目标函数最值的求法

A． 2 ．
B． 3 ．
C． 4 ．
D． 9 ．
4．(2011 广东卷 已知变量 x，y 满足约束条件 1≤x＋y≤4，－ ≤x－y≤2.若目标函数 z ． 广东卷)已知变量 ， ，－2≤ － ≤ 若目标函数 ≤ ＋ ≤ ，－ 仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的取值范围为 处取得最大值， 的取值范围为________． ＝ax＋y(其中 a＞0)仅在点 ＋ 其中 ＞ 仅在点 处取得最大值 ．
1.解析：选 B.画出可行域如图中阴影部分所示，目 解析： 画出可行域如图中阴影部分所示， 解析 画出可行域如图中阴影部分所示 z ＝－2x＋ 标函数 z＝4x＋2y 可转化为 y＝－ ＋ ， ＝ ＋ ＝－ 2 ＝－2x 作出直线 y＝－ 并平移，显然当其过点 A 时纵截 ＝－ 并平移， x＋y＝3 ＋ ＝ z 最大， 距 最大，解方程组 2 y＝1 ＝ 得 A(2,1)，∴zmax＝10. ，
讲授新课
3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 一般地， 条件下的最大值或最小值的问题， 条件下的最大值或最小值的问题，统称 线性规划问题. 为线性规划问题 4. 满足线性约束条件的解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解 叫做可行解 叫做可行解. 5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域 可行域. 6. 使目标函数取得最大值或最小值的可行 最优解. 解，它们都叫做这个问题的最优解 它们都叫做这个问题的最优解
例1 ： 的最大值和最小值,使 、 满足约束条件 求z=3x+5y的最大值和最小值 使x、y满足约束条件 的最大值和最小值
5 x + 3 y ≤ 15, y ≤ x + 1, x − 5 y ≤ 3.
Z max=17 Z min=-11
A(-2,-1)
y 5
y = x +1
B (1.5,2.5) 1 C o 3 x
若设利润为Z即求Z＝X+Y的最大值，
讲授新课
1. 上述问题中，不等式组是一组对变量 上述问题中， x、y的约束条件，这组约束条件都是 、 的约束条件 的约束条件， 关于x、 的一次不等式 的一次不等式， 关于 、y的一次不等式，所以又叫线 性约束条件. 性约束条件
讲授新课
1. 上述问题中，不等式组是一组对变量 上述问题中， x、y的约束条件，这组约束条件都是 、 的约束条件 的约束条件， 关于x、 的一次不等式 所以又叫线 的一次不等式， 关于 、y的一次不等式，所以又叫线 性约束条件. 性约束条件 线性约束条件除了用一次不等式表示 外，有时也用一次方程表示. 有时也用一次方程表示
【答案】 答案】
A
注意：z与对应直线在 y轴上截距的关系
如图)． 【解析】 由约束条件画出可行域 如图 ． 解析】 由约束条件画出可行域(如图 的坐标为(3,1)，z最大时，即平移 ＝－ 使直 最大时， ＝－ax使直 点C的坐标为 的坐标为 ， 最大时 即平移y＝－ 线在y轴上的截距最大 轴上的截距最大． 线在 轴上的截距最大．∴－a＜kCD， ＜ ＜－1， 即－a＜－ ，∴a＞1. ＜－ ＞
O
x
将上述不等式组表示成平面上的区域， （3） 将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴 影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产 影部分中的整点（坐标为整数） 安排。 安排。
y
4 3
M
o
4
8
x
• 探究问题（二）： 探究问题（ 进一步，若生产一件甲产品获利2 进一步，若生产一件甲产品获利2 万元，生产一件乙产品获利3万元， 万元，生产一件乙产品获利3万元， 采用哪种生产安排利润最大？ 采用哪种生产安排利润最大？ 若设工厂获得的利润为z，则z = 的最大值。 2x + 3y，即求z的最大值。
方法总结： 方法总结：
解答线性规划问题的步骤： 解答线性规划问题的步骤： 第一步：建立数学关系式； 第一步：建立数学关系式； 第二步：根据约束条件画出可行域； 第二步：根据约束条件画出可行域； 第三步：令目标函数z=0，作出对应的直线 第三步：令目标函数 ， 第四步：在可行域内平行移动直线； 第四步：在可行域内平行移动直线；利用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截 距最大或最小的直线从而找到最优解； 距最大或最小的直线从而找到最优解； 从而找到最优解 第五步：求出目标函数的最大值或最小值 第五步：求出目标函数的最大值或最小值.
