第九章 直 平面 简单几何体

第九章 直线 平面 简单几何体9.1三视图与空间坐标系1．（16北京 文11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为__________．21侧（左）视图正（主）视图11【审题要津】由题设三视图，易知该几何体是以等腰梯形为底面的直四棱柱．以下只需根据图示数据，即可求解．解：依审题要津，所求为()1213122V +⨯=⨯=，故填32．【解法研究】依照三视图正确还原几何体是顺利求解的关键．（王墨森）2．（16浙江 文9理11）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是_______2cm ，体积是_______3cm【审题要津】由题设三视图可知，该几何体是如图所示的两个长方体的组合．据此即可根据题设数据求解．俯视图侧视图正视图222222244221121解：由每个长方体的表面积为()()22242440⨯⨯+⨯⨯=()2cm ，则知两个长方体的表面积为80()2cm ，注意到重合部分面积为()2228⨯⨯=()2cm ，故该几何体的表面积为80872-=()2cm ，而该几何体的体积则为()222432⨯⨯⨯=()3cm ，故填72，32．【解法研究】如由图示中阴影部分的面积为4()2cm ，而得所求面积为80476-=()2cm ，实属粗枝大叶．（王墨森）3．（16山东 文5理5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）．A ．1233+πB ．1233+πC ．1236+πD ．216+π 【审题要津】结合主，左视图，进而关注俯视图中的实线和虚线，易知该几何体为半球与四棱锥的组合体，且作直径为边长为1的正方形对角线．据此即可根据题设给出的数据求解．解：依审题要津，3214212111232363V ⎛⎫=⨯π⨯+⨯⨯=π+ ⎪ ⎪⎝⎭．选C ． 【解法研究】对于由不同几何体组合而成的几何体，关注其数量关系的同时，更要关心其位置关系．（李青峰）4．（16天津 文3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）．A ．B ．C ．D ．【审题要津】由题设长方体的正视图及俯视图，易知还原后的几何体为如解图所示的正四棱柱．注意到截割线的布局，问题易解． 解：继审题要津，选B ．【解法研究】调准角度，缕清实线与虚线的不同意味，是顺利求解的关键．（王成维）5．（16新课标Ⅰ 文7理6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆俯视图111俯视图正视图及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ）． A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【审题要津】由题设三视图可知，该几何体是缺失了18的球体，其表面积是由78的球面及34个球大圆组成的．据此即可求解．解：继审题要津，设该几何体的体积和表面积分别是V S ，，则由374833V R 28π=⨯π=，可得2R =，进而可得2273484S R R =⨯π+⨯π=17π，故选A ． 【解法研究】可借助右图的直观图理解审题要津的分析．（邵德彪）6．（16北京 理6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）．A ．16 B ．13C ．12D ．1【审题要津】针对所求，首先应关注该三棱锥的高．由“主，左同高”，易知1h =，进而结合三视图， 可知三棱锥的底面为两直角边均为1的等腰直角三 角形，据此即可求解．解：依审题要津，该三棱锥的体积为11111326V =⨯⨯⨯=，故选A ． 【解法研究】针对所求，在得知三棱锥的高1h =的基础上，对其底面的研究则是关键．本题标注字母，尤其是在题图中标注重叠字母的方法，既是“空间想象力”的“产品”，又是支持“空间想象力”的资源．借此沟通和整理三视图之间的“默契”，体现的也是数学思维的整体思想．据此还原出如解图所示的三棱锥的本来面目则不在话下．（王墨森）7．（16新课标Ⅲ 文10理9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则 该多面体的表面积为（ ）．A ．18365+B ．54185+C ．90D ．81【审题要津】由三视图中标注的字母，可知该多1C　A　AC ) )侧（左）视图正（主）视图1111D DB　AC面体是一个如图所示的斜四棱柱1111ABCD A B C D -， 其底面ABCD 是边长为3的正方形，且1A B ⊥平面ABCD ，16A B =．解：依审题要津，上下底面的面积均为339⨯=，前 后两个面的面积均为3618⨯=，由1A B ⊥平面ABCD 知1A B BC ⊥，又BC AB ⊥知BC ⊥平面11ABB A ，于是1BC BB ⊥，故四边形11BCC B 是矩形，又2213635AA =+=，所以左右两个面的面积均为95，由此可见，该四棱柱的表面积为54185+，故选B ．【解法研究】解题的关键是由三视图分析出直观图，若以11ABB A ，11CDD C 为上，下底面，则此几何体为直四棱柱．（洪汪宝）8．（15安徽 文9理7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）．A ．13+B ．122+C ．23+D ．22【审题要津】依题设，已知三视图还原成的四面体为如图所示的三棱锥S ABC -．在这里，平面SAC ⊥平面ABC ，点O 为AC 的中点．注意到其中相关线段上的数据标注，问题易解．解：继审题要津，显然有22112SB AB BC ===+=，所以SAB △与SBC△均为边长为2的等边三角形．与此同时，可知SAC BAC △≌△．