目标函数最值的求法

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求非线性目标函数最值问题

7x 5y 23 0, 【自我矫正】不等式组 x 7y 11 0, 表示的平面区域为如图所示 4x y 10 0
△ABC的内部(包括边界),令z=x2+y2,则z即为点(x,y)到原点的距离的平方.
由
7x 5y 23 0,
x 7y 11 0,
为是求三点A,B,C到原点的距离的平方的最值.
【规避策略】
1.准确作图
在利用可行域求目标函数的最值时首先要利用约束条件作出可行域, 一定要准确,特别是边界一定要明确是否包含. 2.准确理解目标函数的几何意义在求非线性目标函数的最值时,一定要准确理解目标函数的几何意义, 利用其几何意义结合可行域准确解题.
此时z=x2+y2=(-3)2+22=13, 而在原点处,
x 0, y 0,
此时z=x2+y2=02+02=0,
x 1, 所以当时x2+y2取得最大值37, y 6 x 0, 当时x2+y2取得最小值0. y 0
答案:37 0
得A点坐标(4,1),
此时z=x2+y2=42+12=17,
7x 5y 23 0, 由 4x y 10 0,
得B点坐标(-1,-6), 此时z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37,
x 7y 11 0, 由得C点坐标(-3,2), 4x y 10 0,
求非线性目标函数最值问题
7x 5y 23 0, 2+y2的最大值为【典例】(2015·保定模拟)已知则 x x 7y 11 0, 4x y 10 0,

