基本不等式应用技巧之高级篇

基本不等式应用技巧之高级篇

基本不等式在不等式的证明、求最大值、最小值的有些问题上给我们带来了很大的方便，但有时很想用基本不等式，却感到力不从心。这需要一点技巧，就是要能适当的配凑，即把相关的系数做适当的配凑。比如下面的例题1。

例题1. 已知54

x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。 解：因54x <，所以450

x -<。 这可以先调整式子的符号，但1(42)

45x x --不是常数，所以必须对42x -进行拆分。 当且仅当15454x x -=-，即1x =时取等号。

故当1x =时，max 1y =

但是有些题目的配凑并不是这么显然。我们应该如何去配凑，又有何规律可循呢？请看下面的例题2.

例题2. 设,,,x y z w 是不全为零的实数，求2222

2xy yz zw x y z w +++++的最大值。 显然我们只需考虑0,0,0,0x y z w ≥≥≥≥的情形，但直接使用基本不等式是不行的，我们假设可以找到相应的正参数,αβ满足：

故依据取等号的条件得，

t ===，参数t 就是我们要求的最大值。 消去,αβ我们得到一个方程24410t t --=

此方程的最大根为我们所求的最大值

得到12

t = 从这个例子我们可以看出，这种配凑是有规律的，关键是我们建立了一个等式

==，这个等式建立的依据是等号成立的条件，目的就是为了取得最值。

我们再看一些类似的问题，请大家细心体会。

例题3. 设,,,x y z w 引入参数,αβ ,γ使其满足：

依据取等号条件，我们有

161t αβ===-- 消去参数,αβ ,γ我们得到一个方程

解得 18t =

这就是我们所求的最大值。因此，

当且仅当::1:18:36x y z =取等号。

再看看下面这个题目。

例题4. 设,,x y z 是正实数，求2221010x y z xy yz zx

++++的最小值。 解：引进参数k ，使之满足：

依据取等号的条件，有：24k t t ==⇒= 故2221010x y z xy yz zx

++++的最小值4. 例题5. 设,,x y z 是正实数且满足3x y z ++=，求223x y z ++的最小值。

解：观察题目的结构考虑到,,x y z 的对称性，引进参数,k l

由取等号的条件有：2223,,,23k l k x k y z l k l ====⇒+=

解得 k =，l =

所以，2232222()32()x y z k x y l z k l ++≥++-+2231762()108k k l +=-+=

例题6. 设,x y 是正实数且满足1x y +=，求22

18x y +的最小值。 解：考虑到1x y +=，为了使用基本不等式，我们引进参数k ：()k k x y =+

则22221818()k k x y x y x y ++=++

+22182222kx kx ky ky x y =++++++≥

由取等号的条件：22128154231kx x ky k y

x y ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⇒=⎨⎪⎪+=⎪⎩

所以

221827k x y +≥=

例题7.

若()x a x y ++对任意的正实数,x y 恒成立，求a 的最小值。

解：()x a x y +≤+对任意的正实数,x y 恒成立，

所以

a ≤ 对任意的正实数,x y 恒成立。 设

(1)(1)x y k x kx y k x +=-++≥-+

由取等号条件：11t k ==- 消去k ，可以得到：210t t --=

解得：t =

因此a

的最小值为12

+。 例题8. 若11,22

a b ≥-≥-且1a b +=

≤

分析：使用柯西不等式很简单处理了，但我们还是玩一下基本不等式。

设2222

212212a m m b m m +⎧+=⎨+⎪+=≤ 考虑到取等号的条件，有

22

2m m ≤+=例题9. 有一边长为,a b （a b ≥）的长方形纸板，在四个角各裁出一个大小相同的正方

形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使盒子的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？

分析：这是一个高考题，很古老了。可以利用函数和导数来解决。但我们也可以用基本不等式来处理它。

解：设裁去的正方形的边长为x ，则做成的无盖长方体容积为

V=()(2)x a x b x --，(0)2

b x << 引入参数 ,m n ，则

由取等号的条件得(2)2mx n a x b x =-=-

当220m n --=时，右边为常数。

故当二者同时成立时，函数有最大值。

消去参数得到：2124()0x a b x ab -++=

解之得 x =(0)2

b x <<

故 x =例题10. 求函数21(0)2y x x x x

=++>的最小值。 分析：单变量函数优选求导2211222y x x x x x x x λλ-=++

=+++数用单调性的方法。但本题也是可以使用基本不等式的。

解：引进参数λ>0，

则 2211222y x x x x x x x

λλ-=++

=+++ 由取等号的条件得：24x x

λ=，12x x λ-= 消去参数λ得，324210x x +-= 化简得，2(21)(221)0x x x -++=