高等数学下册第九章习题答案详解

合集下载

高等数学下复旦大学出版社王中兴第九章课后答案

习题9.1 1、略2、（1D ≥≡，故DDσ>σ⎰⎰⎰⎰（2）()2x y +和()3x y +在D 上连续且()()23x y x y +≤+，()()23x y x y +≡+，故()()23DDx y d x y d +σ<+σ⎰⎰⎰⎰。

（3）()0ln ln 2x y ≤+≤，()()2ln ln x y x y +≡+，()()()2ln ln x y x y +≥+，()ln x y +和()()2ln x y +，()ln x y +和()()2ln x y +在D上连续，故()()()2ln ln DDx y d x y d +σ>+σ⎰⎰⎰⎰（4）2,1,2,3ii D I d i =σ=⎰⎰，故213I I I <<3、(),f x y 在D 上连续，故(),f x y 在D 上有最大值M 和最小值m 。

(),DDDmd f x y d Md σ≤σ≤σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰，(),DmS f x y d MS ≤σ≤⎰⎰。

（1）若0S =，则对任意的(),D ξη∈，()(),,Df x y d f S σ=ξη⎰⎰。

（2）若0S ≠，则()1,Dm f x y d M S ≤σ≤⎰⎰，由介值定理可知存在(),D ξη∈，()()1,,Df f x y d S ξη=σ⎰⎰，从而有()(),,Df x y d f S σ=ξη⎰⎰4、由中值定理可知存在(),t t f D ξη∈，()()2,,ttDf x y dxdy f t=ξηπ⎰⎰，从而由(),f x y 连续可得()()0=lim ,0,0t t t f f +→ξη=原式 5、由轮换对称性可知22cos cos DDy d x d σ=σ⎰⎰⎰⎰，21444x πππ≤+≤+，2sin4x π⎤⎛⎫+∈ ⎪⎥⎝⎭⎦，()222sin cos sin 4D Dx x d x d π⎛⎫+σ=+σ ⎪⎝⎭⎰⎰，因此，()()22221sin cos sin cos DDx y d x x d ≤+σ=+σ≤⎰⎰⎰⎰习题9.21、（1）()()()()2222220020=3232223x x dx x y dy xy y dx x x dx --+=+=+-=⎰⎰⎰⎰原式（2）11220011=13412x dx dy y ππ=⨯=+⎰⎰原式（3）)21122200514201=2133322140xdx x y dy x y y x x x dx ⎛+=+⎝⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰原式（4）()2222221112320000111221100011=3611112666yy y y y y y e dy x dx y e dy y de y ee dy e e e --------==-⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰原式（5）=0原式（6）()2222240001=212r r d e r dr e e πθ=π=π-⎰⎰原式（7）()()()()11222200=ln 1ln 112ln 2144d r rdr r d r πππθ+=++=-⎰⎰⎰原式（8）22242224401113=2264r d rdr d rdr πππθθθ=θθ==π⎰⎰⎰⎰原式 2、（1）()11=,xdx f x y dy ⎰⎰原式（2）()21=,x xdx f x y dy ⎰⎰原式（3）()120=,y y dyf x y dx -⎰⎰原式（4）()()11111ln =,,e x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰原式3、（1）()20=cos ,sin R d f r r rdr πθθθ⎰⎰原式（2）()2sin 20=cos ,sin R d f r r rdr πθθθθ⎰⎰原式（3）()1210cos sin =cos ,sin d f r r rdr πθ+θθθθ⎰⎰原式（4）()sec 40sec tan =cos ,sin d f r r rdr πθθθθθθ⎰⎰原式4、（1）)asec 4400=sec ln1rd dr a d a rππθθ=θθ=⎰⎰⎰原式（2）a3420=8d r dr a ππθ=⎰⎰原式 5、()1112=04413xDx dxdy xdx dy x x dx -+==-=⎰⎰⎰⎰⎰原式 6、()623D V x y d =--σ⎰⎰，[][]0,10,1D =⨯11111111200621316235656257622xdx dy ydy dx xdx ydyxdx x =--=--=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰7、()221DV xy d =++σ⎰⎰，[][]0,40,4D =⨯4444220442204423001116441685608161633x dx dy y dy dx x dx y dy x dx x =++=++=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰8、2cos 42cos 3330165330=cos sin cos sin 41211394cos sin sin cos 14328416r d r dr d d d θππθππθθθ=θθθ⎛⎫⎛⎫=θθθ-θθθ=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰原式9、()()123222cos 332231=18cos 38161sin sin 183189d r dr d d ππππθππθ=-θθππ=--θθ=-+⎰⎰⎰⎰原式10、()()()()()1222220132301422233xxDM x y d dx xy dyx x x x dx -=+σ=+⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰11、01r ≤≤，123316r r r r ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭202Dd πσ=θ=π⎰⎰⎰121114400021226r r dr r dr ⎛⎫π-≤π≤π ⎪⎝⎭⎰⎰⎰10971122225551025ππ⎛⎫=π-≤π≤ ⎪⎝⎭⎰ 9761255165ππ> 因此，6121655D ππ≤σ≤12、（1）令u xy y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩，则11221122x u v y u v -⎧=⎪⎨⎪=⎩，()(),1,2x y u v v α=α 原式43221128ln 323u du dv v ==⎰⎰（2）令u x y v y x =+⎧⎨=-⎩，则()()1212x u v y u v ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，()(),1,2x y u v α=α()[][]()122211142240011,1,11,142122111214255945D u v dudv D du u u v v dv=+=-⨯-=++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰原式（3）令cos sin x ar y br =θ⎧⎨=θ⎩，()(),,x y abr r α=αθ 原式122042abd r abrdr ππ=θ=⎰⎰ （4）令u x y v y =+⎧⎨=⎩，则x u v y v=-⎧⎨=⎩，()(),1,x y u v α=α()111112u vv uuu e du e dv uedu e udu -===-=⎰⎰⎰⎰原式（5）令u x y v x y =-⎧⎨=+⎩，则()()1212x u v y v u ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()(),1,2x y u v α=α 1100011001cos cos 21sinsin1sin12v v v vu u dvdu dv du v vuv dv vdv v -=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（6）令u v ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x uy v ⎧=⎨=⎩，()(),4,x y ur u v α=α ()()()1111230001320144232222315uuu du u v urdv u v v duu u u u du --⎛⎫=+=+⎪⎝⎭=-++=⎰⎰⎰⎰原式习题 9.31、（1）23561156120001=4111428364xyxyxyD D x xy dxdy z dz x y dxdy x dx y dx x dx ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（2）()()()131122001100=11111821621111115ln 22116216xyxy x yD x D xdzdxdy x y dx dxdy dx x y x y dx x y ----+++δ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭=--=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）()()2020020=sin 1sin 1sin 111sin 1222xyxyx D D ydxdy zdzxy x x dxdy dx ydy x xx dx π-ππ-=-=π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（4）()2222221112=129x y y zdzdxdy z dz +≤+=π+δ=π⎰⎰⎰⎰原式（5）()222011=243xD xdx dydz x x dx =-=⎰⎰⎰⎰原式2、（1）2222233210002116=2223r d r dr dz r r dr π⎛⎫θ=π-=π ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰原式（2）()22112407=212rd rdr r r r dr πθ=π--=π⎰⎰⎰原式3、（1）（2）22cos 240022cos 34045404=sin cos sin cos 8sin cos 76a a d d r r drd d r dra d a ππϕππϕπθϕϕϕ=θϕϕϕ=πϕϕϕ=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）21402140=sin sin 122545d d r drd d r drππππθϕϕ=θϕϕ=π=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式4、（1）113201320=cos sin cos sin 18xyD xydxdy dz d r d d r drππ=θθθθ=θθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式22402340442400=sin cos sin cos 112sin 248aaad d r r drd d r dra r πππππθϕϕϕ=θϕϕϕπ=πϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（2）2cos 320242052=sin 1sin cos 41cos 2510d dr drd d ππϕπππθϕϕ=θϕϕϕππ=ϕ=⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）()()52222223002450=55121104108xyxyD D x y dxdy x y dxdyr d r drr r π+⎛=+- ⎝⎛⎫=θ- ⎪⎝⎭⎛⎫=π- ⎪⎝⎭=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（4）()()2222420024200552=32sin 32sin 3415b a b a x y z dv d d rdrd d r drb a Ωππππ++=θϕϕ=θϕϕπ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式5、（1）()2222424300244220430=22256433x y zx y dv zdvdz d dr zd dxdyz dz z dz z ΩΩπ+≤++=θ+δ=π+π=π=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（2）设1Ω是由1z z ==所围成的有界闭区域，则))12222222222110021102=22232536x y x y z x y x y z z dv z dvdzdz zdz dxdy zdzdxdyΩΩ+≤+≤+≤+≤-=--+ππ=--π+=-π⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（3）()1222=4357xy z dv Ω++⎰⎰⎰原式，1Ω为Ω位于第一卦限的部分。

高数下典型习题及参考答案第8、9、10、11、12章习题及答案

dx
4 f (x, y)dy
x2
0
0
0
C、
4
y
∫0 dy∫0
f
(x,
y )dx
D、
4
∫0 dy∫0
y
f
(x,
y)dx
2、设 Ω 是由 x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1所围成的区域，则 ∫∫∫ xyzdxdydz =
Ω
3、旋转抛物面 z = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ 2 那部分的曲面面积 S=（） 2
−a
a2 −x2
0
−a
28、设 D 由 x 轴和 y = sin x, x ∈ [0,π ]所围成，则积分 ∫∫ dσ = D
29、设 Ω :
0
≤
x
≤
1,0
≤
y
≤ 1,0
≤
z
≤
K
，且
∫∫∫
xdxdydz =
1 4
，则
K
=
Ω
二、解答题
( ) ( ) 1、计算三重积分 ∫∫∫ x2 + y 2 dv ，其中Ω是由曲面 2 x2 + y 2 = z 与平面 z = 4所围成的区域。
Ω
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 正确的（
）A、
2π
dθ
a
1
dr
r 3dz
B、
2π
dθ
a
dr
1
r
r2
+
z2
dz
0
0
0
0
0
0
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) C、
2π

高等数学(同济第七版)第九章课后答案

－．《高＂tt雪；＇）( ;r,乞履＞rm习IA全航44， ’ ’i，、、J·．，－一，rr－T令，，、－M－·．‘FEE－’‘．．．．l i··付守年，2－·’、fp····．，．．．、付’创刊令，－2、．四．，。

－H‘．，．JA、。

当”、句，‘－、，．-.----－号ri咱也k fi'l企：，i(r'J ;(,) f尔1’在.i!Iii i ra、2所l'..t全微分r.. l.主R F列的数的全做分：l I ) ：二X)... ...:.. ; (2):=··-:14)u＝‘.， .( 3): sτ兰＝＝：、f叶’.，.I·．·、－= .,ii: ”l' .‘Ez－－－虫”·飞”( I ) I晏为t;_＝（，－干）‘1曹寸、－于）r1r.ii·i i·dz =ι二，I x+ , _ •h，，店，问向f t:l曾il=,l: \－二－.....,..,.h’，：1 2 l I崎＇）.J...＋二二，I‘冉、,1: d‘。

‘1’fr l'..lt、，I‘．“i,)dε =－飞、··．．．．( l、牛＋‘.｝‘ii:_ -J '们飞！－+\1、厅可丁2( 3 > I叫11• , Iv飞＋，－－，－－咱自－－－，电·、，、句’‘‘. t I－－,l:,l 1、·＂l1．．t．．1．．．－F‘｛’. .,..,.,1: ·＝、·,1‘φ. • ,I,A‘.11．，MFa，．’｝iuyt吁《－Itl48 一、o，�舷学’｛第七版）"F筋习忍金’E8ε27.6 一二一一－二I.JO 号i S 2 127. 8 !:, · 12.钊JU 1: l校纷iaF I乎）：内政之佣的地（，j i克i:丁j宫。

大学高数下册试题及答案第9章

大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。

华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)

对弧长的曲线积分1、计算C，其中曲线C是y =02x a ≤≤的一段弧()0a >。

解：C 的参数方程为22cos 022cos sin x a y a θπθθθ⎧=≤≤⎨=⎩原式222202cos 4cos 4a a d a ππθθ===⎰⎰2、计算4433L x y ds ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰，其中L 星形线33cos ,sin x a t y a t ==在第一象限的弧02t π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭。

解：原式()47766244333200sin cos cos sin 3cos sin 36t ta t t a t tdt a a ππ⎡⎤-=+==⎢⎥⎣⎦⎰ 3、计算xyzds Γ⎰，其中Γ为折线ABC ，这里,,A B C 依次为点()()()0,0,0,1,2,3,1,4,3。

解：AB 段参数方程2013x t y t t z t=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，BC 段参数方程122013x y t t z =⎧⎪=+≤≤⎨⎪=⎩原式()11301212ABBCxyzds xyzds dt t dt =+=++⎰⎰⎰⎰11420012618t t ⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎥⎦ 4、计算()22xy ds Γ+⎰，其中Γ为螺旋线cos ,sin ,x t t y t t z t ===上相应于t 从0到1的弧。

解：方法一原式11t t ==⎰⎰)(()2111222000111222222t dt t t t dt ⎫'⎡=+=+-+⎣⎰⎰1002t =--⎰⎰原式(100111ln 42422t ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰122=- 方法二、原式11tt ==⎰⎰)001112222t dt ===⎰⎰⎰2101112u +-=⎰(1101111222u ⎡=+--⎢⎣⎰⎰(10011ln 122u ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰(011ln 222=-+⎰原式(1ln 224=- 方法三、原式11t t ==⎰⎰因为422234t t '==(22'==(()ln 1t '⎛⎫+=+=所以(11ln 42t t '⎫+=⎪⎭原式((11111ln ln 14222t ⎤==-++⎥⎦5、计算22Lx y ds +⎰，其中22:0L x y ax a +=>解：22cos x y ax r a θ+=⇒=，曲线L 的参数方程为2cos 22sin cos x a y a θππθθθ⎧=-≤≤⎨=⎩原式222202cos 2cos 2a ad a πππθθθ-===⎰⎰6、计算22x y Leds +⎰,其中L 为圆周222x y a +=，直线,0y x y ==在第一象限内所围成的扇形的边界。

华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)

华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)、计算对弧长的曲线积分C，其中曲线C是y0某2a的一段弧a0某2aco2解：C的参数方程为y2acoin2原式202aco24a2cod4a244332、计算某yd，其中L星形线某aco3t,yain3t在第一象限的弧L0t272intcot解：原式2acotint3acotintdt3aa3060664443733、计算某yzd，其中为折线ABC，这里A,B,C依次为点0,0,0,1,2,3,1,4,3某t某1解：AB段参数方程y2t0t1，BC段参数方程y22t0t1 z3z3t原式AB某yzdBC某yzd3dt1212tdt1121412t6t18004、计算某2y2d，其中为螺旋线某tcot,ytint,zt上相应于t从0到1的弧。

解：方法一原式tt111112222tdtt2t2t2dt0202221t02111原式lnt4204220方法二、原式tt1112tdt22211u11201u1202211220原式方法三、原式lnu121202ln224tt34222因为tt422lnt11所以lntt421111lntln1ln原式422205、计算L，其中L:某2y2a某a02某aco2解：某ya某raco，曲线L的参数方程为yainco22原式22aco2a220cod2a26、计算L,其中L为圆周某2y2a2，直线y某,y0在第一象限内所围成的扇形的边界。

解：如右图，线段OA的参数方程为某t0t2yt某acot弧AB的参数方程为0t4yaint线段OB的参数方程为某t0tay0aat原式4eadtedt000a4etaet00ae1aaaaaee1ea24427、求曲线某at,ya2at,zt30t1的质量，其密度。

23解：m1aut2020a20a1u23aa388h3a1lnh823ln3a168、求半径为a，中心角为的均匀圆弧（线密度1）的质心。

高数下第九章的答案

解：直线的方向向量；设过点到直线的垂足为；则有
，即；又在直线上，
联立方程解得
从而点到直线的距离为 .
9.5空间曲面
P.31.习题9.5
1.指出下列方程在平面解析几何和在空间解析几何中分别表示什么图形.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
解：（1）在平面解析几何中表示平行于y轴的直线，在x轴上的截距为2；在空间解析几何中表示平行于yoz面的平面，在x轴上的截距为2；
.
（3）已知非零向量a、b、c且满足，证明 .
（4）设向量，证明三向量a、b、c共面.
证明：（1）
（2）
相加得 .
（3）已知，右乘b得，即；同理；
所以 .
（4）因为；
所以设向量，证明三向量a、b、c共面.
南阳理工学院高等数学（下）课后答案选解
第九章向量代数与空间解析几何
9.1向量及其坐标表示
P.9习题9.1
2.已知一边长为a的正方体，现取正方体下底面的中心为原点，正方体的顶点在x轴、y轴上，求此正方体各顶点的坐标.
解：下底面的四个顶点分别是：
对应的上底面的四个顶点分别是：
3.求出点到原点、各坐标轴及坐标面的距离.
；所求直线为 .
（5）过点且与直线垂直相交的直线方程为
；则；联立
解得
所以，过点且与直线垂直相交的直线方程为
.
2.用点向式方程及参数方程表示直线
解：设直线的方向向量为；在直线
上任取一点，则解得
所以，点向式方程为；参数方程为
3.求直线与平面之间的夹角.
解：因为

高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案解析

word 完美格式第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数word 完美格式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂word 完美格式4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y -+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

高等数学(下)答案(9)

第九章重积分§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值dxdy y x I D⎰⎰+=22 其中D 为：422≤+y x( dxdy y x I D⎰⎰+=22=πππ3162.4..312.4.=-) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分dxdy y x a D⎰⎰--222=12π，求a 的值。