目标函数的几种极值求解方法

目标函数的几种极值求解方法在数学和优化领域中，目标函数是一个描述优化问题的函数，其目标是将该函数的值最小化或最大化。

目标函数的极值求解方法主要有以下几种方法：1.数值方法：数值方法是通过计算目标函数在一组特定点上的近似值来确定极值。

其中最简单的方法是取目标函数的一些特定点，并计算这些点上的函数值。

然后根据计算结果确定极值。

这些特定点通常是目标函数的极值点的近似值。

例如，可以使用微分方法来估计目标函数的极值点。

2.数学分析方法：数学分析方法是通过对目标函数进行数学分析来确定极值。

其中最常用的方法是求解目标函数的导数或二阶导数，并设置导数等于零来求解函数的极值点。

这个方法适用于一些简单的函数，例如多项式函数。

它可以精确地确定函数的极值点。

3.迭代方法：迭代方法是通过不断迭代目标函数来逼近极值。

迭代方法通常需要一个初始点，然后在每一步中更新该点，直到满足一些停止条件。

最常用的迭代方法是梯度下降法和牛顿法。

梯度下降法通过不断沿着函数的梯度方向进行迭代来逐渐接近极小值。

牛顿法将函数近似为一个二次函数，并使用二次函数的极值点来逼近原函数的极值点。

4.线性规划方法：线性规划方法是对一类特殊的目标函数进行极值求解的方法。

线性规划问题是指包含一组线性不等式或等式约束条件的目标函数的最小化或最大化问题。

线性规划方法可以通过求解线性规划问题的对偶问题来确定原问题的极值。

这个方法对于一些特殊的线性规划问题非常高效。

5.元启发式方法：元启发式方法是一种基于经验和启发式规则来确定目标函数极值的方法。

这些方法通常使用一些随机算法和优化算法，例如遗传算法、粒子群算法等。

元启发式方法通过不断目标函数的解空间来逼近极值。

总之，目标函数的极值求解方法有多种选择，可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。

不同的方法有不同的适用范围和计算复杂度，需要根据具体情况进行选择和调整。

目标函数的几种极值求解方法

目标函数的几种极值求解方法目标函数是数学模型中的一个重要部分，它描述了问题的目标或者优化方向。

在实际应用中，求解目标函数的极值是一个重要的问题。

这篇文章将介绍目标函数的几种极值求解方法。

一、解析法解析法是指通过对目标函数进行数学推导和分析，找到极值的解析表达式。

这种方法适用于目标函数是一些简单的函数形式的情况。

常见的解析法包括：1.导数法：通过计算目标函数的导数，找到导数为零的点，这些点即为目标函数的极值点。

2.二阶导数法：在导数法的基础上，继续计算二阶导数，通过二阶导数的正负性判断极值点的类型（极大值点还是极小值点）。

3.泰勒展开法：通过将目标函数在其中一点进行泰勒展开，得到一个近似的二次函数模型，在该模型上求解极值问题。

解析法的优点是求解速度快，得到的解析表达式可以直接进行数值计算。

但是，解析法只适用于特定的函数形式，对于复杂的目标函数，可能很难得到解析解。

二、迭代法迭代法是指通过不断迭代目标函数的其中一个起始点，逐步逼近极值点的方法。

迭代法的基本思想是通过不断更新目标函数的当前点，使其逐渐趋向极值点。

常见的迭代法包括：1.简单迭代法：选择一个适当的起始点，通过不断迭代目标函数，直至收敛到一些极值点。

2.牛顿法：通过利用目标函数的一阶和二阶导数信息，不断更新当前点，使其逐渐逼近极值点。

3.拟牛顿法：在牛顿法的基础上，通过近似估计目标函数的二阶导数，减少计算二阶导数的开销。

迭代法的优点是适用于一般的函数形式，可以通过不断迭代逼近任意精度的极值点。

但是，迭代法的收敛性和稳定性很大程度上依赖于初始点的选择和算法的设计，收敛速度也可能较慢。

三、启发式算法启发式算法是一类基于自然界中的一些现象、规律或者人类的智慧的算法。

它们通过模拟自然界中一些现象的过程，来求解优化问题。

启发式算法一般不保证找到全局最优解，但通常能找到较好的解。

常见的启发式算法包括：1.遗传算法：模拟自然界中生物的进化过程，通过随机选择、交叉和变异操作，不断优化种群的适应度，最终找到较优解。

线性目标函数的最值

线性目标函数的最值
在线性规划中，我们通常会遇到线性目标函数的最值问题。

线性目标函数是指由线性项组成的目标函数，其中每个变量的系数都是常数。

最值问题要求找出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。

在解决线性目标函数的最值问题时，我们可以使用多种方法。

其中一种常用的方法是图形法。

首先，我们将目标函数表示为一个以变量为自变量的直线方程。

然后，我们将所有约束条件表示为线性不等式，并将它们绘制在一个二维坐标系中。

通过观察约束条件和目标函数在图中的关系，我们可以确定目标函数取得最大值或最小值的范围。

另一种解决线性目标函数最值问题的常用方法是单纯形法。

这是一种基于可行解空间的迭代算法，通过不断迭代改善当前解的目标函数值，直到找到最优解。

单纯形法利用了线性规划解的几何特性，通过在可行解空间中移动，逐步接近最优解。

当线性目标函数的变量较多或约束条件较复杂时，我们还可以使用线性规划软件来求解最值问题。

这些软件能够自动解决包含数百个变量和约束条件的线性规划问题，并给出最优解。

线性目标函数的最值问题在实际中有着广泛的应用。

例如，在生产计划中，我们需要确定如何安排资源以最大化利润或最小化成本。

在运输领域，我们需要确定如何最优地分配货物以最小化运输成本。

在金融领域，我们需要确定如何最优地分配投资以最大化收益。

总之，线性目标函数的最值问题是线性规划中的核心问题之一。

通过图形法、单纯形法或线性规划软件，我们可以解决这类问题，并得出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。

这些方法在实际中有广泛的应用，能够帮助我们进行有效的决策和资源分配。

求函数最值的10种方法

一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法．
【例 2】已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学）设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．
【例 6】函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．
【例 3】设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值是______．（以后学）分析由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法求a＋b的最值．解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz

