44有理函数的积分

有理函数的积分
(1) 分母中若有因式 (xa)k,( k为正整数), 则分解
后为 (x A 1 a)k(x A a 2)k1 xA ka
(其中A1,A2, ,Ak都是常数)
若
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k1,分解后有
x
A
a
.
(2) 分母中若有因式(x2p xq)k,其中
p24q0,
则分解后为
(x M 2 1 x p N q 1 x ) k (x 2 M 2 p x N q x 2 ) k 1 x M 2 k x p N k q x
(Mi,Ni都是常数 (i 1 ,2 , ,k )) 若 k1,分解后有 x2MxpxNq.
注:求有理函数积分的关键是 利用待定系数法将真 分式化为部分分式之和.
例 1
求不定积分
I
x2
x3 dx. 5x6
例 2
求不定积分 I
1 x(x1)2 dx.
例 3 求不定积分 I2x3x 42 x 52 x 25 x 45d.x 解法1 Ix 4 2 x 3 5 x 2 5 x 4 d xx 4 2 x 5 2 x 2 5 4 dx
4.4 有理函数的积分
1. 有理函数的积分 2. 三角函数有理式的积分 3. 简单无理函数的积分
一、有理函数的积分 有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数称之.
Q P ( (x x ) ) b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m , 其中 m、n都是非负整数; a0,a1, ,an及 b0,b1, ,bm 都是实数,并且a0 0,b0 0.
2
22
例 4
求不定积分
I
1 dx. x(x7 2)
二、简单无理函数的积分
例 5 求不定积分 I 1 dx. x x
例 6 求不定积分 I x dx. 3 3x1
1
例 7 求不定积分 I
dx.
x(13 x)
例 8 求不定积分 I x5 dx. 1 x2
例 9 求不定积分 I 1 dx.
1 2d (x x 4 4 5 5 x x 2 2 4 4 )(x x 2 1 1 )x x (2 2 4 4 )dx
1 2 l|n x 4 5 x 2 4 |x 2 d 4 xx 2 d 1 x
1 l|n x 4 5 x 2 4 | arx c 1 a ta rx c n C .t
假定分子与分母之间没有公因式:
(1) nm ,这有理函数是真分式;
(2) nm,这有理函数是假分式.
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一 个真分式之和. 例
x3x 2 x1 1xx211
难点 将有理函数化为部分分式之和. 有理函数化为部分分式之和的一般规律:
(1) 分母中若有因式 (xa)k,( k为正整数), 则分解 后为 (x A 1 a)k(x A a 2)k1 xA ka
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内容小结 1. 有理函数的积分 2. 三角函数有理式的积分
3. 简单无理函数的积分 常用根式代换，将无理函数有理化，再积分之.
4. 注意事项 有理函数和三角有理函数的积分理论上均可
采用上述方法进行积分，但往往计算量较大， 因而对具体问题计算时，应观察分析是否能 采用更简便的方法.