解：dxdy y x a D⎰⎰--222=3.34.21a π 81=a3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求⎰⎰Ddxdy 3解：由于D 的面积为π2, 故⎰⎰Ddxdy 3=π64、设D ：}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x ，⎰⎰⎰⎰+=+=DDdxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(，比较1I , 与2I 的大小关系解：在D 上，)ln(y x +≤ 2)][ln(y x +,故1I ≤2I5、设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 ,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的立体的体积，可用二重积分表示为⎰⎰≤+=1:222)]([y x D dxdy xy f V6、根据二重积分的性质估计下列积分的值⎰⎰Dydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0:(≤0⎰⎰Dydxdy x 22sin sin 2π≤) 7、设f(x,y)为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求 ⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π解：利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim820f f dxdy y x f a a D a ==→→⎰⎰ηξπ§ 2 二重积分的计算法1、设⎰⎰+=Ddxdy y xI 1，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x ，x=0所围成的区域，则I=（）A ： 212ln 3ln 87+-- B ： 212ln 3ln 89-+C ： 212ln 3ln 89-- D ： 412ln 3ln 89--2、设D 是由不等式1≤+y x 所确定的有界区域，则二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )(为（）A ：0B ： 31C ：32D ： 13、设D 是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 ⎰⎰Dxy dxdy ye 为（）A ：e e e 212124--B ：21242121e e e e -+-C ：e e 21214+ D ：2421e e -4、设f(x,y)是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ⎰⎰++-2111),(为（）A dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰----+112111102),(),( B dx y x f dy y ⎰⎰--1110),(C dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰-----+112111102),(),( D dx y x f dy y ⎰⎰---11202),(5、设有界闭域D 1、D 2关于oy 轴对称，f 是域D=D 1+D 2上的连续函数，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f )(2为（）A ⎰⎰1),(22D dxdy y x f B ⎰⎰22),(4D dxdy y x fC ⎰⎰1),(42D dxdy y x f D⎰⎰22),(21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1上的连续函数，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f )(22为（）A ⎰⎰1),(222D dxdy y x f B ⎰⎰1),(422D dxdy y x fC ⎰⎰1),(822D dxdy y x f D⎰⎰1),(2122D dxdy y x f7、.设f(x,y)为连续函数，则⎰⎰a xdy y x f dx 0),(为( )A ⎰⎰a a ydx y x f dy 0),( B ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(C ⎰⎰a y dx y x f dy 0),( D ⎰⎰a xdx y x f dy 0),(8、求 ⎰⎰=Ddxdy yx I 22 ，其中 :D 由x=2,y=x,xy=1所围成. (49)9、设I=⎰⎰31ln 0),(xdy y x f dx ,交换积分次序后I 为：I=⎰⎰31ln 0),(xdy y x f dx =⎰⎰3ln 03),(y edx y x f dy10、改变二次积分的次序： ⎰⎰⎰⎰-+4240200),(),(xxdy y x f dx dy y x f dx = ⎰⎰201221xxdx y dx x11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求⎰⎰+Dy x dxdy e 的值解：⎰⎰+Dyx dxdy e=⎰⎰⎰⎰-==+121101)1())((e dy e dx e dy edx y xl yx12设 I=⎰⎰--Ddxdy y x R 222,其中D 是由x 2+y 2=Rx 所围城的区域，求I (331R π)13、计算二重积分⎰⎰-+Ddxdy y x |4|22，其中D 是圆域922≤+y x解：⎰⎰-+Ddxdy y x |4|22==-+-⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d ππθθ2032220202)4()4(241π 14、计算二重积分⎰⎰Dy x dxdy e},max{22，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}解： ⎰⎰Dy xdxdy e }22,max{=1101022-=+⎰⎰⎰⎰e dx e d dy e dx yy xx y15、计算二重积分⎰⎰++Ddxdy yx yx 22，D ：.1,122≥+≤+y x y x 解：⎰⎰++D dxdy yx y x 22=24)sin (cos 201sin cos 12πθθθπθθ-=+⎰⎰+rdr r r d§ 3 三重积分1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则⎰⎰⎰Ωxdxdydz 为( )A ⎰⎰⎰--12101y x y xdz d dx B ⎰⎰⎰---2102101y yx xdy dz dxC ⎰⎰⎰---2102101x yx xdz dy dx D ⎰⎰⎰10110xdz dy dx2、设Ω是由曲面x 2+y 2=2z,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(表示为累次积分，I=（）A ⎰⎰⎰120202ρπθρθρρθz)dz ,sin ,cos f(d d B ⎰⎰⎰220202ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d dC ⎰⎰⎰2022202ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d D ⎰⎰⎰20220dz z),sin ,cos f(d d ρθρθρρθπ3、设Ω是由1222≤++z y x 所确定的有界闭域，求三重积分⎰⎰⎰Ωdv e z ||解：⎰⎰⎰Ωdv e z ||=⎰⎰⎰--≤+111||222)(z y x z dz dxdy e =2⎰=-122)1(ππdz z e z 4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32(1/364)5、设Ω是球域：1222≤++z y x ，求⎰⎰⎰Ω++++++dxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 (0) 6、计算⎰⎰⎰+Qdxdydz y x )(22 其中Ω为：平面z=2与曲面2222z y x =+所围成的区域 (π564) 7、计算⎰⎰⎰Qzdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x 2所围成的闭区域(2/27))8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求dxdydz z y x f t tz y x t )(1lim 222222240⎰⎰⎰≤++→++π解：dxdydz z y x f tt z y x t ⎰⎰⎰≤++→++222222240(1lim π=)0(')(4limsin )(1lim 42022040f t drr f r dr r r f d d ttt tt ==⎰⎰⎰⎰→→ϕϕθπππ§4 重积分的应用1、(1)、由面积22y x +=2x, 22y x +=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（）A )2(41+πB )2(21+πC )2(43+π D 2+π(2) 、位于两圆θρsin 2=与θρsin 4=之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )A (0,35)B (0,36)C (0,37) D (0,38)(3)、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是（）A (0,0,34)B (0,0,35) C (0,0,45) D (0,0,47)(4)、质量分布均匀(密度为μ)的立方体所占有空间区域:}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz 轴的转动惯量I Z =( )A 31μB 32μC μD 34μ2、求均匀上半球体(半径为R)的质心解：显然质心在z 轴上，故x=y=0,z=⎰⎰⎰Ω=831Rzdv V 故质心为(0,0,R 38)4、曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x 分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为 s 1, s 2, s 3, 求s 1:s 2:s 3解：π102559222=--=⎰⎰≤+dxdy y x y x 1S π2025516222=--=⎰⎰≤+dxdy y x y x 3Sπ70=2S5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积解：3)122(2222222R dxdy R y x R R y x π-=++=⎰⎰≤+S6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy 平面之间那部分立体的体积解：43)(2132222R dxdy y x R Rx y x π=+=⎰⎰≤+V 第九章自测题一、选择题: （40分） 1、⎰⎰-x dy y x f dx 1010),(=( )A ⎰⎰-1010),(dx y x f dy x B ⎰⎰-xdx y x f dy 1010),( C ⎰⎰11),(dx y x f dy D ⎰⎰-ydx y x f dy 101),(.2、设D 为222a y x ≤+,当=a ( )时,π=--⎰⎰Ddxdy y x a 222. A 1 B 323 C 343 D 321 3、设⎰⎰+=Ddxdy y x I )(22,其中D 由222a y x =+所围成,则I =( B ).A 4220a rdr a d a πθπ=⎰⎰ B 422021a rdr r d aπθπ=⋅⎰⎰; C 3022032a dr r d a πθπ=⎰⎰ D 402202a adr a d a πθπ=⋅⎰⎰.4、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的空间区域,则⎰⎰⎰Ωxdxdydz =( ).A481 B 481- C 241 D 241- .5 、设Ω是锥面,0(222222>+=a by a x c z )0,0>>c b 与平面c z y x ===,0,0所围成的空间区域在第一卦限的部分,则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy=( ).A c b a 22361B b b a 22361C a c b 22361D ab c 361.6、计算⎰⎰⎰Ω=zdv I ,1,222=+=Ωz y x z 为围成的立体,则正确的为( )和（）A ⎰⎰⎰=101020zdz rdr d I πθB ⎰⎰⎰=11020rzdz rdr d I πθ C ⎰⎰⎰=11020rrdr dz d I πθ D ⎰⎰⎰=zzrdr d dz I 0201πθ.7、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积=s ( )A π3B π2C π5D π22.8、由直线2,2,2===+y x y x 所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量x I =( ).A μ3B μ5C μ4D μ6二、计算下列二重积分:（20分）1、⎰⎰-Dd y x σ)(22,其中D 是闭区域:.0,sin 0π≤≤≤≤x x y (9402-π) 2、⎰⎰Dd xy σarctan ,其中D 是由直线0=y 及圆周1,42222=+=+y x y x ,x y =所围成的在第一象限内的闭区域 . (2643π) 3、⎰⎰+-+Dd y x y σ)963(2,其中D 是闭区域:222R y x ≤+ (2494R R ππ+)4、⎰⎰-+Dd y x σ222,其中D :322≤+y x . (.25π) 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）1、⎰⎰⎰⎰-+yydx y x f dy dx y x f dy 30312010),(),( (⎰⎰-xxdy y x f dx 3220),()2、⎰⎰-+2111),(x xdy y x f dx (⎰⎰⎰⎰-+22202110),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy )3、⎰⎰θθθθ0)sin ,cos (rdr r r f d a (⎰⎰θθθθ0)sin ,cos (rdr r r f d a )四、计算下列三重积分:（15分）1、Ω+⎰⎰⎰Ω,)cos(dxdydz z x y :抛物柱面x y =2,,π=+==z x o z o y 及平面所围成的区域 (21162-π) 2、,)(22⎰⎰⎰Ω+dv z y 其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面5=x 所围 (π3250) 五、（5分）求平面1=++czb y a x 被三坐标面所割出的有限部分的面积 .(22222221a c c b b a ++) 六、（5分）设)(x f 在]1,0[上连续,试证:310101])([61)()()(⎰⎰⎰⎰=dx x f dxdydz z f y f x f x y x 0)0(,)()()()(,)()(1==='=⎰⎰F dx x f t F x f x F dt t f x F x且则=⎰⎰⎰101)()()(x yx dxdydz z f y f x f =-⎰⎰dy x F y F y f dx x f x11)]()()[()(dx x F F x F x F F x f )}()1()()]()1((21){[(2122⎰+--=)1(21)1(61)1(21333F F F -+=)1(613F。

高数第九章解答_khdaw

孑毖 ?、阜
9,t9’ o厶
Ⅱ 【秃
留饪 ∵私19`铞
g℃ 1亠 -孓 c关
∠
q亻△ˇ留'仉 ~幻 f丬丿o吖'饫 ′+留吖 ′-q'皈 -叨绽 ′
`=留
〃-留〃 =ˉ Tru丿 9?g△ 十
,恭喉厶拶句″ `V午钉 ,,勹切
`J扌颐
`为 Gqt以 9干 C,刁巳f∝ 丿
宀耐饪 J、'廷
亻⑷ 辶泓以吧
以十6)s以》伽大十 2扬呒从 $丿 +CI△ 丈干 r,s义
△ G宀大 fC,⒐
⊥
#孛
一
ˉ ct铴众十 r冫
歹、 X)矽 ″-4爿
9'洋
^一
6u。
口
天·et
/ 贾
sF乡亻
G9f=r匕匕~匕/)去
)舞砝 %Ξ {∶I讠{l丨
E-彳一繁
课后答案网幻r~吆 .′ -4勹 /十 ‘ °f‘ 0o
冫l
◇σ 干 ε,乙圹叶C、 ⒐跷十兽
1细 (‰ 9· 9十 O。 str‰
f
'冫巩轻甲tJ
www.khd课后a答w案.网com
U孔 , , r。 f丿
亻 ′-⒊ V′ 十冫
(3,灼孓‘叼'彳 ?V=o
占沟 △亻子刀 Ⅱ
入△ ;入 f亠 =。 .^=(、 λ ⒓ . C‘ g丬千 C亠 e2x
递乙甲‘2 课后答案网
C /Ⅱ f∫
°/U二万锈丐 .告监亻l+圹卜 rl劳一席轩 ,。f丬 =荔 ″卜些厶Cl+犭勹十
`斋 y~lr.疒丿-荔犭L茂 ‘rf9·丿千C讠

高等数学第九章练习题答案

第九章练习题一、填空第一节1、 22222)1ln(),(y x y x y x f --+-+=的定义域是2122≤+<y x ．2、 2222911),(y x y x y x f --+-+=的定义域是9122≤+<y x ．3、 2222001sin)(lim yx y x y x ++→→＝ 0 ． 4、=+-→→xyxy y x 93lim0 16- ．5、、函数y x z -=的定义域是 (){}y x y x y x ≥≥≥2,0,0/,6、函数()12ln 2+-=x y z 的定义域是 0122>+-x y7、()()=+-→11lim0,0,xy xy y x 2-. 19. ()()=-+→xyxy y x 24lim0,0,41. 8、求极限()()()yxy y x tan lim0,2,→= 29、 2210ln()lim y x y x e x y →→++= ln 2 . 第二节1、设z =zx ∂∂2、设z arctan(xy )=，则zx∂=∂ ，z y ∂=∂ ．22,1()1()y x xy xy ++ 3、设223z x xy y =++，则(1,2)zx ∂∂= 8 ，(1,2)z y ∂∂= 7 .4、设y x e z 2-=，而t x sin =，3t y =，则=dtdz()22sin 6cos 3t t e t t -- 5、设y x z =，而te x =，12-=t e y ，则=dt dz ()2231-+-t t t e e e6、设(1)y z xy =+，则zx∂∂= 21(1)y y xy -+ 7、设(1)xy z x =+，则zy∂∂=(1)ln(1)xy x x x ++ 8、设y x z y3⋅=，求=∂∂∂y x z 2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y y 13ln 3 。

9、函数222234x y z x ++=，则z x ∂=∂ 23z x x z∂-=∂，z y ∂=∂ 。

《高等数学》(下)习题参考答案

《高等数学》（下）习题参考答案第七章空间解析几何与矢量代数习题一、 1．(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z ------； 2．k j i 573--；3．2y z +=或210x y z +-=； 4．圆，圆柱面； 5．2340x y z --+=．二、 1. 2. 3. 4. 5.B C B A C三、1.u =11232.cos cos cos 22343πππαβγαβγ=-=====；3.4-；4.32550x y z +-+=；5.3πθ=； 6.P r j βα=；7.2OABS ∆= 2228.9x y z ++=； 222289.0x x y z ⎧-+=⎨=⎩； 10．⎪⎭⎫ ⎝⎛--8343,8356,83273； 11.0x y z -+=．第八章多元函数微分学习题一一、 1、yyx +-112； 2、},0,0|),{(2y x y x y x ≥≥≥； 3、1，2； 4、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++xy xy xy xy x 1)1ln()1(，12)1(-+x xy x ； 5、22812y x -，22812x y -，xy 16-．二、1. 2. 3. 4. 5.D D B B A三、 111ln ln ln z z z z y y z y z uuuy x x y z x x y x y xyz--∂∂∂===∂∂∂、 2、)ln (1z x y z y x x u x z y +=∂∂-，)ln (1z x y z y x yux z y +=∂∂-，)ln (1y z x z y x z u x z y +=∂∂-2222222222222222223z xy z xy x x y y x y z y x x y x y ∂∂==-∂+∂+∂-=∂∂+、（）（）（）4、xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-5、dy dx 3231+习题二一、1、)()(y x f xy y x yf +'++，)()()()(y x f xy y x f y x y x f +''++'+++；2、2242232f y x f y x ''+'； 3、dy f f dx f f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-''-12121； 4、y x y x -+； 5、x y z z z -ln ln ，yyz xy z ln 2-二、1、C ；2、A ；3、C ；4、B ；5、C 三、 1、321f yz f y f x u '+'+'=∂∂，32f xz f x yu '+'=∂∂，3f xy z u '=∂∂ 3、212f x f y x z '+'=∂∂，22122211124)(2f xy f y x f xy f yx z''-''-+''+'=∂∂∂ 6、)()(1)](1)[(v g u f v g u f x z ''+'+'=∂∂，)()(1)](1)[(v g u f v g u f y z ''+'+'-=∂∂ 7、2222111133332sin cos 2cos x y x y x y zf x f x e f x f e e f x+++∂''''''''=-⋅+⋅+⋅+⋅+∂； 332232313122sin cos sin cos f e f y e f e f x e y x f y x zy x y x y x y x ''+''⋅-'+''⋅+''-=∂∂∂++++ 8、2222222222222222222221213394133u u u u u u u x x u u u u u u u y y u u u u x y ζηζζηηζηζζηηζζηη∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=--=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂ 习题三一、12121281610148x y z x y z ---==-+-=-2、042=-+y x ，2112zy x =-=-3.1+4.326i j k --5.(3,2)大 36二、1. 2. 3. 4. 5.B D A C C 三、(1,2)2zl∂=∂、13(,1)2-、极小值2e-2433p p 、22222222221212121251122022020x y zx y z x y z z x y x y z F x y z x y z z x y x y z F x x F y y F z x λλλλλλλλ=++=+++==+++--+++-=-+=⎧⎪=-+=⎨⎪=++=⎩2、设椭圆上点为（x，y，z），则原点到椭圆上这点的距离平方为d ，其中，，满足和令（，，）（）（）==11求解方程，最长距离为d d 6、在点)1,1(-处有极小值：-2；极大值：6．第九章重积分习题一一、1.()2aba b + 2、⎰⎰e ey dx y x f dy ),(10；3、)1(214--e ；4、1210cos sin (cos ,sin )d f d πθθθρθρθρρ+⎰⎰；5、⎰⎰-+--2211111),(x x dy y x f dx二、1. 2. 3. 4. 5.C A B D C三、1.[36,100]ππ； 62.55； 3．49； 4.e e 2183-； 5．2643π；6．38； 7．π6； 8．)0(32f 'π．习题二一、1、⎰⎰⎰+----111112222),,(y x x xdz z y x f dy dx ； 2、π32； 3、θϕϕd drd r dv sin 2=；4、⎰⎰⎰adr r f r d d 0224020)(sin ππϕϕθ； 5、dxdy y z x z dS 221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 二、1. B ；2．B ；3．D ；4．C ；5．B三、1．)852(ln 21-； 2．481； 3．467a π； 4．6π； 5．)22(162-π； 3232001()6.()2[()],lim (0)33t t F t F t r h h f r dr h hf t πππ+→=+=+⎰； 27.2()a a π-．第十章习题一一、填空题 1、23202(2sin 2cos 2)sin 2ta t t t t dt π--+⎰； 2、2； 3、34/3；4、⎰； 5、π2二、选择题1、(B)；2、(A)；3、（C ）；4、（A ）；5、（A ）；6、（C ）三、计算题1、242-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a e a π； 2、9四（略）五1、π2-；2、1/2 六、⎰++Lds xxQP 2412七、⎰Γ++++ds yx yRxQ P 2294132习题二一、选择题 1、（B ）； 2、（D ）； 3、（B ）； 4、（D ）； 5、（C ）二、8 三、1、42R π-；2、241π；3、281a m π四、3cos 42cos 9+ 五、y x y x u 2),(=六、283a π七、八（略）习题三一、填空题1、π8；2、321； 3、π8-； 4、dS R Q P ⎰⎰∑++53223； 5、22a π 二、选择题1、（D ）；2、（B ）；3、（C ）；4、（C ）三、计算题 1、427-； 2、π221+ 四、 1、π23； 2、81五、552a π六、π32第十一章习题一一、判断题1、√；2、×；3、√；4、×；5、√；6、× 二、填空题1、0；2、1>p 且.const p =；3、1>p ，10≤<p ，0≤p ；4、 ,2,1,1=≥+n u u n n 且0lim =∞→n n u三、选择题 1、（C ）； 2、（A ）； 3、（C ）； 4、（A ）； 5、（C ）四（略）五、1、发散；2、收敛六、1、发散；2、收敛七、1、发散；2、收敛八、当b a >时，收敛；当b a <时，发散；当b a =时，可能收敛，也可能发散．九、1、收敛；2、收敛十（略）习题二一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、√ 二、填空题1、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,21； 2、)5,1[-； 3、)1,1[-，)1ln(x --； 4、22,2)1(1)1(2ln 011≤<-⋅+-+∑∞=++x x n n n n n； 5、26,)4(3121011-<<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=++x x n nn n三、选择题1、（D ）；2、（B ）；3、（B ）；4、（C ）；5、（C ）四、1、)3,3[-；2、)3,1[；3、]1,1[- 五、 1、)1,1(,)1(1)(2-∈-=x x x s ；2、)1,1(,arctan 21)]1ln()1[ln(41)(-∈+--+=x x x x x s六、2(1)(),(1,1](1)n nn f x x x x n n ∞=-=+∈--∑七、)1,1(,)1(2131)(01-∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑∞=+x x x f nn n n八、)1,1(,)1ln(arctan 21222-∈+-++x x x x xx 第十二章习题一一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、× 二、填空题1、2)(ln 21)(x x f =；2、x cxe y -=；3、x y 2=；4、x x x y 91ln 31-=；5、yP x Q ∂∂=∂∂ 三、1、C y x =⋅tan tan ；2、C e e y x =-⋅+)1()1( 四、22sec )1(=⋅+y e x 五、s cm /3.269 六、1、Cx y x =-332；2、223x y y -= 七、)ln 41(x x y -= 八、 1、)(sin C x ey x+=-； 2、322Cy y x +=； 3、)cos 1(1x y --=ππ 九、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-t m ke k m k t k k v 2122121 十、xx x f 3132)(+=十一、)1,1[,)1ln()(1-∈--=∑∞=x x e x f x n n习题二一、选择题 1、（C ）； 2、（B ）； 3、（D ）； 4、（C ）； 5、（B ）； 6、（A ）； 7、（D ）二、填空题1、3221)3(C x C x C e x y x +++-=；2、22121C x x e C y x +--=； 3、)1ln(1+-=ax ay三、1、x x e C e C y 221-+=；2、x C x C y sin cos 21+=；3、x C x C e C e C y x x sin cos 4321+++=-；4、4x x y e e -=- 四、⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-++-tk k tk k k eek k v x 1221222424122014五、)sin (cos 21)(x e x x x ++=ϕ 六、u u f ln )(= 七、1)(21)(++=-x xe e x s。