目标函数的最值怎么看

目标函数的最值怎么看目标函数的最值是指函数能达到的最大或最小的取值。

在数学建模和优化问题中，确定目标函数的最值非常重要，它能帮助我们找到最优解或最佳方案。

首先，确定目标函数的最值需要明确定义问题的目标和约束条件。

目标函数通常是一个数学表达式，它描述了问题的目标。

约束条件则是对问题的限制和限制条件。

在优化问题中，我们通常希望找到一个解使得目标函数最大化或最小化。

根据问题的具体定义，可以通过数学模型或问题的定义确定目标函数的具体形式。

一般来说，确定目标函数的最值存在两种常见的方法：解析法和数值法。

解析法是指通过解析方法求解目标函数的最值。

这种方法通常适用于目标函数是一个可导函数，并且问题的约束条件也是可导函数的情况。

通过求解目标函数的导数和约束函数的梯度，可以找到最值点。

最常见的解析方法包括拉格朗日乘子法、KKT条件等。

数值法是指通过数值计算方法求解目标函数的最值。

这种方法通常适用于目标函数和约束条件无法解析求解的情况。

数值方法通过迭代计算和数值优化算法，逐步逼近目标函数的最值。

最常用的数值方法包括梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。

确定目标函数的最值也需要考虑问题的特征和目标的要求。

例如，某些最优化问题可能存在多个局部最优解，但只有一个全局最优解。

在这种情况下，需要采用更为复杂的算法和策略，以尽可能接近全局最优解。

此外，一些问题可能存在多个目标函数，每个目标函数都有不同的最值。

在这种情况下，需要权衡不同的目标，并构建合适的目标函数组合，以达到问题的综合最优解。

在实际应用中，确定目标函数的最值也需要考虑计算资源的限制。

有时候，计算目标函数的最值可能需要消耗大量的计算时间和计算资源。

在这种情况下，需要采用更高效的算法或技术，以加速计算过程。

综上所述，确定目标函数的最值是解决数学建模和优化问题中的一个关键步骤。

通过合适的方法和策略，我们可以找到目标函数的最大或最小取值，从而得到问题的最优解或最佳方案。

求函数的最大值和最小值方法归纳总结

函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。

例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。

3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。

将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。

例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。

通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。

例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。

将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。

线性目标函数最优解的求解方法

线性目标函数最优解的求解方法线性规划中寻求最优解是解析几何的重点，也是难点。

现就如何利用可行域寻求最优解的常见方法作些探讨.一、平移直线法平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等.例1变量x 、y 满足下列条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,0............2432...........3692..............122y x ③y x ②y x ①y x 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 解析：作出约束条件的可行域（如图），由z=3x+2y 知223zx y +-=,于是作一系列与直线x y 23-=平行的直线，当直线223zx y +-=过图中的B 点时，2z取得最小值。

于是由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+6336922432y x y x y x ，从而知当⎩⎨⎧==63y x 时，z=3x+2y 取得最小值。

故选B 。

评析：解决线性规划中的最值问题的关键是：作出可行域，找出最优解。

二、代入检验法通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性.于是在有关选择题的线性规划中的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解。

例2，已知x 、y 满足约束条件：⎩⎨⎧≤+≤+3623242y x y x ，则Z=10x+15y 的最大值为（）A 195B 200C 210D 220解：解程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+963623242y x y x y x 从而代入Z=10x+15y 可得Z max =195,故选A 。

评析：代入检验法在涉及最优解为近似解或整格解的问题时，是一种行之有效的方法，具有其它方法不可替代的作用.三、比较斜率法平移法的缺陷在于，当可行域的顶点数较多时，不易直观地判断出哪个或哪几个顶点的坐标是最优解.这时若进一步考虑直线斜率的大小，则可以确定出最优解.例3 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过360t .甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt 、yt ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0360942004515025y x y x y x y x 且Z=600x+1000y 作出约束条件所表示的平面区域（如左图），即可行域. 作直线l ：600x+1000y=0,即直线l ：3x+5y=0.因为94534525-<-<-<-，即k EN <k MN <k l <k FN ，所以把直线l 向上方移至m 的位置，直线经过可行域上的点M ，此时Z=600x+1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+3609420045x x y x 得M 的坐标x=29360=12.3，y=291000=34.5，代入计算得Z max =291216000．答：应生产甲产品约12.3t,乙产品34.5t ，能使利润总额达到最大.评析：这是高中新教材第二册上册第七章，“简单的线性规划”一节中的例3（P62～63）,确定了直线斜率的大小，实质是确定了直线在向上平移的过程中，在经过可行域X 围内时，即可确定最优解。

线性规划求最值

线性规划求最值线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，通过建立线性模型来求解最大或最小值。

线性规划的目标是在给定的限制条件下，找到一个最优解，使得目标函数取得最大（或最小）值。

线性规划的数学模型可以表示为：目标函数：max（min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中x₁, x₂, …, xₙ为决策变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, …, a₈ₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …,bₙ为约束条件的常数。

