振动和波课后习题答案

振荡频率。
解：∵ 1 q2 + 1 Li2 = C 2c 2
1 q2 + 1 L( dq )2 = C 2 c 2 dt
∴
q c
dq dt
+
L
dq dt
d 2q dt 2
=
0
d 2q dt 2
+
1 LC
q
=
0
ω= 1 LC
ν= 1 2π LC
6.12
假定有两个质量均为 m 的离子，它们之间的势能为： E p
2
2
（4） < Ek
>=< E p
>=
E 2
=
1 KA2 4
=
1 mω 2A2 4
=
4 ×10−6π 2 (J )
（5） t = 0.1s 时，ϕ = 8π + π = 25 π ； 33
t = 10s 时，ϕ = 80π + π = 241π 。 33
6.14 在阻尼振动中，量τ = 1 叫做弛豫时间。（1）证明 τ 的量纲是时间；（2）经过时间 τ δ
=
A0e−2ln 2
=
A0 4
t =2τ ln 2
−t
A = A0e τ
=
A0e−3ln 2
=
A0 8
解：（1）设弹簧原长 l0，系统平衡时，弹簧伸长 x0，平衡时 m 所在点为坐标原点，
有 mg = kx0
运动中，由转动定理有：
[T − k(x + x0 )]R = Iβ
对于 m，有 mg − T = mx
又因 x = Rβ
联立以上各式，可得：
−
kx
=
(m
+
I R2
)x
即 x+ k x=0
m
+
I R2
解：已知 M = −kθ ，
C
由转动方程 M = Iθ ，可得：
M = −kθ = Iθ ，
θ + kθ = 0， I
对比（6.2）式可知： ω 2 = k ， I
O 题 6.1 图
所以 T = 2π = 2π I
ω
K
6.2 一质量为 m 的细杆状一米长的直尺，如果以其一端点为轴悬挂起来，轴处摩擦不计， 求其振动周期。
k(m + m′)
m + m′ 2
6.9 如题 6.9 图所示振动系统，振子是一个作纯滚动的圆柱体，已知圆柱体的质量为 m， 半径为 R，弹簧的倔强系数为 k，并且弹簧是系于圆柱体的中心旋转对称轴上。试求 这一振动系统的频率。
解：设弹簧原长处为平衡点，又因弹簧质量不计，对圆柱体在运动中的受力进行分析有：
⎢ ⎣
f
⎥ ⎦
=
kg.m.s −1 kg.m.s −2
=
s
（2） A =
A0e−δt
t =τ
=
−t
A0e τ
= A0e−1 = 0.368A0
t =τ
E
=
1 kA2 2
=
1 2
kA02
1 e2
=
E0 e2
（3） A =
A0 e −δt
t
== A0eτ
=
1 2
A0
t
=
ln2 δ
=
τln2
−t
（4） A = A0e τ
与（5.2）式对比可得：
ω2 = k μ
A = l′-l 此系统作振幅为 A，圆频率为 ω 的简振动。
6.7 有一鸟类学家，他在野外观察到一种少见的大鸟落在一棵大树的细枝上，他想测得 这只鸟的质量，但不能捉住来称量，于是灵机一动，测得这鸟在树枝上在 4 秒内来回 摆动了 6 次，等鸟飞走以后，他又用一千克的砝码系在大鸟原来落的位置上，测出树 枝弯下了 12 厘米，于是他很快算出了这只鸟的质量。你认为这位鸟类学家是怎样算 的？你想到了这种方法吗？这只鸟的质量是多少？
解：已知 m = 1.0 ×10−3 kg ， A = 2.0 ×10−4 m 。
令 x = Acos(ωt + ϕ)
则 x = − Aω 2 cos(ωt + ϕ)
由已知条件可得 xmax = Aω 2 = 8.0 ×103 m ⋅ s−1 （1）ω 2 = xmax = 4.0 ×107
A ν = ω = 1.0 ×103 Hz
− kxc − f = mxc
（1）
fR = (1 mR2 )θ = 1 mR2 xc
2
2R
（2）
由（2）式可得
f
=
1 2 mxc
代入（1）式得：
−
kxc
−
1 2
mxc
=
mxc
推出
3 2
mxc
+
kxc
=
0
k
m
题 6.9 图
ω = 2k 3m
6.10 如题 6.10 图所示，弹簧的倔强系数为 k，定滑轮的质量为 m’，半径为 R，转动惯量为 I，物体的质量为 m。轴处摩擦不计，弹簧和绳的质量也不计，绳与滑轮间无相对滑 动。（1）试求这一振动系统的振动频率，（2）如果在弹簧处于原长时由静止释放物体 m，m 向下具有最大速度时开始计时，并令 m 向下运动为 x 的正坐标，试写出 m 的振 动表达式。
=a r5
− b ，（1）试用 a 和 b r