高数下第九章例题及答案

复习三重积分1．了解二重的几何意义, 会交换二次积分的次序.例1．设D 为闭圆域x 2+y 2≤R 2, 则Dσ⎰⎰= .解: 此积分表示以半径为R 的半球体的体积, 即33142233R R ππ⋅=.例2．改变二次积分⎰⎰210),(x dy y x f dx 的积分次序得( ).(A )⎰⎰100),(2dx y x f dy x ; (B )⎰⎰110),(y dx y x f dy ;(C )⎰⎰ydx y x f dy 010),(; (D )⎰⎰112),(x dx y x f dy .解: 积分区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x 2}, 积分区域又可表示为 }1 ,10|) ,{(≤≤≤≤=x y y y x D , 所以⎰⎰⎰⎰=1101),(),(2yx dxy x f dy dy y x f dx .2．会利用直角坐标和极坐标计算二重积分, 会利用直角坐标、柱面坐标和球面坐标计算三重积分.例1．计算σd e x Dy ⎰⎰-22, 其中D 由x =0, y =1, y =x 围成.解: 因为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以⎰⎰⎰⎰--=1102222xy Dy dye dx x d e x σ, 计算无法进行.因为D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰----===1022103021222226131dy e y dy e y dx x dy ed exy y yy Dy σ)21(61|616161|6161101021021022222ee e dy e e y de y y y y y -=--=+-=-=----⎰⎰. 例2．计算⎰⎰=Ddxdy yyI sin , 其中D 由曲线x y =、直线y =x 围成.解: 积分区域可表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, y 2≤x ≤y }, 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰-===1010sin )1(sin sin 2ydyy dx y y dy dxdy y yI y y D=1-sin1.例3．将⎰⎰-12),(x x dyy x f dx 化成极坐标形式的二次积分 .解: 积分区域为}0 ,10|) ,{(2x x y x y x D -≤≤≤≤=, 在极坐标下}cos 0 ,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D , 所以⎰⎰⎰⎰=-θπθθθc o s20100)s i n ,c o s (),(2r d r r r f d dy y x f dx x x .例4．计算二重积分⎰⎰--Dy xdxdye 22,其中D 为x 2+y 2=1所围成的闭区域.解:⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----===1210120222222dr e rdr erdr ed dxdy er r r Dy x ππθπee r πππ-=-=-10|2. 例5．计算三重积分⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz , 其中Ω为平面x =0, y =0, z =0,x +y +z =1所围成的四面体. 解: 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤1-x -y , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}, 于是⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x d x d y d z⎰⎰⎰---+++=yx xdz z y x dy dx 103101)1(1⎰⎰--++=xdy y x dx 10210]81)1(21[dx x x ⎰+-+=1]8183)1(21[)852(l n 21-=.例6．计算三重积分dv y x ⎰⎰⎰Ω+)(22其中Ω为x 2+y 2=2z 及z =2所围成的闭区域.解: 在柱面坐标下积分区域可表示为 Ω: 0≤θ≤2π, 0≤r ≤2, 2212≤≤z r ,于是316)212(2)(22322122020222ππθπ=-=⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdr r r rdz r dr d dv y x r.例7．计算三重积分dv z y x )(222++⎰⎰⎰Ω, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域.解: 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤1,于是 dv z y x )(222++⎰⎰⎰Ωθϕϕd d r dr s i n 4⋅=⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰=1420s i n dr r d d ππϕϕθπ54=.3．会计算立体的体积, 会计算曲面的面积, 会计算质心或形心.例1．求由抛物柱面z =2-x 2及椭圆抛物面z =x 2+2y 2所围成的立体的体积. 解: ππθπ=-=-=+--=⎰⎰⎰⎰104210220222]21[2)22()]2()2[(r r rdr r d dxdy y x x V D. 例2．求锥面22y x z +=被柱面z 2=2x 所割下的部分的曲面面积. 解: 曲面22y x z +=与z 2=2x 的交线在xOy 面上的投影为⎩⎨⎧==+0222z xy x .所求曲面在xOy 在上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤2x }. π22122=='+'+=⎰⎰⎰⎰DDy x dxdy dxdy z z A .例3．求由曲线ay =x 2, x +y =2a (a >0)所围成闭区域的形心. 解: 闭区域可表示为}21 ,2|),{(2x a y x aa x a y x D -≤≤≤≤-=.因为 3222121227)12(2a dx x a x a x dy xdxxdxdy aaxa xa aa D-=--==⎰⎰⎰⎰⎰---,324222212536)144(212a dx x a x ax a ydy dx ydxdy a a xa x a aa D =-+-==⎰⎰⎰⎰⎰---,22221229)12(2a dx x a x a dy dx dxdy aax a x aaaD=--==⎰⎰⎰⎰⎰---.所以a a a d x d yx d x d y x DD2129122723-=-==⎰⎰⎰⎰, aa adxdy ydxdyy DD282953623===⎰⎰⎰⎰.练习三1. 设区域D 为x 2+y 2≤a 2, 且π=--⎰⎰dxdy y x a D222, a =________.2. 设D 由y 2=x 及y =x -2所围成, 则⎰⎰=Dxyd I σ=( ).(A)⎰⎰+=422y y xydy dx I ; (B)⎰⎰-+=2122y y xydx dy I ;(C)⎰⎰⎰⎰--+=4121x x xxxydydx xydy dx I ; (D)⎰⎰-+=2122y y xydy dx I .3. 交换下列二次积分的顺序, 并画出积分区域草图. (1)⎰⎰--22),(0x a xa adyy x f dx ; (2)⎰⎰xe dy y xf dx ln 01),(; (3)⎰⎰---x x dy y x f dx 214262),(.4. 设D : |x |≤1, 0≤y ≤1, 则⎰⎰+Dyd y x σ)(3=________.5. 曲面x 2+y 2+z 2=R 2(z >0)和2R z =所围成的立体的体积可表为二重积分________.6. 计算二次积分⎰⎰+=131021x dy yxy dx I .7. 利用极坐标计算积分⎰⎰⎰⎰-+++=10212022222x x dy y x dx dy y x dx I .8. 计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )(, 其中D : x 2+y 2≤2x .9. 计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ)cos(, D 是以点(0, 0),(0, π), (π, π) 为顶点的三角形区域.10. 计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2, 其中D 为直线y =x 和抛物线y =x 2所围成的平面区域.11. 计算二重积分σd y x D22+⎰⎰, 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )|a 2≤x 2+y 2≤b 2}.12. 计算二重积分⎰⎰+'Ddxdy y x f )(22, 其中D 为圆域: x 2+y 2≤R 2 .13. 求⎰⎰⎰Ω++=dv z y x I )(22,其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周的曲面与平面z =4所围立体.14.计算⎰⎰⎰Ω+dVzx)(,其中Ω是由曲面22yxz+=与221yxz--=围成.15.求旋转椭球面2221449x y z++=所围成的旋转体的体积.16.求半圆域x2+y2≤a2,x≥0的形心.17.求圆锥面2z=+x2+y2=2x内部的曲面面积.。

高等数学课后习题答案第九章1

第九章习题解答（2）习题9.31、求上半球面222y x a z含在柱面ax y x 22内部的曲面面积解：被积函数为222y x a z 22222)(y x a x z x 22222)(yx a y z y --= 所以 dxdy yx a a dS 222--=积分区域为：:D ax y x =+22，化成极坐标：设θcos r x =，θsin r y = dr rd dxdy θ=θπθπc o s 0,22a r ≤≤≤≤-⎰⎰-=-θππθcos 02222a ra ardr d S cos 0222222)(2a r a r a d d a ⎰---=22cos 022ππθθd r a a a)2(222)sin (222220-=⋅+-=--=⎰ππθθπa a a d a a a2、求圆锥面22y x z +=被柱面x z 22=所截下的曲面面积解：被积函数为22y x z += 2222)(y x x z x += ， 2222)(yx y z y += 所以 dxdy dS 2=积分区域为：:D x y x 222=+，设θcos r x =，θsin r y = dr rd dxdy θ=θπθπc o s 20,22≤≤≤≤-r⎰⎰-=θππθcos 20222rdr d S ππθθππ222124cos 22222=⋅⋅==⎰-d3、求抛物柱面221x z =含在由平面x y y x ===,0,1所围的柱体内的面积解：被积函数为221x z = 22)(x z x = ， 0)(2=y z所以 dxdy x dS 21+=积分区域为：:D x y y x ===,0,1，0=z 围成的闭区域=+=⎰⎰x xdy x dx S 021⎰+xdx x x 0213122)1(3121)1(1211232022-=+⋅=++=⎰x x d x x 。

