确的命题的序号是三、解答题 16.(12分)已知向量m=(3sinx, sinx),n=(cosx, -sinx),且f(x)=2m ·n+2。
(I ) 求函数f(x)的最大值,并求此时x 的取值;(II )函数f(x)图像与y 轴的交点、y 轴右侧第一个最低点、与x 轴的第二个交点分别记为P 、Q 、R ,求QP QR u u u r u u u rg 的值。
}{n n k g17,(12分)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1 =3,且a 1,a 2,a 4成等比数列. (I )求{a n }的通项公式;(II)数列{n k a }是以a 1为首项,3为公比的等比数列,求数列}{n n k g 的前n 项和S n18,(12分)某校在寒假放假之前举行主题为“珍惜生命,安全出行”的“交通与安全”知识宣传与竞赛活动,为了了解本次活动举办效果,从全校学生的答卷中抽取了部分学生的答卷成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容积为n)进行统计。
按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100),的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60), ……, [90,100)的数据)。
(I)求n、x、y的值,并根据频率分布的直观图估计这次竞赛的平均成绩;(II)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加市团委举办的宣传演讲活动,求所抽取的2同学来自不同组的频率。
19,(13分)如图,四棱锥S—ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB=2,点M是SD的中点,AN⊥SC,且交SC于点N。
(I)求证:SB//平面ACM;(II)求证:直线SC⊥平面AMN;(III)求几何体MANCD的体积。
20.(13分)已知函数f(x)=e x-mx-n(m、n∈R)(I)若函数f(x)在x=0处的切线过点(1,0),求m+n的值;(II)当n=0时,讨论函数f(x)在区间[-1,∞)的单调性,并求最值。
21,(13分)已知椭圆E:22221x ya b+=(a>b>0)的一焦点F在抛物线y2=4x 的准线上,且点M(1,22-22-)在椭圆上(I)求椭圆E的方程;(II)过直线x= -2上一点P作椭圆E的切线,切点为Q,证明:PF⊥QF。
文科数学答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 答案 A B DC C A A BD C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分).题号 11 12 131415答案7250.7 1()37,17①③④⒖【答案】①③④.【解析】函数()f x 具有“自平行性”,即对定义域内的任意自变量1x ,总存在21x x ≠,使得()()21f x f x ''=.对于①,()cos f x x '=,满足条件,故①正确;对于②,()2()312f x x x '=-≤≤,对任意(]11,2x ∈,不存在21x x ≠,使得()()21f x f x ''=成立,故②错误;对于③,当0x <时,()()0,1x f x e '=∈,而x m >时,()21()10,1f x x '=-∈,则22110,111,x x ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩解得1x <-(舍去)或1x >,则1m =,故③正确;对于④,()()0f x x x =≠不符合定义,故④正确;对于⑤,同④,其导函数为奇函数,故⑤不正确.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.⒗(本小题满分12分)解:(Ⅰ)()()22223sin cos 2sin 23sin 21cos22f x x x x x x =⋅+=-+=--+m n3sin2cos21x x =++2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,……………………………………………………………………4分故当2262x k πππ+=+,即()6x k k Z ππ=+∈时,()max 3f x =; ……………………………………6分(Ⅱ)由()02f =,知()0,2P . 由32262x k πππ+=+,得()23x k k Z ππ=+∈,此时()1f x =-,则2,13Q π⎛⎫- ⎪⎝⎭.………………………8分 而由2266x k πππ+=-,得()6x k k Z ππ=-+∈,则()516x k π==,故5,06R π⎛⎫⎪⎝⎭,……………………10分 从而2,33QP π⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u r,,16QR π⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ,因此22313369QP QR πππ⋅=-⨯+⨯=-+uu u r uu u r . ………………………12分 ⒘(本小题满分12分)解:(Ⅰ)设的公差为d ,由题意,1224a a a =,即()()21113a d a a d +=+………………………2分于是10()d a d =-因为0d ≠,且13a =,所以3d =. …………………………………………………4分 故 3n a n =. ……………………………………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,3nk n a k =,……………………………………………………………6分又数列{}nk a 是以1a 为首项,3为公比的等比数列,则1333nk n n a -=⨯=, ………7分所以33n n k =,即13n n k -=. ………………………………………………………8分因此01211323333n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ①则()12313132333133n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ② ……………………………………………10分 由①-②得211311213333331322n n nn n n S n n n --⎛⎫-=++++-⨯=-⨯=--- ⎪-⎝⎭L因此()1121344n n S n =+-. ……………………………………………………………………12分⒙(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由题意可知,8500.01610n ==⨯,20.0045010y ==⨯,………………………2分0.10.0040.0100.0160.040.030x =----=, …………………………………………………3分平均分约为550.16650.30750.40850.10950.0470.6X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………5分(Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有5人,分别记为,,,,a b c d e ,分数在[90,100)有2人,分别记为F ,G .