综上可得，该四面体的表面积为()2312221232S ⎡⎤=⋅+⨯⨯=+⎢⎥⎣⎦，故选C ． 【解法研究】注意到平面SAC ⊥平面ABC 是顺利求解的关键．（刘绍峰）9．（15新课标Ⅰ 文11理11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为162+π，则r =（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．8【审题要津】由题设几何体的正视图和俯视图，易知该几何体是由半个圆柱和半个球体组合而成的几何体．其直观图如图所示．据此即可根据相关数据确定r 值． 解：继审题要津，该几何体的表面积S 是由：①以r 为半径的半球面；r2rr2r1112121221正（主）视图侧（左）视图俯视图111122SO　AC②以r 为半径的圆；③边长为2r 的正方形；④底面圆半径为r ，高为2r 的半圆柱的侧面展开图，四部分组成的，从而有()222221422542S r r r r r r r =⋅π+π++π⋅=π+ 于是由22542016r r π+=π+，解得4r =，故选C ．【解法研究】依题设画出该几何体的直观图是难点，也是顺利求解的关键．（刘绍峰）10．（15北京 理5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）．A ．25+B ．45+C ．225+D ．5【审题要津】根据主、左同高；主、俯同宽的原则，又及题设三视图中标注的数据，易知还原后的几何体是如图所示的三棱锥S ABC -．其中ABC △及SAB △均为等腰三角形．设点D 为AB 的中点，联结SD CD ，，易知AB SD ⊥，AB CD ⊥．据此即可根据几何体中标注的相关数据求其表面积．解：继审题要津，在Rt SCD △中，2222125SD SC CD =+=+=． 在Rt SDB △中，()2222516SB SD BD =+=+=．在Rt SBC △中，()222615BC SB SC =-=-=．综上可知，三棱锥S ABC -的表面积 2SBC ABC SAB S S S S =++=△△△()()11525222522SC BC CD AB SD AB ⋅+⋅+⋅=++⨯=+，故选C ． 【解法研究】关注三棱锥S ABC -的对称性，是从简求解的关键．（侯守一）11．（15福建 文9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）．A ．822+B ．1122+C ．1422+D ．15【审题要津】由题设三视图及其中标注的数据，易知该几何体是一个如图所示的上、下底面为直角梯形的直四棱柱，其各棱之长如图标注．21正（主）视图侧（左）视图俯视图SD　A 2111112解：继审题要津，该几何体的上、下两底面的面积之和为()11212132S ⎡⎤=+⨯=⎢⎥⎣⎦；侧面的4个矩形的面积之和为()211222822S =+++⨯=+，从而所求为121122S S S =+=+，故选B ．【解法研究】审视三视图的要领，一是要关注实、虚线；二是要关注其中标注的数据．（刘绍峰）12．（15北京 文7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．2【审题要津】由题设三视图，兼顾俯视图正方形中的对角线，易知还原后的几何体为如图所示的四棱锥S ABCD -，其中平面SBC 及平面SCD 均垂直于底面正方形ABCD ，且SBC △与SCD △均为腰长为1的等腰直角三角形．注意到1SC BC CD ===，则问题易解． 解：继审题要津，由SC ⊥平面ABCD ，又1SC BC CD AD AB =====，则知22112SB SD ==+=． 联结AC ．由2AC =，则知()2222123SA SC AC =+=+=．故四棱锥S ABCD -中最长棱的棱长3SA =，选C ．【解法研究】如果你能在如上的直观图中适当添加辅助线，你就会清楚：三视图还原成的四棱锥是由棱长为1的正方形截去两个与四棱锥S ABCD -完全相同的四棱锥后之所得．显然所求即为正方形的体对角线之长．（陈小鹏）13．（15新课标Ⅱ 文6理6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）．A ．18B ．17 C ．16D ．15【审题要津】依题意，题设三视图所表示的几何体，是如图所示的正方体被截去一个三棱锥后的剩余部分．在这里，先关注三视图中的三个正方形，进而1221111　AS111正（主）视图侧（左）视图俯视图考察其中的对角线．这一审图意识至关重要．解：继审题要津，设原正方体的棱长为a ，则截去的三棱锥的体积为23111326a a a ⋅⋅=，于是剩余部分的体积为356a ．从而所求为15，故选D ． 【解法研究】如将截去的部分视为底面是腰长为a 的等腰直角三角形，高为a 的三棱锥，则知截去的体积为原正方体体积的16． （刘金泉）14．（15湖南 理10）某工件的三视图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（ ）． （材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A ．89π B ．169π C ．)3421πD ．)21221π【审题要津】由题设三视图及图中所标注的数据，易知原工件是一个底面圆半径为1，其高为2的圆锥．针对所求，如图所示，作该圆锥的轴截面PAB ，并使其过下底面在圆锥底面上的长方体的上底面的两个顶点E F ，．显然EF 即是长方体上底面矩形的对角线．为了求出长方体的体积，不妨设其长，宽，高分别为a b h ，，，并设其上，下底面的中心分别为1O ，2O ．过E F ，两点作AB 的垂线，垂足分别为E F ''，．显然12O F O F r '==，且01r <<．