4、求下列图形的形心（1）、:D 1,0,2===x y x y ，围成的闭区域解：将密度看成1；⎰⎰⎰⎰=xDdy dx dxdy 201032221==⎰dx x 522210232010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x dy xdx xdxdy xD2112010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x ydy dx ydxdy xD于是得形心坐标为：53322522~==x 82332221~==y 形心为)82353( （2）、:D θρco s 1+=，围成的闭区域解：将密度看成1；πθ23=⎰⎰Ddr rd （前面求出的结果） dr r d rdrd r xdxdy D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+'==θπθθθθcos 10220cos cos⎰+=πθθθ203)cos 1(cos 31d +⎰πθθ20cos 31d +⎰πθθ202cos d +⎰πθθ203cos d ⎰πθθ204cos 31d +=0++⎰πθθ20)2cos 1(21d +0⎰++πθθθ20242cos 2cos 2131d=π1215242122πππ=++65231215~==ππx 由图形关于x 轴的对称性得0~=y 形心为)065(（3）、:D 0,12222≥=+x by a x ，围成的闭区域解：面积ab 2π=⎰⎰⎰⎰---=2222110a xb a x b a Dxdy dx xdxdy ⎰-=adx ax x b 0221232)1(32)2(22123222ba a x ab =--= ππ34232~2a ab ba x == 由图形关于x 轴的对称性得0~=y 形心为)034(πa5、圆盘)0(222>≤+a ax y x 内各点处的密度=),(y x μ22y x +，求此圆盘的质心解：=M =⎰⎰Ddxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x 22⎰⎰-θππθcos 20222a dr r d3203332316cos 316a d a ⋅==⎰πθθ3932a ==y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x x 22⎰⎰-θππθθcos 20322cos a dr r d15641588cos 1641442254a a d a =⋅==⎰-ππθθ 56~a M M x y ==，由对称性得0~=y 所求质心为)056(a6、设有一个等腰直角三角形薄片，各点处的密度等于该点到直角顶点距离的平方，求此圆薄片质心解：设等腰直角三角形的顶点为),0(),0,(),0,0(a a 则22),(y x y x +=μ=M =⎰⎰D dxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x )(22⎰⎰-+xa a dy y x dx 0220)( ⎰-+-=a dx x a x a x 032])(31)([⎰-+-=a dx x a x a ax 03322]31312[ 62132444a a a =-= =y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy xy x)(23⎰⎰-+xa a dy xy x dx 0230)(⎰-+-=adx x a x x a x 033])(31)([⎰-+-=a dx x x a x a ax 043223]34312[ 5555515115463121a a a a a =-+-= 由对称性得=x M =⎰⎰Ddxdy y x y ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y y x)(32⎰⎰-+ya a dx y y x dy 032)(155a = 52~a M M x y ==，52~a M M x x == 所求质心为)5252(aa 7、设有顶角为α2，半径为R 的扇形薄片，各点处的密度等于该点到扇形顶点距离的平方，求此薄片质心解：设扇形顶点为)0,0(关于x 轴对称则22),(y x y x +=μ=M =⎰⎰Ddxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x)(22⎰⎰-Rdr r d 03ααθ24R α==y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x x )(22⎰⎰-Rdr r d 04cos θθαα5sin 2αR =5sin 4~αR M M x y == 由对称性得0~=y ，所求质心为)05sin 4(αR8、设均匀薄片（面密度为常数)ρ，战局的区域如下，求指定的转动惯量（1）、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1),(2222b y a x y x D 求y I ，l I ，其中是过原点切倾斜角为α的直线解：ab M ρπ=y I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x x ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy x 2⎰⎰123203cos dr r d b a θθπ ===⎰4cos 43202ba d abρθθρπ42Ma由题设可知薄片上任意点到直线l 的距离为αα2tan 1tan +-=y x dl I ==⎰⎰Ddxdy y x d ),(2μ⎰⎰++Ddxdy xy y x )tan 2tan (tan12222αααρ⎰⎰+=Ddxdyx 222tan 1tan ααρ⎰⎰++Ddxdy y 22tan 1αρ⎰⎰+-Dxydxdy ααρ2tan 1tan 24tan 1tan 222Ma ⋅+=ααρdr r d ab ⎰⎰++1322023sin tan 1ϑθαρπdr r d b a θθθαρπ⎰⎰+-1320222sin cos tan 14tan 1tan 222Ma ⋅+=αα2tan 123παρ⋅++ab 4tan 1tan 222Ma ⋅+=αα4tan 1122Mb ⋅++ααα2222tan 1tan 4++⋅=a b M （2）、{}b y a x y x D ≤≤≤≤=0,0),(求y I ，l I ，其中是过原点与点),(b a 的对角线ab M ρ=y I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x x ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy x 2⎰⎰bady dx x 023323Ma ba ==ρx I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x y ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy y2⎰⎰bady y dx 0232Mb =由题设可知薄片上任意点到直线l 的距离为22ba ay bx d +-=l I ==⎰⎰Ddxdy y x d ),(2μ⎰⎰-++Ddxdy abxy y a x b b a )2(222222ρ=⎰⎰+Ddxdy x ba b 2222ρ⎰⎰++Ddxdy y ba a 2222ρ⎰⎰+-Dxydxdy ba ab222ρ22223b a b Ma +=22223b a a Mb ++22222b a b a M +-)(62222b a b Ma += 习题9.41、化三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x F ),,(为三次积分（只须先,z 次对,y 后对x 一种次序）（1）、由三个坐标面与平面06236=-++z y x 围成解：23230yx z --≤≤，,220x y -≤≤10≤≤x ⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰---=yx x dz z y x f dy dx 32302201),,(（2）、由旋转抛物面22y x z +=与平面1=z 围成解：122≤≤+z y x ，,1122x y x -≤≤--11≤≤-x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰+-+---=111112222),,(y x x x dz z y x f dy dx（3）、由圆锥面22y x z +=与上半球面222y x z --=围成解：22222y x z y x --≤≤+，,2222x y x -≤≤--22≤≤-x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰--+-+---=22222222222),,(y x y x x x dz z y x f dy dx（4）、由双曲抛物面xy z =与平面0,1==+z y x 围成解：xy z ≤≤0，,10x y -≤≤10≤≤x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰-=xyxdz z y x f dy dx 01010),,(2、设有一物体，点据空间闭区域{}10,10,10),,(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x 密度函数为z y x z y x ++=),,(μ，求该物体的质量解：=++=⎰⎰⎰Ωdv z y x M )(=⎰⎰⎰Ωxdv ++⎰⎰⎰Ωydv =⎰⎰⎰Ωzdv =⎰⎰⎰Ωzdv 32331011==⎰⎰⎰zdz dy dx 3、计算三重积分（1）、⎰Ωx y d v⎭⎬⎫⎩⎨⎧=++====Ω132,0,0,0),,(z y x z y x z y x ⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰---=)21(30)1(2010yx x xydz dy dx ⎰⎰---=)1(202210)2333(x dy xy y x xy dx ⎰⎰---=)1(202210)2333(x dy xy y x xy dx⎰-----=103222])22(21)22(33)22(23[dx x x x x x x ⎰-----=103222])22(21)22(33)22(23[dx x x x x x x 101512215105]12303010[10432=-+-=-+-=⎰dx x x x x （2）、⎰⎰⎰Ωzdv y x 22 {}x z z x y x y x z y x ==-====Ω.0,,,1),,( ⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰-=xxx zdz y x dy dx 02210⎰⎰-=x x dy y x dx 24102124131107==⎰dx x （3）、⎰Ωx y z d v{}0,1,,),,(=====Ωz x x y xy z z y x⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰=xyxxyzdz dy dx 01264181107==⎰dx x （4）、⎰Ωdv z 2 {}0,1),,(22=--==Ωz y x z z y x⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰------=22221021111y x x x dz z dy dx ⎰⎰--=x dy y x dx 0232210)1(311525132)1(311023220ππθπ=⋅=-=⎰⎰rdr r d （5）、⎰Ωdv z 2 {}z x y z z y x 2),,(222≤++=Ω解；积分区域是1)1(222=-++z y x ，22221111y x z y x --+≤≤---2211x y x -≤≤--111≤≤-x这样计算很繁琐，改为下面的方法（是很高的技巧）任意取一点,z 则截口面积为)2(2z z dxdy -=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDdxdy dz z dv z2022dz z z )2(243⎰-=π58)542(2054ππ=-=z z4、利用柱坐标计算（1）⎰⎰⎰Ωzdv 其中Ω是由上半球面222y x z --=与旋转抛物面22y x z +=围成的闭区域解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎪⎩⎪⎨⎧+=--=22222y x z y x z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，222r z r -≤≤ 10,20≤≤≤≤r πθ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=222120r rzdz rdr d πθ⎰⎰--=104220]2[21dr r r r d πθ 127)61411(]2[21105320ππθπ=--=--=⎰⎰dr r r r d （2）⎰⎰⎰Ω+dv y x z22 其中Ω是由旋转抛物面22y x z +=与平面1=z 围成的闭区域解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎩⎨⎧+==221yx z z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，12≤≤z r 10,20≤≤≤≤r πθ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰=112202rzdz dr r d πθ⎰⎰-=104220]1[21dr r r d πθ 214)7131(][21106220ππθπ=-=-=⎰⎰dr r r d5、设密度为常量μ的均匀物体占据由223y x z --=与0,1,1=±=±=z y x 围成的闭区域，求（1）、物体的质量（2）、物体的重心（3）、物体对于z 轴的转动惯量解：先确定该区域在xoy 面的投影区域就是{}11,11),(≤≤-≤≤-=y x y x D （1）、=M ⎰Ωdv μ ⎰⎰⎰----=22301111y x dz dy dx μ⎰⎰--=-12211)3(2dy y x dx μμμμ328)3138(4)38(4102=-=-=⎰dx x（2）、由对称性得0~,0~==y x=z M =⎰⎰⎰Ωzdv μ⎰⎰⎰----22301111y x zdz dy dx μ⎰⎰--=-122211)3(dy y x dx μμμ45506)316536(2142=+-=⎰dx x x ==MM z z ~210253，所以物体的重心是)210253,0,0( （3）=z I ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22μ⎰⎰⎰----+=2230112211)(y x dz dy y x dx μ⎰⎰--+=122221)3)((4dy y x y x dx μ⎰⎰---+=14422221)233(4dy y x y x y x dx μM dx x x 1056245248)519754(4)3754(41042==-+=-+=⎰μμμ6、设密度为常量1的均匀物体占据由上半球面222y x z --=与圆锥面22y x z +=围成的闭区域，求（1）、物体的质量（2）、物体的重心（3）、物体对于z 轴的转动惯量解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎪⎩⎪⎨⎧+=--=22222y x z y x z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，22r z r -≤≤ 10,20≤≤≤≤r πθ，于是（1）、=M ⎰⎰⎰Ωdv ⎰⎰⎰-=22120r rdz rdr d πθ⎰⎰--=1220]2[dr r r r d πθ=--=⎰⎰102220]2[dr r r r d πθ)12(34)12(3220-=-=⎰πθπd （2）、由对称性得0~,0~==y x =z M ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=22120r rzdz rdr d πθ⎰⎰--=102220]2[21dr r r r d πθ=-=⎰⎰10320][dr r r d πθ24120πθπ==⎰d==MM z z ~)12(83+，所以物体的重心是))12(83,0,0(+（3）、=z I ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22 ⎰⎰⎰-=221320r rdz dr r d πθ⎰⎰--=12320]2[dr r r r d πθ=--=⎰⎰1042320]2[dr r r r d πθ)51(2-A π =A dt t t dr r r)(cos sin 242223123⎰⎰=-πdt t t )sin (sin 245203-=⎰π1528)15832(24=-= 所以=z I )328(152)511528(2-=-=ππ （B ）的习题 1、⎰⎰⎰Ω+dv z x y )cos( ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==+====Ω0.2,,0,2),,(z z x x y y x z y x ππ ⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰-+=xxdz z x y dy dx 202)cos(ππ=⎰⎰-xdy x y dx 020)sin 1(π⎰-=20)sin 1(21πdx x x 202]cos [sin 2116ππx x x --=21162-=π2、⎰⎰⎰Ωzdv {}z z y x z y xz y x 2,1),,(222222=++=++=Ω皆7：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎩⎨⎧=++=++z z y x z y x 21222222为⎪⎩⎪⎨⎧==+04322z y x 就是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=43),(22y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，22111r z r -≤≤-- 230,20≤≤≤≤r πθ，于是 ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰---=221112320r r zdz rdr d πθ=⎰⎰--230220)112(21dr r r d πθ245]21)1(32[2302232ππ=---=r r习题9.51、计算下列对弧长曲线积分（1）、ds y x nl⎰+)(22，其中l 为圆周222a y x =+解：设t a y t a x sin ,cos ==，adt ds =ds y xn l⎰+)(22⎰++==ππ2012122n n a dt a（2）、⎰l yds x sin 其中l 是连接点)0,0(，),3(ππ的直线段解：l 的方程为x y 31=π30≤≤x dx dx ds 310911=+=⎰lyds x sin dx xx ⎰=π303sin 310dt t t ⎰=π0sin 103π103= （3）、⎰l y ds 其中l 是连接点x y 42=上点)0,0(，)2,1(的一段弧解：l 的方程为x y 42= 10≤≤x dx xds 11+= ⎰lyds )122(34)1(34121231-=+=+=⎰x dx x （4）、⎰+l ds y x )( 其中l 是连接点)0,1(，)1,0(的直线段解：l 的方程为x y -=1 ， 10≤≤x ， dx ds 2=⎰+lds y x )(dx ⎰=122=（5）、ds x l⎰，其中l 为x y =与2x y =所围区域的边界解：l 的方程为x y = ， 10≤≤x dx ds 2=l 的方程为2x y = ， 10≤≤x dx x ds 241+=ds x l ⎰dx x x dx x ⎰⎰++=1210412)12655(121)41(32812210232-+=+⋅+x （5）、ds x l⎰，其中l 为x y =与2x y =所围区域的边界解：l 的方程为x y = ， 10≤≤x dx ds 2=l 的方程为2x y = ， 10≤≤x dx x ds 241+=ds x l ⎰dx x x dx x ⎰⎰++=1210412)12655(121)41(32812210232-+=+⋅+x （6）、ds y l⎰，其中l 为圆周122=+y x解：设t y t x sin ,cos ==，dtds =ds y l⎰⎰=πsin tdt ⎰-ππ2sin tdt πππ20cos cos x x +-=422=+= （7）、ds el y x ⎰+22，其中l 为圆周0,,422===+y x y y x 在第一象限的区域的边界解：在直线0=y 上 20≤≤x dx ds =ds ely x ⎰+122122-==⎰e dx e x在弧422=+y x 上设t y t x sin 2,cos 2==，dt ds 2=40π≤≤tds el y x ⎰+222222402ππ⋅==⎰e dt e在直线x y =上 20≤≤x dx ds 2=ds el y x ⎰+32212220222-===⎰e edx exxds ely x ⎰+22+-=)1(2e +⋅22πe )1(2-e )22(2+=πe 2-（8）、⎰l x y ds 其中l 是2,4,0,0====y x y x 围成的矩形的边界解：4321l l l l l +++=1l 的方程为0=y =⎰1l x y d s 001=⎰dx l ，4l 的方程为0=x=⎰4l xyds 004=⎰dy l2l 的方程为4=x=⎰2l x y d s 842==⎰y d y， 3l 的方程为2=y=⎰3l x y d s1624=⎰xdx24=⎰lxyds（9）、⎰l ds y 2其中l 是摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的一拱解：dt t a t a ds 2222sin )cos 1(+-=dt ta 2sin 22= ⎰l ds y 232022282sin 2)cos 1(a dt t a t a =-=⎰π=⎰π2052sin dt t ⎰π053sin 16udu a1525615832sin 32332053aa udu a =⋅==⎰π（10）、⎰+lds y x 22 其中l 是上半圆周x y x 222=+与x 轴围域的边界解：21l l l +=，1l ：x y x 222=+化为1)1(22=+-y x 设t y t x sin ,cos 1==-，dt ds =⎰+122l ds y x =++=⎰π22sin )cos 1(dt t t =⎰π2cos dt t4cos 420=⎰πudu2l ：0=y ，dx ds =⎰+222l ds y x 22==⎰xdx62422=+=+⎰lds y x2、求半径为,R 中心角为α2的扇形圆弧的质心（密度均匀)1=μ解：选择与书上168页图9-34一样的坐标系，于是根据对x 轴的对称性得0~=y 设1=μ，t R y t R x sin ,.cos ==Rdt ds =R M α2=⎰=lyds M x 1~==⎰-ααtdt R M cos 12==⎰α2cos 2tdt R Mαααsin sin 22R M R ==所求质心为)0sin (ααR3、计算下列关于坐标的曲线积分（1）、⎰+ldx y x )(22，L 是抛物线2x y =上)0,0(O 到)4,2(A 一段弧解：⎰+l dx y x )(221556]53[)(20532042-=+=+=⎰x x dx x x（2）、⎰l y dx ，L 是 2,4,0,0====y x y x 矩形的边界按照逆时针方向解：A O ：0=y ，4:=x B A0=dx ，2:=y C A ，0:=x O C0=dx ，⎰lydx ⎰⎰⋅+=ABOAy dx 00⎰⎰⋅++COBCy dx 028204-==⎰dx（3）、⎰+l x d y y dx ，L 是 20,sin ,cos π≤≤==t t R y t R x 一段针方向的弧解：⎰+l xdy ydx dt x x dt t tR R t R t R )(]cos cos )sin (sin [242⎰++-=π02sin 22cos 202202===⎰ππtR dt t R（4）、⎰+-++lyx dyx y dx y x 22)()(，L 是圆周 222a y x =+沿逆时针方向解：t a y t a x sin ,cos ==，⎰+-++l y x dy x y dx y x 22)()(⎰-+-+=π2022]cos )sin (cos )sin )(sin [(cos a dt t t t t t t a ππ2120-=-=⎰dt（5）、⎰++l x dy dx y x )(，L 是折线 x y --=11从)0,0(到)0,2(一段解：⎩⎨⎧>-≤=121x x x xy ，弧dx dy x y A O ==,: ，dx dy x y B A -=-=,2:⎰++lxydy dx y x )(⎰⎰+=OAAB383732311)22()2(212102=+-++=+-++=⎰⎰dx x x dx x x （6）、⎰---l dy y a dx y a )()2(，L 是 )cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=摆线的一拱，从)0,0(到)0,2(a π解：⎰---ldy y a dx y a )()2(dt t a t a a ⎰---=π20)cos 1()]cos 1(2[dt t a t a a ⎰---π20sin )]cos 1([dt t t t a ⎰+=π2022)cos sin (sin220222sin 2cos 1(a dt tt a ππ=+-=⎰4、计算⎰-++l dy x y dx y x )()(，其中L 分别是（1）、x y =2上点)1,1(到)2,4( （2）、点)1,1(到)2,4(的直线段解：（1）、在x y =2上点)1,1(到)2,4(，dx xdy 21=⎰-++ldy x y dx y x )()(dx x x xx x )](21[41-++=⎰3342153723)2121(41=++=++=⎰dx x x （2）、点)1,1(到)2,4(的直线段，3231+=x y ，dx dy 31=⎰-++ldy x y dx y x )()(dx x x x x )]3231(313231[41-++++=⎰ 11398215910)98910(41=⋅+⋅=+=⎰dx x 5、计算⎰+++l dy y x dx y x )2()2(，其中L 分别是（1）、2x y =上点)0,0(到)1,1(的一段弧（2）、3x y =点)0,0(到)1,1(的一段弧（3）、点)0,0(到点)0,1(再到点)1,1(的折线解：（1）、2x y =上点)0,0(到)1,1(，xdx dy 2=⎰+++ldy y x dx y x )2()2(dx x x x xx ])2(22[122⎰+++=3111)432(132=++=++=⎰dx x x x（2）、3x y =点)0,0(到)1,1(的一段弧，dx x dy 23=⎰+++ldy y x dx y x )2()2(dx x xx ])642[153⎰++=3111=++=（3）、点)0,0(到点)0,1(再到点)1,1(的折线⎰+++ldy y x dx y x )2()2(+=⎰dx x 102⎰+1)21(dy y 3=6、一力场由沿x 轴正向的常力→F 构成，求将一个质量为m 的质点沿222R y x =+按逆时针方向移动过第一象限那段弧所做的功解：→F →=i F dx F W l⎰=F R tdt R F -=-=⎰2sin π节9.6习题处理1、计算下列关于坐标的曲线积分，并验证格林公式的正确性（1）dy y x dx y x l )()(22--+⎰，L 是椭圆12222=+by a x 沿逆时针方向解：设t b dy t b y t a dx t a x cos ,sin ,sin ,cos ==-==dy y x dx y xl)()(22--+⎰⎰⎰⎰-+-=πππ2023202320sin cos cos sin tdt t atdt t bdt abab π2-=用格林公式y x y x P +=2),( 2),(y x y x Q +-=1),(-=y x Q x 1),(=y x P ydy y x dx y x l)()(22--+⎰ab dxdy Dπ22-=-=⎰⎰ （2）、dy y x dx y x l )()(222+-+⎰)0,0()1,0()0,1()0,0(:→→→L 直线段围成的闭路解：0),0,1()0,0(:1=→y L ； x y L -=→1),1,0()0,1:2；0),0,0()1,0(:3=→x Ldy y x dx y x l)()(222+-+⎰1])1([012012210-=--+-=⎰⎰⎰dy y dx x x xdx 用格林公式2)(),(y x y x P += 22),(y x y x Q --=x y x Q x 2),(-= )(2),(y x y x P y +=dy y x dx y x l)()(222+-+⎰=+-=⎰⎰Ddxdy y x )2(2⎰⎰-+-xdy y x dx 1010)2(21)2321(210-=-+-=⎰dx x x2、求星形线t a y t a x 33sin ,cos ==所围的面积解：dt t t a ydx xdy A l ⎰⎰=-=π20222sin cos 232183)4cos 1(1632202a dt t t a ππ=-=⎰3、用格林公式计算（1）、dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰)0,0()2,3()0,3()0,0(:→→→L 直线段围成的三角形边界解：653),(-+=y x y x Q 42),(+-=y x y x P3),(=y x Q x y y x P y -=),(dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰12212344=⨯⨯⨯==⎰⎰Ddxdy ⎰⎰-+-x dy y x dx 1010)2(2（2）、dy y y x dx xe xy l x)cos ()32(2-++⎰1:2222=+by a x L 逆时针方向解：x xe xy y x P 32),(+= y y x y x Q c o s ),(2-=x y x Q x 2),(= x y x P y 2),(=dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰00==⎰⎰Ddxdy（3）、⎰+++l y ydy e x dx xey )1()(22224:x x y l -=由)0,4()0,0(→的弧解：先补足成闭路1-+=l OA Ly xe y y x P 2),(+= 1),(22+=y e x y x Qy x xe y x Q 22),(= y y xe y x P 221),(+=⎰+++L y y dy e x dx xe y )1()(222ππ2)2(212-=-=-=⎰⎰Ddxdy 于是⎰+++ly ydy e x dx xey )1()(222-+++=⎰dy e x dx xe y y OA y )1()(22(2⎰+++Ly ydy e x dx xey )1()(222ππ2824+=+=⎰xdx（4）、⎰---l dy y y x dx y )sin ()cos 1(x y l s i n:=上由)0,()0,0(π→的弧解：先补足成闭路1-+=l OA Ly y x P cos 1),(-= )s i n (),(y y x y x Q --=y y y x Q x sin ),(+-= y y x P y s i n ),(=⎰-+---1)sin ()cos 1(l OA dy y y x dx y ⎰⎰⎰⎰-=-=xDydy dxydxdy sin 0π4)12((cos 41sin 21002πππ-=-=-=⎰⎰x xdx于是⎰---ldy y y x dx y )sin ()cos 1(----=⎰dy y y x dx y OA )sin ()cos 1((⎰-+---1)sin ()cos 1(l OA dy y y x dx y4400πππ=+=⎰dx（5）、⎰+--l dy y x dx y x )sin ()(2222:x x y l -=上由)1,1()0,0(→的弧解：先补足成闭路1-++=l AB OA Ly x y x P -=2),( )s i n ),(2y x y x Q --=-=),(y x Q x 1),(-=y x P y⎰-+++--1)sin ()(22lAB OA dy y x x dx y x 0=于是⎰+--l dy y x dx y x )sin ()(22+--=⎰dy y x dx y x OA)sin ()(22dy y x dx y x AB)sin ()(22--=⎰+=⎰102dx x ⎰--12)sin 1(dy y⎰---=10)2cos 1(21131dy y 672sin 41-= （6）、⎰+++l xxdy e x dx ye )()1( 1:2222=+by a x L 上由)0,()0,(a a →-的上半椭圆解：先补足成闭路1),(-++-=l a a Lx ye y x P +=1),( x e x y x Q +=),(x x e y x Q +=1),( x y e y x P =),(ab dxdy dy e x dx ye Dl a a x x π21)()1(1),(==+++⎰⎰⎰-++- 于是⎰+++lxx dy e x dx ye )()1(ab dy e x dx ye a a x x π21)()1(),(-+++=⎰+- ab dx a a π21-=⎰-ab a π212-= 4、证明下列曲线积分在xoy 面内与路径无关，并计算积分值（1）、⎰-++)3,2()1,1()()(dy y x dx y xy x y x P +=),( y x y x Q -=),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数1),(=y x Q x 1),(=y x P y 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++)3,2()1,1()()(dy y x dx y x ⎰+=21)1(dx x ⎰-+31)2(dy y=--+-+=)19(214)14(21125 （2）、⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy32),(4+-=y xy y x P 324),(xy x y x Q -= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数342),(y x y x Q x -= 342),(y x y x P y -= 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy ⎰+=21)22(dx x ⎰-+13)164(dy y544)14(2=-+-+=25（3）、⎰-++),()0,0()c o s ()s i n (ππdy y xe dx x e y yx e y x P y sin ),(+= y xe y x Q y cos ),(-= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数y x e y x Q =),( yy e y x P =),( 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++),()0,0()cos ()sin (ππdy y xe dx x e yy⎰+=π0)sin 1(dx x ⎰-+ππ0)cos (dy y e y=--++=0)1(2πππe 252+=ππe 5、验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xoy 面内是某一个函数),(y x u 的全微分，并且求这样的函数),(y x u（1）、dy y x dx y x )2()2(+++解答：y x y x P 2),(+= y x y x Q +=2),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数2),(=y x Q x 2),(=y x P y 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使dy y x dx y x y x du )2()2(),(+++=⎰+++=),()0,0()2()2(),(y x dy y x dx y x y x u ⎰=x xdx 0⎰++ydy y x 0)2(2221221y xy x ++=（2）、dy y xe dx e x y y )2()2(-++解答：y e x y x P +=2),( y xe y x Q y 2),(-= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数y x e y x Q =),( y y e y x P =),( 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y xe dx e x y y )2()2(-++⎰-++=),()0,0()2()2(),(y x yydy y xe dx e x y x u ⎰+=x dx x 0)12(⎰-+yy dy y xe 0)2(=-+-+=x xe y x x y 22y xe y x +-22（3）、y d y x y d x x 3c o s 2c o s 33s i n 2s i n2-解答：y x y x P 3sin 2sin 2),(= y x y x Q 3c o s 2c o s 3),(-= 都是初等函数，因此在xoy面内有连续的偏导数y x y x Q x 3c o s 2s i n 6),(= y x y x P y 3c o s 2s i n 6),(= 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y x Q dx y x P ),(),(+⎰-=),()0,0(3cos 2cos 33sin 2sin 2),(y x ydy x ydx x y x uy x ydy x y 3sin 2cos 3cos 2cos 30-=-=⎰（4）、dy ye y x y x dx xy y x y)122()3(223322++++解答：32283),(xy y x y x P += yye y x y x y x Q ++=223122),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数22246),(xy y x y x Q x += =),(y x P y 22246xy y x + 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y x Q dx y x P ),(),(+⎰++++=),()0,0(223322)122()83(),(y x y dy ye y x y x dx xy y x y x u31 ⎰++=yy dy ye y x y x y x u 0223)122(),(y y e ye y x y x -++=322346、设→→→-++=j xy i y x F )12()(2试证：在在xoy 面内，→F 作的功与路径无关证明：⎰-++=l dy xy dx y x W )12()(22),(y x y x P += 12),(-=xy y x Q 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数 y y x Q x 2),(= y y x P y 2),(= 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内积分与路径无关，所以在在xoy 面内， →F 作的功与路径无关。

高等数学课后习题答案--第九章

∞
∞ x 1 时，级数 ∑ pn 也收敛；又问当 0＜p≤ 2 n =1 n
1 时，结论是否仍然成立? 2
1
∞ x 1 1 x2 1 ⎛ 1 ⎞ 【解】利用 np ≤ ⎜ xn + 2 p ⎟ , 则当 P > 时级数 ∑ pn 收敛; 但 0 < p < 时, n n ⎠ 2 2 2⎝ n =1 n
《高等数学》参考资料第三篇多元函数微积分第九章级数 §1 数项级数习题 1.讨论下列级数的收敛性。若收敛，试求出级数之和。 ∞ ∞ 1 ( n + 1 − n ) ; ⑴ ∑ ⑵ ∑n ; n n =1 n =1 ∞ ∞ 2n − 1 ⑶ ∑ n ; ⑷ ∑( n + 2 − 2 n +1 + n) ; 3 n =1 n =1 ∞ ∞ 1 2n ; ⑸ ∑ ⑹ ∑ n =1 (5n − 4)(5n + 1) n =1 3n + 1 ∞ ∞ 1 1 ; ⑻ ∑ arctan 2 ; ⑺ ∑ 2n n =1 n( n + 1)( n + 2) n =1 【解】. (1) 发散; 1 (5) ; (6) 5 (3) 1 ; (4) 1 发散; (7) ; 4 π 1 1 1 , 提示: 利用 arctan 2 = arctan . − arctan 4 2n 2n − 1 2n + 1 (2) 发散;
1 1 , 因此 1 − x > . 2 2
2 n −1 ( k +1)π
x <2 x, 1− x
因此级数收敛. (2)
∑ ∫π
n =1
2 nπ
sin 2 x dx 的收敛性. x2
3 3
∫π