从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有如下种情形:()()()()()()()()()()a b a c a d a e a F a G b c b d b e b F ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,()()()()()()()()()(),()b G c d c e c F c G d e d F d G e F e G F G ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有21个等可能基本事件;……………………………………………………………………………………9分 其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a ,F),(a ,G),(b ,F),(b ,G),(c ,F),(c ,G),(d ,F),(d ,G),(e ,F),(e ,G),共10个,……11分 所以抽取的2名同学来自不同组的概率1021P =.……………………………………………………12分⒚(本小题满分13分)(Ⅰ)证明:连结BD 交AC 于E ,连结ME . ABCD Q 是正方形,∴ E 是BD 的中点.M Q 是SD 的中点,∴ME 是△DSB 的中位线. ∴//ME SB . 2分又∵ME ⊂平面ACM ,SB ⊄平面ACM , ∴SB //平面ACM . 4分 (Ⅱ)证明:由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ,∴.AM DC ⊥ …………………………6分 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点,∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.SDC ∴.SC AM ⊥ …………………………………………………8分由已知SC AN ⊥,∴SC ⊥平面AMN . …………………………………………………9分 解:(Ⅲ),,,M D C N ∈平面ACD ,几何体MANCD 为四棱锥A MNCD -.由(Ⅱ)知AM 为点A 到平面MNCD 的距离. ……………………………………………………10分 因为2SA AB ==,则22SD =,23SC =, 2AM SM ==.因为SC⊥平面AMN ,则MN SC ⊥,故26sin 2323MN SM MSN =⋅∠=⨯=,2623233SN ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,因此1162352=22222333MNCD S ⨯⨯-⨯⨯=四边形,……………………………………………………12分则135210239A MNCD V -=⨯⨯=. ……………………………………………………13分⒛(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)由题意,得()x f x e m '=-, …………………………………………………1分 所以函数()f x 在0x =处的切线斜率1k m =-, …………………………………………………2分 又(0)1f n =-,所以函数()f x 在0x =处的切线方程(1)(1)y n m x --=-, ………………………4分 将点(1,0)代入,得2m n +=. …………………………………………………6分 (Ⅱ)当0n =时,函数()x f x e mx =-的定义域为R ,()x f x e m '=-.因为1x ≥-,所以1x e e≥. ①当1m e ≤时,()0f x '≥,函数()f x 在[)1,-+∞上单调递增,从而min 1()(1)f x f m e=-=+,无最大值; …………………………………………………9分 ②当1m e>时,由()0x f x e m '=-=,解得ln (1,)x m =∈-+∞,当[)1,ln x m ∈-时,()0f x '<,()f x 单调递减;当(ln ,)x m ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增. 所以函数()f x 在[)1,-+∞上有最小值为(ln )ln f m m m m =-,无最大值. …………………………12分 综上知:当1m e≤时,函数()f x 在[)1,-+∞上单调递增,有最小值1(1)f m e-=+,无最大值; 当1m e >时,函数()f x 在[)1,ln m -上单调递减,在(ln ,)m +∞上单调递增,有最小值为(ln )ln f m m m m =-,无最大值. …………………………………………………13分21. (本小题满分13分)解:(Ⅰ)抛物线24y x =的准线为1x =-,则()1,0F -,即1c =.……………………………………2分又点21,2M ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上,则()2211121a a +=-,解得22a =, ……………………………………4分 故求椭圆E 的方程为2212x y +=.………………………………………………………………………5分 (Ⅱ)设()02,P y -、()11,Q x y .依题意可知切线PQ 的斜率存在,设为k ,则PQ :y kx m =+,并代入到2212x y +=中,整理得:()()222214210kx mkx m +++-=………………………………………………………………………8分因此()()22221682110m k k m ∆=-+-=,即2221m k =+.……………………………………………9分从而12221mk x k =-+,212222121mk m y m k k =-+=++,则222,2121mk m Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭;…………………………10分 又02y k m =-+,则()2,2P k m --+,()2221,2,1,2121mk m k m P k Q k F F ⎛⎫---⎪++⎭=⎝=uu u ruuu r.…………………11分 由于()222222110212121m k m P mk m k F F k k Q =-⋅--=-=+++uu u r uuu r ,故PF QF ⊥uu u r uuu r ,即PF QF ⊥.………………13分。