解线性规划问题的过程可以分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数以及约束条件。

2. 线性规划的几何表示：将目标函数和约束条件用图形表示，目标函数是一个线性函数，而约束条件则是一组线性不等式。

3. 求解可行解：通过图形方法，找到目标函数与所有约束条件的交点，得到一组可行解。

4. 求解最优解：在可行解中，通过计算目标函数在每个可行解点的函数值，找到使目标函数取得最大（或最小）值的可行解，即为最优解。

5. 检验最优解的可行性：将最优解代入到原始线性规划问题中，检验是否满足所有约束条件。

如果不满足，则需要重新调整模型。

线性规划在实际应用中广泛使用，例如生产计划、资源分配、运输调度等领域。

通过线性规划，可以有效地进行决策，并找到最优解，提高效率，节约资源。

然而，线性规划也有一些局限性，如对问题的要求较高，不能解决非线性的问题等。

总之，线性规划是一种数学方法，通过建立线性模型，在给定的约束条件下求解最大或最小值，可以在各种实际问题中应用，并得到最优解。

通过线性规划，可以优化决策，提高效率，实现最大化利益。

目标函数的几种极值求解方法

目标函数的几种极值求解方法题目：()()2221122min -+-x x，取初始点()()Tx 3,11=，分别用最速下降法，牛顿法，共轭梯度法编程实现。

一维搜索法：迭代下降算法大都具有一个共同点，这确实是得到点()k x 后需要按某种规则确定一个方向()k d ，再从()k x 动身，沿方向()k d 在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到()k x 的后继点()1+k x ，重复以上做法，直至求得问题的解，那个地点所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。

一维搜索的方法专门多，归纳起来大体能够分为两类，一类是试探法：采纳这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。

另一类是函数靠近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线靠近本来的函数曲线，通过求靠近函数的极小点来估量目标函数的极小点。

本文采纳的是第一类试探法中的黄金分割法。

原理书上有详细叙述，在那个地点介绍一下实现过程：⑴ 置初始区间[11,b a ]及精度要求L>0,运算试探点1λ和1μ，运算函数值()1λf 和()1μf ，运算公式是：()1111382.0a b a -+=λ，()1111618.0a b a -+=μ。

令k=1。

⑵ 若L a b k k <-则停止运算。

否则，当()K f λ>()k f μ时,转步骤⑶;当()K f λ≤()k f μ时,转步骤⑷ 。

⑶ 置k k a λ=+1,k k b b =+1,k k μλ=+1,()1111618.0++++-+=k k k k a b a μ,运算函数值()1+k f μ,转⑸。

⑷ 置k k a a =+1,k k b μ=+1,k k μμ=+1,()1111382.0++++-+=k k k k a b a λ,运算函数值()1+k f λ,转⑸。

⑸ 置k=k+1返回步骤 ⑵。

1. 最速下降法实现原理描述：在求目标函数极小值问题时,总期望从一点动身,选择一个目标函数值下降最快的方向,以利于尽快达到极小点,正是基于如此一种愿望提出的最速下降法,同时通过一系列理论推导研究可知,负梯度方向为最速下降方向。