高等数学课后习题答案第九章2

第九章习题解答（3）习题9.7计算下列对面积的积分1、dS z y x )342(++∫∫Σ，其中Σ为平面1432=++zy x 在第一卦限的部分解：曲面方程为3424y x z --=dxdydxdy dS 36119164=++=积分区域为30,20:≤≤≤≤y x D dS z y x )342(++∫∫Σdxdy D∫∫?=361461433614=?=2、∫∫ΣdS z2其中Σ为半球面221y x z --=被21=z 截取的部分解：曲面方程为221yx z --=dxdyyx dS 2211--=积分区域为430:22≤+≤y x D dS z ∫∫Σ2dxdy y x yx D ∫∫----=222211∫∫-=πθ0230212)1(dr r r d 12787320πθπ==∫d 3、dS z y x )(222++∫∫Σ，其中Σ为圆锥面22y x z +=被1=z 截取的部分解：曲面方程为22yx z +=dxdydS 2=积分区域为10:22≤+≤y x D dS z yx )(222++∫∫Σdxdy y x D∫∫+=2)(222∫∫=πθ201322dr r d π2=4、dS z x x xy ∫∫Σ+--)22(2，其中Σ为平面622=++z y x 在第一卦限的部分解：曲面方程为y x z 226--=dxdydS 3=积分区域为xy x D -≤≤≤≤30,30:dS z x x xy ∫∫Σ+--)22(2dxdyy x x xy D∫∫+---=)62322(32∫∫-+---=3302)62322(3xdy y x x xy dx ∫-+-------=30222)]3(6)3()3(3)3(2)3([3dxx x x x x x x x ∫+-=323]9103[3dx x x 4278127108149-=+×-×=5、dS y x )(22∫∫Σ+，其中Σ为旋转抛物面222y x z --=在xoy 面上方的部分解：曲面方程为222yx z --=dxdyy x dS )(4122++=积分区域为20:22≤+≤y x D dS y x )(22∫∫Σ+dxdy y x y x D∫∫+++=)(41)(2222∫∫+=πθ2022341drr r d ∫∫+=πθ20220231161duu u d 其中du u u222031+∫单独计算为设tdt du t u 2sec ,tan ==，du u u 222031+∫==∫dt tt22arctan 063cos sin ∫-22arctan 062cos )(cos )1(cos tt d t 15596151307263265242)11(41316=-=-=-=∫dv v vdS y x )(22∫∫Σ+3014915596162ππ=×=（6）、dS xz z y y x )(222222++∫∫Σ，其中Σ为圆锥面22y x z +=被圆柱面xy x 222=+所截取的部分解：曲面方程为22yx z +=dxdydS 2=积分区域为：θπθcos 20,20:≤≤≤≤r DdS x z z y y x )(222222++∫∫Σdrr d )1sin (cos 2222cos 2052+=∫∫θθθθπθθθθπd )cos cos (cos 6222621086+-×=∫8229)2047(322)!!6!!5!!10!!9!!8!!7(62226πππ=+=×+-×=2、求抛物面)10)((2122≤≤+=z y x z 的质量，此壳的密度z=μ解：dSz M ∫∫Σ=dxdyy x dS 221++=积分区域为：20,20:≤≤≤≤r D πθdS z M ∫∫Σ=dr r rd 223212+=∫∫πθ∫∫--=2arctan 06220cos cos )cos 1(2t td t d πθdu u u d )11(24131620-=∫∫πθdu u u d )11(2413162-=∫∫πθ)33315139(-+-=π)136(152+=π3、求均匀抛物面壳)410(22≤≤+=z y x z 的重心解：∫∫Σ=dSM dxdyy x dS )(4122++=积分区域为：210,20:≤≤≤≤r D πθ∫∫Σ=dS M dr r r d 22102414+=∫∫πθ)2()2(1)2(22102r d r r d +=∫∫πθdu u u d 21020)(1+=∫∫πθ)122(6)1(322121232-=+??=ππu 由对称性得~~==y xMz 1~=∫∫ΣzdS ∫∫+=πθ2021023411dr r rd M ∫∫+=πθ201231161duu ud M∫∫--=ππθ204062cos cos )cos 1(161t t d t d Mdv v v d M )11(1612012146∫∫-=πθ×=M 8π=-+-)32215124()12(1528+?M π70235+=所以重心为?????+70235004、设稳定不可压缩的流体速度场为→→→→++=k z y j y x i xz V 22，Σ是圆柱面122=+y x 的外侧被平面1,0==z z 截取的位于第一、第四卦限部分，求流体流向Σ指定一侧的流量Φ解：Φzdxdyy ydzdx x xzdydz 22++=∫∫Σ设;0:1=Σz ;0:2=Σy ;1:3=Σz 于是-Σ-Σ12Σ3Σ+构成封闭的曲面∫∫∫∫∫?Σ+Σ-Σ-Σ++=++=dv z yx zdxdy y ydzdx x xzdydz )(2222321dz z r rdr d ][21010220+=∫∫∫πθ2)21(21320πθπ=+=∫∫dr r r d =++∫∫Σ+Σ-Σ-zdxdy y ydzdx x xzdydz 22321+∫∫Σ-310dxdy ∫∫Σ-20dzdx ∫∫Σ+32dxdy y 8sin 210322πθθπ==∫∫dr r d 所以838222πππ=-=++=Φ∫∫Σzdxdy y ydzdx x xzdydz 5、计算下列对坐标的曲面积分（1）、∫∫Σdxdy yx 22，其中是球面2222a z y x =++下半部分的下侧解：球面方程为222y x a z ---=，积分区域为ar ≤≤≤≤0,20:πθ取外法线方向为正∫∫Σdxdy y x 22dxdy y x a y x D)(22222----=∫∫dxdyy x a yx D22222--=∫∫drr a r∫∫-=102252022cos sinθθπ1052)!!7!!5!!5!!3(4)sin (sin 84cos 1220752022a a dr t t d a ππθθππ=-=--=∫∫（2）、∫∫Σ+dydz y 2)1(，其中是球面1222=++z y x 的外侧在0≥x 的部分解：球面方程为221y x x --=，积分区域为10,20:≤≤≤≤r πθ取外法线方向为正∫∫Σ+dydz y 2)1(dr r r d ∫∫+=1220)1sin (θθπdrr r r d ∫∫++=122320)sin 2sin (θθθπ∫++=πθθθ202)21sin 32sin 41(d 45)82cos 1(20ππθθπ=+-=∫d （3）、∫∫Σdxdy z2，其中是圆锥面22y x z +=被平面1=z 截取的有限部分的下侧解：积分区域为10,20:≤≤≤≤r πθ取外法线方向为正∫∫Σdxdy z 2∫∫+-=Ddxdyy x )(22dr r d ∫∫-=10320πθ2412ππ-=×-=（4）、xdxdyydzdx xdydz ++∫∫ΣΣ是圆柱面122=+y x 的外侧被平面3,0==z z 截取的位于第一限部分解：=++∫∫Σxdxdy ydzdx xdydz C B A ++∫∫Σ=xdydz A ，∫∫Σ=ydzdx B ，∫∫Σ=zdxdy C 由于Σ在xoy 面的投影区域面积为零，所以0==∫∫Σzdxdy C ∫∫Σ=xdydz A dy y dz dydz y yzD∫∫∫∫-=-=1023021143cos 3202ππ==∫tdt ∫∫Σ=ydzdx B dy x dz dydz x zxD∫∫∫∫-=-=1023021143cos 3202ππ==∫tdt 所以=++∫∫Σxdxdy ydzdx xdydz 2304343πππ=++=++C B A（5）、∫∫Σ-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(Σ{}c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=0,0,0),,(解：用高斯公式、∫∫Σ-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(abcdv 3==∫∫∫（6）、∫∫Σ++zxdxdyyzdzdx xydydz Σ{}1,0,0,0),,(=++====z y x z y x z y x 的外侧解：用高斯公式、∫∫Σ++zxdxdyyzdzdx xydydz =++=∫∫∫dv z y x )(∫∫∫---++yx xdzz y x dydx101010)(∫∫---+--+=xdy y x y x y x dx 10210])1(21)1)([(∫∫----=xdy y xy x dx 102210]21[21∫------=10322])1(31)1()1)(1[(21dx x x x x x 81)3132(21103=+-=∫dx x x 习题9.81、利用高斯公式计算（1）、∫∫Σ++dxdyz dzdx y dydz x 222Σ{}a z a y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=0,0,0),,(的表面的外侧解：∫∫Σ++dxdy z dzdx y dydz x 222=++=∫∫∫dv z y x )(2∫∫∫?zdv 64236azdz aa ==∫（2）、∫∫Σ-+dxdyy x dzdx y xydydz 4223Σ)1,0,0(),0,01(),0,0,1(),0,0,0(:为顶点的四面体的表面的外侧解：∫∫Σ-+dxdy y x dzdx y xydydz 4223=+=∫∫∫dv y y )23(∫∫∫?ydv5任取一点y 得到与四面体的截面面积为2)1(21y dzdx yD-=∫∫于是245)413221(25)1(255102=+-=-=∫∫∫∫dy y y ydv （3）、zdxdy ydzdx xdydz ++∫∫Σ，222:y x a z --=Σ的上侧解：加一个底面1Σ0=z ，则1Σ+Σ=Σ′3326433a a dv zdxdy ydzdx xdydz ππ=×==++∫∫∫∫∫?Σ′而：001=-=++∫∫∫∫ΣxyD dxdy zdxdy ydzdx xdydz 所以32azdxdy ydzdx xdydz π=++∫∫Σ（4）、dxdy z x dzdx y z dydz x y )()()(222-+-+-∫∫Σ，221:y x z --=Σ在xoy 面上方的上侧解：加一个底面1Σ0=z ，则1Σ-Σ=Σ′dxdy z x dzdx y z dydz x y )()()(2221-+-+-∫∫Σ-Σππ23)1(3310-=-×-=-=∫∫∫∫dz z dv 而：dxdyz x dzdx y z dydz x y )()()(2221-+-+-∫∫Σ4cos 1023202πθθπ-=-=-=∫∫∫∫dr r d dxdy x xyD45423)()()(222πππ-=+-=-+-+-∫∫Σdxdy z x dzdx y z dydz x y 2、设稳定的、不可压缩的流体的速度场为→→→→++=k z j y i x V 222，Σ是球面2222a z y x =++的外侧位于第一卦限部分，求流体流向Σ指定一侧的流量Φ解：Φdxdy z dzdx y dydz x 222++=∫∫Σ设;0:1=Σx ;0:2=Σy ;0:3=Σz 于是-Σ-Σ12Σ3Σ-构成封闭的曲面∫∫∫∫∫?Σ+Σ+Σ+Σ++=++dv z y x dxdy z dzdx y dydz x )(2222321dzz r rdr d ar a ])sin (cos [2002022++=∫∫∫-θθθπ∫∫-+=adr r a r d 022220)sin (cos 2πθθθ∫∫-+adrr a r d 02220)(πθ∫-=20424)sin (sin 4πdt t t a )42(244a a -+π8384444aa a πππ=+=而222321=++∫∫Σ+Σ+Σdxdy z dzdx y dydz x 所以dxdy z dzdx y dydz x 222++=∫∫Σ834aπ=三重积分也可以另解为：任取一点z ，得到截面z D 的面积为)(422z a dxdy zD -=∫∫π根据对称性有∫∫∫++dv z y x )(24032083)(466a dz z z a dxdy zdz a D azππ=-==∫∫∫∫第九章习题解答完毕2008-5-11于利民开发区宏信广场。

