四边形知识点经典总结433

9．如下图，已知 P 正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点(不与 A、C 重合)，PE⊥BC 于点 E，PF⊥CD 于点 F．
（1）求证：BP=DP； （2）若四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有 BP=DP？若是，请给予证明； 若不 是，请用反例加以说明； （3）试选取正方形 ABCD 的两个顶点，分别与四边形 PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四 边 形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论． 思路分析：（1）解法一：在△ABP 与△ADP 中，利用全等可得 BP=DP． 解法二：利用正方形的轴对称性，可得 BP=DP． （2）不是总成立．当四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转，点 P 旋转到 BC 边上时， DP>DC>BP，此时 BP=DP 不成立． 说明：未用举反例的方法说理的不得分． （3）连接 BE、DF，则 BE 与 DF 始终相等． 在图中，可证四边形 PECF 为正方形， 在△BEC 与△DFC 中，可证△BEC≌△DFC． 从而有 BE=DF
处，折痕为 EF。
证明：（1）由折叠可知：
，
，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ ∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD ∴ ∠B=∠D′，AB=AD′ ∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3 ∴ ∠1=∠3 ∴ △ABE≌△AD′F （2）四边形 AECF 是菱形。 由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
7
∴ AD∥BC ∴ ∠5=∠6 ∴ ∠4=∠6 ∴ AF=AE ∵ AE=EC ∴ AF=EC 又∵ AF∥EC ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 ∵ AF=AE ∴ 四边形 AECF 是菱形。
5
（2）∵ 四边形 AEOD 的面积为
∴ 三角形 ADO 的面积= ∵ AD=2
∴ ∴ ∠DAO=30° ∴ ∠EAB=30°即旋转的角度是 30°
例 5 图
例6图
6．四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG。 （1）求证：AE=CG； （2）观察图形，猜想 AE 与 CG 之间的位置关系，并证明你的猜想。
∵ 四边形 ABCD，AEFG 都是正方形
∴ ∠B=∠G=90°
由题意知 AG=AB，又 AH=AH
∴ Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）
∴ HG=HB
证法 2：连结 GB
∵ 四边形 ABCD，AEFG 都是正方形
3
（2）∵ △ADF≌△CBE
∴ △ADF≌△CBE（SAS）
∴ ∠DFA=∠BEC
∴ DF∥EB
例 1 图
例2图
2．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 是直线 AC 上的两点，并且 AE=CF， 求证：四边形 BFDE 是平行四边形。 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ OA=OC，OB=OD 又∵ AE=CF ∴ OA+AE=OC+CF 即 OE=OF ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形
形叫做正方 对称图形又是轴对称图形。
① 长)；
②
(a 为边 (b 为
形 三．精典例题解答：
对角线长)
1．已知：如图，E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AE=CF。 求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF。 证明：（1）∵ AE=CF ∴ AE+EF=CF+FE 即 AF=CE 又 ABCD 是平行四边形， ∴ AD=CB，AD∥BC ∴ ∠DAF=∠BCE 在△ADF 与△CBE 中
菱 菱形。
中心对称图形又是轴对称图形。
形
的高)；
②
(b、
c 为两条对角线的 长)
有一组邻边 具有平行四边形、矩形、菱形的性 ①有一组邻边相等的矩形是
相等且有一 质：①四个角是直角，四条边相等； 正方形；②有一个角是直角 正
个角是直角 ②对角线相等，互相垂直平分，每一 的菱形是正方形；③定义。 方
的平行四边 条对角线平分一组对角；③既是中心 形
3．如图，在梯形纸片 ABCD 中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 上的点 C’处，折痕 DE 交 BC 于点 E，连结 。
求证：四边形
是菱形。
证明：根据题意可知
则
，
，
∵ AD∥BC
∴
∴ ∠CDE=∠CED
∴ CD=CE ∴
形 四边形叫做 ③既是中心对称图形又是轴对称图 行四边形是矩形；③定义。 长)
矩形
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形。
有一组邻边 除具有平行四边形的性质外，还有① ①四条边相等的四边形是菱 ①S=ah(a 为一边
相等的平行 四边形相等；②对角线互相垂直，且 形；②对角线垂直的平行四 长，h 为这条边上
四边形叫做 每一条对角线平分一组对角；③既是 边形是菱形；③定义。
一、 关系结构图：
四边形知识点：
二、知识点讲解：
1．平行四边形的性质（重点）： （ 1）两组对边分别平行；
ABCD 是平行四边形 （（ 32））两两组组对对角边分分别别相相等等；； （ 4）对角线互相平分； （ 5）邻角互补 .
2.平行四边形的判定（难点）：
D O
A
C B
1
D
C
6
∴ ∠MAE=∠CAE
∴
又∵ AD⊥BC，CE⊥AN ∴ ∠ADC=∠CEA=90° ∴ 四边形 ADCE 为矩形
（2）当
时（答案不唯一），四边形 ADCE 是正方形。
证明：∵ AB=AC，AD⊥BC 于 D
点为
7．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分 线，CE⊥AN，垂足为点 E， （1）求证：四边形 ADCE 为矩形； （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明。 证明：（1）在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC ∴ ∠BAD=∠DAC ∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线
（1）平行四边形 一组邻边等
（2）四个边都相等

