线性代数矩阵的运算

第二节 矩阵的计算
一、 矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、 矩阵转置 五、方阵的行列式 六、 共轭矩阵 七、矩阵的应用
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一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那么矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
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说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
例如
12 3 5 1 8 9
1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
a23
b11
B
=
b21
b31
b12
b22
b32
C
a11b11
a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
a21b12
a22b22
a23b32
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C
a11b11
a21b11
a12b21 a22b21
,n
amj
上述方程组又可以表示为向量形式
x1a1 x2a2 xnan b
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变量x1, x2, , xn到变量y1, y2, , ym的线性变换
y1 a11x1 a12x2
y2
a21 x1
a22 x2
ym am1x1 am2x2
a1n xn a2n xn
1、定义
数与矩阵A的乘积记作 A或A,规定为
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a11
A
A
a21
a12 a22
am1 am1
2、数乘矩阵的运算规律
a1n
a2n
.
amn
（设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A; 3 A B A B.
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矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵 的线性运算.
例3
设矩阵A
1 0
1 1
，求An
解：A2
1 0
11
1
0
1 1
1 0
2
1
A3
A2 A
1 0
21
1
0
1 1
1 0
3
1
1 0
n 11
1
0
1 1
1 0
n
1
A4
A3 A
1
0
31
1
0
1 1
1 0
4
1
利用数学归纳法可以证明，An
=
1
0
n
1
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例4 设A, B都是n阶方阵，且满足A2 = A， B2 = B及(A+B)2 = A+ B. 证明：AB = BA
三、矩阵与矩阵相乘
设变量t1, t2到变量x1, x2 , x3的线性变换为
I
x1 x2
= =
b11t1 b21t1
+ +
b12t2 b22t2
x3 = b31t1 + b32t2
变量x1, x2, x3到变量y1, y2的线性变换为：
y1 y2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
运算性质
（设A, B 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）:
1 A B A B; 2 A A; 3 AB AB.
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七﹑矩阵的应用
a11x1 a12 x2
对于线性方程组
a21 x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
a13 x3 a23 x3
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那么变量t1,t2到变量y1, y2的线性变换为：
(Ш)
y1 y2
a11 (b11t1 a21 (b11t1
b12t2 ) b12t2 )
a12 (b21t1 a22 (b21t1
b22t2 ) b22t2 )
a13 (b31t1 a23 (b31t1
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
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证明：
设A = (aij )是一个m s矩阵，B = (bij )是一个s n矩阵，
记 AB C (ci j )mn，BT AT D (di j )nm
由于( AB)T的第i行，第j列的元素为c ji
b11
这里B
b21 b31
b12 b22 b32
，x
x1 x2 x3
，t
t1
t2
.
变量x1, x2, x3到y1, y2的线性变换
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y1 y2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
用矩阵表示：y = Ax
这里A
ann cn1
cnn
1
Onn 1
n
这里ci j aikbk j，记C (ci j )nn，显然C AB k 1
对D A E
C O
做运算rj
rn j (
j
1, 2,
, n)
有D (1)n E O ， AC
D (1)n E C (1)n (1)n C C AB .
所以 AB A B .
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例5 设列矩阵 X x1, x2 ,, xn T满足 X T X 1,
E为n阶单位矩阵, H E 2XX T ,证明H是对称矩 阵,且HH T E.
证明 HT E 2XX T T ET 2 XX T T
E 2 XX T H , H是对称矩阵.
HHT H 2 E 2XX T 2 E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XT X XT
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定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所
构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22
An1 An2
A2n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
性质 AA A A A E.
证明 设 A aij , 记 AA bij , 则
bij ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn A ij ,
amn xn bm
引进矩阵记号，令
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
x1
b1
Βιβλιοθήκη Baidua2n
，x
x2
，b
b2
amn
xn
bm
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方程组可以表示为矩阵形式
Ax = b 设a j表示矩阵A的第j个向量，即
a1 j
aj
a2
j
j 1,2,
k 1
k 1
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即 D = CT,亦即(AB)T BT AT
设 A 为 n 阶方阵，如果满足A AT，即
aij a ji i , j 1,2,,n
那么 A 称为对称阵.
