高等数学(2014级版)：3_3_3 函数性态研究3-渐近线与函数作图
高等数学 函数图形的描绘
极大
值1 2
5) 作图
(0,1) 1 (1,)
0
拐点
(1,
1 2e
)
y
1 2
y
C
1 2
e
x2 2
A
B
o
x
x (,1) 1 (1,0) 0
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1,
1 2e
)
极大
值1 2
(0,1) 1 (1,)
0
拐点
(1,
1 2e
)
y1
2
1
o
1
x
(x)
1 2
e
x2 2
补 2 描绘方程 (x 3)2 4 y 4xy 0的图形 .
例如 ,
双曲线
x2 a2
y2 b2
1
L PN
o
x
有渐近线
x a
y b
0
y
但抛物线 y x2 无渐近线 .
o
x
渐近线的分类: 水平渐近线; 铅直渐近线; 斜渐近线
1. 水平渐近线 ( P35) (平行于 x 轴的渐近线)
若
lim
x
f
(x)
b,
或 lim f (x) b , x
( 其中 b 为常数)
3) 判别曲线形态
x (, 1) 1 (1,1) 1 (1,3) 3 (3, )
y y
0
无 定
0
y
2
义
0
( 极大 )
( 极小 )
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y
(x 4(
函数性态的研究(凹凸性和渐近线)
Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
f
( x)lnx1，
f
( x)
1 x
0
，（Step2
判断函数凹凸性）
∴故Ef (fXx(E)x在 y(0)12, (1x[nf)(内xy)为n )f严(格y)x]凸，2函y数n，,
22
即
x
y
ln
x
y
1x [
0, y xlnx
0, x yln y] ，
y,
n1．
2 22
（Step3 利用凹凸性导结论）
从而 ( x y)ln x y xlnx yln y ． 2
（二）曲线的拐点
连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点
f ( x) 0的 po int s f ( x)不存在的po int s 是拐点横坐标的可疑点．
o
Note：改“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凸函数；
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)ln x y xlnx yln y , x, y0 且 x y ； 2
Note: (2) 定义中的不等式 对 x [x1, x2] (a, b) ，都有
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凸函数
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凹函数
y y f (x)
A DB C
函数性态的研究(最值、凹凸性和渐近线).ppt
若 f ( x) C[a , b] ，且在 (a , b) 内有唯一极值点 x0 ， 则 f ( x0 ) 为极大值时，即为 f ( x ) 在 [a, b] 的最大值；
f ( x0 ) 为极小值时，即为 f ( x ) 在 [a, b] 的最小值．
例 7 建造一个具有已知容积 V 的无底有盖的圆柱形煤气柜．
EXE. 求函数 y sinx cosx 在 [0, 2 ] 上的极值．
三、最值
(1) 最值存在： 若 f C[a , b] ，则在 [a, b] 上 f 取得最大值和最小值．
（充分非必要）
(2) 何处取得最值：
极值点处 可能最值 端点处
(3)
驻点 f 不存在的点 （应是f 的连续点）
补充作业 (1)
ae 2 x cos x, x 0, 可导，求 a, b ． f ( x ) sin(bx ) x, x 0 x
x 3e tx x (2) 求 f ( x ) tlim 的间断点，并指出类型． tx e sin x
(3)
x 1 , L( x ) ln x 1,
如何判定：
驻点 极值点处 f 不存在的点 （应是f 的连续点） 可能最值 端点处
(3) 如何判定： 若 f ( x) C ，则
只要比较 f 在驻点、 f 不存在的点、端点处的值，
最大者为最大值，最小者为最小值．
两个结论：
两个结论：
(1) 若 f ( x) C[a , b] ，且在 (a, b) 内有唯一极值点 x0 ，
p p x (1 x ) 1 ， 0 x 1． p 1
例 9 讨论方程 x ke x （k 为正常数）有几个根．
函数性态的研究(最值、凹凸性与渐近线).ppt
驻点
可能最值
极值点处 端点处
f 不存在的点
（应是f 的连续点）
(3) 如何判定：
驻点
可能最值
极值点处 端点处
f
不存在的点
（应是f 的连续点）
(3) 如何判定： 若 f (x)C ，则
只要比较 f 在驻点、 f 不存在的点、端点处的值， 最大者为最大值，最小者为最小值．
两个结论：
两个结论：
(1) 若 f (x)C[a, b] ，且在 (a, b) 内有唯一极值点 x0 ，
(6)
f
二阶连续可导， y sin
f ( x2 ) ，
求d2y ．
dx 2
推广到一般情况： 设 f ( x) 在 x0 处有 n 阶导数， f ( x0 ) f (x0 ) f (n1)(x0 ) 0 ，且 f (n)( x0 ) 0 ．则
10 n为奇数时，点 x0 为非极值点； 20 n为偶数时，
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)lnx y xlnx ylny , x, y0且 x y ；
2
Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
Def. 2 设 f ( x) C[a, b] ．对 x 1 , x2 (a, b) ，
及 0 1 ，若总有
f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凸函数； f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凹函数．
补充作业 (1)
ae2x cos x, x 0,
高等数学第30讲 函数作图法.