二次线性规划求目标函数的最值

1.（13年江苏T9）抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 . 【测量目标】导数的几何意义、直线方程以及线性规划问题.【考查方式】给定函数和切点横坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，然后得到可行域，再利用线性规划问题的一般解法求解最值范围. 【参考答案】1[2,]2-【试题解析】由于2y x '=，所以抛物线在1x =处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-.画出可行域（如图）. （步骤1）设2x y z +=，则1122y x z =-+经过点1(,0)2A ，(0,1)B -时，z 分别取最大值和最小值，此时最大值max 12z =，最小值min 2z =-，故取值范围是1[2,]2-.（步骤2）2.（13安徽T12）若非负数变量,x y 满足约束条件124x y x y --⎧⎨+⎩≥≤，则x y +的最大值为__________.【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】结合约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值．【参考答案】4【试题解析】先画出可行线，再画目标函数线过原点时的直线，向上平移，寻找满足条件的最优解，代入即可得所求.第2题图 FGQ28根据题目中的约束条件画出可行域，注意到,x y 非负,得可行域为如图所示的阴影部分（包括边界）.作直线y x =-，并向上平移，数形结合可知，当直线过点(4,0)A 时，x y +取得最大值，最大值为4.3.（13年浙江T15）设z kx y =+，其中实数x 、y 满足2240240x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，若z 的最大值为12，则实数k = .【测量目标】线性规划解最值.【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最小值. 【参考答案】2【试题解析】作出不等式组2240240x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩………表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，第3题图 FGQ43其中A （2，0），B （2，3），C （4，4）（步骤1）设z =F （x ，y ）=kx y +，将直线l ：z kx y =+进行平移，可得①当k ＜0时，直线l 的斜率-k ＞0.（步骤2）由图形可得当l 经过点B （2，3）或C （4，4）时，z 可达最大值，此时，max z =F （2，3）=2k +3或max z =F （4，4）=4k +4. （步骤3）但由于k ＜0，使得2k +3＜12且4k +4＜12，不能使z 的最大值为12，故此种情况不符合题意. （步骤4）②当k ≥0时，直线l 的斜率-k ≤0，由图形可得当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值此时max z =F （4，4）=4k +4=12，解得k =2. 符合题意，综上所述，实数k 的值为2. （步骤5）4.（13福建T6）若变量y x ,满足约束条件210x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥，则yx z +=2的最大值和最小值分别为（）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0 【测量目标】二元线性规划求目标函数最值．【考查方式】给出不等式组，作出其表示的可行域、再通过平移图象求最优解．第4题图zwh5【参考答案】B【试题解析】作出可行域，通过目标函数线的平移寻求最优解．作出可行域如图阴影部分．（步骤1）作直线20x y +=，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得(1,0),(2,0)A B ，∴min max 2,4z z ==．（步骤2）5.（13年全国卷T15）若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= GXX3第5题图 6.（13年新课标ⅠT14）设,x y 满足约束条件 13,10x x y⎧⎨--⎩剟剟，则2z x y =-的最大值为______.【测量目标】线性规划解最值.【考查方式】直接给出约束条件，利用线性规划性质求z . 【参考答案】3【试题解析】作出可行域，进一步探索最大值. 作出可行域如图阴影部分.CQ09 第6题图(步骤1)作直线20x y -=，并向右平移，当平移至直线过点B 时，2z x y =-取得最大值.而由3,0,x x y =⎧⎨-=⎩得B （3,3）.max 233 3.z ∴=⨯-=（步骤2）7．（13年山东T14）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360200x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩………所表示的区域上一动点，则直线OM 的最小值为_______【测量目标】二元线性规划求目标函数的最小值.【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最小值．【试题解析】如图所示，M 为图中阴影部分的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以OM 的最小值第7题图SFT58.（13年四川T8）若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩…………且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（）A ．48 B.30 C.24 D.16 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出变量约束条件，画图求目标函数的最优解. 【参考答案】C【试题解析】先将不等式24y x -…转化为24,x y --…画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数55x zy =+的最优解，进而求得,a b 的值. 8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩ …………8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪--⎪∴⎨⎪⎪⎩…………由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由5,z y x =-得.55x zy =+（步骤1）由图知目标函数55x zy =+，过点()8,0A 时，m i n5=508=8z y x =-⨯--，即8.b =-（步骤2）目标函数55x zy =+过点B (4，4)时，m a x 554416,z y x =-=⨯-=即16.a = 第8题图 GXX15()16824,a b ∴-=--=故选C.（步骤3）9．（13年广东T13）已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩…剟…，则z x y =+的最大值是 ________【测量目标】线性规划问题的最值求解.【考查方式】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值. 【参考答案】5【试题解析】画出平面区域如图阴影部分所示，由z x y =+，得y x z =-+，z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距，（步骤1）由图知，当直线y x z =-+经过点(1,4)B 时，目标函数取得最大值，为145z =+=.（步骤2）10.（13年湖南T13）若变量,x y 满足约束条件28,04,03x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟则x y+的最大值为______．【测量目标】线性规划知识求最值．第10题图hy4 【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值．【参考答案】6【试题解析】根据不等式组出其平面区域，令z x y =+，结合直线z x y =+的特征求解．如图，画出不等式组表示的平面区域，平行移动z x y =+经过点(4,2)A 时，z 取最大值6． 11.（13年陕西T7）若点()x,y 位于曲线y x =与2y =所围成的封闭区域,则2x y -的最小值为 ( ). A. －6 B. －2 C. 0 D. 2【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】画出封闭区域，找出最优解，简单的数形结合能力. 【参考答案】A 【试题解析】曲线2y x ,y ==所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l :2y x =向左平移时，()2x y -的值在逐渐变小，当l 通过点A (-2,2)时，min (2) 6.x y -=- 第11题图CGC 4412.（13天津T2）设变量,x y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩………则目标函数2z y x =-的最小值为（） A. 7- B.4- C. 1 D. 2 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值.【参考答案】A【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点)3,5(A 时，Z 有最小值, min 3257Z =-⨯=-.第12题图 jxq2113.（13年新课标ⅡT3）设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则z =2x -3y 的最小值是（）A.-7B.-6C.-5D.-3 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最小值.【考查方式】不等式组给出x ，y 的可行区间，目标函数求出最小值.【参考答案】B【试题解析】本题可先画出可行域，然后根据图象确定出最小值点进行解答.作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）.易知直线z=2x -3y 过点C 时，取得最小值. MF28 由3,10,x x y =⎧⎨-+=⎩得3,4,x y =⎧⎨=⎩∴min z =2⨯3-3⨯4=-6，故选B. 第13题图。