线性约束条件.
线性规划问题
x + 2y ≤ 8 4x ≤16 4y ≤12 x ≥0 y ≥0
y
x =4
y=3
可行 域
x+2y-8=0
x
O
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数 如图，图中的阴影部分的整点（ 可行解 的点）就代表所有可能的日生产安排。 的点）就代表所有可能的日生产安排。
探究问题（三）
设工厂获得的利润为z， 设工厂获得的利润为 ，则z = 2x + 3y， ， ——求z的最大值。 求 的最大值 的最大值。
思考：1、如果将目标函数看成关于变量x,y的方程，它的 思考： 的方程， 几何意义是什么？ 几何意义是什么？ 2、z的几何意义又是什么？ 的几何意义又是什么？ 3、z的值因谁的变化而变化？你又能得到什么启 的值因谁的变化而变化？ 示
转
探究问题（一）
• （1）如何用不等式组表示问题中的限制条件？ • （2）请画出不等式组所表示的平面区域。 • （3）对照平面区域，你能说出该厂可能的日生产安排 的几何意义是什么吗？
解决问题
（1）用不等式组表示问题中的限制条件： 用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产 品分别生产x 品分别生产x、y 件，由已知条件 可得二元一次不 等式组：
x − 5y = 3
x
的最值与对应直线在y轴上的截距有关 注：1、目标函数 的最值与对应直线在 轴上的截距有关。 、目标函数z的最值与对应直线在 轴上的截距有关。 A 2、目标函数的最优解有时是唯一的，有时是不唯一的 、目标函数的最优解有时是唯一的， (-2,-1) 3x+5y=0 甚至是无穷多个。 甚至是无穷多个。 变式2.使 取得最小值的最优解有几个? 变式 使z=x-y取得最小值的最优解有几个 取得最小值的最优解有几个
O
x
x=4
M点是两条直线的交点，解方程组 点是两条直线的交点， 点是两条直线的交点
x = 4 x + 2y −8 = 0
得x=4 y=2, 此时2x+3y=14 此时2x+3y=14
所以每天生产甲产品4 所以每天生产甲产品4件，乙产品2件时， 乙产品2件时， 工厂可获得最大利润14万元 工厂可获得最大利润14万元 14
讲授新课
3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 一般地， 条件下的最大值或最小值的问题， 条件下的最大值或最小值的问题，统称 线性规划问题. 为线性规划问题
讲授新课
3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 一般地， 条件下的最大值或最小值的问题， 条件下的最大值或最小值的问题，统称 线性规划问题. 为线性规划问题 4. 满足线性约束条件的解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解 叫做可行解 叫做可行解.
2.【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，由 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示， 图可知z＝ － 经过点 经过点A时 有最小值 经过点B 有最小值， 图可知 ＝3x－4y经过点 时z有最小值，经过点 有最大值． 时z有最大值．易求 有最大值 易求A(3,5)，B(5,3)，∴z最大＝3×5 ， ， × ＝－11. －4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－ × ＝ ， × － × ＝－
最小时， ∴ -z/2最小时，z最大 最小时 最大
y = x +1
-z/2最大时，z最小 最大时， 最小 最大时 故过点C时 最大 最大， 故过点 时，z最大， 过点B时 最小 最小. 过点 时，z最小 zmax=3 zmin=-3.5
B (1.5,2.5) 1 C o 3
5 x + 3 y = 15
讲授新课
3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 一般地， 条件下的最大值或最小值的问题， 条件下的最大值或最小值的问题，统称 线性规划问题. 为线性规划问题 4. 满足线性约束条件的解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解 叫做可行解 叫做可行解. 5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域 可行域.