上海财经大学《高等数学》第九章习题及解答

第九章习题解答1.设xoy 平面上的一块平面薄片D ，薄片上分布有密度为),(y x u 的电荷，且),(y x u 在D 上连续，请给出薄片上电荷Q 的二重积分表达式．[解] 板上的全部电荷应等于电荷的面密度(,)u x y 在该板所占闭区域D 上的二重积分, 即=(,)DQ u x y d σ⎰⎰.2.由平面1342=++z y x ，0=x ， 0=y ，0=z 围成的四面体的体积为V ，试用二重积分表示V ． [解] 4(1)23Dx yV dxdy =--⎰⎰. 3．比较大小 (1) σ⎰⎰+D d y x 2)( 与σ⎰⎰+Dd y x 3)(，其中D 是x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成．(2)σ⎰⎰+Dd y x 2)(与σ⎰⎰+Dd y x 3)(，其中D 是由圆2)1()2(22=-+-y x 所围成． [解] (1) 由0x 1y ≤+≤，得32()x y ≤+(x+y), 由二重积分的性质可得23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 由积分区域D 位于+1x y ≥的半平面内，所以D 内有23()()x y x y +≤+，由二重积分的性质可得23()()DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰. 4．估计： (1) I=σ⎰⎰+Dd y x xy )(，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1；(2) I=σ⎰⎰++Dd y x )1(，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤2；(3) I=σ⎰⎰++Dd y x )9(22，其中D 是圆形区域：422≤+y x ． [解] (1) 因为在区域D 上有01,0y 1x ≤≤≤≤，所以01,02,xy x y ≤≤≤+≤故0()2xy x y ≤+≤，所以0()22,DDDd xy x y d d D σσσ≤+≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰上海财经大学《高等数学》第九章习题及解答即()2Dxy x y d σ≤+≤⎰⎰0.（2）因为在区域D 上01,02x y ≤≤≤≤，所以114x y ≤++≤，故()=x 14=4DDDD d y d d D σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即()218Dx y d σ≤++≤⎰⎰.(3) 因为2222x 494()925,y x y ≤++≤++≤9，所以25D I D ≤≤9，即36100I ππ≤≤.5．由二重积分的几何意义计算⎰⎰--Dd y x R σ222，222:R y x D ≤+．[解] 令2222z x y z R =++=，所以z Dd σ⎰⎰为上半球体的体积, 于是有314=23DR σπ⋅⎰⎰.6．求下列二重积分 1)σ⎰⎰+D d y x)(22，其中D 是矩形区域：|x|≤1， |y|≤1；2)σ⎰⎰+Dd y x )23(，其中D 是x 轴、y 轴与直线2=+y x 所围成闭区域;3)σ⎰⎰++Dd y y x x )3(322，其中D 是矩形闭区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； 4)σ⎰⎰+Dd y x x )cos(, 其中D 是顶点分别为（0，0），（π,0）和(π,π)的三角形闭区域; 5）σ⎰⎰Dy x d e),max{22，其中D 是矩形闭区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1.[解] (1) 1112222211128233Dx y d x y dxdy x dx σ---+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰（）（）（）. （2）22-003232xDx y d dx x y dy σ+=+⎰⎰⎰⎰（）（）22224)xx dx =++⎰(-3220220(4)33x x x =-++=.(3) 11323323033Dx x y y d dy xx y y dx σ++=++⎰⎰⎰⎰（）（）42131001()()14424y y y y y dy =++=++=⎰.(4)coscos()xDx x y d xdx x y dy πσ+=+⎰⎰⎰⎰（）001(sin 2sin )(cos 2cos )2x x x dx xd x x ππ=-=--⎰⎰00113(cos 2-cos )cos 2-cos 222x x x x x dx πππ=-+=-⎰（）. (5) 因{}222222111max ,100001111(1)2222x x y x x x xD e d dx e dy e xdx e dx e e σ=====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 所以 {}22max ,(1)x y Ded e σ=-⎰⎰.7. 画出积分区域，计算积分： 1) σ⎰⎰Dd y x ，其中D 是由两条抛物线2x y =, x y =所围成闭区域， 2) σ⎰⎰Dd xy2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成右半闭区域，3) σ⎰⎰+D yx d e, 其中D 是由1≤+y x 所确定的闭区域，4)σ⎰⎰-+Dd x y x )(22，其中D 是由直线x y y ==,2 及x y 2=所围成的闭区域． [解] （1）图略.27114400226()3355xDdx x x dx σ==-=⎰⎰⎰⎰（2）图略.222352222164();31015Dxy d dy dx y y σ--==-=⎰⎰⎰ （3）图略.1111101x x x y x y x y x x De d e dx e dy e dx e dy σ+-++----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1211211()()x x ee dx e e dx +---=-+-⎰⎰21021111111()()22x x e x ex e e e e +---=-+-=-.(4) 图略.2222202()()yy Dxy x dy x y x dx +-=+-⎰⎰⎰⎰2330193()248y y dy =-⎰ 4321911()2448y y =⋅- 136=. 8. 交换下列的积分顺序 1) ⎰⎰--22221),(x x xdy y x f dx ,2) ⎰⎰--aax a dy y x f dx 220),(3）⎰⎰-xx dy y x f dx sin 2sin 0),(π；4）⎰⎰--2ln 1),(2y e dx y x f dy ⎰⎰-++2)1(2112),(y dx y x f dy ;5)⎰⎰⎰⎰-+31301020),(),(yy dx y x f dy dx y x f dy ;6)⎰⎰--2ln 1),(2ye dx y xf dy ⎰⎰-++2)1(2112),(y dx y x f dy .[解] (1) 图略.2111202(,)(,)xydx f x y dy dy f x y dx--=⎰⎰⎰(2) 图略.(,)(,)aaadx f x y dy dy f x y dx-=⎰⎰(3) 图略.sin 01arcsin 0sin12arcsin 0arcsin 2(,)(,)(,)xyx yydx f x y dy dy f x y dx dy f x y dxπππ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 图略. 因{}{}22ln =1,2(,)111)2D y e y x x y y y x -≤≤-≤≤⋃≤≤-≤≤（x,y ）,因此积分区域还可以表示为212,02,1x D x y x e y x -⎧⎫⎪⎪=≤≤≤≤+⎨⎬⎪⎪⎩⎭（）,所以 1222212221(101)1 (,)(,)(,)x x eIn y yedy f x y dx f x y dx dx f x y dy --+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(5) 图略. 由3x y =-和=2=1x y ,，得123323012(,)(,)=(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.9．计算下列二重积分： ⑴⎰⎰+Dy x d e σ23．2||,2||:≤≤y x D ⑵⎰⎰+Dd y xσ)(22．1||||:≤+y x D ．⑶⎰⎰+Ddxdy y x 221．10,10:≤≤≤≤y x D . ⑷⎰⎰--Ddxdy y x )2(21．2,:x y x y D ==． [解] 223232322266442222111(1)()()326x y x y x y De d e dx e dy e e e e e e σ+------==+=--⎰⎰⎰⎰. (2)3111222100()()3xxy dx x y dy dx x y --+=+⎰⎰⎰3120(1)(1)3x x x dx ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 12463=⨯=. (3) 23112110220011arctan 1133412Dx x dxdy x dx dy yy y ππ===⋅=++⎰⎰⎰⎰. (4)21011(2)(2)22x x Dx y dxdy dx x y --=--⎰⎰⎰⎰ 22101(2)22xx y dx y xy =--⎰2412230122222x x x x x x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰1711(1)26410=-++ 11120=.10．利用极坐标求下列积分 1）⎰⎰+Dd y x σ)(22其中D 是由直线x y =, )0(3,,>==+=a a y a y a x y 所围成的区域. 2)⎰⎰+Ddxdy y x 22．1:22≤+y x D ．3）⎰⎰--D d y x R σ222,其中D 是由圆周Rx y x =+22所围成的区域.4) ⎰⎰+Ddxdy y x)(22．y y x D 6:22≤+．5）⎰⎰-+Dd y x σ222,其中D :322≤+y x . 6)σ⎰⎰++Dd y x )1ln(22,其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域； 7)计算dxdy y x D)(22⎰⎰+，其 D 为由圆 y y x 222=+，y y x 422=+及直线y x 3-0=， 03=-x y 所围成的平面闭区域8) 计算二重积分⎰⎰++Ddxdyyx y x 2222)sin(π,其中积分区域为22{(,)|14}D x y x y =≤+≤；9)σ⎰⎰++--Dd yx y x 222211，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域． 10)⎰⎰++Dd y xσ)1ln(22．4:22≤+y x D ，0≥x ，0≥y ．[解] (1) 32222414ayay a Dx y d dy x y dx a σ-+=+=⎰⎰⎰⎰（）（）.（2）2120012233Dd r dr πθππ==⋅=⎰⎰.（3）cos 202R Dd rdr πθπθ-=⎰⎰cos 202R d rdr πθθ=⎰⎰33320112(sin )33R R d πθθ=-⎰34()33R π=-. （4）设cos ,sin x r y r θθ==, 则006sin r θπθ≤≤≤≤，.22=Dx y dxdy +⎰⎰原式（）6sin 3444000136sin 6432d r dr d πθπθθθπ==⨯=⎰⎰⎰.2222222000442230(5)22)2)55((24442D x y d d rdr d r rdr r rdr r r d r r πππσθθθππ⎡⎤+-=-=-+-⎢⎥⎣⎦⎡=--=⋅=⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰（6）积分区域D 的极坐标表达式0,012r πθ≤≤≤≤，则12222+x (1)(221)4DInd In r rdr In ππσ=+=-⎰⎰⎰⎰（1+y ）.（7）内边界22sin 2sin r r r θθ=⇒=, 外边界24sin 4sin r r r θθ=⇒=,则,2sin 4sin 63r ππθθθ≤≤≤≤，所以原式=4sin 2224332sin 6660sin 15(48Ddxdy d r rdr d ππθππθπθθθ=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰（x +y ）（8）cos ,sin x r y r θθ==，则02,12r θπ≤≤≤≤，原式221=sin 4Dd rdr πθπ==-⎰⎰.（9）采用极坐标计算200(2)8Dd ππθπ==-⎰⎰. (10) 积分区域D 的极坐标表达式为022r πθ≤≤≤≤0，，则22222+(1)(554)4DInd d In r rdr In ππσθ=+=-⎰⎰⎰⎰（1x +y ）.11. 将三次积分⎰⎰⎰yxxdz z y x f dy dx ),,(110改换积分次序为z y x →→.[解] 110(,,)(,,)xy yy x xxD I dx dy f x y z dz d f x y z dz σ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，现改为先y 后x 的顺序：11(,,)(,,)yyxDxzI dy dx f x y z dz dy f x y z d σ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰现改为先x 后z 的顺序:10(,,)(,,)yzy z zD I dy dz f x y z dx d f x y z dx σ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰现改为先y 后z 的顺序:110(,,)zzI dz dy f x y z dx =⎰⎰⎰.12．将三次积分⎰⎰⎰+10122),,(y x dz z y x f dy dx 改变成按x z y ,,的次序积分.[解] 1()(,,)(,,)D x I f x y z dV dx f x y z Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中22.Dy ≤≤≤≤+（x ）：0y 1,0z x 现改为先y 后z 的顺序，将D （x ）分成两部分: 2,01;y ≤≤≤≤0z x2211x z x y ≤≤+≤≤,所以：222111110=x x xI dx dz dy dx dz ++⎰⎰⎰⎰⎰.13．.求下列给定区域的体积 1)求由曲面222y xz +=及2226y x z --=,所围成的立体的体积;2）求由下列曲面所围成的立体体积，y x z+=，xy z =，1=+y x ，0=x ，0=y .[解] 1) 222226(2)z x y x y =+=-+, {22(,)|2},D x y x y =+≤ 于是2222(62)(2)DV z y x y dxdy =---+⎰⎰2263()D xy dxdy =-+⎰⎰2203)6r rdrd πθπ=-=⎰. 2) []111107()24xx y xx y z x xyV d d d d x y xydy -+-==+-=⎰⎰⎰⎰⎰. 14．作适当的变换,计算下列二重积分:1）⎰⎰Ddxdy y x22,其中D 是由两条双曲线1=xy 和2=xy ,直线x y =和xy 4=所围成的在第Ⅰ象限的闭区域. 2）⎰⎰+Ddxdy y x )(22,其中D 是椭圆区域:1422≤+y x . [解] 1) (,)(,)1,2,(,)(,)22u xyu v x y v yx y u v v v =⎧∂∂⎪==⎨∂∂=⎪⎩, {}'(,)|12,14D u v u v =≤≤≤≤, 于是,2422221117ln 2223x y u v u v D D u x y d d u d d d d v v =⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2) cos 1sin 2x r y r θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩, {}'(,)|01,02D r r θθπ=≤≤≤≤, 于是 ,,222221()(cos sin )42D Dr x y dxdy r drd θθθ+=+⎰⎰⎰⎰ 123001535(cos 2)28832r drd πθθπ=+=⎰⎰.15. 计算dxdydz z xy V42⎰⎰⎰．31,20,10:≤≤≤≤≤≤z y x V ．[解]1232424213230010111196823515Vxy z dxdydz xdx y dy z dz x y z ==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 16．计算dxdydz z y x V⎰⎰⎰++)sin(．V 由平面0=x ，0=y ，0=z ，2π=++z y x 围成．[解]222sin()sin()x yx y z dxdydz dx dy x y z dz πππ--Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22200cos()|x ydx x y z dy πππ--=-++⎰⎰22sin()|xx y dx ππ-=+⎰12π=-.17．在柱面坐标系下计算三重积分dxdydz y xV⎰⎰⎰+)(22，其中V 由旋转抛物面)(2122y x z +=及平面2=z 所围成的立体． [解] 令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩, {}'02,02V r z θπ=≤≤≤≤≤≤, 于是,222223016()3x y z r z r z VVx y d d d r rd d d d d d πθθπ+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 18．设有物体占有空间V: 0≤x ≤1, 0≤y ≤1,0≤z ≤1,在点()z y x ,,的密度是()z y x z y x ++=,,ρ,求该物质量.[解] (,,)()M x y z dxdydz x y z dxdydz ρΩΩ==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1113()2dx dy x y z dz =++=⎰⎰⎰. 19.计算⎰⎰⎰Vdxdydz z xy32,其中V 是曲面xy z =与平面1,==x x y 和0=z 所围成的闭区域．[解] Ω在xOy 面上的投影区域Dxy 由,1,0y x x y ===所围成，则11232312001128364xxyxyz dxdydz xdx y dy z dz x dx Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 20.计算⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz3)1(, 其中V 是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的四面体．[解] 令1x y z ++=中的0z =，得1x y +=，Ω在xOy 面上的投影区域Dxy 由0,0,1x y x y ==+=所围成, 所以111330001(1)(1)x x y dxdydz dx dy dz x y z x y z ---Ω=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 1120011115()(ln 2)24(1)28x x y d d x y -=--=--++⎰⎰. 21. 计算⎰⎰⎰Vxyzdxdydz ,其中V 是球面1222=++z y x 及坐标面所围成的第一卦限内的闭区域．[解] 令2221x y z ++=中z=0得221y +=x ，故Ω在xOy 面上的投影区域Dxy 由221,0,0x y x y +===所围成，故1xyzdxdydz dx xyzdz Ω=⎰⎰⎰⎰1122220001111(1)(1)22448xdx y x y dy x x dx ⎡⎤=--=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰. 22. 计算⎰⎰⎰Vxyzdxdydz ,其中V 是平面1,,0===y y z z 以及抛物柱面2x y =所围成的闭区域．[解] （1）故Ω在xOy 面上的投影区域Dxy 由1y =，2y x =所围成, 所以2111yxxzdxdydz dx dy xzdz -Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21121102x xdx y dy -==⎰⎰. （2）Ω在z 轴上的投影区域为[]0,h ，过[]0h ，内的任一点做垂直于z 轴的平面截Ω得截面为一圆域Dz ，其半径为R z h，所以Dz 为：22222R x y z h +=，面积为222R z h π，所以222224hhDzR R h zdxdydz zdz dxdy zz dz h ππΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.23. 计算⎰⎰⎰Vzdxdydz , 其中V 是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域． [解]联立z =及22z x y =+，22=1x y +，故Ω在xOy 面上的投影区域为221x y +≤ ，用柱坐标得2242121027()2212rr r zdv d rdr d r dr ππθπθΩ-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.24. 计算⎰⎰⎰+Vdv y x )(22,其中V 是z y x 222=+及平面2=z 所围成的闭区域． [解] 联立222x y z +=及2z =得224x y +=，故Ω在xOy 面上的投影区域为224x y +≤，所以2222223216()3r x y dv d r dr dz ππθΩ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 25. 计算⎰⎰⎰++Vdv z y x )(222,其中V 是球面1222=++z y x 所围成的闭区域． [解]2122240004()sin 5x y z dv d d r dr ππϕπθϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 26. 计算⎰⎰⎰Vzdv ,其中V 是由不等式()2222a a z y x ≤-++, 222z y x ≤+所围成的闭区域．[解] 在球面坐标系中，2222()y z a a ++-≤x ，即为2222cos ,r a x y z ϕ≤+≤，即4πϕ≤，所以22cos 2344440sin cos 2sin 2cos a zdv d d r dr ad d πππϕπϕϕϕϕϕθϕθΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰245440074cos (cos )6ad d a ππθϕϕπ=-=⎰⎰.27. 用三重积分计算下面所围体的体积:(1) 226y x z --=及22y x z +=(2) az z y x 2222=++及222z y x =+(含z 轴部分).[解] (1) 226z x y =--可变为26z r =-, z =变为z r =, 则22262230322(6)3r rV dv rdrd dz d rdr dz r r r dr r πθθπ-ΩΩ====--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (2) 222x y z +=的球面坐标方程为=4πϕ, 2222x y z az ++=的球面坐标方程为2cos r a ϕ=, 则22cos 22340sin sin a V dv r drd d d d r dr a ππϕϕϕϕθπθϕΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.28. 求球面2222a z y x=++，含在圆柱体ax y x =+22内部的那部分面积.[解]上半球面方程为1D 为曲面在第一象限的投影：22,0x y ax y +≤≥，14D A =14D =cos 204a d πθθ=⎰⎰204(sin )a a a d πθθ=-⎰22(2)a π=-.29. 求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所截得部分的曲面面积.[解] 由2222,2z x y z x =+=得222x y x +=，故所求曲面在xOy 的投影区域D 为222y x +≤x ，于是DA =D=⎰⎰Ddxdy ==.30. 求圆柱面222x y R +=将球面22224x y z R ++=截下部分的面积.[解] 由对称性,只考虑z =D :222x y R +≤, 于是x z =，y z =,==.因此，2S σ=⎰⎰4R d σ=⎰⎰4R θ=⎰⎰204R Rd πθ=⎰⎰0142(2RR π=⋅⋅-⋅28(2R π=.31. 求圆柱面222x y R +=，222x z R +=所围成的立体的表面积.[解] 由对称性,只考虑z =，D ：222x y R +≤. 于是，==, 因此所求的表面积为16S σ=⎰⎰16σ=⎰⎰16R Rdx =⎰201616RR dx R ==⎰.32. 已知A 球的半径为R , B 球的半径为h 且球心在A 球的表面上, 求夹在A 球内部的B球的部分面积(02h R ≤≤).[解] 建立坐标系可设球A ：2222x y z R ++=，球B ：2222()x y z R h ++-=，则两球面的交线在xOy 面的投影区域为D ：222222(4)4h x y R h R+=-，在A 球内部的B球面为：z R =A 球内部的B 球的表面积()S h σ=⎰⎰σ=⎰⎰θ=⎰⎰20hd πθ=⎰322h h Rππ=-.33. 求均匀半球体0,2222≥≤++z r z y x 的质心.[解]),0,0(r34. 求下列均匀的平面薄板重心：(1) 半椭圆;0,12222≥≤+y by a x (2) 高为h ，底分别为a 和b 的等腰梯形.[解] (1)设重心位置在),(y x ,由对称性0=x ,现求y .⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDDydxdy ab dxdyydxdyy πμμ2dr r ab d ab θθππsin 22120⎰⎰=π34b =. (2)设等腰梯形在直角坐标系中位置如图,其重心位置为),(y x , 对称性可得0=x ，并且有⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==D DD ydxdy h b a dxdy ydxdyy )(2μμ⎰⎰--+=h y L y L dx ydy h b a 0)()(1211)(2 =⎰+--+h ydy a h y h b a h b a 0])([)(2=h b a ab )(32++，其中，12():()2h a L x y x h b a =++-, 22():()2h aL x y x h a b =-+-. 35. 由直线2,2,2===+y x y x 所围成的质量分布均匀 (设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量xI .[解] 2222024x y x yDI y d y d d σμμμ-===⎰⎰⎰⎰.36. 求边长为密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量.[解] 设方体的密度为ρ, 则22()z VI x y dxdydz ρ=+⎰⎰⎰2250002()3aaadx dy x y dz a ρρ=+=⎰⎰⎰.37. 求半径为a ，高为h 的圆柱体对于过其中心并且平行于母线的轴的转动惯量(假设密度1ρ=).[解] 建立坐标系，过中心且平行于母线的轴即为z 轴, 于是 22()(,,)z I x y x y z dv ρΩ=+⎰⎰⎰22()x y dv Ω=+⎰⎰⎰3r drd dz θΩ=⎰⎰⎰23ahd r dr dz πθ=⎰⎰⎰424a h π=⋅⋅412a h π=.38. 求抛物线2y x =，直线1y =所围成的均匀薄片对于直线1y =-的转动惯量.[解] 21(1)y DI y d ρσ=-=+⎰⎰21121(1)xdx y dy ρ-=+⎰⎰1231{8(1)}3x dx ρ-=-+⎰12302{8(1)}3x dx ρ=-+⎰164202{733}3x x x dx ρ=---⎰ 213368{71}375105ρρ=---=. 39. 求密度为ρ的均匀半球体对于在其中心的一单位质量的质点的引力.[解] 设球半径为R ，建立坐标系如图，由对称性，0x y F F ==；02222dv mdMdF kk r x y zρ==++， cos z dF dF γ={,,}n x y z =，02211,,}||n n x y z n x y ==+，故cos γ=；cos z dF dF γ=320222()zk dv x y z ρ=++，从而32222()z zdvF k x y z ρΩ=++⎰⎰⎰203cos sin r k r drd d rϕρϕθϕΩ=⎰⎰⎰0cos sin k drd d ρϕϕθϕΩ=⎰⎰⎰220000cos sin Rk d d dr ππρθϕϕϕ=⎰⎰⎰001{2}2k R k R ρπρπ=⋅⋅=.40. 求均匀薄片R y x ≤+22,0=z 对于轴上一点),0,0(c )0(>c 处的单位质量的引力;[解] 由对称性，引力方向必在z 轴方向上，因此0=x F ，0=y F ，且dxdy z y x ck F R y x x ⎰⎰≤+++=22223222)(μdr c r r d c k R⎰⎰+=0232220)(πθμ]1[222cR c k +-=πμ.故},0,0{Z F F =.41．求均匀柱体222a y x ≤+,h z ≤≤0对于点),0,0(c P )(h c >处的单位质量的引力.[解] 设物体密度为μ,由对称性0=x F ，0=y F . 进一步32222[()]z Vz cF k dxdydz x y z c μ-=++-⎰⎰⎰dz c z r c z dr r d k ha ⎰⎰⎰-+-=032220]])([[πθμ2]h k πμ=，故{0,0,2]}F h k πμ=, 其中k 为引力系数.。