线性规划求最值的常见题型

④综上,z最大值为3；z最小值为-3.
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
��0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．
(2)�� = ��++31的最值.
从目标函数的几何意义思考
非线性目标函数
（1）�� = (�� + 3)2+(�� + 1)2的最大值和最小值
可求得��可��目��9��行标��,��域8函��中数.=的��的��点几��到��何��P2意=点义=的��可��距2��表��离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题二、求非线性目标函数的最值问题三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视台的广告时间为主要变量，公司的收益为两个电视台获得的收益总和，故可设两个电视台的广告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别

目标函数最优解问题的求解方法

解，这是一种最基本的方法，其步骤是：（１）在
作出可行域，如图１中的阴影部分所示。
平面直角坐标系内作出可行域；（２）考虑目标
函数的几何意义，将目标函数进行变形；
作出直线ｚ：８０：ｒ
。戤属
一
思研
Hale Waihona Puke ‘力法‘仅高三使用
２０１６年１２月上
ｆ
１
— ０一Ｅ，则ｍ一一１，故本题选Ａ。
所以｛＋一２．解得＜ｊＡ一一
一
。
ｌｌ一＝＝＝百
。
上矢１以＇缄１王日幽姒ｚ数ｚ一口ｚＴ＋ｏ，ｙ中
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
解析：设２一３ｙ — （ｚ－ＦＹ）－Ｆ（ｚ —
），则（＋）ｚｑ－（一）ｙ一２ｘ一３ｙ。
一
’ ＼
１ｂ）ｘ＋６Ｏｒ＝Ｏ
’
．
５
．
值：将最优解代入目标函数即可求出最大值
或最小值。
１０— ５０ ‘ ５ｌＯ
．
一
２０
例，某研究所计划利用 “ 神十一，，字
宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品Ａ、Ｂ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具

求函数最值的方法总结

求函数最值的方法总结一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。

简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。

下面就是小编整理的求函数最值的方法总结，一起来看一下吧。

函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的主要内容。

函数最值问题的概念性、综合性和灵活性较强，考题的知识涉及面较广，对于学生的分析和逻辑推理能力要求较高。

通过对函数最值问题的相关研究，结合自身的感触和学习的心得，总结归纳出了求解函数最值的几种常用的方法，并讨论了学习函数最值求解中应该注意的问题，这将有利于提高学生的数学建模能力和解题能力。