第三十讲函数作图法作函数的图形时，仅知道函数的单调性和极值还不能全面反映函数图形的特征．同是在区间上单调增加的函数，其图形的弯曲方向也可能不同；如图3—6中与同是上升曲线，但弯曲方向不同，前者是凸的，后者是凹的．本节将用导数研究曲线的凸凹及拐点，从而比较准确地作出函数的图形．一、函数的凸凹与拐点如图 3 — 6 可以看出，曲线是向上弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线的上方；曲线是向下弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线下方，从而我们有如下定义．定义１如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的上方，则称曲线在此区间内是凸的；如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的下方，则称曲线在此区间内是凹的．从图3—6还可以进一步看出，当曲线凸时，其切线斜率是单调减少的，因而；当曲线凹时，其切线斜率是单调增加的，因而，这说明曲线的凸凹性可由函数的二阶导数的符号确定．定理１设在上连续，在内具有二阶导数，则：（1）若在内，,则曲线在上是凹的．（2）若在内，,则曲线在上是凸的．定义２曲线上，凸与凹的分界点称为该曲线的拐点．由拐点的定义和定理１知，使的点及不存在的点可能是拐点．这些点是不是拐点要用下面的定理来判定．定理２设在内有二阶导数，则（1）若在与内异号，则点为曲线的拐点．（2）若在与内同号，则点不是曲线的拐点．例１求函数的凸凹区间及拐点．解，．令得；而为不存在的点．用将定义区间分成三个部分区间（见下表）．由表可知，曲线的凸区间是，凹区间是,；点是拐点．—不存在凸拐点凹不是拐点凹例２讨论函数的凸凹性及拐点．解函数的定义域为，对函数求导得，；由得，，．用这两点把定义域分成三个部分区间(见下表．由下表可知，曲线的凸区间是，凹区间是和，点和点是拐点．—凹拐点凸拐点凹二、曲线的渐近线有些函数的定义域与值域都是有限区间，此时函数的图形局限于一定的范围之内，如圆，椭圆等．而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷远处延伸，如双曲线，抛物线等．有些向无穷远延伸的曲线，呈现出越来越接近某一直线的形态，这种直线就是曲线的渐近线．定义 2若曲线上一点沿曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．（一）水平渐近线若函数的定义域是无限区间，且有（或，），则直线称为曲线的水平渐近线．例３对于曲线，由于，，所以直线与是曲线的水平渐近线．（二）垂直渐近线若是函数的间断点，且（或，），则直线称为曲线的垂直渐近线．例４求的垂直渐近线．解因为，所以，是曲线的一条垂直渐近线．（三）斜渐近线若曲线的定义域为无限区间，且有，，则直线称为曲线的斜渐近线．例５求曲线的渐近线．解因为，所以直线是曲线的垂直渐近线，又，；所以为曲线的斜渐近线．三、函数图形的作法前面几节讨论的函数的各种性态，可应用于函数的作图．描绘函数的图形可按下面的步骤．第一步确定函数的定义域及函数的某些特性（如奇偶性，周期性等）．第二步求出方程和在函数定义域内的全部实根和，不存在的点；用这些点把定义域划分成部分区间．第三步确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数的升降、凸凹、极值点和拐点．第四步确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势．第五步为了把图形描得准确，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，连结这些点作出函数的图形．例６描绘函数的图形．解（1）函数的定义域为，且，故图形在上半平面内．图３—7（ 2 ）是偶函数，图形关于轴对称．（3）曲线与轴的交点为．（4）因，故是一条水平渐近线．（5），令得驻点．（6），令得．列表如下：—————极大值凸拐点凹由上面分析画出草图（图3—7）．。