高等数学(本科)第九章课后习题解答

习题9.11.二元函数()y x f ,在有界闭区域D 可积的充分与必要条件是什么？它的几何意义和物理意义是什么？【答】几何意义表曲顶柱体的体积的代数和；物理意义表平面薄片的质量. 2.设()(){}11|,22≤+-=y x y x D ，则二重积分⎰⎰=Ddxdy π.【解】根据二重积分的性质，⎰⎰Ddxdy 等于积分区域D 的面积.而此处积分区域D 是半径为1的圆域，因此其面积为π. 3.求⎰⎰Ddxdy 4，其中(){}1|,≤+=y x y x D .【解】⎰⎰Ddxdy 4()()824442=⨯===⎰⎰D S dxdy D.4.如果闭区域D 被分成区域1D 、2D 且()5,1⎰⎰=D dxdy y x f ，()1,2⎰⎰=D dxdy y x f ，求()⎰⎰Ddxdy y x f ,.【解】根据二重积分的性质()⎰⎰Ddxdy y x f ,()⎰⎰+=1,D dxdy y x f ()615,2=+=⎰⎰D dxdy y x f .5.设()⎰⎰+=13221D d y x I σ， (){}22,11|,1≤≤-≤≤-=y x y x D ；()⎰⎰+=23222D d y x I σ，其中(){}20,10|,2≤≤≤≤=y x y x D .试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.【解】因为积分区域2D 关于x 轴及y 轴均对称，且被积函数()()322,y x y x f +=为偶函数，故根据二重积分的对称性知214I I =. 6.估计下列积分的值. （1）⎰⎰+=Dy xd e I σ22，其中(){}41|,22≤+≤=y x y x D ；【解】积分区域D 的面积πσ3=.显然被积函数()32,y x e y x f +=在积分区域D 内有最小值e e m ==1及最大值4e M =，因此由估值定理知 433e I e ππ≤≤.（2）⎰⎰=Dyd x I σ22sin sin ，其中(){}ππ≤≤≤≤=y x y x D 0,0|,.【解】积分区域D 的面积2πσ=.显然被积函数()x x y x f 22sin sin ,=在积分区域D 内有最小值()00,0==f m 及最大值12,2=⎪⎭⎫⎝⎛=ππf M ，因此由估值定理知20π≤≤I .7.设函数()y x f ,在点()b a ,的某个邻域内连续，D 表示以点()b a ,为圆心且完全含在上述邻域内的圆域（半径为R ）.求极限 ()⎰⎰→DR d y x f R σπ,1lim20.【解】积分区域D 的面积2R πσ=.由积分中值定理知 ()⎰⎰Dd y x f σ,()()ηξπσηξ,.,2f R f ==.显然当0→R 时，()()b a ,,→ηξ，所以 ()⎰⎰→DR d y x f R σπ,1lim20()()b a f f R ,,lim 0==→ηξ.8.设区域(){}1|,22≤+=y x y x D ，()y x f ,为区域D 上的连续函数，且 ()()dxdy y x f y x y x f D⎰⎰---=,11,22π. ① 求()y x f ,.【解】记 ()dxdy y x f a D⎰⎰=,. ②则①成为()πay x y x f ---=221,. ③由③得()⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=DDDdxdy adxdy y x dxdy y x f π221,. ④其中，根据几何意义及性质可知32134211322ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=--⎰⎰dxdy y x D.π=⎰⎰Ddxdy .所以由④式得到 3.32ππππ=⇒-=a a a . 将3π=a 代入③即得到()311,22---=y x y x f .习题9.21.在化二重积分时，选择坐标系的原则是什么？【解】选择坐标系的原则主要是根据积分区域的形状，具体地讲，积分区域的边界曲线是用直角坐标方程表示方便还是用极坐标方程表示简洁.当然，被积函数的特征也要考虑，如形如()22y xf+的积分就首选极坐标系来计算.2.先画出积分区域，再计算二重积分.（1）()⎰⎰+Dd y x σ22，其中D 是矩形区域：1,1≤≤y x ；【解】记(){}10,10|,1≤≤≤≤=y x y x D .由对称性知()⎰⎰+Dd y xσ22()⎰⎰+=1224D d y x σ()dy y x dx ⎰⎰+=101224⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=101032|314dx y y x 3831314314101032|=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰x x dx x .（2）()⎰⎰++Dd y y x x σ3233，其中D 是矩形区域：10,10≤≤≤≤y x ；【解】()⎰⎰+Dd y xσ22()dy y y x x dx ⎰⎰++=10103233⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10104223|4123dx y y x y x1412141412310103423|=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰x x x dx x x .（3）()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的区域；【解】()⎰⎰+Dd y x σ23()dy y x dx x⎰⎰-+=202023()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-20202|3dx y xy x()()[]()3204324222232020232022|=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=-+-=⎰⎰x x x dx x x dx x x x .（4）()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π，()ππ,的三角形区域；【解】()⎰⎰+Dd y x x σcos ()dy y x x dx x ⎰⎰+=π00cos ()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π00|sin dx y x x x()⎰⎰⎰-=-=πππ0sin 2sin sin 2sin xdx x xdx x dx x x x()()⎰⎰+-=ππ00cos 2cos 21x xd x xd 【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰ππππ0000cos cos 22cos 212cos 21||xdx x x x xd x xπππππππ2321sin 2sin 2121||00-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x x .（5）⎰⎰Dxy dxdy ye ，其中D 是由曲线2,2,1===y x xy 所围成的区域；【解】⎰⎰Dxydxdy ye dy ye dx x xy⎰⎰=22121()x d e yd x x xy ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221211x d dy e ye x x xy x xy ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2212121|1x d e x x e e x x xy x⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221212|1121 x d e x e x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22122212x d e x x⎰=221212x d e xx ⎰-221221其中=⎰x d e x x 221221⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰x d e x 12212【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰2212221211|x x e d x e x ++-=e e 2214x d e xx ⎰221212.所以⎰⎰Dxydxdy ye -=⎰x d e x x 221212e e dx e x e e x22112221422214-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎰. （6）()⎰⎰+Ddxdy y x sin ，其中D 是矩形区域：ππ20,0≤≤≤≤y x .【解】以直线π=+y x 及π2=+y x 将区域D 分成三个子区域：321D D D D ⋃⋃=.其中，⎩⎨⎧≤≤-≤≤,0,0:1ππx x y D ， ⎩⎨⎧≤≤-≤≤-,0,2:2πππx x y x D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤-,0,22:3πππx y x D ()dy y x dx I x⎰⎰-+=ππ0sin ()dy y x dx x x ⎰⎰--+-+πππ02sin ()dy y x dx x⎰⎰-++πππ022sin其中()dy y x dx x⎰⎰-+ππ0sin ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-ππ00|cos ()()πππ=+=+=⎰|0sin cos 1x x dx x ；()dy y x dx xx⎰⎰--+-πππ02sin ()dx y x xx ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--πππ02|cosππ220==⎰dx ；()dy y x dx x ⎰⎰-+πππ022sin ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-πππ022|cos ()()πππ=-=-=⎰|0sin cos 1x x dx x .所以 .42ππππ=++=I3.化二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,为二次积分，且二次积分的两个变量的积分次序不同，其中积分区域D 为：（1）由直线x y =及抛物线x y 42=所围成的区域；【解】联立⎩⎨⎧==,4,2x y x y 解得⎩⎨⎧==,0,0y x 或⎩⎨⎧==.4,4y x 所以直线x y =及抛物线x y 42=的交点为()0,0及()4,4.（i ）若视区域D 为-X 型区域，则⎩⎨⎧≤≤≤≤.40,2:x x y x D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰=402,xxdy y x f dx .（ii ）若视区域D 为-Y 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.40,41:2y y x y D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰=40412,y y dx y x f dy .（2）半圆形区域222r y x ≤+，0≥y .（i ）若视区域D 为-X 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤.,0:22r x r x r y D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰--=rrx r dy y x f dx 320,.（ii ）若视区域D 为-Y 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--.0,:3222r y y r x y r D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰---=ry r y r dx y x f dy 03222,.4．交换下列积分次序（1）()⎰⎰--21222,x x xdy y x f dx ；【解】D 是由圆周曲线()1122=+-y x ，2=+y x 【两曲线交于点()1,1】所围成的区域.故()⎰⎰--21222,x x xdy y x f dx ().,11122⎰⎰-+-=y ydy y x f dy（2）()⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0,；【解】积分区域D 由曲线x y ln =，及x 轴和直线e x =所围成. 若改变积分次序，即将区域D 视为-Y 型区域，则⎩⎨⎧≤≤≤≤,10:1y ex e D y ，所以()⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0,().,10⎰⎰=eey dx y x f dy（3）()⎰⎰102,x xdy y x f dx ；【解】积分区域D 由抛物线x y 42=及两直线x y =和直线1=x 所围成.若改变积分次序，即将区域D 视为-Y 型区域，则需要将D 分块： 21D D D ⋃=.其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,1041:21y yx y D ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21141:22y x y D .所以 ()⎰⎰102,xxdy y x f dx()⎰⎰=10412,y y dx y x f dy ()⎰⎰+211412,y dx y x f dy .（4）()⎰⎰--0121,ydx y x f dy ()⎰⎰++1021,ydx y x f dy .【解】积分区域21D D D ⋃=.其中⎩⎨⎧≤≤-≤≤-,0121:1y x y D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤+,1021:2y x y D 因此积分区域D 是由三直线1,1=-=+y x y x 及2=x 所围成的三角形区域.若改变积分次序，即将区域D 视为-X 型区域，则⎩⎨⎧≤≤-≤≤-21,11:x x y x D所以 ()⎰⎰--0121,y dx y x f dy ()⎰⎰++1021,ydx y x f dy ()⎰⎰--=2111,x x dy y x f dx .5.计算⎰⎰-10122xy dy e dx x .【解】积分区域D 是由直线x y =、1=y 及y 轴所围成的三角形区域. 改变积分次序得⎰⎰-10122x y dy e dx x ⎰⎰-=10022y y dx x dy e ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1003|312dy x e y y⎰-=103231dy e y y ()⎰--=102261y ed y 【分部】 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--10210222|61y d e e y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--|101261y e e 6131+-=e .6.求由平面0,0==y x 及1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622截得的立体的体积.【解】根据二重积分的几何意义知()⎰⎰--=Ddxdy y x V 226.其中积分区域D 是xoy 面内由直线1=+y x 及x 轴、y 轴所围成的平面区域.V ()dy y x dx x⎰⎰---=1010226⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-101032|316dx y y x y x()()()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=101023323175234131116dx x x x dx x x x x .617317253231|10234=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=x x x x . 7.利用极坐标计算下列各题. （1）⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是圆形区域：422≤+y x ；【解】⎰⎰+Dy xd e σ22⎰⎰+=1224D y xd e σ【极坐标】()121244202020|22-=⎪⎭⎫⎝⎛==⎰⎰e e rdr e d r r ππθπ.（2）()⎰⎰++Dd y x σ221ln ，其中D 是圆周122=+y x 及坐标轴在第一象限内所围成的区域；【解】()⎰⎰++Dd y x σ221ln 【极坐标】()=+=⎰⎰rdr r d 20121ln πθ【令t r =2】()dt t ⎰+=11ln 4π【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰dt t t t t 101011ln 4|π()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=⎰dt t t 101112ln 4π []()12ln 241ln 42ln 4|10-=+--=πππt t .（3）σd x yD⎰⎰arctan ，其中D 是由圆周122=+y x ，422=+y x 及直线xy y ==,0在第一象限内所围成的区域；【解】rdr r r d dxdy x y I D.cos sin arctan arctan 4021⎰⎰⎰⎰==πθθθ==⎰⎰rdr d .421πθθ .64321.21.22124024021||πθθθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d（4）⎰⎰Dxdxdy ，(){}x y x y x D 22|,22≤+≤=；【解】⎰⎰Dxdxdy ⎰⎰=12D xdxdy 【极坐标】⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰⎰24cos 204020.cos .cos 2ππθπθθθθrdr r d rdr r d⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰24cos 20340202|31cos .cos 2ππθπθθθθd r dr r d ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰24420340cos 3831sin 2||πππθθθd r θθππd ⎰+=244cos 3163424132331634ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=.【其中θθππd ⎰244cos θθππd 22422cos 1⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()θθθππd ⎰++=2422cos 2cos 2141⎰=2441ππθd ()⎰+2422cos 41ππθθd ＋⎰+2424cos 141ππθθd 413234sin 3214812sin 41441||2424-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⨯=πθπθπππππ】. 【注意：此题书中答案有误】.（5）⎰⎰-Ddxdy y x ，(){}0,0,1|,22≥≥≤+=y x y x y x D ；【解】以直线x y =将积分区域D 分块：21D D D ⋃=其中1D 由圆周()0,0122≥≥=+y x y x 及x 轴和直线x y =所围成；其中2D 由圆周()0,0122≥≥=+y x y x 及y 轴和直线x y =所围成.⎰⎰-Ddxdy y x ()+-=⎰⎰1D dxdy y x ()⎰⎰-2D dxdy x y 【极坐标】()rdr r r d ⎰⎰-=14sin cos θθθπ()rdr r r d ⎰⎰-+124cos sin θθθππ()dr r d ⎰⎰-=1240sin cos πθθθ()dr r d ⎰⎰-+1224cos sin ππθθθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=||1034031.cos sin r πθθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+||1032431.sin cos r ππθθ ()()12311231-+-=()1232-=. （6）()⎰⎰+Ddxdy y x y 23，(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D .【解】()⎰⎰+Ddxdy y x y 23⎰⎰=Dydxdy ⎰⎰+Ddxdy y x 230+=⎰⎰Dydxdy【极坐标】rdr r d ⎰⎰=20.sin θθπdr r d ⎰⎰=220sin πθθ31631cos ||2030=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r πθ. 8.把()⎰⎰+=Ddxdy y xfI 22化为单重积分，其中(){}1|,22≤+=y x y x D .【解】()⎰⎰+=Ddxdy y xfI 22【极坐标】()⎰⎰=1204rdr r f d πθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰1020.4rdr r f d πθ()⎰=102rdr r f π.9.把下列积分化为极坐标形式，并计算其积分值. （1）()⎰⎰-+ay a dx y xdy 002222；【解】()⎰⎰-+ay a dx y xdy 02222【极坐标】404228412|a r rdr r d aaππθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰. （2）()⎰⎰-+ax ax dy y xdx 2020222；【解】()⎰⎰-+ax ax dy y xdx 2020222【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 20cos 202πθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛20cos 204|41πθθd r a . 44244432.!!4!!34cos 4a a d a ππθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰.（3）⎰⎰+axdy y x dx 022；【解】⎰⎰+axdy y x dx 022【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 40sec 0.πθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛40sec 03|31πθθd r a ⎰=4033sec 31πθθd a []|403tan sec ln tan .sec 61πθθθθ++=a()[]21ln 2613++=a【其中，()⎰⎰==θθθθtan sec sec 3d d I 【分部】()⎰-=θθθθsec tan tan .sec d⎰-=θθθθθd 2tan sec tan .sec ()⎰--=θθθθθd 1sec sec tan .sec 2 I d d -++=+-=⎰⎰θθθθθθθθθθtan sec ln tan .sec sec sec tan .sec 3所以，[]C I +++=θθθθtan sec ln tan .sec 21.】（4）⎰⎰+1222xxdx y x dx .【解】⎰⎰+10222xxdx y x dx 【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 40sec tan 0.πθθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛40tan sec 03|31πθθθd r a ⎰=40333tan sec 31πθθθd a ()()⎰-=40223sec 1sec sec 31πθθθd a()12452sec 31sec 5131|40353+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πθθa .10.设()x f 为连续函数，且()()⎰⎰+=Ddxdy y x f t F 22，其中(){}222|,t y x y x D ≤+=，求极限()tt F t '→0lim.【解】()()⎰⎰+=Ddxdy y x f t F 22【极坐标】()rdr r f d t⎰⎰=πθ202()r dr r f t⎰=022π.故 ()()22t tf t F π='. ① 所以()t t F t '→0lim【代入 ①】()()022lim 0f t t tf t ππ==→. 【注意：怀疑此题本身有问题，故对题目本身作了合理修正】11*.设()x f 在[]1,0上连续，并设()A dx x f =⎰10，求()()⎰⎰101xdy y f x f dx .【解】记⎩⎨⎧≤≤≤≤,10,1:1x y x D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,10,0:2x x y D ，21D D D ⋃=.则 ()()()()dxdy y f x f dy y f x f dx I D x⎰⎰⎰⎰==1111. ①()()()()dxdy y f x f dy y f x f dx I D x⎰⎰⎰⎰==2102. ②又交换积分次序后()()==⎰⎰111x dy y f x f dx I ()()⎰⎰10y dx y f x f dy ()()⎰⎰=10xdy y f x f dx ，即21I I =.所以有 ()()()dxdy y f x f I I I D⎰⎰=+=2121211 ()()210102121A dy y f dx x f ==⎰⎰. 12*.设()x ϕ为[]1,0上的正值连续函数，证明：()()()()()b a dxdy x y x b y a D+=++⎰⎰21ϕϕϕϕ，其中b a ,为常数，(){}10,10|,≤≤≤≤=y x y x D . 【证明】因为积分区域D 关于直线x y =对称，则 ()()()=+=⎰⎰Ddxdy y x x I ϕϕϕ()()()⎰⎰+Ddxdy y x y ϕϕϕ. ① 故有()()()()212121==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y x y x I ϕϕϕϕ. ② 所以有()()()()=++⎰⎰D dxdy x y x b y a ϕϕϕϕ()()()b dxdy y x y a D++⎰⎰ϕϕϕ()()()⎰⎰+Ddxdy y x x ϕϕϕ ).(21b a bI aI +=+= 13*.设闭区间[]b a ,上()x f 连续且恒大于零，试利用二重积分证明不等式()()()21a b dx x f dx x f baba-≥⎰⎰. 【证法一】考虑到定积分与变量的记号无关.故有： ()()⎰⎰=b a bay f dy x f dx. ① 以及()().dy y f dx x f baba⎰⎰= ②所以有()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy y f x f x f dx dx x f ③其中，⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 同时()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy x f y f x f dx dx x f ④ ③+④，得()()()()()()()()()().2.2⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D Db a b a dxdy y f x f x f y f dxdy y f x f x f y f x f dx dx x f ()222.Ddxdy b a ==-⎰⎰即： ()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【证法二】：因为()0≥x f ，所以有20b a dx ⎡⎤⎢≥⎢⎣⎰，即 ()()()220.bbaadxf x dx b a f x λλ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰① ①式左边是λ的非负二次三项式，因此必有判别式()()()20b b a a dx b a f x dx f x ⎡⎤⎡⎤∆=--≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰. ② 故由②得到()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰14*.设()x f 在闭区间[]b a ,上连续.试利用二重积分证明不等式()()()dx x fa b dx x f ba ba ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡22.【证明】由于()2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dx x f b a ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰dx x f dx x f b a b a ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰dy y f dx x f ba b a . ① 令 ⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 则由①得到()()()dxdy y f x f dx x f Dba ⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2. ②又 ()()()()222y fx fy f x f +≤.③故()()()dxdy y fx f dx x f Db a ][21222+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰⎰b a b a b a b a dy y f dx dx x f dy 2221 ()()dx x f a b b a ⎰-=221()()dy y f a b b a ⎰-+221【定积分与变量记号无关()()dx x fa b ba⎰-=2.15*.设区域(){}0,1|,22≥≤+=x y x y x D ，求二重积分⎰⎰+++Ddxdy y x xy2211.【解】⎰⎰+++Ddxdy y x xy 2211⎰⎰++=D dxdy y x 2211⎰⎰+++D dxdy yx xy221 0112122+++=⎰⎰D dxdy y x 【极坐标】rdr r d ⎰⎰+=2102112πθ ()().2ln 21ln 21112|1022102πππ=+=++=⎰rr d r习题9.３1.利用定积分、二重积分和三重积分计算空间立体体积时，被积函数和积分区域各有什么不同？【解】略.2.将三重积分()dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω=,,化为三次积分，其中空间区域分别为：（1）由曲面22y x z +=，0=x ，0=y ，1=z 所围成且在第一卦限内的区域；【解】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤+Ω.10,10,1:222x x y z y x Ω向xoy 面上投影区域为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤.10,10:2x x y D xy ，所以()dz z y x f dy dx I y x x ⎰⎰⎰+-=1101222,,.（2）由双曲抛物面xy z =及平面01=-+y x ，1=z 所围成的区域；【解】⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤Ω.10,10,0:x x y xy z Ω向xoy 面上投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.10,10:x x y D xy ，所以()dz z y x f dy dx I xyx⎰⎰⎰-=01010,,.（3）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的区域. 【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,2,2222x z y x z 消去z ，得 Ω向xoy 面上的投影区域为 1:22≤+y x D xy . 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--≤≤---≤≤+Ω.11,11,22:22222x x y x x z y x所以()dz z y x f dy dx I x y x x x ⎰⎰⎰-+----=22222221111,,.3.利用直角坐标系计算下列三重积分.（1）dV z xy ⎰⎰⎰Ω32，其中Ω是由平面x y =，1=x ，0=z 及曲面xy z =所围区域.【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,0:⎩⎨⎧≤≤≤≤x x y D 故dz z dy y xdx dV z xy xyx⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω03021032⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xxy dy z y xdx 004210|41⎰⎰=x dy y dx x 0610541⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10075|7141dx y x x 3641131281281|10131012=⨯==⎰x dx x . （2）()⎰⎰⎰Ω+++31z y x dV，其中Ω是由平面0=x ，0=y ，0=z 及1=++z y x 所围成的四面体；【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,10:⎩⎨⎧≤≤-≤≤x x y D 故()dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω+++311=()dz z y x dy dx x y x ⎰⎰⎰---+++101010311()()z y x d z y x dy dx xyx ++++++=⎰⎰⎰---1111010103()⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=1010102|11.21xy x dy z y x dx ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=10102411121xdy y x dx ⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=1010|411121dx y y x x⎰⎪⎭⎫⎝⎛+++-=101144321dx x x ().1652ln 21811ln 4321|102-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=x x x （3）()dxdydz z x y ⎰⎰⎰Ω+cos ，其中Ω是由抛物柱面x y =以及平面0=y ，0=z ，2π=+z x 所围成区域.【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.20,0:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤πx x y D 故()dxdydz z x y ⎰⎰⎰Ω+cos =()dz z x ydy dx xx⎰⎰⎰-+2020cos ππ()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-200|2sin ππxxdy z x y dx ()⎰⎰-=200sin 1πx ydy x dx ()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2002|21sin 1πdx y x x ()⎰-=20sin 121πdx x x⎰=2021πxdx 21161sin 21220-=-⎰ππxdx x .【其中2202201614121|πππ==⎰x xdx ；()⎰⎰=-2020cos 21sin 21ππx xd xdx x 【分部】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰2020cos cos 21|ππxdx x x 21sin 21|20-=-=πx .】4.利用柱面坐标计算三重积分.（1）()d V y x ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的区域；【解】本题宜采用“切片法”计算()()dxdy y x dz dz dxdy y xzD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω22222.3163242.||20320202422020πππθπ====⎰⎰⎰⎰z dz r rdr r d dz z z如采用柱面坐标系：()dz dxdy y x⎰⎰⎰Ω+22.3166.2142222.2|206420223222202πππθπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰r r dr r r dz r rdr d r （2）()d V y x ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的区域；【解】（柱面坐标法）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.4:22≤+y x D()V d y x⎰⎰⎰Ω+22dr z r dz r rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==20205253525220|.2πθπ dr r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰255223πππ82452|2054=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r .（3）dV xyz ⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由球面1222=++z y x 及三个坐标面所围且在第一卦限内的区域.【解】（球面坐标法）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为V xyzd ⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰=2015320cos sin cos sin ππρρϕϕϕθθθd d d48161.sin 41.sin 21|||106204202=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ρϕθππ.5.利用球面坐标计算三重积分.（1）()d V z y x ⎰⎰⎰Ω++222，其中()(){}222223,|,,y x z z z y x z y x +≥≤++=Ω；【解】（球面坐标法）()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222⎰⎰⎰=60cos 02220.sin πϕπρρρϕϕθd d dϕρϕππϕd ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6cos 05|51sin 2ϕϕϕππd ⎰=605sin cos 52()ϕϕππcos cos 52605d ⎰-=πϕππ96037cos 6152|606=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=.（2）dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由抛物面22y x z +=之上，球面2222=++z y x 之内的部分围成；【解】（柱面坐标法）联立⎩⎨⎧+==++22222,2y x z z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上投影区域.1:22≤+y x D 所以dz dxdy z⎰⎰⎰Ω2⎰⎰⎰-=1222022r rdz z rdr d πθ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-123|22312r r z r π()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10632232dr r r r π()⎰-=1032232dr r r π()πππππ121228151121232107--=-=-⎰dr r ()1323260-=π.【其中()⎰-1032232dr r r π【令t r sin 2=】⎰=404cos .sin 328ππtdt t ()()πππππ228151cos 51328cos cos 328|405404-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰t t td ； .121813232|108107πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰r dr r 】（3）dxdydz x ⎰⎰⎰Ω，其中()(){}0,0,0|,,2222≥≥>≤++=Ωy x a a z y x z y x .【解】（球面坐标法）⎰⎰⎰Ωxdxdydz ⎰⎰⎰=ππρρθϕρϕϕθ00220.cos sin sin ad d d ⎰⎰⎰=ππρρρϕϕθθ0222.sin cos ad d d404020841.2sin 4121.sin |||a a πρϕϕθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=.6.采用三种坐标计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中()2222|,,{R z y x z y x ≤++=Ω()}2,0222Rz z y x R ≤++>.【解法一】（柱面坐标法）联立⎩⎨⎧=++=++,2,222222Rz z y x R z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 .43:222R y x D ≤+dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2 dr z r dz z rdr d R R r R r R R r R r R R ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==------232303220|222222223.2πθπ()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=R dr rR R r R r 23032232232π（令t R r sin =）()[]⎰--=30333cos .cos cos sin 32ππtdt R t R R t R t R[]⎰-+-=30235cos sin cos 3cos 31cos 232ππtdt t t t t R⎰=3045sin cos 34ππtdt t R ⎰-305sin cos 32ππtdt t R⎰+3025sin cos 2ππtdt t R⎰-3035sin cos 2ππtdt t R|30555cos 34ππt R -=|30252cos 32ππt R +|30353cos 2ππt R -|30454cos 2ππt R + ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32311545R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4335R π⎪⎭⎫ ⎝⎛--87325R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+161525R π .480595R π=【解法二】（球面坐标法）球面坐标计算：这时首先要把积分区域Ω分成两个子区域： .21Ω⋃Ω=Ω 其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,0,30,20:1R ρπϕπθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,cos 20,232,20:2ϕρπϕππθR则dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+22ρρϕρϕϕθππd d d R⎰⎰⎰=2030222.cos sinρρϕρϕϕθπππϕd d d R ⎰⎰⎰+2023cos 20222.cos sin⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰R d d 04302cos .sin 2ρρϕϕϕππ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ϕππρρϕϕϕπcos 204232cos .sin 2R d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=||0530351cos 312R ρϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰2375cos .sin 32512ππϕϕϕπd R 551.247.2R π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+|2385cos 81564ππϕπR 5607R π=⎪⎭⎫ ⎝⎛+81.25615645R π5607R π=5160R π+.480595R π= 【解法三】（直角坐标系之“切片法”）将Ω分块为21Ω⋃Ω=Ω.其中()()⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤Ω11,,20z D y x R z ：，()22212:z Rz y x D z -≤+； ()()⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤Ω22,,2z D y x R z R：，()22222:z R y x D z -≤+. ()()()()[]dz z Rz z dz D S z dxdy dz z dz dxdy zR z D R R z220212022022211-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπ5205440151412|R z z R Rππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=；()()()()[]dz z R z dz D S z dxdy dz z dz dxdy z RR z D RR R R z222222222222-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπ 52532480475131|R z z R R R ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=. 所以dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+225554805948047401R R R πππ=+=. 7.若柱面122=+y x 与平面0=z ，1=z 所围成的柱体内任一点()z y x ,,处的密度22y x z --=μ，试计算该柱体的质量.【解】()()⎪⎩⎪⎨⎧Ω∈-+Ω∈--=--=.,,,,,22212222y x z y x y x y x z y x z μ 其中()⎩⎨⎧∈≤≤+ΩD y x z y x ,,1221：；()⎩⎨⎧∈+≤≤ΩD y x y x z ,,0222：；1:22≤+y x D . 所以 =M ()dz dxdy y xz ⎰⎰⎰Ω--122()πππ316161222=+=-++⎰⎰⎰Ωdz dxdy z y x .【其中()dz dxdy y xz ⎰⎰⎰Ω--122【柱面坐标】()dr z r z r dz r z rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=10101221220|222.2πθπ()πππ6161222|10642153=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=⎰r r r dr r r r ；()dz dxdy z y x⎰⎰⎰Ω-+222【柱面坐标】()dr z z r r dz z r rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=110022220|2221.2πθππππ6161|10615=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰r dr r .】8.分别用定积分、二重积分和三重积分求由22y x z +=和22y x z +=所围成的立体Ω的体积.【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,,2222y x z y x z 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 .1:22≤+y x D（一）定积分过z 轴上任意一点z 作Ω的截面，则该截面的面积为 ()()()[]1,0,222∈-=-=z z z z z z A πππ所以Ω的体积为()()πππ613121|103210210=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰z z dz z z dz z A V .（二）二重积分 ()[]d xdy y x y xV D⎰⎰+-+=2222【极坐标】()ππθπ61432|10432012=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰r r rdr r r d . （三）三重积分⎰⎰⎰Ω=dV V 【球面坐标】ρρϕϕθπϕϕππd d d ⎰⎰⎰=20sin cos 02242sin()ϕϕπϕϕϕπϕρϕπππππππϕϕcot cot 32sin cos 3231sin 2243245324sin cos 03|2d d d ⎰⎰⎰-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πϕπππ61cot 4132|244=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=. 9.设()x f 在0=x 处可导，且()00=f ，求极限()d xdydz z y x f t t ⎰⎰⎰Ω→++22241lim，其中(){}2222|,,t z y x z y x ≤++=Ω.【解】()d xdydz z y x f tt ⎰⎰⎰Ω→++222401lim ()⎰⎰⎰=ππρρρϕϕθ00220.sin ad f d d()ρρρϕππd f a 200.cos 2|⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=()ρρρπd f a 20.4⎰=. ①所以()d xdydz z y x ft t ⎰⎰⎰Ω→++22241lim【由①】()4204lim t f tt ⎰→=ρρπ【洛必达法则】()32044lim t t t f t π→=()t t f t 0lim →=π()()00lim 0--=→t f t f t π()0f '=π. 习题9.４1.求由曲线()xy y x C =+222:所围平面图形D 的面积.【解】化曲线C 为极坐标表示：θθsin cos 2=r ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πππθ23,2,0.由对称性知()⎰⎰=12D d D S σ【极坐标】θθπθθπθθd r dr r d ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==20cos sin 0220cos sin 0|2122()21sin 21sin sin cos sin |2022020====⎰⎰πππθθθθθθθd d d .2.求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体Ω的体积. 【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+=,26,22222y x z y x z 消去z ，得 Ω向xoy 面上的投影区域为 2:22≤+y x D xy .所以Ω的体积为 ()()[]d xdy y x y xV xyD ⎰⎰+---=2222226()d xdy y xxyD ⎰⎰--=22336()ππθπ6433236|2422022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰r rrdr r d . 3.求由曲面()xyz a z y x S 332223:=++所围立体的体积.【解】做球坐标变换：⎪⎩⎪⎨⎧===,cos ,sin sin ,cos sin ϕρθϕρθϕρz y x 则S 在球坐标下的方程为θθϕϕρsin cos cos sin 3233a =ρρϕϕθθθϕϕππd d d dV V a ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==3231cos sin cos sin 3022020sin 44⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2020cos sin cos sin 303|32331sin 4ππθθϕϕϕρϕθd d a ⎰⎰=22033cos sin cos sin 4ππϕϕϕθθθd d a.21sin 41sin 21432042023||a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππϕθ4.证明：曲面2214:y x z S ++= ① 任一点处的切平面与曲面22:2y x z S +=所围立体图形Ω的体积为定值.【证明】任取曲面1S 上一点()0000,,z y x M .令 ()z y x z y x F -++=224,,.则1S 在点()0000,,z y x M 处的切平面的法向量为 ()()(){}{}1,2,2,,00000-='''=y x M F M F M F z y x .1S 在点()0000,,z y x M 处的切平面π的法平面为()()()02200000=---+-z z y y y x x x .即 ()0222:02020000=-+---+z y x z z y y x x π. ②又由于()10000,,S z y x M ∈，故402020-=-+z y x . ③ 将③式代入②式得0822:000=+--+z z y y x x π. ④ 联立⎩⎨⎧+==+--+,,082222000y x z z z y y x x 消去z ，得 ()()8020202020+-+=-+-z y x y y x x 【由③】4=，故Ω向xoy 面上的投影区域为()()4:2020≤-+-y y x x D xy . ⑤所以，Ω的体积为 ()()[]d xdy y x z y yx x V xyD ⎰⎰+-+-+=2200822()()()[]d xdy y y x x z y xxyD ⎰⎰----+-+=202002028【由③】()()[]d xdy y y x x xyD ⎰⎰----=2024令⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos 00θθr y y r x x 则()()r r r y r y xrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,所以()dr d r r V r D θθ⎰⎰-=24()ππθπ841224|20422022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰r r rdr r d .从而:2S 与π所围立体图形Ω的体积为定值π8.5.形状如22y x z +=，100≤≤z （单位：米）的“碗”，计划在其上刻上刻度使其成为一个容器.求对应于容积为１立方米的液体在该容器内的高度是多少？【解】设对应于容积为１立方米的液体在该容器内的高度是h （米）. 由题意知()()σπd y xh h D⎰⎰+-⨯=222.1. ①其中222:h y x D ≤+.()⎰⎰⎰⎰=+πθσ200222.h Drdr r d d y x20421412|h r h ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=. ②将②式代入①式得2221.1h h ππ-=，即 2211h π=，解之得π2=h （米）.6.求均匀密度的半椭圆平面薄片()01:2222≥≤+y by a x D 的质心.【解】设D 的质心坐标为()y x ,.由质心坐标公式得⎰⎰⎰⎰=DDxd d x σσ1； ①⎰⎰⎰⎰=DDyd d y σσ1②【其中令⎩⎨⎧==,sin ,cos θθbr y ar x 则()()abrbr b ar a y ry xrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,由对称性知0=⎰⎰σd x D；()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==πθθθθσθ0102.sin sin rdr r d ab drd J br d y r D D⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πθθ01032|31sin d r ab2020232cos 31sin 31|ab ab d ab =-==⎰ππθθθ；又 ()ab D S d Dπσ2121==⎰⎰. 故⎰⎰⎰⎰==DDxd d x 01σσ；ππσσ34213212bab ab yd d y DD===⎰⎰⎰⎰. 所以，平面薄片()01:2222≥≤+y b y a x D 的质心为⎪⎭⎫⎝⎛π34,0b .7.社平面薄片所占的区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的面密度()y x y x 2,=ρ，求此薄片的质心.【解】设D 的质心坐标为()y x ,.由质心坐标公式得()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x x d y x x σρσρ,,1σσ⎰⎰⎰⎰=DDyd x yd x 321； ① ()()⎰⎰⎰⎰=D D d y x y d y x y σρσρ,,1⎰⎰⎰⎰=DDd y x yd xσσ2221②ydy x dx yd x xx D⎰⎰⎰⎰=10222σ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=1022|221dx y x x x ()⎰-=106421dx x x 351715121|1075=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ； ③ydy x dx yd x x x D⎰⎰⎰⎰=10332σ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=1023|221dx y x x x ()⎰-=107521dx x x 481816121|1086=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ； ④ dy y x dx d y x xx D2102222⎰⎰⎰⎰=σ⎰⎪⎭⎫⎝⎛=1032|231dx y x x x ()⎰-=108531dx x x 541916131|1096=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x . ⑤故 4835351481==x ；5435351541==y .所以此薄片的质心为⎪⎭⎫⎝⎛5435,4835.8.平面薄片D 由ax y x ≥+22，222a y x ≤+确定，其上任一点处的面密度与离原点的距离成正比，求此薄片的质心.【解】由题意知，面密度()22,y x k y x +=ρ)0(>k .。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高等数学下册第九章习题答案详解1. 求下列曲线在给定点的切线和法平面方程：（1）22 =sin ,=sintcos ,=cos ,x a t y b t z c t 点π4t =; （2）222=6,++=0x y z x y z ++，点0(1,2,1)M -；（3）222,y mx z m x ==-点0000(,,)M x y z .解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π4t =的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭当π4t =时， ,,222a b c x y z === 切线方程为2220a b c x y z a c---==-. 法平面方程为0()0.222a b c a c x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 22022a c ax cz --+=. （2）联立方程组2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩ 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得d d 2220d d d d 10d d y z x y z x xy z x x⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 解得d d ,,d d y z x z x yx y z x y z--==-- 在点M 0（1，-2，1）处，00d d 0,1d d M M y z x x ==-所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为121101x y z -+-==- 法平面方程为1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0 即x -z =0.(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得d d 22,21d d y zym z x x==- 于是d d 1,d d 2y m z x y x z==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011,,2my z ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,故切线方程为 00000,112x x y y z z m y z ---==-法平面方程为000001()()()02m x x y y z z y z -+---=. 2.t ()02πt <<为何值时，曲线sin ,1cos ,4sin 2tL x t t y t z =-=-=：在相应点的切线垂直于平面0x y +=，并求相应的切线方程和法平面方程. 解：1cos ,sin ,2cos2tx t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{}1cos ,sin ,2cos 2t T t t =-, 已知平面的法向量为{1,1,2n =.且T ∥n ,故2cos 1cos sin 11tt t-==解得π2t=，相应点的坐标为π1,1,2⎛- ⎝.且{1T = 故切线方程为π11211x y -+-==法平面方程为π1102x y z -++-+-= 即π042x y ⎛⎫+-=+⎪⎝⎭. 3.在曲线23,,x t y t z t ===上求一点M 使曲线在点M 处的切线与平面24x y z ++=平行.{}{}()22=1,2,3.1,2,1.11430,1.31111,113927T t t T t t t t M ⊥++==-=-⎛⎫---- ⎪⎝⎭解：曲线的切向量由题意知于是有解方程的或从而解得点为，或，，习题9-21. 指出曲面z xy =上何处的法线垂直于平面26x y z -+=，并求出该点的法线方程与切平面方程. 解：z x =y , z y =x .曲面法向量为{}1,,1n y x =-. 已知平面法向量为{}21,2,1n =-. 且1n ∥2n ，故有112y x ==-- 解得x =2,y =-1,此时，z =-2.即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为212121x y z -++==--. 切平面方程为-1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0即 x -2y +z -2=0.2. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：（1）22z x y =+,点()01,2,5M ; （2）arctanyz x＝,点0π1,1,4M （）解：（1）002, 4.22yxm m m m z z y x ====故曲面在点M 0(1,2,5)的切平面方程为 z -5=2(x -1)+4(y -2).即 2x +4y -z =5. 法线方程为125241x y z ---==- （2）0222211,.22yxm m m m yx z z x y x y -==-==++ 故曲面在点M 0(1,1,π4)的切平面方程为 z -π4=-12 (x -1)+12(y -1). 法线方程为π11411122z x y ---==--. 3. 证明：曲面3xyz a =上任一点的切平面与坐标平面围成的四面体体积一定. 证明：设 F (x ,y ,z )=xyz -a 3. 因为 F x =yz ,F y =xz ,F z =xy ,所以曲面在任一点M 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面方程为 y 0z 0(x -x 0)+x 0z 0(y -y 0)+x 0y 0(z -z 0)=0.切平面在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为3x 0,3y 0,3z 0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为330000001119132727.3336622V z x y z a a x y ⎡⎤=⋅==⨯=⋅⎢⎥⎣⎦它为一定值。