四边形四边形
ABCD
是菱形.
（3）对角线垂直的平行四边形

D
A
OC
7.正方形的性质： D （ 1）具有平行四边形的所有通性； ABCD 是正方形 （ 2）四个边都相等，四个角都是直角； （ 3）对角线相等垂直且平分对角 . A
∴ ∠ABC=∠AGF=90°
由题意知 AB=AG
∴ ∠AGB=∠ABG
∴ ∠ABC-∠ABG =∠AGF-∠AGB 即∠HBG=∠HGB
∴ HG=HB
5．如图，正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 n°后得到正方形 AEFG，边 EF 与 CD 交于点 O。 （1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段 相 交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；
O
A
B
.
3. 矩形的性质：
（ 1）具有平行四边形的所有通性; 因为 ABCD 是矩形 （ 2）四个角都是直角;
（ 3）对角线相等.
D
C
D
C
O
A
B
A
B
(4)是轴对称图形，它有两条对称轴．
4 矩形的判定：
矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；
(2)有三个角是直角的四边形；
10．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图 案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又 是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案． 提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一 种．
（2）若正方形的边长为 2cm，重叠部分（四边形 AEOD）的面积为
，求旋转的角度 n。
解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是____AO____和____DE____。 理由如下： ∵ 在 Rt△ADO 与 Rt△AEO 中，AD=AE，AO=AO， ∴ Rt△ADO≌Rt△AEO ∴ ∠DAO=∠OAE（即 AO 平分∠DAE） ∴ AO⊥DE（等腰三角形的三线合一） 注：其它的结论也成立如 GD⊥BE。
∴
又
∴ DC=AD 由（1）四边形 ADCE 为矩形 ∴ 矩形 ADCE 是正方形
例8图
8．将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落到 （1）求证：△ABE≌△AD′F； （2）连接 CF，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论。
四
⑤对角线互相平分；
边
⑥是中心对称图形
形
①定义；
S=ah(a 为一边
②两组对边分别相等的四边 长，h 为这条边上
形；
的高)
③一组对边平行且相等的四
边形；
④两组对角分别相等的四边
形；
⑤对角线互相平分的四边
形。
有一个角是 除具有平行四边形的性质外，还有： ①有三个角是直角的四边形 S=ab(a 为一边
矩 直角的平行 ①四个角都是直角；②对角线相等； 是矩形；②对角线相等的平 长，b 为另一边
B
C
D
C
O
B
A
B
8. 正方形的判定：
（1）平行四边形 一组邻边等 一个直角
（2）菱形 一个直角

四边形
ABCD
是正方形.
（3）矩形 一组邻边等

2
名 定义
称
性质
判定
面积
两组对边分 ① 对边平行；
别平行的四 ②对边相等；
平 边形叫做平 ③对角相等；
行 行四边形。 ④邻角互补；
证明：（1）如图， ∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90° 又 ∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE ∴ △ADE≌△CDG ∴ AE=CG （2）猜想：AE⊥CG。 证明：如图，设 AE 与 CG 交点为 M，AD 与 CG 交 N ∵ △ADE≌△CDG ∴ ∠DAE=∠DCG 又∵ ∠ANM=∠CND ∴ △AMN∽△CDN ∴ ∠AMN=∠ADC=90° ∴ AE⊥CG
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)对角线相等且互相平分的四边形． 四边形 ABCD 是矩形.
5. 菱形的性质：
D
（ 1）具有平行四边形的所有通性； 因为 ABCD 是菱形 （ 2）四个边都相等；
（ 3）对角线垂直且平分对角.
A
OC
B
6. 菱形的判定：
∴ 四边形
为菱形
4
例 3 图
4．把正方形 ABCD 绕着点 A，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG，边 FG 与 BC 交于点 H（如
图）。试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。
解：HG=HB。
证法 1：连结 AH，