例如
12 A 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等.
如果 AT A 则矩阵A称为反对称的.
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则
AB 0 0
0 , 0
BA 2 2
2 , 2
故 AB BA.
方阵的幂
设A是n阶方阵，定义：A1 A，A2 A1A1，
Ak1 Ak A1，其中k为正整数。 注意：Ak Al = Ak+l，(Ak )l = Akl，
但(AB)k = Ak Bk不一定成立。
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E 4XX T 4XX T E.
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五、方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A;
2 A n A;
3 AB A B; AB BA .
a11 a21
证明 由已知A2 =A，B2 =B，有 ( A B)2 A2 AB BA B2 A AB BA B 而已知(A+B)2 = A+ B，所以
A+ AB + BA+ B = A+ B
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即AB + BA = O 用A分别左乘，右乘上式，得 A2B+ ABA= AB + ABA = O
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
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解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
故
1
C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
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矩阵与的差规定为 记为
2、矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
二、数与矩阵相乘
ABA BA2 ABA BA O
所以有 AB = ABA BA 注：事实上AB = BA = O
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四、矩阵转置
定义
设A (ai j )是m n矩阵，称矩阵
a11 a21
a12
a22
a1n
a2n
am1
am
2
amn
为矩阵A的转置，记为AT .
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转置矩阵的运算性质
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证明： (1) 由行列式性质即得
（2）多次利用行列式性质3，有
a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
A a21 a22
a2n n a21 a22
a2n
an1 an2
ann
an1 an2
ann
n A
(3) 设2n阶行列式
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a11 D an1
1
a1n O
ann b11
a13b31 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
a21b12
a22b22
a23b32
矩阵C是由矩阵A与B按照某种运算得到的，
这就是下面要给出的矩阵乘法。
１、定义
设 A aij 是一个m s 矩阵，B bij 是一个
s n 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积
b32t2 ) b32t2 )
即
y1 y2
(a11b11 (a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 )t1 a23b31 )t1
(a11b12 (a21b12
a12b22 a22b22
a13b32 )t2 a23b32 )t2
令
A
=
a11 a21
a12 a22
a13
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故 AA A ij A ij A E.
同理可得
A
A
n
Akiakj
A ij
A ij
AE.
k1
六、共轭矩阵
定义
当 A aij 为复矩阵时，用 aij 表示 aij 的共轭 复数，记 A aij ， A 称为 A 的共轭矩阵.
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是一个m n 矩阵 C cij ，其中
cij
a bi1 1 j
ai b2 2 j
aisbsj
s
aik bkj
k 1
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并把此乘积记作 C AB .
例１
C 2 1
4 2 222 3
4
622
16 8
?
32 16
22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
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注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.
２、矩阵乘法的运算规律
1 ABC ABC ; 2 AB C AB AC, B C A BA CA;
3 AB AB AB （其中 为数）;
注意 矩阵乘积一般不满足交换律
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
由矩阵乘法定义有： c ji
s
a jk bki
而BT的第i行为(b1i , ,bsi )，AT的k 第1 j列为(a j1,
,a js )T，
dij b1ia j1 b2ia j2 ... bkia jk ... bsia js
s
s
bkia jk a jkbki c ji，(i 1, 2, , n; j 1, 2, , m)
amn xn
的矩阵形式是 y Ax
x1
y1
其中
A
(ai
j
)mn，x
x2
， y
y2
xn
ym
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变量t1,t2到x1, x2, x3的线性变换为
x1 x2
b11t1 b21t1
b12t2 b22t2
x3 b31t1 b32t2
用矩阵表示为：x = Bt
AO b1n E B
1 bn1
bnn
由第一章例9得D A B .
分别将D中第1列的b11倍，第2列的b21倍，... 第n列的bn1倍加到n +1列， 使D中b11,b21, ,bn1所在位置的元素为0，
同法可使其它bij所在位置的元素化为0
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a11
a1n c11
c1n
最后得到
D an1