函数作图及相关变化率
( 2) 求出 f ' ( x )、f '' ( x ) 的零点和不存在的点；
(3) 讨论单调区间、极值、凸性区间、拐点； (4) 渐近线、变化趋势； (5) 增补点、作图。
例 1. 作函数 解
f ( x) = e
−1
x
的图形．
(1) 定义域 ( −∞ , 0) U (0 ,+∞ ) 值域 (0 , 1) U (1 , + ∞ )
dV 已知蒸发速率 − = kS （k 为常数） dt
dr 由 (1)、2) 得 4π r ( = − kS dt
2
dr 即 = −k dt
故雨滴的减小速率为 k ．
例2
一块石头投入湖中使平静的水面产生波纹。若最外圈的
波纹向外传播的速度为 60 厘米/秒，求 5 秒时波纹所围面积 的增加率。 解 设波纹所围圆的半径为 r ,
间断点
x=0
−1 x
(2)
1 f '( x ) = 2 e x
令 f ' ' ( x ) = 0，( x ) =
e
−1
x
x
4
(1 − 2 x )
(3)
x
(−∞ , 0)
+ +
1 (0 , ) 2
+ +
1 2
+
1 ( , + ∞) 2
+
f '( x ) f '' ( x )
= e
1
1 x
< 1.
y
1
0
x
例 2. 作函数 解
y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 2 的图形．
函数的渐进线及其性质
函数的渐进线及其性质函数的渐近线及其性质在函数的研究中，渐进线是一个重要的概念。
它是对于函数在某个极限情况下的近似表达式，能够描述函数的局部或全局的函数特征。
本文将重点探讨函数的渐近线及其性质。
一、什么是渐近线？渐近线是指函数 f(x) 在无穷和有限端点处的某一方向的极限值，可以是一条直线或曲线。
函数 f(x) 的定义域为 I，若存在直线 L，使得 x ∈ I ，当x→+∞ 或x→-∞ 时，f(x) 与 L 的距离趋于零，则称 L 为函数f(x) 的水平渐近线。
与之类似地，若存在直线 L，使得 x ∈ I ，当x→a(a∈R) 时，f(x) 与 L 的距离趋于零，则称 L 为函数 f(x) 的垂直渐近线。
二、什么样的函数有渐近线？对于连续且单调递增或单调递减的函数，存在一条水平渐近线。
例如，对于函数 y = tan x （x ≠ kπ/2）而言，在定义域内存在两条垂直渐近线x=kπ/2, k ∈ Z。
对于函数 f(x) = 1/x，当x → 0 时，f(x) 趋于无穷大，此时不存在任何一条水平的渐近线。
然而，可以发现它有两条垂直渐近线 x = 0 和 y = 0。
三、渐近线的性质1、渐近线是函数与坐标轴的交点的极限对于函数 f(x) 的水平渐近线 y = k，函数 f(x) 与 y = k的交点的横坐标 x 的极限可以理解为x → ±∞ 时的函数的性质。
同样地，对于函数f(x) 的垂直渐近线 x= a，函数 f(x) 与 x = a 的交点的纵坐标 y 的极限也可以理解为当x → a 时的函数性质。
2、渐近线的存在是函数的重要特征之一渐近线可以帮助我们更好地了解函数的特征，更好地说明函数与坐标轴之间的关系。
对于函数的研究、计算和应用而言，掌握渐近线是十分重要的。
3、渐近线的性质和函数的增长速度有关对于一些特殊的函数而言，渐近线可以从一定程度上反映函数的增长速度。
如 y = x 与 y= $x^2$ , 它们的渐近线也是不同的， y = k 与$y=kx$ 是 $x*2$ 的两倍。
微积分I课程曲线的渐近线与函数作图
定义4 对于函数f (x),若 lim [ f (x) (ax b)] 0或 x
lim [ f (x) (ax b)] 0或 lim[ f (x) (ax b)] 0，则
x
x
称直线y ax b, a 0为曲线y f (x)的一条斜渐近线,
且a lim f (x) , b lim[ f (x) ax].