注意到12Rt Rt PO F PO B △∽△，则知1122PO O F PO O B =，即221h r-=，即22h r =-．于是长方体的体积为()22V abh ab r ==-．以下只需将ab 用r 来表示，即可利用函数的单调性完成所求．解：继审题要津，由()2222124a b O F r +==，可得()()()22222222222a b V ab r r r r +=-⋅-=-≤，()01r <<．当且仅当a b =，即长方体上，下底面均为正方形时，等号成立．令()2344 01y r r r =-<<，则2812y r r '=-，由0y '=，可得0r =或23r =．由此可见，当203r <<时，0y '>；当213r <<时，0y '<，故当23r =时，23max 226443327y ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即max 627V =．又圆锥的体积为2121233ππ⨯⨯=，因此所求为16382729⨯=ππ，故选A ． 【解法研究】从作圆锥的轴截面入手是顺理成章的，使长方体上，下底面的长方形的对角线为轴截rO 2F E P　O 1正视图侧视图俯视图112222面截圆锥的“切痕”更是必要的．对此应认真领会．本题在求导之前用到了且利用“均值不等式”推导了这样一个结论：圆内接矩形中，当长，宽相等时，即矩形为正方形时，其面积最大．对此也应有所感悟．（侯守一）15．（14安徽 文8理7）一个多面体的三视图如图所示，（文）则该几何体的体积是（ ）．A ．233 B ．476 C ．6D ．7（理）则该几何体的表面积为（ ）． A ．213+ B ．183+ C ．21D ．18【审题要津】针对所求，首先应画出该多面体的直观图．注意到题设三视图所标注的数据，应当想到该几何体的“母本”是一个正方体．为此可建立空间直角坐标系，并在其中构造如图所示的正方体1111ABCD A B C D -．解：继审题要津，结合三视图中标注的数据及其中实、虚斜线段的位置关系，易知该几何体是由正方体1111ABCD A B C D -在右后和左上分别截去小三棱锥1D MPN -及B EFG -所得．其体积为11232222111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=； 其表面积为()21364222132S ⎛⎫=⨯-+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭，故文选A ，理选A ．【解法研究】如解对照坐标系中的几何体的诸关键点所标注的字母，在三视图中也作出相应的标注，则对理解这种解法的思路，会更有帮助．（邵德彪）16．（14北京 理7）在空间直角坐标系O xyz -中，已知，()()()2 0 0 2 2 0 0 2 0A B C ，，，，，，，，，(1 12D ，，．若123S S S ，，分别是三棱锥D ABC -在xOy yOz zOx ，，坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）．A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠【审题要津】如图，在空间坐标系中描出A ，B ，C ，D 各点，并作出各点在三个坐标平面上的投影点，即可得到三棱锥D ABC -在各yzO D 2D 1S 3S 2S 1DC B A222111x　yzGPN　MD 1　A 1DFEC 1B 1CB A111111111111俯视图侧视图正视图坐标平面内的正投影，分别计算其面积即可作答．解：如图，点D 在xOy 面上的投影点()1 1 0，，恰好为AC 的中点；点D ，A ，B 在yOz 面上的投影分别为1D ()0 1 2，，，O ，C ；点D ，B ，C 在zOx 面上的投影分别为点2D ()1 0 2，，，A ，O ，于是121232 2ABC D OC D AO S S S S S S ======，△△△于是有123S S S >=，故选D ．【解法研究】应熟悉以下规律：点()P x y z ，，在xOy ，yOz ，zOx 三个坐标平面上的正投影分别为()1 0P x y ，，，()20P y z ，，，()3 0P x z ，，．事实上，在O xyz -坐标系中描绘点()P x y z ，，，常常是先确定()1 0P x y ，，，而后将其沿Oz 方向平移z 个单位得到的．（邵德彪）17．（14湖北 文7理5）在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0 0 2，，，()()()2 2 01 2 12 2 2，，，，，，，，．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）．A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②【审题要津】为便于在空间直角坐标系中准确地描绘出题设四面体的四个顶点，不妨如图，先在空间直角坐标系中构造一个棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -．解：继审题要津，显然有()10 0 2A ，，，()2 2 0C ，，，()12 2 2C ，，，而()1 2 1M ，，自然是正方形11CDD C 的中心．如图所示，该四面体11ACMC 的正视图为yOz 面内的11Rt A DD △（其中1M 为1DD 的中点）；俯视图为xOy 面内的ACN △（其中N 为CD 的中点）．对照四个选项，选D ．【解法研究】借助构造正方体，并从三视图的原理入手，有助于弥补空间想象力的不足．（王成维）yz x N B 1AMD 1BC 1C M1A 1OD 222111③ ④②①yz xO2221 11。