z＝3x－4y 的最大值和最小值分别为 ＝ － 的最大值和最小值分别为 值和最小值分别为( ) A．3，－ ，－11 B．－ ，－ ．－3，－ ． ，－ ．－ ，－11 C．11，－ ． ，－ ，－3 D．11,3 ． ）
y≤x 全国） 的最小值为（ 3（全国）设变量 x 、 y 满足约束条件 x + y ≥ 2 ，则目标函数 z = 2 x + y 的最小值为（ y ≥ 3x − 6
x −5y = 3
5 x + 3 y = 15
3x+5y=0
例2 ：
5 x + 3 y ≤ 15, 若求z=x-2y的最大值和最小值呢？ y ≤ x + 1, 的最大值和最小值呢？ 变式1.若求 的最大值和最小值呢 变式 若求 y 5 1 z x − 5 y ≤ 3. ∵z = x −2y ⇒ y = x − 2 2
【答案】 答案】
a＞1 ＞
知识小结：
• 1、熟悉本节有关概念。 • 2、简单线性规划问题的求解步骤。 • 3、需要注意的问题。
x + 2y ≤ 8 4x ≤16 4y ≤12 x ≥0 y ≥ 0 上一页
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 画出不等式组所表示的平面区域：
x + 2y ≤ 8 4x ≤16 4y ≤12 x ≥0 y ≥0
y
x =4
y=3 x+2y-8=0
各位老师，各位同学
晚上好！
四川营山双河中学
何朝东
3．3.2 简单的线性规划问题 ．
复习：
如何作二元一次不等式表示的 平面区域？二元一次不等式组呢？ 平面区域
直线定界；特殊点定域。 不等式组找公共区域。
引例 • 某工厂用 、B两种配件生产甲、乙两 某工厂用A、 两种配件生产甲 两种配件生产甲、 种产品，每生产一件甲产品使用 个 种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h， 配件耗时 ，每生产一件乙产品使用 4个B配件耗时 ，（甲乙两种产品不 个 配件耗时 ，（甲乙两种产品不 配件耗时2h，（ 可同时生产） 可同时生产）该厂每天最多可从配件 厂获得16个 配件和 配件和12个 配件 配件， 厂获得 个A配件和 个B配件，按每 计算， 天8h计算，该厂所有可能的日生产安 计算 排是什么？ 排是什么？
不等式组所表示的平面区域： 不等式组所表示的平面区域：
2 z 2 z ∵y = − x + , 表 k = − ,b = 的 线 示 直 3 3 3 3
y
所以当Z变化
时，可以得到一 组互相平行的直 线，而且当截距 z/3最大时 最大时， z/3最大时，z取 最大值。 最大值。
y=3
M
x+2y-8=0
课堂练习：
1. ＋ ≤ ， x＋y≤3， － ≥ ， (2010 年高卷天津卷 设变量 x，y 满足约束条件x－y≥－1， 年高卷天津卷)设变量 ， y≥1， ≥， ) B．10 ． D．2 ． － ＋ ≥ ， x－y＋2≥0， － ＋ ≤ ， (2010 年高考山东卷 设变量 x、y 满足约束条件x－5y＋10≤0， 年高考山东卷)设变量 、 x＋y－8≤0， ＋－≤， 则目标函数 则目标函数 z＝4x＋2y 的 ＝ ＋ 最大值为( 最大值为 AΒιβλιοθήκη Baidu12 ． C．8 ． 2．变式训练 ．
讲授新课
2. 欲求最大值或最小值的函数 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数 叫做目标函数. 目标函数
讲授新课
2. 欲求最大值或最小值的函数 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数 叫做目标函数. 目标函数 又是x、 的一次解析式 的一次解析式， 由于 z=2x+y又是 、y的一次解析式， 又是 所以又叫线性目标函数 所以又叫线性目标函数. 线性目标函数