(2()2)f (fx()x) x x ee12x122 x,2 , f f(x()x) (x(x1)1(x)(x1)1e)e12x122 x.2 .
所以y x 1是曲线的斜渐近线.
例8
求曲线y
2x2 的渐近线 x2 1
解
lim
x
2x2 x2 1
2
y 2为水平渐近线
又
lim
x1
2x2 x2 1
lim
x1
2x2 x2 1
x 1为垂直渐近线无斜渐近线
例9
求曲线y
1 1
e x2 e x2
的渐近线.
解
1 ex2
lim
x
1
e
x2
1, y 1为水平渐近线.
例7 求曲线 y x2 的斜渐近线. 1 x
解 设斜渐近线为y ax b, (a 0), 则
a lim f (x) lim x2 1
x x
x x(1 x)
b lim[ f (x) ax] lim[ x2 ax]
x
x 1 x
x2
x
lim[ x] lim
1
x 1 x
x 1 x
3
x
e
lim ln(3 ) ln 3
x
x
y ln 3是曲线y ln(3 e )的水平渐近线. x
曲线的渐近线与函数的作图
又F(x)在(1, +∞)内单减减少，且
所以
x
lim F ( x) lim ( xe a) a 0
x
x
（1）若F(1)=e-1-a<0 即(1, e-1-a)位于x轴下方，由表所示，F(x)与x轴不会有交 点，因此F(x)没有零点。 （2）若F(1)=e-1-a=0 即(1, e-1-a)位于x轴上方，由表所示，F(x)与x轴只有一个 交点，因此，F(x)只有唯一的零点。
x3 y1 3 (3,4) 11 (6, ) 3 3 6 9 12
-15 -12 -9 -6 -3 -3 11 (15, ) 4 (1,8) (9,8)
结束
三、利用函数的性态讨论方程f(x)=0的根 由于函数的性态（如连续性、单调性、极值等）反映了 函数及其图形的基本特征，而从函数图形的特征可以确 定函数f(x)的零点（即f(x)=0的根）分布状况，因此，函 数的性态对于方程根的讨论具有很重要的作用 讨论方程f(x)=0的根的一般步骤： （1）确定f(x)的定义域及其连续性 （2）求f(x)的驻点和f '(x)不存在点，并划发f(x)的单调区 间 （3）求f(x)的极值（或最值） （4）分析极值（或最值）与x轴的相对位置，确定f(x) 的零点的大概位置及个数
例2 求曲线y arctan x的水平渐近线.
解
x
lim arctan x
2
x
lim arctan x
，y
2
y
2
2 水平渐近线.
都是曲线y arctan x的
1 求曲线y 1 ＋ 的水平渐近线. x
2、垂直渐近线 定义3
转本高数第三章第六节 渐近线和函数作图
x 1
2
o
1
x
5
二、函数作图
函数 y f ( x ) 作图的步骤：
第一步 确定 f ( x ) 的定义域,讨论其奇偶性(对称性)、周期性；
第二步 求出 f ( x ) 及其零点和不存在点,由此确定单调区
间和极值点；
第三步 求出 f ( x ) 及其零点和不存在点,由此确定凹凸区
间和拐点；
斜渐近线
y x 1 .
12
x y y
y
(, 2)
2 0 极大值 ４
(2, 1)
1
(1, 0)
0 0 极小值 0
y
(0, )
间断
渐近线： x 1 , y x 1 , 描点：A(2, 4)，B(0, 0)，
1 1 C ( , ) , D( 2, 4 ) , 2 2 3 3 9 E ( , ) , E ( 4, 16 ) , 2 2 3
2( x 2)( x 3) lim 4 x 12 4, lim 2 x x x x 1 x 1
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线.