文章主要通过举例说明的方式来阐述求解函数最值的几种常用解法，希望对培养学生数学学习能力，提高学生的解题能力有所帮助。

函数f（x）在区间I上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。

求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。

同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。

最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。

（1）代数法。

代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。

求线性规划问题中目标函数最值专题

来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示。 • 目标函数通常具有相应的几何意义，如截距、斜率、距离等.
．
• 3. 线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定.
利用线性规划求最值（名师，考点二）
x＋2y≥2，例 1 设变量 x，y 满足约束条件2x＋y≤4，
• 2项必须防范
• 1. 画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先使二元不等式标准化．
• 2. 注意不等式中不等号有无等号，含等号时，直线画为实线；不含等号时，画为虚线．
• 3点必知关键 • 1. 线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面
区域是解题的基础． • 2. 目标函数的意义，有的可以用直线在y轴上的截距
离最小.又即ຫໍສະໝຸດ OM 13, ON 9 ,
2
∴z的9最大x值2 为y12 3,最13小,值9为 x2 y2 13.
2
2
9
.
2
(3)由图可得,原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大,与点B
的连线的斜率值最小,
又
k OA
2, kOB
1 , 1 22
y 2. x
∴z的最大值为2,最小值为 1 .
(1)形如 z＝ax＋by 的截距型； (2)形如 z＝yx－－ab的斜率型； (3)形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 的距离型．
x≥0
[变式探究] 设变量 x，y 满足约束条件y≥0
，
4x＋3y≤12
则 z＝yx＋＋11的取值范围是(
)
A．[0,4]
B．[14，5]
C．[54，6]
• 答案：B
x y 3 0

待定系数法求函数最值

待定系数法求函数最值待定系数法是一种数学优化算法，它被广泛用于求解函数最值问题。

当给定一些限制条件，并且无法在原始函数上直接进行求解时，可以考虑通过待定系数法来解决，从而求出函数的最大值或最小值。

本文将介绍待定系数法的基本原理，以及应用的具体步骤。

一、待定系数法概述待定系数法是一种数学优化算法，它最早被数学家G.F.Von Neumann在1947年提出。

它的基本原理是：在满足相关约束条件的前提下，找到一组待定系数（lambda），使得该组待定系数确定的函数有最大值/最小值。

二、待定系数法的原理待定系数法是一种在满足相关约束条件的情况下求解函数最值的数学优化算法。

它将函数最值求解问题转化为一个模型优化问题。

具体而言，它首先构建一个模型函数，该模型函数由两部分组成，一部分是约束条件，另一部分是原始函数，而原始函数部分的求解则依赖于一组待定系数（lambda）的取值。

待定系数法的基本原理如下：1、将目标函数固定为最优化函数，并确定约束条件；2、使用一组合适的待定系数，解决约束优化问题，求解最优结果；3、计算结果，比较最优结果和期望结果；4、如果结果满足期望，则求解成功，反之，重新选取待定系数，再次求解。

三、应用步骤1、设定目标函数，明确求解方式（最大值/最小值）；2、确定相应的约束条件，分析目标函数的可行域；3、设置适当的待定系数，使原始目标函数转换为可行域中最优化函数；4、求解最优化函数，求出最优解；5、比较最优解和期望结果；6、检查结果，并以此修改待定系数，直至求解成功。

四、实例下面通过一个实例来说明待定系数法的应用步骤。

实例：求min(3x+2y)，约束条件为x+y=4解：1、设定目标函数：min(3x+2y)，求解方式：求最小值2、确定相应的约束条件：x+y=43、设置适当的待定系数：令模型函数为：f(x,y,λ) = 3x+2y +(x+y-4)其中λ为待定系数，λ(x+y-4)为约束条件4、求解最优化函数f(x,y,λ) = 3x+2y +(x+y-4)对f(x,y,λ)求偏导数：f/x=3+λf/y=2+λf/λ=x+y-4=0结合上面三式，可以得：3+λ=2+λ即λ=1代入约束条件，可以得出x+y=4，得x=3，y=15、比较最优解和期望结果最优解：x=3，y=1，此时f(x,y,λ)=3+2+1(3+1-4)=-2，即最小值为-26、检查结果，求解成功本文中介绍的是待定系数法的基本原理和应用步骤，以及一个实例，通过研究可以发现，这种方法非常有效，可以用来求解函数最值问题，而且应用起来也非常容易和快捷。

函数最值的求解方法及应用

函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。

函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。

本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。

一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。

对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。

-首先，求出f(x)的导数f'(x)。

-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。

-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。

2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。

- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。

-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。

-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。

3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。

它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。

-首先，选择任意一个起始点x_0。

-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。

-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。

二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。

例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。

供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。

2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。

例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。

3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。

似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。