表示其平衡位置；（2）试证明其振动圆频率为 ω = 8b ( b )3/ 4 m 5a
解：（1）保守力平衡点 f=0
f
=
−
5a r6
+
b r2
=0
r0
=
(5a )1/ 4 b
（2）作微振动 f 可写成
f
= − dE p dr
= − 5a r6
+
b r2
（4） F = −kx = −mω 2 x = −4.0 ×104 x(N )
F = −mω2 Acos(ωt + ϕ) = −8.0 cos(6.3×103t + ϕ)
6.5 如题 6.5 图所示，一重力作用下的弹簧振子，振子静止时弹簧伸长 l=10 厘米；将振子 向下拉一段距离 d=2.0 厘米，并在位移方向给它一个向下的初始速度 v0=10 厘米/秒，任 其运动，不计空气阻力，试求：（1）振动频率；（2）振幅 A；（3）初相位 ϕ；（4）振动 表达式。(g 取 10 米/秒 2)
ω
mgh
6.3 有一立方形的木块浮于静水之中，静止时浸入水中的部分高度为 a 。若用力稍稍压下，
使其浸入水中部分的高度为 b，如题 5.3 图所示，然后松手，任其作自由振动。试证明， 如果不计水的粘滞阻力，木块将作简谐振动，并求其振动的周期和振幅。
解：设 s 为木块底面积， 浮力与重力相等处于平衡状态时有：
ρgas = mg 所以 m = ρas
当木块偏离平衡位置 x 后，有：
b
a
题 6.3 图
mg − ρg(a + x)s = mx
ρgxs + mx = 0
∴ω 2 = ρgs = g ma
T
=
2π ω
= 2π
a g
6.4 一质量为 1.0×10-3 千克的质点，作简谐振动，其振幅为 2.0×10-4 米，质点在离平衡位 置最远处的加速度为 8.0×103 米/秒。（1）试计算质点的振动频率；（2）质点通过平衡 位置时的速度；（3）质点位移为 1.2×10-4 米时的速度；（4）写出作用在这质点上的力 作为位置的函数和作为时间的函数。
f
= −k(r − r0 ) = μr(μ
=
m1m2 m1 + m2
=
m) 2
将 f 作一级近似：
f (r) =
Leabharlann Baidu
f (r0 ) +
f
' (r0 1!
)
(r
−
r0
)
=
0
+
(
30a r07
−
2b r03
)(r
−
r0
)
∴k
=
30a r07
−
2b r03
ω = k = 8b ( b )3/4 μ m 5a
6.13 质量 m=1.0×10-2 千克的小球与轻质弹簧组成的振动系统按 x = 5×10−3 cos(8πt + π ) 3
解：复摆（物理摆）小角度振动时方程为：
− mgh sinθ ≈ −mghθ = Iθ
∴θ + mgh θ = 0 I
对比（5.2）式，可知 ω 2 = mgh I
因为以一端为轴的直尺的转动惯量为 I = 1 ml 2 ， 3
h= l 2
h θ
mg
题 6.2 图
所以 T = 2π = 2π I = 1.64s
k
+
I R2
1
⎟⎞ 2 ⎟t ⎟⎟⎠
−
π 2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
6.11 在 LC 电路中，电容极板上的电量若为 q，电容器将储能 1 q 2 ，流经电感中的电流若 2C
为 i，电感中将储存磁能 1 Li 2 ， i = dq 且 1 q 2 + 1 Li 2 =恒量，试求 LC 电路的固有
2
dt 2 C 2
解：碰撞时动量守恒,碰后机械能守恒可列方程：
mv0 = (m + m′)v
所以 v = mv0 ，代入下式 m + m′
1 kA2 = 1 (m + m′)v2
2
2
k m’ m
v0
0
x
题 6.8 图
所以 A = mv0 k(m + m′)
ω= k m + m′
取向右为正方向，ϕ = π 2
x = Acos(ωt + ϕ) = mv0 cos( k t + π )
6.1 如题 6.1 图所示，用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来，悬线 OC 通过圆盘质心，圆盘 呈水平状态，这个装置称为扭摆，当使圆盘转过一个角度时，金属线受到扭转，从而产 生一个扭转的回复力矩。若扭转角度很小，圆盘对 OC 轴的转动惯量为 I，扭转力矩可
表示为 M = −kθ ，求扭摆的振动周期。
A = 5 ×10−3 (m)
ω = 8π
T = 2π = 1 (s) ω4
ϕ=π 3
（2）
.
