1.2.3(第2课时)充要条件 学案(含答案)

1.2.3（第2课时）充要条件学案（含答案）

第第22课时课时充要条件充要条件学习目标

1.理解充要条件的概念.

2.能够判定条件的充分.必要.充要性.

3.会进行简单的充要条件的证明知识点充要条件1一般地，如果pq且qp，则称p是q的充分不必要条件2一般地，如果pq且qp，则称p是q的必要不充分条件3一般地，如果pq，且qp，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作pq.1“x0”是“2x1x0”的充分不必要条件2q是p的必要条件时，p是q的充分条件3若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件4q不是p的必要条件时，“pq”成立

一.充分不必要.必要不充分.充要条件的判断例1判断下列各题中，p是q的什么条件1设二次函数yax2bxca0，p二次函数的图像开口向上，qa0；2p实数a能被6整除，q实数a能被3整除；3若a，bR，pa2b20，qab0；4pABC有两个角相等，qABC是正三角形解1对于二次函数yax2bxca0，其图像开口向上a0，所以p 是q的充要条件2pq，q不能推出p，p是q的充分不必要条件3若a2b20，则ab0，即pq；若ab0，则a2b20，即qp，故pq，所以p是q的充要条件4p不能推出q，qp，p是q的必要不充分条件反思感悟判断充分条件.必要条件及充要条件的四种方法1定义法直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假2集合法即利用集合的包含关系判断3等价法即利用pq与qp的等价关系，对于

条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法4传递法充分条件和必要条件具有传递性，即由p1p2pn，可得p1pn；充要条件也有传递性跟踪训练1多选在下列四个结论中，正确的有A设xR，“x1”是“x2”的必要不充分条件B在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件C“a2b2”是“ab”的充分不必要条件D若a，bR，则“a2b20”是“a，b不全为0”的充要条件答案AD解析对于结论A，x2x1，但x1x2，故A正确；对结论B，由于不知道斜边，所以不是充要条件；C显然不正确；对于结论D，由a2b20a，b不全为0，反之，由a，b不全为0a2b20，故D 正确

二.充要条件的证明例2求证关于x的方程ax2bxc0a0有一个根为1的充要条件是abc0.证明充分性因为abc0，所以cab，代入方程ax2bxc0，得ax2bxab0，即x1axab0.所以方程ax2bxc0有一个根为

1.必要性因为方程ax2bxc0有一个根为1，所以x1满足方程ax2bxc0.所以a12b1c0，即abc0.故关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.反思感悟充要条件的证明思路一般地，证明“p成立的充要条件为q”；1充分性把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；2必要性把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.跟踪训练2求证关于x的方程

ax2bxc0a0，有一正根和一负根的充要条件是ac0，x1x2ca0，所以ac0.充分性由ac0及x1x2ca0，所以方程ax2bxc0a0有两个不相等

的实根，且两根异号，即方程ax2bxc0a0有一正根和一负根故关于x的方程ax2bxc0a0有一正根和一负根的充要条件是ac0.

三.探求充要条件例3已知ab0，求a2b2ab2ab0成立的充要条件解由a2b2ab2ab0，即a2b2ab2abab2abab1ab0，又ab0，ab10，即ab1等价于a2b2ab2ab0.在ab0的条件下，a2b2ab2ab0成立的充要条件是ab

1.反思感悟探求充要条件的两种方法1先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明2将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证跟踪训练3求方程

x2kx10与x2xk0有一个公共实根的充要条件解x2kx10，

x2xk0x2x2xx10，x2xk0.1x30，x2xk0x1，k

2.所以两方程有一个公共实根的充要条件为k

2.1多选已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”成立的充要条件是AAC180BAB180CBD180DCD180答案AC2如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D 既不充分也不必要条件答案A解析由条件，知DCBA，即DA，但A

D.3设A，B，C是三个集合，则“ABAC”是“BC”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由ABAC，不一定有BC，反之，由BC，一定可得ABA

C.“ABAC”是“BC”的必要不充分条件4设a，b，c分别是ABC的三条边，且abc，则“a2b2c2”是“AB C为直角三角形”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件答案C解析设a，b，c分别是ABC的三条边，且abc，则a2b2c2ABC为直角三角形5在平面直角坐标系中，点x,1x在

第一象限的充要条件是________答案0x0，且1x0，0x

1.1知识清单1充分不必要条件.必要不充分条件和充要条件概念的理解2充要条件的证明和探求3根据条件求参数范围2方法归纳等价转化3常见误区条件和结论辨别不清