4. 设直线030x y b l x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面Π上，而平面Π与曲面22z x y =+相切于点()1,2,5-，求,a b 之值.{}{}{}()(){}()()()()()()=1,1,01,,11,1,11,2,52,4,1,2410 5.142502450,0,3,,0,32S a a n S n a a x y z x y z b b b b b b ⨯-=---∏=--⊥----==-∏--+--=---=---∏---∏----解：由题意知已知直线的方向向量又曲面在点的法向量也是平面的法向量显然有于是得又平面的方程为 2即在已知得直线上取一点因为直线在平面上，故满足平面的方程，因而有()350 2.b -==-得1. 求函数23u xy z xyz =+-在点()112，，处沿方向角为πππ,,343αβγ===的方向的方向导数. 解：(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)cos cos cos u u u uy l x z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππcos cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=---2. 求函数u xyz =在点(512)，，处沿从点(512)A ，，到(9414)B ，，的方向导数. 解：{4,3,12},13.AB AB ==AB 的方向余弦为4312cos ,cos ,cos 131313αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u yz x u xz y u xyz∂==∂∂==∂∂==∂ 故4312982105.13131313u l ∂=⨯+⨯+⨯=∂ 3. 求函数22z x y =+在任意点M ()x ，y 处沿从向量(1,1)e =--所指方向的方向导数.()1,1,cos 2222=2,2cos cos 22x y x y e z x z y zz z x yeαβαβ⎛=--== ⎝''=∂''=+=-∂解：将单位化为于是又所以4. 求函数22z x y =+在任意点(1)，2处沿从该点到点(2,23)方向的方向导数.{}{}()()()1,21,21,21=21,232=1321333cos cos cos 131322212322l z zz l xyαβαβ-=+∂∂∂===+∂∂∂+=⨯+⨯⨯=+解：，，其方向余弦cos 故1.研究下列函数的极值：（1）()33223z x y x y =+-+;（2）22e +2xz x y y =+（）; （3）()()2264z x x y y =--；（4）()2222()xy z x y e -+=+;（5）(),0z xy a x y a =--≠解：（1）解方程组22360360x y z x x z y y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.(2)解方程组222e (2241)02e (1)0x x xyz x y y z y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩ 得驻点为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. 22224e (21)4e (1)2e x xx x xy xyy z x y y z y z =+++=+=在点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(3) 解方程组22(62)(4)0(6)(42)0x yz x y y z x x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩ 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Z xx =－2(4y -y 2), Z xy =4(3－x )(2－y ) Z yy =－2(6x －x 2) 在点（3，2）处，A =－8，B =0，C =－18，B 2－AC =－8×18<0,且A <0，所以函数有极大值z (3,2)=36.在点（0，0）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组2222()22()222e(1)02e(1)0x y x y x x y y x y -+-+⎧--=⎪⎨--=⎪⎩得驻点P 0(0,0),及P (x 0,y 0),其中x 02+y 02=1，在点P 0处有z =0，而当（x ,y ）≠(0,0)时，恒有z >0，故函数z 在点P 0处取得极小值z =0.再讨论函数z =u e -u由d e (1)d u z u u-=-，令d 0d zu =得u =1, 当u >1时，d 0d z u <；当u <1时，d 0d z u>, 由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有2222()1()e e xy z x y -+-=+≤.故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -1 (5)解方程组(2)0(2)0x y z y a x y z x a y x =--=⎧⎨=--=⎪⎩得驻点为 12(0,0),,33a a P P ⎛⎫⎪⎝⎭z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .故z 的黑塞矩阵为 222222y a x y H a x y x ---⎡⎤=⎢⎥---⎣⎦于是 122033(),().0233aa a H P H P a a a ⎡⎤--⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3,2733a a a z ⎛⎫= ⎪⎝⎭,H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3,2733a a a z ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2设2222+2+88=0x y z xz z +-+，确定函数(),z z x y =,研究其极值. 解：由已知方程分别对x ,y 求导，解得484,281281z x z z y x z x y z x ∂--∂-==∂+-∂+- 令0,0,z z x y ∂∂==∂∂解得0,2x y z ==-, 将它们代入原方程，解得162,7x x =-=. 从而得驻点16(2,0),,07⎛⎫-⎪⎝⎭. 22222222(281)(48)4828(281)4(28),(281)4(281)8.(281)∂∂⎛⎫⎛⎫+-++--+ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭=∂+-∂+∂∂=∂∂+-∂-+-+∂∂=∂+-z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x zz x y z yy z x 在点（-2，0）处，441,,0,,1515====z A B C 20->AC B ，且0>A 因此函数有极小值z =1. 在点16,07⎛⎫⎪⎝⎭处，844,,0,,71515=-=-==-z A B C 20->AC B ，且0<A函数有极大值87z =-. 3.在平面xOy 上求一点，使它到00x y ==，及2160x y +-=三直线距离的平方之和为最小.解：设所求点为P (x ,y )，P 点到x =0的距离为|x |,到y =0的距离为|y |，到直线x +2y -16=0的距离为=距离的平方和为2221(216)5z x y x y =+++-由22(216)0542(216)05z x x y x z y x y y∂⎧=++-=⎪∂⎪⎨∂⎪=++-=∂⎪⎩得唯一驻点816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,因实际问题存在最小值，故点816,55⎛⎫⎪⎝⎭即为所求。

高等数学下册第九章习题答案详解

高等数学下复旦大学出版社王中兴第九章课后答案

高数 下 典型习题及参考答案 第8、9、10、11、12章习题及答案

高等数学(同济第七版)第九章课后答案

大学高数下册试题及答案第9章

华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)

华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)

高数下第九章的答案

高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案解析

高等数学(下)答案(9)

高数第九章解答_khdaw

高等数学第九章练习题答案

《高等数学》(下)习题参考答案

高数下第九章例题及答案

高等数学课后习题答案第九章1

高等数学课后习题答案--第九章

高等数学课后习题答案第九章2

上海财经大学《高等数学》第九章习题及解答

高等数学(本科)第九章课后习题解答

高数下典型习题及参考答案第8、9、10、11、12章习题及答案