x
=
−4π
×10−2 sin(8πt
+
π
)
(m ⋅ s−1)
3
..
x
=
−32π 2
×10−2 cos(8πt
+
π)
(m ⋅ s−2 )
3
（3） E = 1 KA2 = 1 mω 2 A2 = 8×10−6π 2 (J )
的规律振动，式中各量均为 SI 单位。求（1）振动的圆频率、周期、振幅和初始相位； （2）振动的速度和加速度（函数式）；（3）振动的总能量 E；（4）振动的平均动能和 平均势能；（5）t=1.0 秒、10 秒等时刻的相位。 解：
（1）∵ x = 5×10−3cos(8πt + π ) 与振动表达式 x = Acos(ωt + ϕ) 比较便直接可得： 3
k
m
题 6.5 图
6.6 一不计质量，自然长度为 l 的弹簧，两端分别系上质量为 m1 和 m2 的质点，放在光滑 的水平桌面上，开始时两手持 m1 和 m2 把弹簧拉长至 l’，停止不动，然后两手同时放 开，试问这系统将如何运动？
解：无外力，整个过程质心不动。取质心为原点建立坐标系。 t 时刻 m1 和 m2 位置分别为-x1 和 x2，m1 和 m2 的距离设为 x，故有：
解：（1）振动频率 ν = ω = 1 g = 1.6(Hz) 2π 2π l
（2）振幅
A=
x02
+ (v0 )2 ω
=
0.02(m)
（3）初相位 ϕ = cos−1 x0 = cos−1 0.9 = ±0.46(rad ) A
(v0>0 取正号，v0<0 取负号)
（4）振动表达式. X = 0.02 cos(10t − 0.46)(m)
∵ m1 x1 = m2 x2
x
=
m1 + m2 m2
x1
Δx1 + Δx2 = Δx
mm1
k
m2
1
题 5.6 图
最大位移: Δx1 + Δx2 = Δxmax = l '− l
m1Δx1 = m2Δx2
Δ x1
=
m2 m1 + m2
(l '
−
l)
Δx2
=
m1 m1 + m2
(l '
− l)
∴ - k(x- l) = m1m2 x = μx m1 + m2
后，这振子的振幅变为多少？能量的最大值变为多少？（3）把振幅减小到其初值的一 半所需的时间（用 τ 表示)；（4）当经过的时间等于上述（3）中求出值的 2 倍、3 倍···时， 求振幅的值。
解:
（1）∵[τ ] =
⎡1⎤ ⎢⎣δ ⎥⎦
=
⎡ 2m ⎤ ⎢⎣ γ ⎥⎦
=
⎡ ⎢ ⎣
2m ⎤
f
/
v
⎥ ⎦
=
⎡ 2mv ⎤
2π （2） x = − Aω sin(ωt + ϕ)
过平衡点时，速度为最大值：
x = Aω = 1.3m / s （3） x = Acos(ωt + ϕ) = 1.2 ×10−4 (m)
∴ cos(ωt + ϕ) = x = 3 A5
x = − Asin(ωt + ϕ) = − Aω(± 1 − cos2 (ωt + ϕ)) = ±1.0(m ⋅ s−1)
设 ω2 = k
(m
+
I R2
)
I x0
T l0
mg x
题 6.10 图
则ν=ω = 1
k
2π
2π
m
+
I R2
（2）以弹簧原长时释放 m，
x0
=
−
mg k
所以， A = mg k
又 x0 = − A ， v0 = 0 ， 则 ϕ =−π
2
∴振动表达式为
x
=
mg k
cos⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎜⎜⎝⎛
m
解：可以认为树技与鸟组成一个谐振子。 利用砝码测得树枝的弹性系数为：
k = m′g = 81.67(kg / m) l
因为，鸟在树枝上在 4 秒内来回摆动了 6 次，
所以，T = 2 (s) 3
又因为ω = k = 2π mT
可得： m =
kT 2 4π 2
= 0.92(kg)
6.8 如题 6.8 图所示，有一弹簧振子，弹簧的倔强系数为 k，振子的质量为 m’，开始时处 于静止平衡状态，有一发质量为 m 的子弹以速度 v0 沿弹簧方向飞来，击中振子并埋 在其中，试以击中为计时零点，写出此系统的振动表达式。