4
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
y 2x 4
1 O
1
1
x
函数图形：
13
练习：
P148 习题四
14
x 2, x 3.
2
o
3
x
2
3.斜渐近线
如果
lim[ f ( x ) (ax b )] 0 ，
x
那么
y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
35 【last】第36讲 渐近线及函数作图
高等数学典型例题与解法（一）第36讲渐近线及函数作图理学院李建平教授内容提要典型例题解析主要内容1、曲线的渐近线(2)水平渐近线如果 →(1) 铅直渐近线如果 →则为曲线的铅直渐近线；(3) 斜渐近线如果→→为曲线的斜渐近线.在求水平渐近线或斜渐近线时，要注意考虑过程.则为曲线的水平渐近线；则【注】在求铅直渐近线时，要注意考虑过程,.2、分析作图法通常，利用分析方法描绘函数图形的一般步骤为：(1) 函数的一般性质分析确定函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、与坐标轴的交点等；(2) 求一阶导数和二阶导数确定使的点及不存在的点；使的点及即找出函数的可能的极值点和可能的拐点；不存在的点，分别根据及的符号确定的单调区间、极值点及其图形的(4) 求曲线的渐近线用渐近线界定曲线的变化趋势；(5) 描点作图标出关键点的坐标，使的图像轮廓清晰、特征分明．(3) 列表分析凹凸区间和拐点；求铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，例36.1 求曲线的渐近线方程.【解】由于→ ，且→，所以，直线及为曲线的两条铅直渐近线.又→ →,则直线为曲线的水平渐近线. 111例36.2 求曲线的渐近线方程.【解】. 易知，曲线无铅直渐近线；由于→所以为曲线的水平渐近线；又因为→所以为曲线的斜渐近线.→直线为曲线的斜渐近线.例36.2 求曲线 的渐近线方程.【注】直线为曲线的水平渐近线.例36.3 求曲线的渐近线方程.【解】由于→所以直线为曲线的水平渐近线.→→→→→所以直线为曲线的斜渐近线.由于 →，所以，直线为曲线的铅直渐近线.又因为例36.3 求曲线的渐近线方程.【注】直线为曲线的铅直渐近线.直线为曲线的水平渐近线.直线为曲线的斜渐近线.列表分析如下：例36.4 运用分析作图法，作出曲线的图形.【解】(1) 函数的定义域为.令，得令得. (2)∞,,,,, ∞0 //增凸极大值点减凸拐点横坐标减凹/减凹极小值点增凹由上表可见，函数的单调增区间为，单调减区间为，函数在处取得极大值，在处取得极小值 ；凹弧区间：，凸弧区间：，曲线的拐点为.综上，所求曲线的渐近线为和.再求曲线的渐近线方程.由于 → 所以也为曲线的铅直渐近线；→→ →则为曲线的斜渐近线;又因为由于 →所以曲线无水平渐近线.运用分析作图法，作出曲线 的图形.6 13函数的单调增区间为 ∞, 2 ∪ 3, ∞，单调减区间为 2,0 ∪ 0,3.凹弧区间：,0∪ 0, ∞ ，凸弧区间： ∞,.函数的极大值 2，极小值 3 9 .曲线的拐点为,.曲线的渐近线为 0和 7.再见。
35 利用导数研究函数的几何性态
第五步: 描点作图，并标出关键点的坐标，使 廓清晰，特征分明．
例3作出函数
y
x 1 x2
的图形.
的图形轮
例4作出函数
的图形.
第35讲 利用导数研究函数的几何性态——函数的几何性态研究
O
x 1
lim f (x)
x 1
f (x) 利用导数研究函数的几何性态——函数图形的渐近线
变化趋势——接近斜直线 y b x a
y
x
O
向无穷远处无限延伸
第35讲 利用导数研究函数的几何性态——函数图形的渐近线
渐近线
定义1 直线 l 称为 曲线 C 的渐近线， 若点 P 沿 C 的某一 支无限远离某一定 点 时，动点 P 到 直线 l 的距离
的定义域、值
第二步: 求一阶导数
和二阶导数 ，确定使
的点及
不存在的点，以及使
的点及
在的点，即找出函数 的可能极值点和拐点；
不存
第三步: 列表分析，分别根据 及 的符号确定 的 单调区间和凹凸区间、极值点和拐点；
第35讲 利用导数研究函数的几何性态——函数的几何性态研究
第四步: 用渐近线界定曲线的变化趋势.求水平渐近线、铅垂渐 近线和斜渐近线；
第35讲 利用导数研究函数的几何性态——函数图形的渐近线
定理1（曲线渐近线的求法） （1）曲线 的充要条件是：
（2）曲线 的充要条件是：
（3）曲线 的充要条件是：
存在水平渐近线 存在铅直渐近线 存在斜渐近线
第35讲 利用导数研究函数的几何性态——函数图形的渐近线
定理1（曲线渐近线的求法） （3）曲线 存在斜渐近线 的充要条件是：
变化趋势——接近水平直线 y 0, y
六节函数的作图-精品
2
2
2
2
y +
+ 0–
y +
0
–
–
y凹
拐点 凹 极大 凸
(
2
,
e
1 2
)
值1
2
2
2 –
+
拐点
(
2
,
e
1 2
)
2
( 2 , ) 2
– +
凹
x 3
x 3(x1)x (3)
可知x=3为所给曲线的铅直渐近线(在x= 3的两侧
f(x)的趋向不同！)
例2 求曲y线 lnx的渐近 . 线 x
解 所给的函数的定义域为(0,).
1 limlnx limx0,
xx x1
可y知 0为所给 yl曲 nx的 线水平. 渐近 x
该曲线没有铅直渐近线.
列表分析：
x (0,1) 1 (1, 3) 3 ( 3,)
y + 0 –
–
y –
––
0
+
y 凸 极大 凸 拐点 凹
1 2
( 3, 3) 4
因为函数为连续的奇函数，
在x>0的邻域内，曲线是凸的，
故在x<0的邻域内，曲线是凹的.所以点(0,0)为
拐点.
例5 作出y函 e数 x2的图 . 形 解 所给函数的定义域为(,).
可知x 当 1及x3时所给函数.没有定义
因此函域 数 ( 为 的 , 1)(, 定 1,3)(,3 义 ,) . lxi m x22 1x3lxi m （ x1 1 )240,
可知y=0所给曲线的水平渐近线.
又 lim f(x)lim1 ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 描绘 解: 1) 定义域为
的图形. 无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2, 令 y 0, 令 y 0,
1 1 2 3
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y
11(ຫໍສະໝຸດ 1 2,1 e
2
)
o
(
1 2
,1
e
1 2
)
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P112: 15 (1)(4)(6);
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
2
e
x2 2
B
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 曲线渐近线的求法
水平渐近线 ; 垂直渐近线;
斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
D 1.
曲线
y
1 1
ex2 ex2
(
)
(A) 没有渐近线；
(B) 仅有水平渐近线；
(C) 仅有铅直渐近线；
y 0
0
y
0
y
2
x 1 3 (极大)
4)
y2
3
2
4 3
(拐点）
2 3
(极小)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1
x
e
x2 2
,
2
y
1
e
x2 2
(1
x
2
)
2
令 y 0得 x 0; 令 y 0得x 1
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示:
lim
x
1 1
ex2 ex2
1;
lim 1 x01
ex2 ex2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求曲线
的渐近线 .
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
3
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
又因
k
lim
x
f
(x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
b
lim [
3.3.3 曲线的渐近线 与函数作图
第三章
a. 曲线的渐近线 b. 函数图形的描绘
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a. 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
即为“纵坐标差” C M y k x b
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1
2
1
2 e
(极大)
(拐点)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1
2
1
2 e
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2
A
o
y
1
L PN
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1) 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
例1. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2
2
x x 1
1
y 2 为水平渐近线;
lim( 1 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
x
f
(
x)
x]
lim
x
2x2 x2 2x
3x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
y x2 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
b. 函数作图
步骤 :
1. 确定函数 期性 ;
的定义域 , 并考察其对称性及周
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 斜渐近线
若
(kx b)
(或x )
(kx b)
lim x[ f (x) k b ] 0
x x
x
斜渐近线 y kx b. k lim [ f (x) b ]
x x x k lim f (x)
x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0